t - PB Wydział Elektryczny

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ
mgr inŜ. Wiktor Jakowluk
Planowanie eksperymentów D - optymalnych
w zadaniach estymacji parametrów procesów
dynamicznych
Promotor
dr hab. inŜ. Mirosław Świercz, prof. PB
BIAŁYSTOK 2008
Spis treści
1. Wstęp ...............................................................................................................................3
1.1. Teza i cele pracy ........................................................................................................4
1.2. Struktura pracy ..........................................................................................................5
2. Wprowadzenie do zagadnień planowania eksperymentu optymalnego.....................6
3. Planowanie eksperymentu w zadaniu estymacji parametrów układu
dynamicznego ..................................................................................................................8
4. Planowanie eksperymentów D - optymalnych ...........................................................13
5. Adaptacyjny algorytm doboru nastaw regulatorów .................................................15
6. Dobór optymalnego sygnału sterującego ....................................................................20
6.1. Dobór optymalnego sygnału sterującego dla układu jednoinercyjnego...................20
6.2. Dobór przyjaznego sygnału sterującego w zadaniu identyfikacji parametrów układu
jednoinercyjnego ......................................................................................................24
6.3. Dobór optymalnego sygnału sterującego dla układu skrętnego rzędu drugiego......27
7. Podsumowanie ...............................................................................................................31
Literatura ...........................................................................................................................32
2
1. Wstęp
Regulatory proporcjonalno - całkująco - róŜniczkujące (PID) od wielu lat pozostają
podstawowym urządzeniami regulacyjnymi w systemach sterowania automatycznego,
głównie ze względu na nieskomplikowany algorytm działania, jak równieŜ zadawalające
rezultaty ich stosowania w wielu gałęziach przemysłu. JednakŜe, pomimo wieloletnich badań
teoretycznych oraz praktycznych doświadczeń, optymalne strojenie regulatorów PID nie
naleŜy do łatwych problemów, szczególnie przy zmianach struktury wewnętrznej i/lub
parametrów sterowanego obiektu. DuŜy wpływ na optymalny dobór nastaw regulatorów mają
opóźnienia i nieliniowości obiektów, jak równieŜ nasycenie całkowe w implementacjach
cyfrowych regulatorów PID. ToteŜ w ostatnich latach opracowano wiele nowych metod
i algorytmów wykorzystujących czasowe i częstotliwościowe odpowiedzi układu regulacji.
Opracowano szereg metod, które polepszają parametry procesu regulacji w porównaniu
z oryginalną metodą strojenia zaproponowaną przez Zieglera i Nicholsa [82]: modyfikacje
oryginalnej metody Zieglera - Nicholsa [26, 47], metody kontrolowanego przeregulowania
[70], metody strojenia na podstawie wskaźników całkowych [58, 61, 81], metody
wykorzystujące techniki optymalizacyjne [40, 77].
W przypadku obiektów, których właściwości zmieniają się szybko, stosuje się metody
automatycznego oraz adaptacyjnego strojenia regulatorów PID [2, 6, 7, 22, 23, 27, 41, 45, 53,
65]. Istota regulacji adaptacyjnej polega na automatycznym dopasowywaniu nastaw
regulatora do zmieniających się właściwości obiektu regulacji i jego otoczenia, tak, aby
zapewnić większą odporność układu regulacji na zaistniałe zmiany.
Metody strojenia regulatorów w dziedzinie czasu i częstotliwości określane są
w literaturze jako optymalne strojenie regulatorów PID (ang. optimal - tuning PID control)
[15, 43, 44]. Optymalny dobór nastaw regulatora na podstawie charakterystyk czasowych
polega na minimalizacji funkcji kosztu, najczęściej definiowanej jako całka z kwadratu
róŜnicy odpowiedzi układu z regulatorem PID oraz poŜądanej odpowiedzi układu na
wybrane wymuszenie, uzyskanej z modelu adaptacyjnego.
Na początku lat dziewięćdziesiątych badania nad metodami zorientowanymi na sterowanie
opierały się głównie na analizie rozkładu błędu obciąŜonych estymatorów (ang. bias error)
parametrów regulatora [80, 67]. W drugiej połowie lat dziewięćdziesiątych powstały prace
dotyczące definiowania oraz estymowania niepewności metod zorientowanych na sterowanie
[8, 46]. Główny nacisk połoŜono na kształtowanie rozkładu błędów wariancji estymatorów
uzyskiwanych podczas identyfikacji parametrów regulatora. Rozwiązanie przedstawione
3
w niniejszej pracy dotyczy pewnej klasy wolnozmiennych układów regulacji, w których
zmiany struktury wewnętrznej obiektu regulacji zachodzą wolniej niŜ eksperyment
identyfikacyjny oraz adaptacja nastaw regulatora. Prezentowana metoda opiera się na
planowaniu eksperymentów D - optymalnych umoŜliwiających estymację wskaźników oceny
procesu regulacji rozpatrywanego układu, na podstawie których moŜna aktualizować nastawy
regulatora w trakcie procesu technologicznego [36].
W pracy zaprezentowano adaptacyjny algorytm doboru nastaw regulatorów, który opiera
się na lokalnej analizie powierzchni odpowiedzi uzyskanej w wyniku optymalnego
planowania eksperymentu. Algorytm ten zapewnia akceptowalne wskaźniki jakości procesu
regulacji.
Przedstawiono równieŜ pewną metodę doboru optymalnego sygnału sterującego
polegającą na maksymalizacji funkcjonału celu, zbudowanego na macierzy informacyjnej
Fishera [18, 19, 20, 21, 48, 68, 72, 79]. Zaprezentowano takŜe metodę doboru przyjaznego
sygnału pobudzającego (tj. takiego, który nie naraŜa instalacji na nadmierne lub gwałtowne
zmiany wielkości procesowych) w zadaniu identyfikacji parametrów modelu obiektu (ang.
plant friendly identification).
1.1. Teza i cele pracy
Autor pracy sformułował tezę, iŜ planowanie D - optymalnych eksperymentów
identyfikacyjnych z wykorzystaniem optymalnego sygnału sterującego umoŜliwia detekcję
zmian struktury i parametrów obiektu dynamicznego (objętego układem regulacji
automatycznej) oraz estymację wartości tych parametrów w celu doboru nastaw regulatora,
zapewniających poŜądane cechy procesu regulacji.
Aby udowodnić postawioną tezę postanowiono zrealizować następujące cele pracy:
− Opracowanie D - optymalnego planu eksperymentu w zadaniu estymacji parametrów
układu
dynamicznego.
Estymatory
uzyskiwane
na
podstawie
eksperymentu
D - optymalnego umoŜliwiają efektywne wyznaczanie wartości parametrów modelu
układu oraz pozwalają na diagnozowanie stanów (punktów pracy) układu
dynamicznego.
− Zaproponowanie adaptacyjnego algorytmu doboru nastaw regulatorów, który
zapewnia akceptowalne wartości wskaźników jakości procesu regulacji. Algorytm
doboru nastaw opiera się na lokalnej analizie powierzchni odpowiedzi modelu
4
matematycznego, wyznaczonej w wyniku optymalnego planowania eksperymentu
identyfikacyjnego.
− Wyznaczenie optymalnego sygnału sterującego układem dynamicznym,
który
umoŜliwia zmniejszenie niepewności uzyskiwanych estymat w procesie identyfikacji
parametrów modelu układu.
− Wyznaczenie przyjaznego sygnału sterującego, który zapewnia akceptowalne wartości
estymat parametrów identyfikowanego modelu układu.
1.2. Struktura pracy
Rozprawa została podzielona na osiem rozdziałów. W rozdziale drugim przedstawiono
klasyfikację i charakterystyki statycznych planów doświadczeń oraz zdefiniowano kryteria
wyboru planu doświadczenia. Omówiono takŜe analizę statystyczną wyników pomiarów.
Opisano aspekty jakościowe oraz ilościowe planowania eksperymentu identyfikacyjnego
układu dynamicznego, uwzględniając eksperymenty z ograniczeniami, eksperymenty
sekwencyjne oraz odporne.
W rozdziale trzecim zestawiono wybrane metody strojenia regulatorów PID, począwszy od
klasycznej metody Zieglera - Nicholsa, poprzez metody: przekaźnikowe (wykorzystujące
przebiegi cykliczne generowane w układzie sterowania), adaptacyjne, optymalnego doboru
nastaw regulatorów, a kończąc na metodzie IFT (ang. Iterative Feedback Tuning).
Przedstawiono równieŜ prace dotyczące definiowania i estymowania niepewności metod
zorientowanych na sterowanie oraz sterowania odpornego. Opisano zalety i wady wyŜej
wymienionych metod. Rozdział zakończono przykładem ilustrującym wpływ zbioru
niepewności estymowanych parametrów modelu na stabilną pracę układu rzeczywistego.
W rozdziale czwartym opisano model laboratoryjny układu skrętnego, przedstawiono
równania stanu modelu tego układu oraz wyprowadzono jego transmitancje. Dokonano
równieŜ identyfikacji parametrów obiektu regulacji. Wykonano estymację współczynników
funkcji aproksymujących, dla wybranych wskaźników oceny procesu regulacji, na podstawie
przeprowadzonych eksperymentów pełnych. Przeprowadzono statystyczną ocenę jakości
aproksymacji modelu układu skrętnego.
W części teoretycznej rozdziału piątego przedstawiono załoŜenia oraz procedury
algorytmiczne umoŜliwiające generowanie planów optymalnych. Wykorzystując procedurę
DETMAX wygenerowano eksperymenty D - optymalne (nasycone) dla kaŜdego ze
5
wskaźników oceny procesu regulacji. Przeprowadzono analizę statystyczną otrzymanych
wyników.
W rozdziale szóstym opisano zasadę działania algorytmu adaptacyjnego w zadaniu doboru
nastaw regulatorów, który zapewnia akceptowalne wartości wskaźników jakości procesu
regulacji. Przeprowadzono testy optymalnego doboru nastaw regulatorów P, PI oraz PID,
wykorzystując procedurę adaptacyjną. Wyniki przeprowadzonych eksperymentów porównano
z klasyczną metodą Zieglera - Nicholsa w dwóch punktach pracy obiektu regulacji.
