Macierze nieosobliwe

Wektory główne endomorfizmu (macierzy).
Postać Jordana.
Definicja 1.
An×n
Wielomian
W ( λ ) = am λ m + am −1λ m −1 + ... + a1λ + a0
W ( λ ) nazywamy wielomianem anulującym macierzy A
:⇔ W ( A) = am Am + am −1 Am −1 + ... + a1 A + a0 ⋅ I = 0
Twierdzenie 1.
∆ ( λ ) = det ( A − λ I )
Z: An×n ;
T: ∆ ( λ ) = 0 wielomian charakterystyczny macierzy A jest anulujący
Definicja 2.
Wielomianem minimalnym macierzy An×n nazywamy wielomian anulujący
taj macierzy stopnia najniższego o współczynniku 1 przy najwyższej
potędze.
Twierdzenie 2.
Z: An×n ; m ( λ ) - wielomian minimalny macierzy A
T: wielomian m ( λ ) jest jedyny
Twierdzenie 3.
Z: An×n ; m ( λ ) - wielomian minimalny macierzy A
W (λ )
- wielomian anulujący macierzy A
T: wielomian minimalny macierzy A jest podzielnikiem każdego
wielomianu anulującego macierzy A.
W (λ ) = p (λ ) ⋅ m (λ )
Twierdzenie 4.
Z: An×n
- macierz
p
∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p ) - wielomian charakterystyczny
k
k
k
macierzy A
k1 + k2 + ... + k p = n
m ( λ ) - wielomian minimalny
T: Każda wartość własna macierzy A jest pierwiastkiem wielomianu
minimalnego.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
WNIOSEK
An×n
jeżeli
∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p )
k
k
m ( λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p )
s
s
kp
to
sp
si ≤ ki
i
i = 1,..., p
Przykład 1.
 −1 0 −3
A=  3 2 3 


 −3 0 −1
∆ (λ ) = − (λ − 2) ⋅ (λ + 4)
2
znaleźć wielomian minimalny
m (λ ) = − (λ − 2) ⋅ (λ + 4)
m ( A) = − ( A − 2 I ) ⋅ ( A + 4 I )
 −3 0 −3  3 0 −3  0 0 0
m ( A ) =  3 0 0  ⋅  3 6 3  =  0 0 0

 
 

 −3 0 −3  −3 0 3   0 0 0
⇒ m ( A) - wielomian anulujący
Wektory główne
Umowa zapisu:
W zapisie utożsamiamy wektor z jego współrzędnymi i w zależności od
kontekstu v oznacza albo wektor, albo jego współrzędne w bazie.
Definicja 3.
-macierz
λ - wartość własna macierzy
Wektor własny v odpowiadający tej wartości własnej nazywamy
(1)
wektorem głównym rzędu pierwszego i oznaczamy: v
(2) (2)
Wektor v , v
≠ 0 nazywamy wektorem głównym rzędu drugiego
odpowiadającego wartości własnej λ
jeżeli:
(2)
(1)
(1)
An×n
( A − λ I ) (v
itd.
wektor
jeżeli:
)=v
v (k ) ≠ 0
v
≠0
nazywamy wektorem głównym rzędu k macierzy A
( A − λ I ) ( v ( k ) ) = v ( k −1)
v ( k −1) ≠ 0
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
UWAGA
Wektor zerowy jest wektorem głównym każdego rzędu odpowiadającego
każdej wartości własnej
WNIOSEK
A= Mf
f - endomorfizm
v( ) ≠ 0
i
i = 1,..., k
( A − λ I ) v (1) = v ⇔ A ⋅ v (1) − λ v (1) = 0 ⇔ A ⋅ v (1) = λ v (1) ⇔
( )
f v ( ) = λv ( )
1
1
( A − λ I ) v (2) = v (1) ⇔ A ⋅ v (2) − λ v (2) = v (1) ⇔ A ⋅ v (2) = v (1) + λ v (2) ⇔
( ) ) = v ( ) + λv ( )
⇔ f v(
2
1
2
( A − λ I ) v (k ) = v (k −1) ⇔ A ⋅ v (k ) − λ v (k ) = v ( k −1) ⇔ A ⋅ v ( k ) = v ( k −1) + λ v (k ) ⇔
( )) = v(
⇔ f v(
k
k −1)
+ λv (
k)
Przykład 2.
Znaleźć wektory główne macierzy A.
2 0 0
A = M f ( B, B ) f :


