(1 )i(1 )i(1 )

kartki od 27 do 32 włącznie
kap. - kapitalizacja, zał. - założenie, załóżmy, zakładając, st. proc. - stopa procentowa, (...) - uciętę
wartość przez n okresów st. proc. r zgodnie z modelem kap. złożonej z dołu zgodnej. Zał. że stopa
inflacji na przestrzeni tych n okresów zmienia swoją wartość i niech przez n1 pierwszych okresów
wynosi i1 , przez następnych n2 okresów wynosi i2 itd. Niech n=n1+n2+...+nP Wzór (*) oznacza że na
przestrzeni 1-go okresu st. proc. K0 wzrosła o czynnik (1+i). Przy powyższych uwarunkowaniach jest
oczywiste że na przestrzeni n okresów poziom cen wzrasta o czynnik: (1+i1)n1 (1+i2)n2...(1+iP)np a zatem
stopa inflacji wynosi w tym okresie (80) i=(1+i1)n1 (1+i2)n2...(1+iP)np-1 ; i w konsekwencji
(81) K nre
K0
(1 r ) n
(1 i1 ) n1 (1 i 2 ) n2 ...(1 i P ) np
W powyższym przypadku możemy określić przeciętną stopę inflacji iprz będącą taką stałą stopą inflacji,
przy której realna wartość przyszła jest taka sama jak realna wartość przyszła przy zmieniającej się st.
inflacji. Tę przeciętną st. inflacji przypadającą na 1 okres st. proc. określa równanie:
K 0 (1 r ) n
(1 i prz ) n
(1 r ) n
stąd (82) i prz
K0
(1 i1 ) n1 ...(1 i p ) np
n
(1 i1 ) n1 ...(1 i p ) np
1
DYSKONTO Dyskontem naz. potrącenie z góry odsetek od zaciągniętego kredytu lub potrącenie
odsetek od weksli i innych papierów wartościowych oznaczających zobowiązanie sprzedaży przed
terminem płatności. Zaciągając w banku kredyt, kredytobiorca zobowiązuje się zwrócić pożyczoną
kwotę w określony sposób i w określonym terminie oraz spłacić stosowne odsetki jako zapłatę za
wypożyczoną kwotę. Odsetki te mogą być pobierane z dołu albo z góry, wówczas kredytobiorca
otrzymuje obniżoną wartość kredytu o odsetki. To obniżenie kredytu o odsetki jest dyskontem. W
przypadku obrotu wekslami (weksel oznacza zoboziązanie do zapłacenia określonej kwoty, tzw. wart.
nominalnej, w określonym terminie tzw. terminie wykupu lub terminie płatności) - lub innymi
papierami wart. sprzedawanymi z dyskontem - może się zdarzyć, że posiadacz weksla nie chce lub nie
może czekać na swój kapitał pieniężny, aż do terminu wykupu weksla. Jeśli jednak chce otrzymać
swoje pieniądze wcześniej, to musi się liczyć z tym, że nie otrzyma pełnej kwoty, ale kwotę mniejszą.
To obniżenie wartości weksla jest dyskontem. Dyskonto możemy interpretować jako zapłatę za
udzielenie kredytu lub wcześniejszy wykup weksla. Pomniejszenie wartości o odpowiednie dyskonto
naz. dyskontowaniem. Rozróżnia się dwa rodzaje dyskonta: - dyskonto matematyczne (rzeczywiste,
dokładne); - dyskonto handlowe (bankowe, przybliżone).
DYSKONTO MATEMATYCZNE jest równe odsetkom wytworzonym przez dany kapitał w
rozważanym przedziale czasu i wystawiane najczęściej przy udzielaniu kredytu bankowego z
dyskontem. Wyznaczone jest od aktualnej wart. kapitału od obowiązującej st. proc. (st. kredytowej) i
obowiązującego modelu kap. Zatem: (83) Dm=Kn-K0 ; Jeśli odsetki są wyznaczone (a) wg. modelu kap.
prostej, to odpowiadające im dyskonto naz. dyskontem prostym (b) wg. kap. złożonej - dyskontem
złożonym (c) wg. kap. ciągłej - dyskontem ciągłym.
Uwzględniając wcześniej otrzymane wzory otrzymamy wzory na dyskonto matematyczne.
Dyskonto matemat. proste za n okresów st. procent r (84) DM = K0 (1+nr) – K0 = K0nr
Dyskonto matematy. Złożone za n okresów stopy procentowej r dla:
Kap. złożonej z dołu zgodnej wynosi: (85) DM = K0 (1+r)n – K0 [(1+r)n – 1]
Kap. złożonej z góry zgodnej wynosi: (86) DM = K0 (1-r) –n – K0 = K0 [(1-r)-n-1]
Kap. złożonej z dołu niezgodnej wynosi: (87) DM = K0 (1+r/m)nm – K0 = K0 [(1+ref)n – 1]
Kap. złożonej z góry niezgodnej wynosi: (88) DM = K0 (1-r/m)-nm – K0 = K0 [(1- ref)-n-1]
Dyskonto matematyczne ciągłe za n okresów st. procent r wynosi:
(89) DM = K0enr – K0 = K0 (enr – 1)
Oczywiście dyskont. Matematyczne (pomniejszanie wart. o dyskonto matematyczne) i oprocentowanie
przy tej samej st. procentowej są działaniami wzajemnie odwrotnymi.
DYSKONTO HANDLOWE stosowane jest w przypadku korzystania z weksli, czeków, obligacji
sprzedawanych z dyskontem i innych papierów wartościowych oznaczających zobowiązanie. W
każdym z tych przyp. znana jest wart. nominalna papieru wartościowego jako wart. końcowa, a
dyskonto handlowe powoduje obniżenie wart. nominalnej do tzw. wartości aktualnej.
Dyskonto handlowe jest proporcjonalne do wart. nominalnej danego papieru wartościowego, a
współczynnik proporcjonalności nz. się stopą dyskontową. Ponadto dyskonto handlowe jest
proporcjonalne do czasu (...)
Wzór określający dyskonto handlowe jest następujący (90) DH = Wnom d n, gdzie Wnom ozn. wartość
nominalną papieru wartościowego, d- stopę dyskontową, n - liczbę okresów st. dyskontowej, której
dyskonto dotyczy. Jeśli d ozn. roczną st. dyskontową, natomiast n ozn. ilość dni zawartych między datą
spłaty weksla a datą jego zakupu to wzór (90) można przedstawić w postaci
(91) DH=Wnom (d/360) n, wówczas odstępujący weksel otrzyma jako zapłatę kwotę: Wakt= Wnom - DH ,
która jest wartością aktualną weksla. Stąd otrzymujemy, że wartość aktualna weksla określona jest
wzorem: (92) Wakt = Wnom(1 - (d/360) n)
Dwa wksle naz. równoważnymi w danym dniu jeśli ich wartości aktualne w danym dniu są równe.
Zauważmy, że dyskontowanie handlowe (odejmowanie od wartości dyskonta handlowego) nie jest
działaniem odwrotnym do oprocentowania przy tej samej st. proc. Istotnie, np. dla oprocentowania
prostego przy st. proc. i dyskontowej r mamy: Kn-DH=Kn-Knnr=Kn(1-nr)=K0(1+nr)(1-nr)=K0(1-n2r2)<K0
; ozn. to, że dodanie odsetek prostych do K0 daje wartość Kn lecz odjęcie dyskonta handlowego od Kn
nie daje wartości K0. Jest to konsekwencja tego, że odsetki proste (dyskonto mat. proste) są mniejsze od
dyskonta handlowego obliczonego przy tej samej stopie. Istotnie dla n okresów st. proc. i dyskontowej r
mamy: DM=K0nr ; DH=Knnr, a ponieważ K0 < Kn , n N to DM< DH
St. proc. r i st. dyskontową d, dla której dyskonto matematyczne proste jest równe dyskontowi
handlowemu nz. stopami równoważnymi. Ustalimy zależności dla stóp równoważnych. Zatem DH =
DM, tj. K0 nr = Kn nd lub równoważnie K0r = K0(1 + nr)d , stąd d = 1/(1+nr) i r = d/(1-nd). Zależności te
wskazują, że równoważność st. procentowej i dyskontowej zależy od ilości okresów n. Oczywiście st.
równoważne dla pewnej ilości okresów nie są równoważne dla ich innych okresów. Jak zauważyliśmy
wcześniej dyskonto handlowe, które wyznacza się na podstawie wart. przyszłej jest większe od
dyskonta matemat. prostego przy tej samej stopie. Zatem dyskonto handlowe jest niekorzystne dla
dłużnika. Dyskonto matemat. jest neutralne dla dłużnika i wierzyciela. Ponadto bank, który zakupuje
weksel przed terminem płodności, pobiera oprócz dyskonta również inne opłaty takie jak opłatę
ryczałtową i proporcjonalną. Powoduje to pomniejszanie aktualnej wart. weksla o te opłaty.
OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH
Kapitał pomnaża swoją wartość w wyniku dopisywania odsetek (kapitalizacja odsetek). W przypadku
gromadzenia funduszy celowych przeznaczonych na realizację konkretnych przedsięwzięć odpowiednio
szybkie tempo przyrostu kapitału zapewniają wkłady okresowe zwane również wkładami
oszczędnościowymi. Zakładać będziemy, że kolejnych wpłat dokonuje się w tych samych odstępach
czasu zwanych okresem wpłaty. W trakcie analizowania problemu oprocentowania wkładów
oszczędnościowych należy brać pod uwagę: okres st. procent., okres wkładów i ponadto – w przypadku
modelu kapit. złożonej – również okres kapitalizacji. Jeśli wymienione okresy są równe to tego typu
wkłady nz. wkładami zgodnymi, w przeciwnym przypadku wkłady nz. będziemy wkładami
niezgodnymi.