Rozdział siódmy poświęcono zagadnieniu doboru optymalnego sygnału pobudzającego dla
układu jednoinercyjnego oraz układu skrętnego rzędu drugiego. Zbudowano funkcjonały celu
i wyznaczono optymalne sterowania. Wykonano szereg eksperymentów numerycznych bez
i z uwzględnieniem kosztu energii sterowania. Przeprowadzono równieŜ weryfikację
wyznaczonych optymalnych sygnałów wejściowych układu inercyjnego oraz skrętnego na
podstawie wyników identyfikacji parametrów modeli układów. Wykreślono obszary ufności
estymat parametrów modeli pobudzanych róŜnymi sygnałami wejściowymi. W rozdziale tym
zdefiniowano takŜe funkcjonał celu zapewniający tzw. przyjazność sterowania oraz
porównano rezultaty szeregu eksperymentów symulacyjnych, których celem był dobór
przyjaznego sygnału sterującego. Przeprowadzono identyfikację parametrów modelu układu
jednoinercyjnego poddając go pobudzeniu sygnałami o róŜnych współczynnikach
przyjazności. Na tej podstawie wykreślono elipsy ufności parametrów modelu układu
jednoinercyjnego.
W rozdziale ósmym podsumowano wyniki uzyskane w niniejszej pracy.
2. Wprowadzenie do zagadnień planowania eksperymentu
optymalnego
Jedną z poŜądanych cech jakiegokolwiek planu jest wzajemna niezaleŜność estymatorów
efektów głównych i interakcji. Efekty główne mogą być interpretowane jako róŜnice
pomiędzy dolnymi i górnymi wartościami odpowiednich wielkości wejściowych. Natomiast
efekty interakcji mogą być interpretowane jako połowa róŜnicy pomiędzy efektem głównym
jednej wielkości wejściowej przy dwóch wartościach drugiej wielkości. Wartości liczbowe
tych efektów nazywane są estymatorami efektów głównych i interakcji.
MoŜna stwierdzić, Ŝe im mniejsze jest odchylenie od ortogonalności (im mniejsza
redundancja) kolumn macierzy planu doświadczenia, tym więcej niezaleŜnych informacji
moŜna wydobyć z planu doświadczenia. Wyznacznik D macierzy jest specyficzną wartością,
6
która odzwierciedla całość niezaleŜności lub redundancji pomiędzy kolumnami i wierszami
macierzy. PowyŜsza relacja rozciąga się równieŜ na większe macierze planów doświadczeń,
tzn. im bardziej niezaleŜne (ortogonalne) są kolumny macierzy, tym większa jest wartość
wyznacznika. Stąd znalezienie macierzy planu, która maksymalizuje wyznacznik D tej
macierzy oznacza znalezienie planu, w którym czynniki są maksymalnie wzajemnie
niezaleŜne. Warunek, który umoŜliwia znalezienie takiej macierzy planu doświadczenia, nosi
nazwę kryterium D - optymalności. W rzeczywistości obliczenia nie są wykonywane na
macierzy korelacji, ale na macierzy będącej wynikiem przemnoŜenia dwóch macierzy XTX
(X - macierz
planu
doświadczenia)
[3,
83].
Ostatecznie
poszukiwanie
planów
D - optymalnych sprowadza się do maksymalizacji wyznacznika następującego wyraŜenia
XTX zwanego macierzą informacyjną lub macierzą Fishera. NaleŜy wspomnieć, Ŝe plany
D - optymalne minimalizują oczekiwaną wartość błędu zmiennej zaleŜnej tj. wskaźników
oceny procesu regulacji, a tym samym maksymalizują dokładność wyznaczania zmiennej
zaleŜnej.
RozwaŜony zostanie proces opisany w przestrzeni stanu i wyjść za pomocą układu równań:
x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t )
y (t ) = Cx(t ) + v (t )
(2.1)
gdzie x jest wektorem stanu (n × 1), u jest wektorem wejścia (m × 1), y jest wektorem wyjścia
systemu (r × 1). Natomiast macierze A, B i C, to odpowiednio macierz układu (n × n),
wejściowa (n × m) i wyjściowa (r × n). Wektor v jest białym szumem pomiarowym
o rozkładzie Gaussa, którego wartość średnia równa jest zero:
E [v (t )] = 0
[
(2.2)
]
E v(t )v T (ô) = Rδ (t − ô)
(2.3)
gdzie R (r × r) jest macierzą kowariancji szumu pomiarowego.
Dobór optymalnego sygnału wejściowego w zadaniu estymacji wektora parametrów
badanego systemu θ = [θ1 , θ2 ,.., θk ] , który jest związany z elementami macierzy A, B i C
T
równań stanu, polega na optymalizacji funkcji celu zdefiniowanej na macierzy informacyjnej
Fishera o postaci:
T
M = ∫ XθT CT R −1CXθ dt
(2.4)
0
gdzie Xθ jest macierzą o wymiarze (n × k), której elementy zdefiniowano w następujący
sposób: xij = ∂xi / ∂θ j . Macierz ta, zgodnie z twierdzeniem Cramera - Rao, określa moŜliwą
7
do uzyskania dokładność estymat parametrów θ [38, 48]. Macierz kowariancji estymat
parametrów jest ograniczona od dołu przez odwrotność macierzy informacyjnej Fishera, co
opisuje poniŜsza zaleŜność:
[]
(
)(
)
T
cov θˆ = E  θˆ − θ θˆ − θ  ≥ M −1


(2.5)
[]
Macierz kowariancji cov θ̂ jest miarą odległości otrzymanego estymatora θ̂ od wektora
parametrów rzeczywistych θ. Najczęściej stosowanymi kryteriami optymalności planu
doświadczenia są: kryterium D - optymalności, A - optymalności, T - optymalności oraz
G - optymalności [3, 9, 17, 42, 64, 75, 76]. Oprócz wymienionych powyŜej kryteriów
w literaturze moŜna znaleźć szeroki przegląd dalszych kryteriów [63, 37, 52, 78]. Powstały
równieŜ metody odporne (ang. robust) planowania eksperymentu minimalizujące niepewność
estymat parametrów badanego modelu układu, przy załoŜeniu, Ŝe parametry te naleŜą do
pewnej populacji o znanym rozkładzie [1, 63].
3. Planowanie eksperymentu w zadaniu estymacji
parametrów układu dynamicznego
Celem niniejszego rozdziału jest zaplanowanie eksperymentów identyfikujących
wskaźniki oceny procesu regulacji układu skrętnego, na podstawie których moŜna
aktualizować nastawy regulatora w trakcie procesu technologicznego [35, 36].
W badaniach eksperymentalnych wykorzystano model laboratoryjny układu skrętnego.
Model składa się z trzech podsystemów przedstawionych na rysunku 3.1. Dokładny opis oraz
dane techniczne modelu układu skrętnego moŜna znaleźć na stronie internetowej producenta
www.ecpsystems.com lub w instrukcji obsługi [60].
Rys. 3.1. Model laboratoryjny układu skrętnego
8
W trakcie badań eksperymentalnych obciąŜane będą symetrycznie tylko dyski I (dolny)
i III (górny) układu skrętnego (rys. 3.1). W celu zaplanowania eksperymentów
identyfikujących wskaźniki oceny procesu regulacji załoŜono następujące zakresy zmian
wartości wielkości wejściowych dla układu skrętnego (tabela 3.1).
Tabela 3.1. Zakresy zmian wartości wielkości wejściowych układu skrętnego
X1
[m]
0
0,04
0,08
połoŜenie
obciąŜenia
brak obciąŜenia
środek dysku
zewnętrze dysku
X2
[m]
0
0,04
0,08
X3
[m]
0
0,04
0,08
X4
[m]
0
0,04
0,08
wartość
dyskretna
-1
0
1
Model układu skrętnego obciąŜono symetrycznie masami na środku dysku I (dolnego)
i dysku III (górnego), czyli w punkcie nominalnym o następujących współrzędnych
P(x1,x2,x3,x4) = (0,04;0,04;0,04;0,04). Obiekt poddany eksperymentowi pracuje w układzie
regulacji o schemacie blokowym przedstawionym na poniŜszym rysunku.
yr
y
Rys. 3.2. Schemat blokowy układu regulacji z regulatorem PID
Transmitancja operatorowa Gr (s) regulatora PID ma następującą postać:
Gr (s ) =
K
U (s )
= K p + i + Kd s
E (s )
s
(3.1)
gdzie: Kp, Ki i Kd oznaczają współczynniki wzmocnienia proporcjonalnego, całkującego oraz
róŜniczkującego. Transformatę sygnału wyjściowego regulatora oznaczono U(s), natomiast
transformatę uchybu E(s).
Dobór nastaw regulatora proporcjonalnego P przeprowadzono metodą Zieglera - Nicholsa
doprowadzając układ do granicy stabilności w wyniku pobudzenia skokiem jednostkowym
o amplitudzie 1000 jednostek wychylenia, tj. wychyleniu o około 22,5 stopnia. Regulator
zainstalowany w układzie sterowania nastawiono na działanie proporcjonalne (P)
i zwiększając stopniowo jego wzmocnienie kp doprowadzono układ do granicy stabilności
uzyskując oscylacje niegasnące. W stanie wzbudzonych oscylacji (rejestrowano drgania
dysku I) odczytano współczynnik kpkr = 0,1875, przy którym te oscylacje wystąpiły.
Dla regulatora proporcjonalnego P wyznaczono nastawę wg. metody Zieglera - Nicholsa
z następującej zaleŜności kp = 0,5kpkr = 0,0938. Na rysunku 3.3 wykreślono odpowiedź układu
skrętnego na wymuszenie skokiem jednostkowym przy kp = 0,0938.
9
Rys. 3.3. Wykres odpowiedzi układu skrętnego na wymuszenie skokiem jednostkowym przy kp = 0,0938
Wielkościami wejściowymi w procesie planowania eksperymentu są zmienne odległości
połoŜenia mas od osi obrotu na dysku I oraz III modelu skrętnego (tabela 3.1). W procesie
regulacji układu skrętnego odpowiedź na wymuszenie skokiem jednostkowym osiąga stan
ustalony w sposób asymptotyczny. Jako wskaźniki jakości odpowiedzi skokowej przyjęto
następujące wielkości wyjściowe: ωd1 - prędkość kątowa dysku I, ζd1 - tłumienie dysku I oraz
tregd1 - czas regulacji dysku I określany dla uchybu ustalonego mniejszego niŜ 5%.
PoniewaŜ charakter odpowiedzi układu skrętnego nie umoŜliwia w sposób jednoznaczny
odczytania wskaźników oceny procesu regulacji tj. ωd1, ζd1, postanowiono aproksymować,
metodą
najmniejszych
kwadratów,
wyniki
eksperymentu
przebiegami
dla
układu
oscylacyjnego (drugiego rzędu). Postać czasową takiej odpowiedzi przedstawia poniŜsza
zaleŜność.
y (t ) = ke −αt sin (ωt + ϕ 0 )
(3.2)
Przykładową odpowiedź układu skrętnego na wymuszenie skokiem jednostkowym
przedstawiono na rysunku 3.4.
10
1 80 0
1 60 0
1 40 0
[Counts]
1 20 0
1 00 0
8 00
6 00
4 00
2 00
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
[S]
Rys. 3.4. Zaobserwowana (krzywa fioletowa) i aproksymowana (krzywa zielona) odpowiedź układu skrętnego
(dysk I) na wymuszenie skokiem jednostkowym w punkcie P(x1,x2,x3,x4) = (0;0;0,08;0,08)
Wartości parametrów procesu regulacji odczytane z przebiegu aproksymowanego wynoszą
odpowiednio: ωd1 = 6,30 [rad/s], ζd1 = 0,116, tregd1 = 4,49 [s].
Do
identyfikacji
funkcji
współczynników
aproksymującej
wykorzystano
plan
kompletny - pełny (liczba układów planu doświadczenia n = 3i = 81, gdzie i = 4) [62].
Przyjęto linearyzowalną funkcję aproksymującą, tzn. sprowadzalną do postaci liniowej ze
względu na współczynniki, w postaci wielomianu algebraicznego stopnia drugiego
zawierającego składniki liniowe, kwadratowe oraz biliniowe. Liczbę współczynników
wielomianu aproksymującego Nb = 15, przy liczbie wielkości wejściowych i = 4.
Weryfikację jakości aproksymacji, metodą najmniejszych kwadratów, poszczególnych
wskaźników oceny procesu regulacji przedstawiono na poniŜszych rysunkach.
Wartość zmierzona względem aproksymowanej
15
14
Wartość aproksymowana [rad/s]
13
12
11
10
9
8
7
6
7,61%
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Wartość zmierzona [rad/s]
Rys. 3.5. Wykres wartości zmierzonej względem aproksymowanej dla wskaźnika ωd1
11
Wartość zmierzona względem aproksymowanej
0,14
0,13
Wartość aproksymowana
0,12
0,11
0,10
0,09
0,08
16,35%
0,07
0,06
0,05
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
Wartość zmierzona
Rys. 3.6. Wykres wartości zmierzonej względem aproksymowanej dla wskaźnika ζd1
Wartość zmierzona względem aproksymowanej
6,0
Wartość aproksymowana [s]
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
15,46%
3,0
2,5
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Wartość zmierzona [s]
Rys. 3.7. Wykres wartości zmierzonej względem aproksymowanej dla wskaźnika tregd1
Weryfikację wskaźników oceny procesu regulacji na podstawie błędów aproksymacji,
przeprowadzono w punktach, które nie były wcześniej wykorzystywane do wyznaczania
współczynników regresji i przedstawiono je w tabeli 3.2.
Tabela 3.2. Zestawienie obliczeń statystycznych dla wskaźników oceny procesu regulacji: ωd1, ζd1, tregd1
współrzędne punktu
t regd1
ω d1
ζ d1
pomiarowego
błędy
błędy
błędy
błędy
błędy
błędy
P(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
bezwzględne względne bezwzględne względne bezwzględne względne
[m]
[rad/s]
[%]
[%]
[s]
[%]
(0.06,0.06,0.08,0.08)
0,210
3,390
0,010
10,990
0,540
9,850
(0.08,0.08,0.06,0.06)
0,240
3,490
0,003
3,750
0,080
1,720
(0.04,0.04,0.06,0.06)
0,040
0,520
0,003
3,000
0,060
1,520
(0.06,0.06,0.04,0.04)
0,080
0,920
0,002
2,380
0,080
2,180
(0,0,0.06,0.06)
0,070
0,880
0,008
7,480
0,350
10,090
(0.06,0.06,0,0)
0,170
1,590
0,004
5,710
0,380
12,790
(0.06,0.06,0.06,0.06)
0,160
2,190
0,004
4,440
0,040
0,930
(0,0,0,0.06)
0,450
4,590
0,005
5,100
0,210
5,790
(0,0,0.06,0)
0,420
4,300
0,002
1,920
0,040
1,190
(0,0.06,0,0)
0,400
3,300
0,006
7,790
0,010
0,330
0,020
0,160
0,004
5,480
0,110
3,900
(0.06,0,0,0)
0,245
2,750
0,005
5,860
0,240
6,200
błąd średniokwadratowy
12
Przeprowadzono równieŜ statystyczną weryfikację adekwatności funkcji aproksymujących
z wykorzystaniem testu F - Snedecora oraz testowanie istotności współczynników funkcji
aproksymujących, z wykorzystaniem testu t - Studenta. Na podstawie wyznaczonych
wielkości statystycznych stwierdzono, iŜ funkcje aproksymujące parametry procesu regulacji
są adekwatne.
W
oceny
celu
zwiększenia
procesu
efektywności
regulacji
moŜna
eksperymentów
zaplanować
identyfikujących
eksperymenty
wskaźniki
D - optymalne
[4, 5, 9, 54, 72], które maksymalizują wyznacznik macierzy informacyjnej Fishera
i umoŜliwiają zmniejszanie liczby układów planu doświadczenia aŜ do jego nasycenia.
Przedstawiony w niniejszym rozdziale sposób planowania eksperymentu oraz jego
weryfikacji moŜe być równieŜ z powodzeniem stosowany w zadaniu identyfikacji
parametrów modeli statycznych. W pracach [13, 14, 30, 32] przedstawiono wcześniejsze
badania autora dotyczące planowania eksperymentów w zadaniu identyfikacji parametrów
modelu oświetlenia ogólnego wnętrz. Przeprowadzono równieŜ analizę adekwatności
i efektywności planu trójwartościowego kompletnego PS/DK oraz wybranych planów z grupy
polisekcyjnych specjalnych PS/DS do symulacji rozkładu natęŜenia oświetlenia we wnętrzach
[28, 29, 31, 33, 34].
4. Planowanie eksperymentów D - optymalnych
Mając listę dopuszczalnych punktów pomiarowych oraz zadaną liczbę układów
docelowego planu doświadczenia moŜna, za pomocą odpowiednich procedur poszukiwania,
dokonać takiego wyboru punktów (planu docelowego), aby zoptymalizować odpowiednie
kryterium. Poszukiwanie najlepszego planu nie jest metodą dokładną, lecz raczej procedurą
algorytmiczną, która uŜywa pewnych strategii przeszukiwania w celu znalezienia najlepszego
planu (w sensie odpowiedniego kryterium optymalizacji) [12, 49, 57, 74].
Przystępując do generowania planu D - optymalnego dla poszczególnych wskaźników
oceny procesu regulacji ωd1, ζd1, tregd1 wprowadzono następujące dane:
− wprowadzono listę proponowanych układów w postaci planu kompletnego
PS/DK - ni (liczba układów planu doświadczenia n = 3i = 81, gdzie i = 4),
− model powierzchni odpowiedzi przyjęto w postaci wielomianu stopnia drugiego
(Nb = 15) zawierającego składniki liniowe, kwadratowe oraz biliniowe,
− liczba układów w końcowym planie wynosi n = 15 (plan nasycony),
− plan początkowy wygenerowano metodą sekwencyjną - Dykstry [16],
13
− poszukiwanie planu optymalnego przeprowadzono na podstawie algorytmu
DETMAX (wymiany z wycieczką) [51].
Weryfikację jakości aproksymacji, metodą najmniejszych kwadratów, parametrów procesu
regulacji ωd1, ζd1 oraz tregd1 przedstawiono na poniŜszych rysunkach.
Wartość zmierzona względem aproksymowanej
13
Wartość aproksymowana [rad/s]
12
11
10
9
8
7
6
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Wartość zmierzona [rad/s]
Rys. 4.1. Wykres wartości zmierzonej względem aproksymowanej dla parametru ωd1
Wartość zmierzona względem aproksymowanej
0,14
0,13
Wartość aproksymowana
0,12
0,11
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
Wartość zmierzona
Rys. 4.2. Wykres wartości zmierzonej względem aproksymowanej dla parametru ζd1
Wartość zmierzona względem aproksymowanej
6,0
Wartość aproksymowana [s]
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Wartość zmierzona [s]
Rys. 4.3. Wykres wartości zmierzonej względem aproksymowanej dla parametru tregd1
14
Weryfikację wskaźników oceny procesu regulacji na podstawie błędów aproksymacji
otrzymanych na podstawie planów D - optymalnych, przeprowadzono w punktach, które nie
były wcześniej wykorzystywane do wyznaczania współczynników regresji (tabela 4.1).
Tabela 4.1. Zestawienie obliczeń statystycznych dla wskaźników oceny procesu regulacji ωd1, ζd1, tregd1
otrzymanych na podstawie planów D - optymalnych
błędy względne [%]
ζ d1
współrzędne punktu
pomiarowego
P(x1, x2, x3, x4)
[m]
wszystkie
współczynniki
istotne
współczynniki
wszystkie
współczynniki
istotne
współczynniki
(0.06,0.06,0.08,0.08)
(0.08,0.08,0.06,0.06)
(0.04,0.04,0.06,0.06)
(0.06,0.06,0.04,0.04)
(0,0,0.06,0.06)
(0.06,0.06,0,0)
(0.06,0.06,0.06,0.06)
(0,0,0,0.06)
(0,0,0.06,0)
(0,0.06,0,0)
(0.06,0,0,0)
błąd średniokwadratowy
0,480
0,580
1,170
2,540
1,510
1,310
0,410
7,240
2,050
0,660
2,800
2,650
1,620
0,730
2,080
3,120
1,260
0,470
1,090
6,010
2,050
0,080
3,870
2,620
8,250
0,000
3,000
0,000
2,800
5,710
4,440
7,140
3,850
1,300
1,370
4,330
7,220
5,000
3,000
2,380
6,540
2,860
5,560
7,140
2,880
3,900
1,370
4,770
ω d1
t regd1
wszystkie
istotne
współczynniki współczynniki
12,410
2,150
3,540
3,270
8,360
1,680
4,430
4,680
10,980
15,130
3,900
7,750
10,220
2,150
1,270
2,180
10,090
12,790
1,170
6,060
0,590
2,630
4,260
6,360
Średnie błędy względne aproksymacji wyznaczone na podstawie jedenastu dodatkowych
punktów pomiarowych dla wskaźników oceny procesu regulacji ωd1, ζd1, tregd1 wynoszą
odpowiednio: 1,89%, 3,44%, 6,41% oraz dla istotnych współczynników: 2,03%, 4,35%,
4,86%.
Po przeprowadzeniu detekcji zmian struktury i parametrów układu regulacji automatycznej
naleŜy aktualizować nastawy regulatora tak, aby zapewniały one poŜądane cechy procesu
regulacji. Problemowi aktualizacji nastaw regulatora poświęcono kolejny rozdział.
5. Adaptacyjny algorytm doboru nastaw regulatorów
Celem niniejszego rozdziału jest zaproponowanie adaptacyjnego algorytmu doboru nastaw
regulatorów, który zapewnia akceptowalne wartości wskaźników jakości procesu regulacji.
Algorytm doboru nastaw opiera się na lokalnej analizie powierzchni odpowiedzi modelu
matematycznego,
wyznaczonej
w
wyniku
optymalnego
planowania
eksperymentu
identyfikacyjnego. Zadaniem lokalnej analizy funkcji regresji w otoczeniu juŜ osiągniętego
rozwiązania xp jest oszacowanie kierunku, w którym naleŜy szukać następnego rozwiązania
xp+1, a jeŜeli punkt optymalny zostanie juŜ osiągnięty, naleŜy opisać zachowanie się funkcji
regresji w bezpośrednim otoczeniu tego punktu. Za kierunek poszukiwań nowego
rozwiązania przyjmuje się kierunek wskazany przez gradient funkcji regresji. W przypadku,
gdy gradient funkcji regresji jest równy zeru, następuje przeanalizowanie typu osiągniętego
15
punktu stacjonarnego i opis funkcji regresji w jego otoczeniu (np. czy osiągnięty punkt
stacjonarny jest punktem siodłowym rozpatrywanej powierzchni odpowiedzi?) [62, 83, 84].
Na rysunku 5.1 przedstawiono schemat blokowy procedury wyznaczania maksimum
(minimum) funkcji regresji metodą adaptacyjną.
Start
Czytanie danych,
dyskretyzacja
Wyznacz macierzy
planu doświadczenia
Wyznacz macierz
aproksymacji
Wprowadź wyniki
pomiarów
Oszacuj współczynniki
regresji
NIE
Oszacuj współczynniki
regresji z pominięciem
czynników liniowych
Czy gradient
funkcji regresji
jest istotny?
TAK
Normalizacja
Wyznacz wartości
i wektory własne
otrzymanej formy
kwadratowej
Czy
wektor wskazuje
poza dopuszczalny
obszar?
Sprowadź wielomian
do postaci
kanonicznej
NIE
TAK
Zmiejsz liczbę
zmiennych wejściowych
xi
NIE
NIE
Czy jedna
wartość własna
jest większa
od zera?
TAK
TAK
Wybór kolejnego
punktu centralnego
Czy pozostały
co najmniej dwie
zmienne xi
TAK
NIE
Wyświetl współrzędne
punktu optymalnego
Stop
Rys. 5.1. Schemat blokowy wyznaczania maksimum funkcji regresji metodą adaptacyjną
16
Przyjmując, Ŝe obiekt regulacji podlega procesowi starzenia i pracuje obecnie w innym
punkcie pracy, naleŜy skorygować nastawy regulatora tak, aby zapewniały one zadawalające
działanie układu regulacji (tj. akceptowalny lub minimalny czas regulacji). Badaniom
poddano model układu skrętnego (rys. 3.1), który pracuje w punkcie nominalnym
o następujących współrzędnych P(x1,x2,x3,x4) = (0,04;0,04;0,04;0,04). Schemat blokowy
układu regulacji przedstawiono na rysunku 3.2. Dobór nastawy regulatora PID dokonano za
pomocą metody Zieglera - Nicholsa doprowadzając układ do granicy stabilności w wyniku
pobudzenia
skokiem
jednostkowym.
Eksperyment
przeprowadzono
zwiększając
i zmniejszając nastawy regulatora w punkcie nominalnym o około 5%. Wyniki doboru nastaw
regulatorów zestawiono w tabeli 5.1.
Tabela 5.1. Wyznaczone nastawy regulatorów
Regulator
P
PI
PID
W
poniŜszej
kp
ki= kp/ Ti
kd= kpTd
Pumkt pracy
0,0938
-
-
(0,04; 0,04; 0,04; 0,04)
0,0488
-
-
(0,06; 0,06; 0,06; 0,06)
0,0488
-
-
(0,06; 0,06; 0; 0)
0,0844
0,0448
-
(0,04; 0,04; 0,04; 0,04)
0,0804
0,0428
-
(0,06; 0,06; 0,06; 0,06)
0,0764
0,0408
-
(0,06; 0,06; 0; 0)
0,1125
0,1015
0,0299
(0,04; 0,04; 0,04; 0,04)
0,1125
0,1015
0,0299
(0,06; 0,06; 0,06; 0,06)
0,1185
0,0965
0,0289
(0,06; 0,06; 0; 0)
tabeli
zestawiono
wskaźniki
jakości
odpowiedzi
skokowej
(tj. treg - czas regulacji [s], χ - przeregulowanie [%]) oraz wskaźniki całkowe (tj. I1m - całki
z bezwzględnej wartości sygnału uchybu i I2 - całki z kwadratu sygnału uchybu).
17
Tabela 5.2. Porównanie wskaźników jakości odpowiedzi skokowej w dwóch punktach pracy obiektu regulacji
Regulator Wskaźnik
P
PI
PID
Punkt pracy obiektu regulacji
P(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) = (0,06;0,06;0,06;0,06)
P(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) = (0,06;0,06;0,00;0,00)
t reg [s]
Meoda Z - N
5,82
Metoda Adaptacyjna
3,18
Meoda Z - N
6,56
Metoda Adaptacyjna
2,37
I 1m
1,38E+03
1,26E+03
1,73E+03
1,57E+03
I2
χ [%]
t reg [s]
4,81E+05
75,46
7,99
3,22E+05
77,39
7,63
6,82E+05
64,80
14,38
4,09E+05
81,25
5,96
I 1m
1,90E+03
2,01E+03
4,86E+03
1,99E+03
I2
χ [%]
t reg [s]
7,60E+05
83,50
3,69
8,96E+05
85,71
2,17
2,38E+06
94,38
3,02
9,64E+05
85,21
1,52
I 1m
584,80
385,81
509,99
332,34
I2
1,87E+05
10,67
1,41E+05
9,10
1,75E+05
10,40
1,25E+05
4,60
χ [%]
Na poniŜszych wykresach porównano metodę Zieglera - Nicholsa z metodą adaptacyjną
w zadaniu doboru nastaw regulatorów P, PI oraz PID w wybranym punkcie pracy obiektu
regulacji (układ skrętny).
1800
Metoda Zieglera - Nicholsa
Metoda Adaptacyjna
Wymuszenie
1600
Wymuszenie [counts]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
1
2
3
4
5
Czas [s]
6
7
8
9
10
Rys. 5.2. Porównanie metody Z - N z metodą adaptacyjną dla regulatora typu P w punkcie pracy o
współrzędnych P(x1,x2,x3,x4) = (0,06;0,06;0,00;0,00)
18
2000
Metoda Zieglera - Nicholsa
Metoda Adaptacyjna
Wymuszenie
1800
1600
Wymuszenie [counts]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
2
4
6
8
10
Czas [s]
12
14
16
18
20
Rys. 5.3. Porównanie metody Z - N z metodą adaptacyjną dla regulatora typu PI w punkcie pracy o
współrzędnych P(x1,x2,x3,x4) = (0,06;0,06;0,00;0,00)
1200
Wymuszenie [counts]
1000
Metoda Zieglera - Nicholsa
Metoda Adaptacyjna
Wymuszenie
800
600
400
200
0
0
1
2
3
4
5
Czas [s]
6
7
8
9
10
Rys. 5.4. Porównanie metody Z - N z metodą adaptacyjną dla regulatora typu PID w punkcie pracy o
współrzędnych P(x1,x2,x3,x4) = (0,06;0,06;0,00;0,00)
MoŜna stwierdzić, iŜ uzyskane na podstawie metody adaptacyjnej czasy regulacji układu
skrętnego są znacznie mniejsze od czasów regulacji uzyskanych na podstawie metody
Zieglera - Nicholsa. Wyznaczone wskaźniki całkowe wykazują równieŜ, w większości
przypadków, na lepsze własności regulatorów projektowanych z wykorzystaniem metody
adaptacyjnej. MoŜna zauwaŜyć, iŜ w układzie regulacji z regulatorem PID, którego nastawy
dobrano za pomocą algorytmu adaptacyjnego, uzyskiwane przeregulowania są równieŜ
mniejsze.
19
6. Dobór optymalnego sygnału sterującego
Identyfikacja parametrów obiektu regulacji jest waŜnym etapem budowy dokładnego
modelu matematycznego na podstawie przeprowadzonego eksperymentu identyfikacyjnego
oraz dostępnej wiedzy [24, 45]. Dokładność uzyskiwanych estymat parametrów modelu
matematycznego zaleŜy przede wszystkim od doboru odpowiedniego sygnału, który wzbudza
starannie wybrane wejście obiektu regulacji [25, 38, 39, 48, 50, 68, 71, 73]. W wielu
praktycznych zastosowaniach identyfikacja przeprowadzana jest w czasie rzeczywistym,
podczas normalnej pracy obiektu (procesu technologicznego). Z tego względu preferowane są
metody doboru optymalnego sygnału wejściowego przyjaznego dla obiektu [55, 56, 59, 66].
Celem niniejszego rozdziału jest dobór optymalnego sygnału sterującego układem
jednoinercyjnym, przy załoŜonych z góry warunkach początkowych oraz parametrach tego
układu. Następnie wyznaczono przyjazne sygnały pobudzające układ jednoinercyjny.
W kolejnym etapie dobrano optymalny sygnał sterujący układem skrętnym (rzędu drugiego)
opisanym w rozdziale trzecim. Obliczenia numeryczne oraz symulację wyŜej wymienionych
układów przeprowadzono z wykorzystaniem biblioteki narzędziowej Riots_95 programu
Matlab [11, 69].
6.1. Dobór optymalnego sygnału sterującego dla układu
jednoinercyjnego
W przypadku układu liniowego pierwszego rzędu, o jednej zmiennej wejściowej u i jednej
zmiennej stanu x, działanie układu moŜna przedstawić w postaci opisu w przestrzeni stanu:
x& = ax + bu, x(0 ) = x0
(6.1)
gdzie: x = x(t ; a, b ) , przy czym współczynniki a i b są stałe, natomiast równanie wyjścia
obiektu jest następujące:
y (t ) = x(t )
(6.2)
Esencją planowania eksperymentów optymalnych jest spełnienie warunków wynikających
z twierdzenia Cramera - Rao, tj. macierz kowariancji estymat parametrów jest ograniczona od
dołu przez odwrotność macierzy informacyjnej Fishera.
cov([a, b]) ≥ M −1
(6.3)
Macierz informacyjną Fishera moŜna przedstawić w następującej postaci:
20
x 
M (T ) = ∫  a [xa
x
0  b
T
gdzie: xa =
 x
xb ]dt = ∫ 
0  xa xb
T
2
a
 T 2
 ∫ xa dt
xa xb 
dt = T 0
2 

xb 
 ∫ xa xb dt
0

T
∫ x x dt 
a b
0


2
x
dt

b
∫0

T
(6.4)
∂x
∂x
, natomiast xb =
.
∂a
∂b
RóŜniczkując obie strony równania (6.1) względem jego parametrów a i b moŜna dokonać
konwersji równania stanu na równania wraŜliwościowe systemu w następującej postaci:
x& a = x + ax a , x a (0 ) = 0
(6.5)
x& b = axb + u , xb (0) = 0
(6.6)
W celu doboru optymalnego sygnału sterującego układu inercyjnego, maksymalizacji
poddano wskaźnik jakości w postaci wyznacznika macierzy informacyjnej Fishera:
x 
M (t ) = ∫  a [xa
x
0  b
t
xb ]dτ //
d
dt
(6.7)
Po sprowadzeniu równania (6.7) do postaci kanonicznej otrzymujemy:
& (t ) =  x a [x
M
x  a
 b
xb ], M (0) = 0
(6.8)
Przyjmując, Ŝe:
 m (t ) m12 (t )
M (t ) =  11

m21 (t ) m22 (t )
(6.9)
otrzymujemy:
m& 11 (t ) = x a2 (t ), m11 (0 ) = 0
(6.10)
m& 12 (t ) = m& 21 (t ) = x a (t )xb (t ), m12 (0 ) = 0
(6.11)
m& 22 (t ) = xb2 (t ), m22 (0 ) = 0
(6.12)
Układ równań stanu poszerzony o równania wraŜliwościowe przyjmuje następującą
postać:
x1 = x,
x2 = xa ,
x&1 = ax1 + bu,
x&2 = x1 + ax2 ,
x3 = xb ,
x&3 = ax3 + u,
x4 = m11 ,
x5 = m12 = m21 ,
x&4 = x22 ,
x&5 = x2 x3 ,
x6 = m22 ,
x&6 = x32 ,
x1 (0 ) = x10
x2 (0 ) = 0
x3 (0) = 0
x4 (0 ) = 0
(6.13)
x5 (0) = 0
x6 (0 ) = 0
21
Jako
funkcjonał
jakości
otrzymanego
rozwiązania
przyjęto
kryterium
D - optymalności, tj. dokonano maksymalizacji wyznacznika macierzy informacyjnej Fishera
o postaci:
J = x4 (T )x6 (T ) − x52 (T )
(6.14)
Funkcję kryterialną określono na stanie końcowym, nie uwzględniono kosztu energii
sterowania. Symulacje przeprowadzono przyjmując wartości nominalne parametrów równe:
a = -1 oraz b = 1. Przedział wartości sterowań dobrano arbitralnie u ∈ − 1, 1 , natomiast czas
trwania symulacji ustalono na dziesięć sekund. Wyniki symulacji przedstawiono na
poniŜszych wykresach.
1.5
Optymalne sterowanie
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
Czas [s]
6
7
8
9
10
Rys. 6.1. Optymalny sygnał sterujący układem jednoinercyjnym
Maksymalna wartość funkcji kryterialnej, (tj. wyznacznika IMF) obliczona na podstawie
kryterium D - optymalności, na końcu horyzontu sterowania wynosi 43,97.
W celu „wygładzenia” charakteru przebiegu sygnału sterującego (rys. 6.1), do kryterium
dodano człon odpowiadający całce z kwadratu sterowania, przemnoŜonej przez załoŜoną stałą
(tj. koszt energetyczny), która powinna być tak dobrana aby nie zdominować członu
z wyznacznikiem macierzy informacyjnej Fishera (IMF). Maksymalizowany wskaźnik
jakości przyjmuje następującą postać:
J = J1 − qJ 2
(6.15)
gdzie: J1 - wyznacznik IMF oraz J2 - całka z kwadratu sterowania.
Przeprowadzono serię eksperymentów, które pozwoliły na ustalenie wartości krytycznej,
powiększenie której powoduje dominację członu odpowiadającego za koszt energii
sterowania nad składnikiem zawierającym wyznacznik macierzy informacyjnej IMF. Wartość
22
przyjętej stałej q wynosi 3,95. Wartość członu odpowiadającego wyznacznikowi macierzy
informacyjnej Fishera wynosi 36,85, natomiast składnika odpowiadającego za koszt
sterowania równa jest -27,77. Wartość otrzymanej funkcji kryterialnej równa jest 9,09.
Na rysunku 6.2 przedstawiono wyniki symulacji dla wartości krytycznej.
1.5
Optymalne sterowanie
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
Czas [s]
6
7
8
9
10
Rys. 6.2. Optymalny sygnał sterujący układem jednoinercyjnym uzyskany na podstawie kryterium opisanego
równaniem (6.15)
Zwiększając w dalszym ciągu wartość kosztu energetycznego moŜna doprowadzić do
sytuacji, w której człon odpowiadający kosztowi energetycznemu zdominuje człon
z maksymalizowanym wyznacznikiem macierzy informacyjnej Fishera.
Przeprowadzono identyfikację parametrów modelu układu jednoinercyjnego poddając go
pobudzeniu róŜnymi sygnałami wejściowymi. W celu weryfikacji dokładności uzyskiwanych
estymat parametrów modelu system poddano wymuszeniu: sygnałem optymalnym (rys. 6.1),
skokiem jednostkowym, sygnałem sinusoidalnym „wolnym” o częstotliwości f = 0,1 [Hz]
oraz
sygnałem
sinusoidalnym
„szybkim”
o
częstotliwości
f = 1 [Hz].
Symulacje
przeprowadzono z wykorzystaniem obiektu opisanego równaniem (6.1) przyjmując
nominalne wartości parametrów równe: a = -1 oraz b = 1. Obiekt poddano zakłóceniu
losowemu o rozkładzie normalnym, wartości średniej równej zero i ograniczonej wariancji.
Identyfikowano parametry modelu poszukując minimum zmiennej wyjściowej y(t)
wykorzystując metodę poszukiwań prostych Neldera - Meada. Minimalnych wartości
zmiennej y(t) poszukiwano wprowadzając węzły siatki warunku początkowego x0 ∈ − 5, 5
zmieniającego się skokowo o jeden i wariancji zakłóceń
σ 2 ∈ 0, 0,7 zmieniającej się
skokowo o jedną dziesiątą. Wyznaczono optymalne estymaty parametrów modelu dla
wszystkich kombinacji wartości warunku początkowego oraz wariancji zakłóceń.
23
Na rysunku 6.3 wykreślono elipsy niepewności estymat parametrów modelu.
Wymuszenie skokiem jednostkowym
2,0
1,8
1,8
1,6
1,6
1,4
1,4
1,2
1,2
1,0
1,0
b
b
Wymuszenie sygnałem optymalnym
2,0
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,0
-2,0
0,2
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
-2,0
0,0
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
a
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
a
Wymuszenie sygnałem sinusoidalnym (f = 0.1 Hz)
Wymuszenie sygnałem sinusoidalnym (f = 1 Hz)
2,0
3,0
1,8
2,6
1,6
2,2
1,4
1,8
1,2
b
b
1,4
1,0
1,0
0,8
0,6
0,6
0,2
0,4
-0,2
0,2
0,0
-2,0
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
a
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
-0,6
-2,2
-2,0
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
a
Rys. 6.3. Obszary ufności estymat parametrów modelu pobudzanego róŜnymi sygnałami wejściowymi
Najmniejszą niepewność wyznaczonych parametrów modelu uzyskano pobudzając system
optymalnym sygnałem wejściowym o czym świadczy obszar ufności wyznaczonych estymat.
Nieco większą niepewność wyników estymacji zaobserwowano przy pobudzeniu systemu
skokiem jednostkowym. MoŜna zauwaŜyć, Ŝe niepewność estymowanych parametrów
modelu sterowanego sygnałem sinusoidalnym rośnie wraz ze wzrostem jego częstotliwości.
6.2. Dobór przyjaznego sygnału sterującego w zadaniu
identyfikacji parametrów układu jednoinercyjnego
Dokładność uzyskiwanych estymat parametrów identyfikowanego modelu zaleŜy przede
wszystkim od doboru odpowiedniego sygnału, który wzbudza wybrane wejście obiektu
regulacji. Pobudzanie wejścia identyfikowanego modelu sygnałem przyjaznym zabezpiecza
obiekt przed gwałtownymi zmianami sygnału sterującego, które mogą mieć wpływ nie tylko
na wskaźniki ekonomiczne procesu, ale równieŜ na stabilność obiektu. Identyfikacja
przyjazna dla obiektu powinna zapewniać akceptowalne wartości estymat jego parametrów.
Wskaźnik przyjazności sterowania układu ciągłego moŜna przedstawić za pomocą
poniŜszego równania [55, 56]:
24
T
Φi = 1 −
∫ (u&
T
(t )u& (t ))dt
0
(6.16)
T max(u& T (t )u& (t ))
0 ≤ t ≤T
Cele optymalizacji wielokryterialnej w zadaniu doboru przyjaznego sygnału wejściowego
dla obiektu zdefiniowano równaniem (6.17). Maksymalizowano wyznacznik macierzy IMF
(kryterium
D - optymalności)
oraz
jednocześnie
minimalizowano
część
wskaźnika
przyjazności odpowiedzialną za sterowanie (6.16).
T
J = (x 4 (T )x6 (T ) − x52 (T )) − µ
∫ (u&
T
(t )u& (t ))dt
0
(6.17)
T max(u& T (t )u& (t ))
0 ≤ t ≤T
gdzie µ jest współczynnikiem wagowym.
Symulacje przeprowadzono przyjmując wartości nominalne parametrów modelu równe:
a = -1 oraz b = 1. Czas trwania symulacji ustalono na dziesięć sekund. Wyniki symulacji dla
róŜnych współczynników wagowych przedstawiono na rysunku 6.4.
Optymalne sterowanie dla µ = 30
1
1
0
0
u
u
Optymalne sterowanie dla µ ≅ 0
-1
-1
5
10
Czas [s]
Optymalne sterowanie dla µ = 37
0
5
10
Czas [s]
Optymalne sterowanie dla µ = 85
1
1
0
0
u
u
0
-1
-1
0
5
Czas [s]
10
0
5
Czas [s]
10
Rys. 6.4. Optymalne sygnały sterujące układem jednoinercyjnym dla wybranych współczynników wagowych µ
Na rysunku 6.5 przedstawiono przebieg zmian współczynnika przyjazności Φi oraz
wyznacznika macierzy informacyjnej Fishera detM dla róŜnych współczynników wagowych
we wskaźniku jakości (6.17). Do danych na wykresie rozrzutu dopasowano funkcję
logarytmiczną o podstawie e. Tego typu aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów
najlepiej odzwierciedla charakter zmian wartości wskaźnika przyjazności oraz wyznacznika
IMF dla róŜnych współczynników wagowych µ.
25
1,00
Φ
Współczynnik przyjazności
0,95
µ
0,90
0,85
0,80
20
25
30
35
40
Wyznacznik macierzy informacyjnej det M
Rys. 6.5. Wartości Φi oraz detM dla róŜnych współczynników wagowych we wskaźniku jakości
Przeprowadzono identyfikację parametrów modelu układu jednoinercyjnego poddając go
pobudzeniu
uzyskanymi
sygnałami
optymalnymi.
Symulacje
przeprowadzono
z wykorzystaniem obiektu opisanego równaniem (6.1) przyjmując nominalne wartości
parametrów równe: a = -1 oraz b = 1, zgodnie z podrozdziałem 6.1. W celu weryfikacji
dokładności uzyskiwanych estymat parametrów modelu system poddano wymuszeniu:
sygnałem optymalnym (µ = 0) oraz sygnałami uzyskanymi dla wybranych współczynników
wagowych we wskaźniku jakości (rys. 6.4). Na rysunku 6.6 wykreślono elipsy niepewności
estymat parametrów modelu.
Wymuszenie sygnałem optymalnym
Wymuszenie sygnałem optymalnym
µ = 30
2,0
2,0
1,8
1,8
1,6
1,6
1,4
1,4
1,2
1,2
1,0
1,0
b
b
µ=0
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0,0
-2,0
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
-2,0
0,0
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
a
Wymuszenie sygnałem optymalnym
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
-0,4
-0,2
0,0
µ = 85
2,0
1,8
1,8
1,6
1,6
1,4
1,4
1,2
1,2
1,0
1,0
b
b
-0,8
Wymuszenie sygnałem optymalnym
µ = 37
2,0
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,0
-2,0
-1,0
a
0,2
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
a
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,0
-2,0
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
a
Rys. 6.6. Obszary ufności estymat parametrów modelu pobudzanego róŜnymi sygnałami wejściowymi
26
Zwiększanie współczynnika wagowego składnika odpowiedzialnego za przyjazność
sterowania we wskaźniku jakości powoduje znaczne wygładzenie sygnału pobudzającego
w początkowej części horyzontu sterowania. Zaobserwowano, iŜ wraz ze wzrostem wagi
składnika zaleŜnego od sterowania rośnie wartość współczynnika przyjazności przy
jednoczesnym spadku wartości wyznacznika IMF (rys. 6.5). Z przeprowadzonej weryfikacji
uzyskanych sygnałów sterujących, na podstawie wyników identyfikacji parametrów modelu
układu jednoinercyjnego, wynika wzrost niepewności uzyskiwanych estymat parametrów
przy jednoczesnym powiększaniu się wartości współczynnika przyjazności (rys. 6.6).
6.3. Dobór optymalnego sygnału sterującego dla układu skrętnego
rzędu drugiego
Dobór optymalnego sygnału sterującego przeprowadzono dla układu skrętnego
zaopatrzonego
tylko
w
jeden
dysk
(dysk
I),
obciąŜony czterema
symetrycznie
rozmieszczonymi masami. Równanie ruchu dla układu skrętnego rzędu drugiego przyjmuje
następującą postać:
J 1θ&& + c1θ&1 + k1θ1 = T (t )
(6.18)
przy czym: J1, k1, c1, T(t), θ1 - oznaczają kolejno: moment bezwładności, współczynnik
spręŜystości, tłumienie, sygnał wymuszający, połoŜenie dysku pierwszego obiektu.
Wykonując następujące podstawienia: x1 = θ1 oraz x 2 = θ&1 = x&1 otrzymujemy:
x1 (0) = x10
 x&1 = x 2 ;

 x& 2 = ax1 + bx 2 + cu; x 2 (0) = 0
gdzie: a = −
(6.19)
k1
c
1
, b=− 1, c= ,
J1
J1
J1
oraz: x1 = x1 (t ; a, b, c ), x 2 = x 2 (t ; a, b, c ), przy czym współczynniki dla układu uzbrojonego
w jeden dysk, obciąŜony symetrycznie czterema masami, wynoszą odpowiednio: a = -88,95,
b = -0,42, c = 52,02. Równanie wyjścia obiektu przyjmuje postać:
y (t ) = x1 (t )
(6.20)
Macierz informacyjną Fishera moŜna przedstawić w następującej postaci:
27
 x1a 
x 
 1b 
T
x 
M (T ) ≅ ∫  1c [x1a
x
0  2a 
 x2b 
 
 x2c 
gdzie: xia =
Jako
x1b
x1c
x2 a
x2b
x2 c ]dt
(6.21)
∂xi
∂x
∂x
, xib = i , xic = i , i = 1, 2.
∂a
∂b
∂c
kryterium
jakości
otrzymanego
rozwiązania
przyjęto
kryterium
D - optymalności. Przystępując do doboru optymalnego sygnału sterującego do programu
wprowadzono dwadzieścia dziewięć równań róŜniczkowych opisujących dynamikę systemu
oraz elementy macierzy informacyjnej Fishera.
Funkcję kryterialną określono na stanie końcowym, nie uwzględniono kosztu energii
sterowania. Przedział wartości sterowań dobrano arbitralnie u ∈ − 5, 5 , natomiast czas
trwania symulacji ustalono na dziesięć sekund. Warunek początkowy dla zmiennej stanu (x1)
wynosi 0,393 radiana, tj. początkowemu wychyleniu z połoŜenia równowagi równemu 22,5
stopnia. Wyniki doboru optymalnego sygnału wejściowego układu skrętnego przedstawiono
na poniŜszych rysunkach. Wartość funkcji kryterialnej wynosi 4,14×1032.
5
4
Optymalne sterowanie
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
1
2
3
4
5
Czas [s]
6
7
8
9
10
Rys. 6.7. Optymalny sygnał sterujący układem skrętnym
W kolejnym etapie wykonano serię eksperymentów zwiększając wartości współczynnika
kosztów energii sterowania q (tzn. całki z kwadratu sterowania) zgodnie z równaniem (6.15).
Dla rozwaŜanego układu skrętnego, drugiego rzędu, wartość współczynnika kosztu
energetycznego sterowania wynosząca 5×1013 jest wartością zbliŜoną do krytycznej, tzn.
28
przekroczenie tej wartości powoduje dominację członu odpowiadającego kosztowi
energetycznemu nad składnikiem z macierzą informacyjną Fishera.
5
4
Optymalne sterowanie
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
1
2
3
4
5
Czas [s]
6
7
8
9
10
Rys. 6.8. Optymalny sygnał sterujący ukladem skrętnym (q = 5×1013)
Zwiększając wartość współczynnika odpowiadającego kosztowi energii sterowania do
wartości przekraczającej krytyczną (q = 6×1013) zaobserwowano, Ŝe sygnał sterujący jest
praktycznie równy zeru.
Przeprowadzono identyfikację parametrów modelu układu skrętnego poddając go
pobudzeniu róŜnymi sygnałami wejściowymi. W celu weryfikacji dokładności uzyskiwanych
estymat parametrów modelu system poddano wymuszeniu: sygnałem optymalnym (rys. 6.7),
skokiem jednostkowym, sygnałem sinusoidalnym „wolnym” o częstotliwości f = 0,5 [Hz]
oraz sygnałem sinusoidalnym „szybkim” o częstotliwości f = 1 [Hz]. Symulacje
przeprowadzono z wykorzystaniem obiektu opisanego równaniem (6.19) przyjmując
nominalne wartości parametrów równe: a = -88,95, b = -0,42, c = 52,02. Obiekt poddano
zakłóceniu losowemu o rozkładzie normalnym, wartości średniej równej zero i ograniczonej
wariancji. Minimalnych wartości zmiennej wyjściowej y(t) poszukiwano wprowadzając
węzły siatki warunków początkowych: połoŜenia x1 ∈ − 0,4, 0,4 zmieniającego się o 0,2
[rad], prędkości x2 ∈ 0, 4 zmieniającej się o 1 [rad/s] i wariancji zakłóceń σ 2 ∈ 0, 0,7
zmieniającej się co jedną dziesiątą. Wyznaczono optymalne estymaty parametrów modelu dla
wszystkich kombinacji wartości warunków początkowych oraz wariancji zakłóceń. Na
poniŜszych rysunkach wykreślono elipsy niepewności estymat wybranych parametrów
modelu układu skrętnego.
29
Wymuszenie sygna³em optymalnym
Wymuszenie skokiem jednostkowym
-0,55
-0,55
-0,50
-0,50
-0,45
-0,45
b
-0,60
b
-0,60
-0,40
-0,40
-0,35
-0,35
-0,30
-0,30
-0,25
-92
-91
-90
-89
-88
-87
-0,25
-92
-86
-91
-90
a
-89
-88
-87
-86
a
Wymuszenie sygna³em sinusoidalnym (f = 0.5 Hz)
Wymuszenie sygna³em sinusoidalnym (f = 1 Hz)
-1,65
-0,60
-1,50
-0,55
-1,35
-1,20
-0,50
-1,05
-0,45
-0,75
b
b
-0,90
-0,40
-0,60
-0,45
-0,35
-0,30
-0,15
-0,30
0,00
0,15
-115
-110
-105
-100
-95
-90
-85
-80
-75
-70
-0,25
-92
-91
-90
a
-89
-88
-87
-86
a
Rys. 6.9. Obszary ufności estymat parametrów a i b modelu pobudzanego róŜnymi sygnałami wejściowymi
Najmniejszą niepewność wyznaczonych parametrów a, b, c modelu uzyskano pobudzając
system optymalnym sygnałem wejściowym, o czym świadczą obszary ufności wyznaczonych
estymat. DuŜo większą niepewność wyników estymacji parametrów modelu zaobserwowano
przy pobudzeniu systemu skokiem jednostkowym. MoŜna zauwaŜyć, Ŝe niepewność
estymowanych parametrów modelu sterowanego sygnałem sinusoidalnym maleje wraz ze
wzrostem jego częstotliwości (większe zakresy skalowania osi wykresów przy wymuszeniu
sygnałem sinusoidalnym o częstotliwości f = 0,5 [Hz]). Na podstawie przeprowadzonych
eksperymentów zaobserwowano, Ŝe najmniejsze niepewności estymat parametrów uzyskuje
się przy pobudzaniu układu skrętnego (rzędu drugiego) sygnałami szybkozmiennymi o duŜej
liczbie przełączeń.
Na podstawie wykreślonych obszarów ufności parametrów rozpatrywanych modeli
zaobserwowano, Ŝe wykorzystanie optymalnego sygnału sterującego w zadaniu identyfikacji
parametrów
układów
dynamicznych
umoŜliwia
wydobycie
maksimum
informacji
z obserwowanego wyjścia obiektu.
30
7. Podsumowanie
W pracy przedstawiono pewien schemat postępowania dotyczący identyfikacji parametrów
obiektów regulacji oraz optymalnego doboru nastaw regulatorów PID. Podejście to
koncentruje się na następujących aspektach:
− zaplanowaniu eksperymentu D - optymalnego umoŜliwiającego efektywną estymację
parametrów układu dynamicznego z uwzględnieniem wymuszenia optymalnego lub
przyjaznego dla instalacji,
−
nastrojeniu regulatora według wskazań wyników eksperymentu identyfikacyjnego oraz
weryfikacji uzyskanych rezultatów na stanowisku laboratoryjnym.
Główną zaletą podejścia proponowanego w rozprawie jest nieduŜy nakład obliczeniowy
związany z zastosowaniem wysoce efektywnych procedur planowania eksperymentu oraz
algorytmów numerycznych sterowania optymalnego, oraz jego weryfikacja na danych
rzeczywistych.
Do najwaŜniejszych własnych osiągnięć prezentowanych w rozprawie autor zalicza:
− zaplanowanie
eksperymentu
identyfikacji
parametrów
układu
skrętnego
z wykorzystaniem planu trójpoziomowego pełnego, ocenę istotności identyfikowanych
parametrów przyjętych modeli układu, weryfikację adekwatności przyjętych modeli dla
poszczególnych wskaźników oceny procesu regulacji,
− syntezę D - optymalnych eksperymentów nasyconych (tj. o minimalnej liczbie układów
planu doświadczenia) w celu identyfikacji parametrów modelu układu skrętnego,
weryfikację wyznaczonych wskaźników procesu regulacji na podstawie błędów
aproksymacji,
− syntezę adaptacyjnego algorytmu doboru nastaw regulatora PID, zapewniającą
akceptowalne wartości wskaźników jakości procesu regulacji w oparciu o lokalną analizę
powierzchni odpowiedzi i klasyczne planowanie czynnikowe. Weryfikację otrzymanych
wyników na modelu fizycznym układu skrętnego,
− zaproponowanie sposobu wyznaczania sterowań D - optymalnych w oparciu o techniki
sterowania optymalnego poprzez sprowadzenie problemu do kanonicznego sformułowania
Mayera,
− syntezę przyjaznego sygnału sterującego (planowanie suboptymalne), który zabezpiecza
obiekt przed gwałtownymi zmianami sygnału wejściowego oraz zapewnia akceptowalne
wartości estymat jego parametrów,
31
− weryfikację optymalnego oraz suboptymalnego sygnału sterującego w zadaniu estymacji
parametrów modelu układu na podstawie obszarów ufności estymat jego parametrów.
Zaprezentowane w pracy rezultaty teoretyczne oraz praktyczne zdaniem autora pokazują,
Ŝe
teza
pracy:
„planowanie
D - optymalnych
eksperymentów
identyfikacyjnych
z wykorzystaniem optymalnego sygnału sterującego umoŜliwia detekcję zmian struktury
i parametrów obiektu dynamicznego (objętego układem regulacji automatycznej) oraz
estymację wartości tych parametrów w celu doboru nastaw regulatora, zapewniających
poŜądane cechy procesu regulacji” została udowodniona.
Literatura
[1]
Asprey S. P., Macchietto S. Designing robust optimal dynamic experiments. Journal of
Process Control, 12, 2002, 545 - 556.
[2]
Astrom K. J., Hagglund T. Automatic tuning simple regulators with specifications on
phase and amplitude margins. Automatica, 20(5), 1984, 645 - 651.
[3]
Atkinson A. C., Donev A. N. Optimum experimental designs. Clarendon Press,
Oxford, 1992.
[4]
Atkinson A. C., Cook R. D. D - optimum designs for heteroscedastic linear models.
J. Amer. Statist. Assoc. 90, 1995, 204 - 212.
[5]
Atkinson A. C., Donev A. N. The construction of exact D - optimum experimental
designs with application to blocking response surface designs. Biometrika 76, 1989,
515 - 526.
[6]
Bitmead R. R., Gevers M., Wertz V. Adaptive optimal control and GPC: robustness
analysis. W Proceedings of ECC’91, Grenoble, 1991.
[7]
Bitmead R. R. Iterative control design approaches. In: Proceedings of the 12th IFAC
world congress, vol. 9, Sydney, Australia, 1993, 381 – 384.
[8]
Bombois X., Gevers M., Scorletti G. A measure of robust stability for an identified set
of parametrized transfer functions. IEEE Trans Automatic Control 45 (11), 2000,
2141 – 2145.
[9]
Box G. E. P., Draper N. R. Empirical model - building and response surfaces. New
York, Wiley, 1987.
[10]
Brzeskwiniewicz H. On the A -, D -, E - and L - efficiency of block designs. Statistics
& Probability Letters 30, 1996, 205 - 209.
32
[11]
Chen Y., Schwartz A. Riots_95 - a Matlab toolbox for solving general optimal control
problems and its applications to chemical processes. Optimisation and optimal control
in chemical engineering. R. Luus, Ed. Research Signpost, 2002, 229 - 252.
[12]
Cook R. D., Nachtsheim C. J. A comparison of algorithms for constructing exact
D - optimal designs. Technometrics 22, 1980, 315-324.
[13]
Czech M., Jakowluk W. Nieliniowy model matematyczny wielokrotnych odbić światła
we wnętrzu pomieszczenia. Zeszyty Naukowe P. B. Matematyka Fizyka Chemia 19,
1999, 93 – 104.
[14]
Czech M., Jakowluk W. Linearyzacja modelu matematycznego wielokrotnych odbić
światła we wnętrzu pomieszczenia. Zeszyty Naukowe P. B. Matematyka Fizyka
Chemia 19, 1999, 83 – 91.
[15]
Daley S., Liu G. P. Optimal PID tuning using direct search algorithm. Tuning - in to
increase profit - developments in PID tuning, I Mech E Seminar, London, 1998.
[16]
Dykstra O. Jr. The augmentation of experimental data to maximize [X’X].
Technometrics 13, 1971, 682 - 688.
[17]
Fedorov V. V., Hackl P. Model - oriented design of experiments. Springer - Verlag,
New York, 1997.
[18]
Fedorov V. V. Theory of optimal experiments. Academic Press, New York, 1972.
[19]
Fedorov V. V. Convex design theory. Math. Operationsforsch. Statist., Ser. Statist.,
11(3), 1980, 403 - 413.
[20]
Fedorov V. V., Atkinson A. C. The optimum design of experiments in the presence of
uncontrolled variability and prior information. In Y. Dodge, V. V. Fedorov and H. P.
Wynn (Eds), Optimal design and analysis of experiments. North - Holland,
Amsterdam, 1988, 327 - 344.
[21]
Gail Z., Kiefer J. Time - and space - saving computer methods, related to Mitchell’s
DETMAX, for finding D - optimum designs. Technometrics, 22, 1980, 301 - 313.
[22]
Gevers M. Towards a joint design of identification and control? In Trentelman H. L.,
Willems J. C. (Eds). Essays on control: perspectives in the theory and its applications.
Birkhauser, New York, 1993, 111 - 151.
[23]
Gevers M. Identification for control: from the early achievements to the revival of
experiment design. Semi - plenary lecture at CDC - ECC 2005, European Journal of
Control, vol. 11, 2005, 1 –18.
[24]
Godfrey K., Perturbation Signals for System Identification. Prentice - Hall, New York,
1993.
33
[25]
Goodwin G. C., Payne R. L. Dynamic system identification: experiment design and
data analysis. Academic Press, New York, 1977.
[26]
Hang C. C., Astrom K. J., Ho W. K. Refinements of the Ziegler - Nichols tuning
formula. IEE Proceedings - D, 138(2), 1991, 111 - 118.
[27]
Hjalmarsson H., Gunnarsson S., Gevers M. Model - free tuning of a robust regulator
for a flexible transmission system. European Journal of Control 1 (2), 1995, 148 - 156.
[28]
Jakovljuk V., Čech M. Primenenie kompletnogo trjochvalentnogo plana k
modelirovaniju
raspredelenija
naprjaženija.