A= 0 2 1


 0 0 2 
2−λ
0
0
3
det ( A − λ I ) = 0
2−λ
1 = (2 − λ )
0
0
2−λ
3
→
3
λ1 = 2
k1 = 3
0 0 0  x1   0
0 0 1  ⋅  x  =  0

  2  
0 0 0  x3   0
 x1 = α
0 = 0


 x2 = β
 x3 = 0
x =0
0 = 0
 3

X 2 = {(α , β ,0 ) ,α , β ∈ } = {α (1,0,0 ) + β ( 0,1,0 ) ,α , β ∈
dim X 2 = 2
}
macierz nie jest diagonalizowalna
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
v1(1) = (α , β ,0 )
0 0 0  x1  α 
0 0 1 ⋅  x  =  β 

  2  
0 0 0  x3   0 
α ≠ 0∨ β ≠ 0
0 = α

 x3 = β ⇒ β ≠ 0 ( bo : α = 0 )
0 = 0

v1(1) = ( 0, β ,0 ) ∧ β ≠ 0
( np. : v ( ) = ( 0,1,0) )
1
1
x1 = t
0 = 0

 x3 = 1
0 = 0

x2 = s
v1( ) = {( t , s,1) , t , s ∈ }
(2)
ogólnie: v1 = {( t , s, β ) , t , s ∈ ∧ β ≠ 0}
2
0 0 0  x1   t 
0 0 1 ⋅  x  =  s  ∧ β ≠ 0

  2  
0 0 0  x3   β 
0 = t

sprzeczność!!
 x3 = s
0 = β

nie istnieją wektory główne rzędu
wyższego niż 2.
np.
β =1
v1( ) = ( 0,1,0 ) , v1( ) = ( 0,0,1) , v2( ) = (1,0,0 )
1
2
1
wektory liniowo niezależne
(
B = v1(1) = ( 0,1,0 ) , v1( 2 ) = ( 0,0,1) ; v2(1) = (1,0,0 )
( )
f ( v ( ) ) = v ( ) + 2v ( ) = [1, 2,0]
f ( v ( ) ) = 2v ( ) = [0,0, 2]
)
f v1(1) = 2v1(1) = [2,0,0]B '
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
B'
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
B'
2 1 0
M f = 0 2 0


 0 0 2 
strona 4 z 9
w bazie B
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
Definicja 4.
( X , K , +, ⋅) - przestrzeń wektorowa
B - baza
f :X →X
A = M f ( B, B )
Zbiór wszystkich wektorów głównych macierzy A wszystkich dowolnych
rzędów, również 0, odpowiadających wartości własnej λ nazywamy
przestrzenią charakterystyczną i oznaczamy Vλ
Twierdzenie 5.
Z: ( X , K , +, ⋅) - przestrzeń wektorowa
B - baza
f :X →X
T: (Vλ , K , +, ⋅ )
-podprzestrzeń przestrzeni X
Definicja 5.
(Vλ , K , +, ⋅)
nazywamy przestrzenią charakterystyczną macierzy A
(endomorfizmu f)
Twierdzenie 6.
Z: An×n , λ -wartość własna
T: Niezerowy wektor
wektorem głównym rzędu k macierzy A
v ( k ) jest
k
k −1
⇔ ( A − λI ) ⋅ v ( ) = 0 ∧
( A − λI )
k
⋅v( ) ≠ 0
k
Twierdzenie 7.
Z: An×n = M f
λ
wartość własna
v (1) , v ( 2 ) ,..., v ( k )
v (i ) ≠ 0,
T: v
(1)
- wektory główne różnych rzędów
i = 1,..., k
, v ( 2 ) ,..., v ( k ) wektory liniowo niezależne
niezerowe wektory główne różnych rzędów odpowiadające tej samej
wartości własnej są liniowo niezależne.
Twierdzenie 8.
Z: f : X → X f - endomorfizm
dim X = n
∆ ( λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p )
α
α
αp
wielomian charakterystyczny
α1 + α 2 + ... + α p = n
Vλ1 ,Vλ2 ,...,Vλ p
podprzestrzenie charakterystyczne odpowiadające
wartościom własnym
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
T: X = Vλ ⊕ Vλ ⊕ ... ⊕ Vλ
1
2
p
WNIOSKI:
1) vi( k ) ≠ 0, v j( l ) ≠ 0
- suma prosta
i≠ j
wektory główne różnych rzędów odpowiadające różnym wartościom
własnym są liniowo niezależne.
2) ∀i =1,2,..., p dim VX i = α i
wymiar każdej przestrzeni charakterystycznej jest równy krotności
odpowiedniej wartości własnej.
WNIOSEK:
w X istnieje baza złożona z wektorów głównych endomorfizmu f
UWAGA
Analogiczne twierdzenia są prawdziwe dla macierzy.
Definicja 6.
( X , K , +, ⋅) - przestrzeń wektorowa
B - baza
f :X →X
A = M f ( B, B )
dim X = n
∆ ( λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p )
α
αp
B ' = ( v1 ,..., vn )
J = M f ( B ', B ' )
Macierz odwzorowania względem bazy wektorów własnych nazywamy
macierzą Jordana, a dla macierzy A mówi się, że jest to postać Jordana
macierzy A (macierz J do której macierz A jest podobna)
UWAGA
An×n
Jeżeli macierz jest diagonalizowalna, to postać Jordana pokrywa się z
postacią diagonalną. Jeżeli macierz nie jest diagonalna, to szukamy
wektorów głównych.
Przykład 3.
3 0 8
A =  3 −1 6 


