Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne

Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
Adam Kwela
Uniwersytet Gdański
20 czerwca 2015 r.
K. Czudek, A. Kwela, N. Mrożek, W. Wołoszyn, Ideal-like
properties of generalized microscopic sets, Nikodem spisuje...
A. Kwela, Additivity of the ideal of microscopic sets, praca wysłana
do czasopisma.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
1/9
Niech (fn )n będzie ciągiem rosnących funkcji fn : (0, 1) → (0, 1) na
tyle porządnych, żeby poniższa definicja miała sens (tzn.
limx→0+ fn (x) = 0 dla każdego n oraz istnieje x0 ∈ (0, 1) taki, że
dla każdego 0 < x < x0 ciąg (fn (x))n jest nierosnący i
P
n fn (x) < +∞).
Definicja (G. Horbaczewska)
Zbiór M ⊂ R nazywamy (fn )-mikroskopijnym, jeśli dla każdego
S
ε ∈ (0, 1) istnieje ciąg przedziałów (Ik )k taki, że M ⊂ k Ik oraz
|Ik | ¬ fk (ε) dla każdego k ∈ ω.
Przez F oznaczamy rodzinę wszystkich ciągów (fn )n spełniającyh
powyższe warunki.
Definicja
Zbiór M ⊂ R nazywamy mikroskopijnym, jeśli jest
(x n )-mikroskopijny.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
2/9
Niech (fn )n będzie ciągiem rosnących funkcji fn : (0, 1) → (0, 1) na
tyle porządnych, żeby poniższa definicja miała sens (tzn.
limx→0+ fn (x) = 0 dla każdego n oraz istnieje x0 ∈ (0, 1) taki, że
dla każdego 0 < x < x0 ciąg (fn (x))n jest nierosnący i
P
n fn (x) < +∞).
Definicja (G. Horbaczewska)
Zbiór M ⊂ R nazywamy (fn )-mikroskopijnym, jeśli dla każdego
S
ε ∈ (0, 1) istnieje ciąg przedziałów (Ik )k taki, że M ⊂ k Ik oraz
|Ik | ¬ fk (ε) dla każdego k ∈ ω.
Przez F oznaczamy rodzinę wszystkich ciągów (fn )n spełniającyh
powyższe warunki.
Definicja
Zbiór M ⊂ R nazywamy mikroskopijnym, jeśli jest
(x n )-mikroskopijny.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
2/9
Niech (fn )n będzie ciągiem rosnących funkcji fn : (0, 1) → (0, 1) na
tyle porządnych, żeby poniższa definicja miała sens (tzn.
limx→0+ fn (x) = 0 dla każdego n oraz istnieje x0 ∈ (0, 1) taki, że
dla każdego 0 < x < x0 ciąg (fn (x))n jest nierosnący i
P
n fn (x) < +∞).
Definicja (G. Horbaczewska)
Zbiór M ⊂ R nazywamy (fn )-mikroskopijnym, jeśli dla każdego
S
ε ∈ (0, 1) istnieje ciąg przedziałów (Ik )k taki, że M ⊂ k Ik oraz
|Ik | ¬ fk (ε) dla każdego k ∈ ω.
Przez F oznaczamy rodzinę wszystkich ciągów (fn )n spełniającyh
powyższe warunki.
Definicja
Zbiór M ⊂ R nazywamy mikroskopijnym, jeśli jest
(x n )-mikroskopijny.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
2/9
Definicja
Zbiór M ⊂ R nazywamy nanoskopijnym, jeśli jest
n
(x 2 )-mikroskopijny.
Pytanie (G. Horbaczewska, Niedzica, 2013)
Czy rodzina wszystkich zbiorów nanoskopijnych jest ideałem?
Twierdzenie
Nie!
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
3/9
Definicja
Zbiór M ⊂ R nazywamy nanoskopijnym, jeśli jest
n
(x 2 )-mikroskopijny.
Pytanie (G. Horbaczewska, Niedzica, 2013)
Czy rodzina wszystkich zbiorów nanoskopijnych jest ideałem?
Twierdzenie
Nie!
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
3/9
Definicja
Zbiór M ⊂ R nazywamy nanoskopijnym, jeśli jest
n
(x 2 )-mikroskopijny.
Pytanie (G. Horbaczewska, Niedzica, 2013)
Czy rodzina wszystkich zbiorów nanoskopijnych jest ideałem?
Twierdzenie
Nie!
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
3/9
Definicja
M ⊂ R jest zbiorem silnie miary zero, jeśli dla każdego ciągu
dodatnich liczb rzeczywistych (εn )n istnieje ciąg przedziałów (Ik )k
S
taki, że M ⊂ k Ik oraz |Ik | ¬ εk dla każdego k ∈ ω.
Twierdzenie
Jeśli A jest zbiorem nanoskopijnym, a B jest zbiorem silnie miary
zero, to A ∪ B jest zbiorem nanoskopijnym.
Stwierdzenie
Niech (fn )n ∈ F oraz X będzie zbiorem (fn )-mikroskopijnym. Jeśli
dla każdego y ∈ R suma X ∪ {y } jest zbiorem
(fn )-mikroskopijnym, to dla każdego zbioru silnie miary zero Y
suma X ∪ Y jest zbiorem (fn )-mikroskopijnym.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
4/9
Definicja
M ⊂ R jest zbiorem silnie miary zero, jeśli dla każdego ciągu
dodatnich liczb rzeczywistych (εn )n istnieje ciąg przedziałów (Ik )k
S
taki, że M ⊂ k Ik oraz |Ik | ¬ εk dla każdego k ∈ ω.
Twierdzenie
Jeśli A jest zbiorem nanoskopijnym, a B jest zbiorem silnie miary
zero, to A ∪ B jest zbiorem nanoskopijnym.
Stwierdzenie
Niech (fn )n ∈ F oraz X będzie zbiorem (fn )-mikroskopijnym. Jeśli
dla każdego y ∈ R suma X ∪ {y } jest zbiorem
(fn )-mikroskopijnym, to dla każdego zbioru silnie miary zero Y
suma X ∪ Y jest zbiorem (fn )-mikroskopijnym.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
4/9
Twierdzenie
Niech (fn )n ∈ F oraz X będzie zbiorem (fn )-mikroskopijnym
spełniającym co najmniej jeden z następujących warunków:
X można pokryć zbiorem (fn )-mikroskopijnym typu Fσ ;
X nie jest nigdziegęsty;
X jest ograniczony.
Wtedy dla każdego zbioru silnie miary zero Y suma X ∪ Y jest
zbiorem (fn )-mikroskopijnym.
Twierdzenie
Istnieją zbiór (x n! )-mikroskopijny (tj. zbiór pikoskopijny) X oraz
punkt x ∈ R takie, że X ∪ {x} nie jest zbiorem pikoskopijnym.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
5/9
Twierdzenie
Niech (fn )n ∈ F oraz X będzie zbiorem (fn )-mikroskopijnym
spełniającym co najmniej jeden z następujących warunków:
X można pokryć zbiorem (fn )-mikroskopijnym typu Fσ ;
X nie jest nigdziegęsty;
X jest ograniczony.
Wtedy dla każdego zbioru silnie miary zero Y suma X ∪ Y jest
zbiorem (fn )-mikroskopijnym.
Twierdzenie
Istnieją zbiór (x n! )-mikroskopijny (tj. zbiór pikoskopijny) X oraz
punkt x ∈ R takie, że X ∪ {x} nie jest zbiorem pikoskopijnym.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
5/9
Definicja
Zbiór nazywamy Fσ -(fn )-mikroskopijnym, jeśli można go pokryć
zbiorem (fn )-mikroskopijnym typu Fσ .
Twierdzenie
Niech (fn )n ∈ F. Rodzina wszystkich zbiorów
Fσ -(fn )-mikroskopijnych jest σ-ideałem.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
6/9
add (I) = min {card(A) :
A⊂I
∧
S
A∈
/ I}
Pytanie (G. Horbaczewska, Stara Lesna, 2010)
Ile wynosi addytywność ideału zbiorów mikroskopijnych?
Definicja
Zbiór M ⊂ R należy do M0 jeśli dla każdego ε > 0 istnieją zbiór
D ⊂ ω asymptotycznej gęstości zero oraz ciąg przedziałów (Jn )n∈D
S
takie, że M ⊂ n∈D Jn oraz |Jn | ¬ εn+1 dla każdego n ∈ D.
Stwierdzenie
Załóżmy aksjomat Martina. Wtedy add (M0 ) = 2ω oraz
add (Mln ) = 2ω , gdzie Mln jest rodziną wszystkich zbiorów
(x ln(n+1) )-mikroskopijnych.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
7/9
add (I) = min {card(A) :
A⊂I
∧
S
A∈
/ I}
Pytanie (G. Horbaczewska, Stara Lesna, 2010)
Ile wynosi addytywność ideału zbiorów mikroskopijnych?
Definicja
Zbiór M ⊂ R należy do M0 jeśli dla każdego ε > 0 istnieją zbiór
D ⊂ ω asymptotycznej gęstości zero oraz ciąg przedziałów (Jn )n∈D
S
takie, że M ⊂ n∈D Jn oraz |Jn | ¬ εn+1 dla każdego n ∈ D.
Stwierdzenie
Załóżmy aksjomat Martina. Wtedy add (M0 ) = 2ω oraz
add (Mln ) = 2ω , gdzie Mln jest rodziną wszystkich zbiorów
(x ln(n+1) )-mikroskopijnych.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
7/9
add (I) = min {card(A) :
A⊂I
∧
S
A∈
/ I}
Pytanie (G. Horbaczewska, Stara Lesna, 2010)
Ile wynosi addytywność ideału zbiorów mikroskopijnych?
Definicja
Zbiór M ⊂ R należy do M0 jeśli dla każdego ε > 0 istnieją zbiór
D ⊂ ω asymptotycznej gęstości zero oraz ciąg przedziałów (Jn )n∈D
S
takie, że M ⊂ n∈D Jn oraz |Jn | ¬ εn+1 dla każdego n ∈ D.
Stwierdzenie
Załóżmy aksjomat Martina. Wtedy add (M0 ) = 2ω oraz
add (Mln ) = 2ω , gdzie Mln jest rodziną wszystkich zbiorów
(x ln(n+1) )-mikroskopijnych.
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
7/9
Twierdzenie
Istnieje zbiór mikroskopijny, który nie należy do M0 .
Twierdzenie
Addytywność ideału zbiorów mikroskopijnych jest równa ω1 .
Kilka słów o dowodzie...
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
8/9
Twierdzenie
Istnieje zbiór mikroskopijny, który nie należy do M0 .
Twierdzenie
Addytywność ideału zbiorów mikroskopijnych jest równa ω1 .
Kilka słów o dowodzie...
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
8/9
Twierdzenie
Istnieje zbiór mikroskopijny, który nie należy do M0 .
Twierdzenie
Addytywność ideału zbiorów mikroskopijnych jest równa ω1 .
Kilka słów o dowodzie...
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
8/9
Dziękuję za uwagę!
Adam Kwela
Zbiory mikroskopijne, nanoskopijne i pikoskopijne
9/9