Izvestija
Belorusskoj
Inženernoj
Akademii. Kompjuternoje modelirovanie 1/2, 2002, 270 - 275.
[29]
Jakovljuk V., Čech M. Primenenie algoritma srednekvadratičnoj approksimacii dlja
planirovanija
eksperimentov.
Izvestija
Belorusskoj
Inženernoj
Akademii.
Kompjuternoje modelirovanie 1/2 2003, 58 - 63.
[30]
Jakowluk W. Weryfikacja modelu matematycznego sprawności oświetlenia przy
wykorzystaniu rachunku wielokrotnych odbić we wnętrzu. Zeszyty Naukowe P. B.
Elektryka 16, 1996, 115 - 124.
[31]
Jakowluk W., Czech M. Porównanie planu kompletnego i Pesočinskiego w
zastosowaniu do wyznaczania rozkładu natęŜenia oświetlenia. Zeszyty Naukowe P. B.
Informatyka 1, 2002, 41 - 52.
[32]
Jakowluk W. Liniowy i nieliniowy model matematyczny wielokrotnych odbić światła
we wnętrzu pomieszczenia. IV Szkoła - Konferencja: Metrologia wspomagana
komputerowo. Rynia k/ Warszawy. T.2. Referaty RPAN, 1999, 391 - 398.
[33]
Jakowluk W., Czech M. Adekwatność i efektywność planu kompletnego oraz Hartleya
w zastosowaniu do prognozowania natęŜenia oświetlenia. Zeszyty Naukowe P. B.
Informatyka 1, 2002, 31 - 39.
[34]
Jakowluk W. Zastosowanie algorytmu aproksymacji średniokwadratowej oraz planów
trójwartościowych do symulacji rozkładu natęŜenia oświetlenia we wnętrzach. IX
Warsztaty Naukowe PTSK: Symulacja w badaniach i rozwoju, 2002, 119 - 126.
[35]
Jakowluk W., Świercz M. Experiment planning for parameter identification in a
second - order dynamic system. Applied Mathematics and Computer Science, praca w
druku.
[36]
Jakowluk W., Świercz M. Planowanie eksperymentów D - optymalnych w zadaniu
identyfikacji parametrów układu oscylacyjnego. XI Warsztaty Naukowe PTSK:
Symulacja w badaniach i rozwoju, 2004, 436 - 443.
34
[37]
Jankowscy J. i M. Przegląd metod i algorytmów numerycznych, cz. 1, wyd. 2.
Warszawa, WNT, 1988.
[38]
Kalaba R., Spingarn K. Control, Identification, and Input Optimization. Plenum Press,
New York, 1982.
[39]
Kalicka R. Optimal design and organisation of biomedical experiment. Measurement,
26, 1999, 19 - 44.
[40]
Kessler C. Das symmetrische optimum. Regelungstetechnik, 6(11), 1958, 395 - 400.
[41]
Kraus T. W., Mayron T. J. Self - tuning PID controllers based on a pattern recognition
approach. Control Engineering Practice, 1984, 106 - 111.
[42]
Kuczewski B., Uciński D. Optimal design of measurement strategies for
discrimination between multiresponse dynamic models. Proc. 8th Int. Conf. Methods
and Models in Automation and Robotics 1, 2002, 593 - 598.
[43]
Liu G. P., Daley S. Optimal - tuning PID control for industrial systems. Control
Engineering Practice, vol. 9, 2001, 1185 - 1194.
[44]
Liu G. P., Daley S. Optimal - tuning PID controller design in the frequency domain
with application to a rotary hydraulic system. Control Engineering Practice, vol. 7,
1999, 821 - 830.
[45]
Ljung L. System identyfication: theory for the user. 2nd edn. Prentice - Hall,
Englewood Cliffs, NJ., 1999.
[46]
Makila PM., Partington JR., Gustafsson TK. Worst - case control - relevant
identification. Automatica, 31 (12), 1995, 1799 - 1819.
[47]
Mantz R. J., Tacconi E. J. Complementary rules to Ziegler and Nichols’ rules for
regulating and tracking controller. International Journal of Control, 49(5), 1989,
1465 - 1471.
[48]
Mehra R. K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic
systems - survey and new results. IEEE Transactions on Automatic Control,
vol. AC - 19, No. 6, 1974, 753 - 768.
[49]
Mehra R. K. Optimization of measurement schedules and sensor designs for linear
dynamic systems. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC - 21, No. 1, 1976,
55 - 64.
[50]
Mehra R. Choice of input signals. In Trends and Progress in Systems Identification.
Eykhoff Ed. Pergamon Press, New York, 1981.
[51]
Mitchel T. J. An algorithm for the construction of “D - optimal” experimental designs.
Technometrics, 16, 1974, 203 - 210.
35
[52]
Montgomery D. C. Design and analysis of experiments. Wiley, New York, 1991.
[53]
Mossberg M., Gevers M., Lequin O. A comparision of Iterative Feedback Tuning and
classical PID tuning schems. Advances in Systems Engineering, Signal Processing and
Communications. WSEAS Publ., N. Mastorakis Ed., 2002, 165 - 170.
[54]
Nair V. N., Xu L. Optimal design of experiments for modeling processes with
feedback control variables. Journal of Statistical Planning and Inference, 113, 2003,
269 - 284.
[55]
Narasimban S., Rengaswamy R. Multi - objective input signal design for plant friendly
identification of process systems. Proceeding of the American Control Conference.
Boston, Massachusetts, 2004, 4891 - 4896.
[56]
Narasimban S., Srinivasan R., Rengaswamy R. Multi - objective input signal design
for plant friendly identification. In SYSID 2003, Rotterdam, Netherlands, 2003.
[57]
Nguyen N. K., Miller A. J. A review of some exchange algorithms for constructing
discrete D - optimal designs. Comput. Statist. Data Anal., 14, 1992, 489 - 498.
[58]
Nishikawa Y., Sannomia N., Ohta T., Tanaka H. A method for auto tuning of PID
control parameters. Automatica, 20 1984, 321 - 332.
[59]
Parker R., Heemstra D., Doyle F., Pearson R., Ogunnaike B. The identification of
nonlinear models for process control using tailored “plant - friendly” input sequences.
J. Process Control, 11 2001, 237 - 250.
[60]
Parks T., R. Torsional control system. Copyright by ECP, Educational Control
Products, 1999.
[61]
Pessen D. W. A new look at PID - controller tuning. Transactions of the American
Society of Mechanical Engineers. Journal of Dynamic Systems. Measurement and
Control, 116, 1994, 553 - 557.
[62]
Polański Z. Planowanie doświadczeń w technice. Warszawa, PWN, 1984.
[63]
Pronzato L., Walter E. Robust experiment design via stochastic approximation.
Mathematical Biosciences, 75, 1985, 103 - 120.
[64]
Pukelsheim F. Optimal design of experiments. Wiley, New York, 1993.
[65]
Radke F., Isermann R. A parameter - adaptive PID controller with stepwise parameter
optimisation. Automatica, 23, 1987, 449 - 457.
[66]
Rivera D., Braun M., Mittelmann H. Constrained multisine inputs for plant friendly
identification of chemical process. In IFAC World Congress. Barcelona, Spain, 2002.
36
[67]
Rivera DE., Gaikwad SV. Systematic techniques for determining modeling
requirements for SISO and MIMO feedback control problems. J Process Control 5 (4),
1995, 213 - 224.
[68]
Schullerus G., Krebs V., De Schutter B., Van den Boom T. Optimal input signal
design for identification of max - plus - linear systems. Proceedings of the 2003
European Control Conference (ECC’03), Cambridge, UK., paper 026 2003.
[69]
Schwartz A. Theory and implementation of numerical methods based on
Runge - Kutta integration for solving optimal control problems. Ph. D. dissertation,
U. C. Berkeley, 1996.
[70]
Seborg D. E., Edgar T. F., Mellichamp D. E. Process dynamics and control. New
York, Wiley, 1989.
[71]
Smets I. Y., Versyck K. J., Van Impe J. F. Optimal control theory: A generic Tool for
identification and control of (bio-)chemical reactors. Annual Reviews in Control, 26,
2002, 57 - 73.
[72]
St John R. C., Draper N. R. D - optimality for regression designs: a review.
Technometrics, 17(1), 1975, 15 - 23.
[73]
Swevers J., Ganseman Ch., Tükel D. B., De Schutter J., Van Brussel H. Optimal robot
excitation and identification. IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 13,
No. 5, 1997, 730 - 740.
[74]
Titterington D., M. Aspects of optimal design in dynamic systems. Technometrics,
Vol. 22, No. 3, 1980, 287 - 299.
[75]
Uciński D. Measurement optimization for parameter estimation in distributed systems.
Technical University Press, Zielona Góra, 1999.
[76]
Uciński D. Optymalne rozmieszczanie czujników pomiarowych w diagnostyce
procesów
z
czasoprzestrzenną
dynamiką.
VI
Krajowa
Konferencja
Naukowo - Techniczna Diagnostyka Procesów Przemysłowych, 2003, 213 - 218.
[77]
Voda A., Landau I. D. A method for the auto-calibration of PID controllers.
Automatica, 31(1), 1995, 41 - 53.
[78]
Walter E., Pronzato L. Qualitative and quantitative experiment design for
phenomenological models - a survey. Automatica, Vol. 26, No. 2 1990, 195 - 213.
[79]
Walter E., Pronzato L. Robust experiment design: between qualitative and quantitative
identifiabilities. In E. Walter (Ed.), Identifiability of parametric models. Pergamon
Press, Oxford, 1987, 104 - 113.
37
[80]
Zang Z., Bitmead RR., Gevers M. Iterative weighted least - squares identification and
weighted LQG control design. Automatica, 31 (11), 1995, 1577 - 1594.
[81]
Zhuang M., Atherton D. P. Automatic tuning of optimum PID controllers. IEE
Proceedings - D, 140(3), 1993, 216 - 224.
[82]
Ziegler J. G., Nichols N. B. Optimum settings for automatic controllers. Transactions
of ASME, 64, 1942, 759 - 768.
[83]
Zieliński R. Wybrane zagadnienia optymalizacji statystycznej. Warszawa, PWN, 1982.
[84]
Zieliński R., Neumann P. Stochastyczne metody poszukiwania minimum funkcji.
WNT, Warszawa, 1986.
38