 −2 0 −5
∆ ( λ ) = − ( λ + 1)
λ = −1,
k =3
3
1
1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 6 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
 4 0 8   x1   0
 3 0 6  ⋅  x  =  0

  2  
 −2 0 −4   x3   0
 4 x1 + 8 x3 = 0

3x1 + 6 x3 = 0
 −2 x − 4 x = 0

1
3
 x1 + 2 x3 = 0

0 = 0
0 = 0

układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 2 parametrów
x3 = α
x1 = −2α
x2 = β
X −1 = {( −2α , β , α ) , α , β ∈
} = {α ( −2,0,1) + β ( 0,1,0 ) ,α , β ∈ }
wektory generują przestrzeń i są liniowo niezależne
dim X −1 = 2
macierz nie jest diagonalizowalna
 4 0 8   x1   −2α 
 3 0 6  ⋅ x  =  β 
α ≠0 ∨ β ≠0

  2 

 −2 0 −4   x3   α 
4 x1 + 8 x3 = −2α

3x1 + 6 x3 = β
 −2 x − 4 x = α

1
3
1

 x1 + 2 x3 = − 2 α

1
1

0 = α + β
2
3

0 = 0

1
1
(α ≠ 0 ∨ β ≠ 0 ) ∧ α + β = 0
2
3
np. α = 2 β = −3
B ' = v1(1) = ( −4, −3, 2 ) , v1( 2) = ( −1,0,0 ) ; v2(1) = ( 0,1,0 )
(
)
 x1 + 2 x3 = −1

0 = 0
0 = 0

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 7 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
x3 = s
x1 = −1 − 2 s
x2 = t
{v ( ) = ( −1 − 2s, t, s ) , t, s ∈ }
2
t=0, s=0 (ale może też inne wartości)
1
nie mogą istnieć wektory rzędów wyższych, bo wymiar jest równy 3
 −1 1 0 
J =  0 −1 0 


 0 0 −1
J = P −1 ⋅ A ⋅ P
 − 4 −1 0 
P =  −3 0 1 


 2 0 0
Omówienie postaci Jordana macierzy
k
1) An×n =  aij 
∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) 1
dim X λ1 = 1
(
B ' = v1(1) , v1( 2 ) , v1( 3) ,..., v1( k1 )
)
A = M f ( B, B )
( )
f ( v ( ) ) = v ( ) + λ ⋅ v ( ) = [1, λ ,0,...,0]
f ( v ( ) ) = v ( ) + λ ⋅ v ( ) = [0,1, λ ,...,0]
f v1(1) = λ1 ⋅ v1(1) = [λ1 ,0,0,...,0]B '
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
1
2
1
1
B'
3
1
B'
( )
f v1( n ) = v1( n −1) + λ1 ⋅ v1( n ) = [0,...,0,1, λ1 ]B '
 λ1 1 0
0 λ 1
1

J =  0 0 λ1


 0 0 0
0
0

0

1
… λ1 
…
…
…
1
2
2) An×n ; ∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) ⋅ ( λ − λ2 ) ⋅ ( λ − λ3 )
k
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
k
strona 8 z 9
kp
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
k1
 λ1
0

0


0

0


J =











 0
1
0
0
λ1
1
0
λ1
0
0
0
0
1
0
0
k1+k2
0
0
λ1
0
0
0
λ2
1
0
0
0
λ3
1
0
λ3
λ2
1
λ2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k1+k2+k3
0



















0

1
λ3 
Zaznaczone fragmenty macierzy Jordana nazywamy klatkami Jordana.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 9 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana