Temat: Równanie kwadratowe

Nierówność kwadratowa - przykłady.
Nierównością kwadratową nazywamy każdą nierówność postaci:
ax2+bx+c<0
ax2+bx+c>0
gdzie a,b,cR  a0.
ax2+bx+c≤0
ax2+bx+c≥0
Rozwiązanie nierówności kwadratowej polega na badaniu znaku trójmianu kwadratowego.
Algorytm rozwiązywania nierówności kwadratowych:
1. Znajdujemy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego ax2+bx+c, korzystając ze wzoru: Δ=b2-4ac
2. Analizujemy otrzymany wynik:
 Jeśli Δ<0, to nie ma pierwiastków (miejsc zerowych).
b
 Jeśli Δ=0, to trójmian ma jeden podwójny pierwiastek, który obliczamy ze wzoru: x 0 
2a
2
[Wówczas trójmian kwadratowy ax +bx+c, gdzie a0 można zapisać w postaci iloczynowej: a(x-x0)2.]
 Jeśli Δ>0, to trójmian ma dwa pierwiastki, które obliczamy ze wzoru:
b 
b 
x1 
x2 
2a
2a
2
[Wówczas trójmian ax +bx+c, gdzie a0 można zapisać w postaci iloczynowej: a(x-x1)(x-x2).]
3. Ilustrujemy znaki trójmianu kwadratowego na osi liczbowej.
[Jeśli a>0, to ramiona paraboli skierowane są w górę, jeśli a<0, to ramiona skierowane są w dół.]
4. Zaznaczamy stosowny przedział i formułujemy odpowiedź: x…
PRZYKŁADY
1. Rozwiąż nierówność: -2x2+3x-5>0.
o Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego: a=-2, b=3, c=-5.
o Wyznaczamy wyróżnik trójmianu :
  b 2  4  a  c    3 2  4  (2)  (5)    9  40    31
o Δ =-31 czyli Δ<0, co oznacza, że trójmian -2x2+3x-5 nie ma pierwiastków.
o Ilustrujemy znaki trójmianu na osi liczbowej:
 a=-2, więc ramiona paraboli skierowane są w dół,
 nie ma pierwiastków, więc parabola umieszczona jest pod osią.
x
-
-
o Formułujemy odpowiedź: -2x2+3x-5>0  x.
2. Rozwiąż nierówność: 4x2-4x+1>0.
o Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego: a=4, b=-4, c=1.
o Wyznaczamy wyróżnik:   (4) 2  4  4  1    16  16    0
o Δ=0, co oznacza, że trójmian ma jeden pierwiastek:
b
 ( 4)
4
1
x0 
 x0 
 x0   x0 
2a
24
8
2
1
o Daną nierówność można zapisać w postaci a( x  x0 ) 2  0, czyli 4( x  ) 2  0.
2
o Ilustrujemy znaki trójmianu na osi liczbowej:
 a=4, więc ramiona paraboli skierowane są w górę,
 trójmian ma jeden pierwiastek, więc wierzchołek paraboli umieszczony jest na osi.
+
+
+
x
1
2
o Formułujemy odpowiedź: 4x2-4x+1>0  xR\{
1
}.
2
3. Rozwiąż nierówność: 2x2+3x+1≤0.
o Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego: a=2, b=3, c=1.
o Wyznaczamy wyróżnik:   b 2  4  a  c    3 2  4  2  1    9  8    1
o Δ>0, co oznacza, że trójmian 2x2+3x+1ma dwa pierwiastki:
b 
3 1
 3 1
4
x1 
 x1 
 x1 
 x1 
 x1  1
2a
22
4
4
b 
3 1
 3 1
2
1
x2 
 x2 
 x2 
 x2 
 x2  
2a
22
4
4
2
o Daną nierówność można zapisać w postaci a ( x  x1 )( x  x2 )  0 , czyli
1
1
2( x  (1))( x  ( ))  0  2( x  1)( x  )  0
2
2
o Ilustrujemy znaki trójmianu na osi liczbowej:
 a=2, więc ramiona paraboli skierowane są w górę,
 trójmian ma dwa pierwiastki, więc ramiona paraboli przecinają oś w dwóch miejscach.
+
+
1 
1
2
1
o Formułujemy odpowiedź: 2x2+3x+1≤0  x<-1;- >.
2
x