Załóżmy że wkłady E1,E2,..,En dokonywane są z dołu z okresem st. procentowej r. Wówczas wart.
końcowa sumy tych wkładów określona jest wzorem Kn=E1+...+En+Z, gdzie Z jest sumą wart. odsetek
prostych od wszystkich wkładów, zatem Z=E1r(n-1)+ E2r (n-2) +...+En-1r = [E1 (n-1)+ E2(n-2)+...+En1]r stąd otrzymujemy: (93) Kn=E1+E2+...+En+[E1(n-1)+E2(n-2)+...+En-1]r; Jeśli wkłady
oszczędnościowe dokonywane są z góry to suma odsetek jest równa: = E1rn + E2r (n-1)+...+Enr =
[E1n+E2(n-1) +...+ En]r i przyszła (końcowa) wart. sumy wkładów określana jest wzorem: (94) Kn =
E1+E2+...+En+[E1n+E2(n-1)+...+En]r
Jeśli wkłady oszczędnościowe dokonywane są w jednakowej wysokości tj. E1=E2=...=E, wówczas
wzory (93) i (94) przyjmują odpowiednio postać (93’) Kn=nE+Er[(n-1)+(n-2)+...+1]= En(1+r(n-1)/2) ;
(94’) Kn=nE+Er[n+(n-1)+...+1]= En(1+r(n+1)/2) tak więc przyszła (końcowa) wartość wkładów
oszczędnościowych o jednakowej wys. E jest równa: (95) Kn = Er(1+r(n(+lub-)1)/2), przy czym „+”
dotyczy wkładów oszczędnościowych z góry, a „-” wkł.oszcz. z dołu. Jeśli zastosujemy analogicznie
rozumowanie jak w dowodzie wzoru (7) wtedy otrzymujemy, że aktualna w momencie t wart. sumy n
wkładów oszczędnościowych E w modelu oprocentowania prostego jest równa: Kt = Kn (1+tr)/(1+nr) , a
więc (96) Kt= Kn [1-(n-t)r/(1+nr)] uwzględniając wzory (95) i (96) otrzymujemy: (97)
Kt=En(1+r(n(+lub-)1)/2) * (1+tr)/(1+nr) ; Aktualną w momencie t=n sumą n wkładów
oszczędnościowych nazywać będziemy wartością przyszłą lub końcową. Aktualną w momencie t=0
wartość sumy n wkładów oszczędnościowych będziemy naz. wartością teraźniejszą lub początkową.
Uwzględniając (97) zauważamy, że aktualizacja na moment t=0 daje wartość teraźniejszą wkładów (98)
K0=En(1+r(n(+lub-)1)/2)*1/(1+nr)
OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW NIEZGODNYCH
Niezgodność wkładów oszczędnościowych w modelu oprocentowania prostego polega na tym że okres
st. proc. jest różny od okresu wkładu. Dla przykładu można rozważać wkłady miesięczne przy
oprocentowaniu rocznym. Celem uwzględnienia okresów wkładów i oprocentowania wprowadza się
współczynnik m=okres st. proc./okres wkładów. Zakładamy, że m N lub odwrotnością l. naturalnej,
tj. okres st. proc. jest wielokrotnością okresu wkładów lub okres wkładów jest wielokrotnością okresu
st. proc. Wzory (95),(97) i (98) przyjmują wtedy odpowiednio postać (95') Kn=En(1+(n(+lub-)1)/2 *
r/m) - wartość przyszła, końcowa; (97') Kt= En(1+(n(+lub-)1)/2 * r/m)*(1+t r/m)/(1+n r/m) - wartość
aktualna w momencie t; (98') K0= En(1+(n(+lub-)1)/2 * r/m)*1/(1+n r/m) - war. teraźniejsza,
początkowa. Uwaga - powyższe wzory możemy zmodyfikować w inny sposób jeśli istnieje jednostka
podstawowa dla okresów wkładów i st. proc.
OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE WKŁADÓW ZGODNYCH
Stosujemy model kap. złożonej z dołu a więc podczas analizy oprocentowania złożonego wkładu
oszczędnościowego będą porównywane 3 okresy: okres st. proc., okres wkładów i okres kap. Jeśli
wszystkie te okresy są równe, to wkłady naz. będziemy wkładami zgodnymi. Jeśli przynajmniej 2 z nich
będą różne, to naz. je wkładami niezgodnymi.
Zał. że analizowane wkłady są zgodne. Dla wkładów oszczęd. z dołu o wielkościach E1,E2,...,En
przyszła (końcowa) ich wartość Kn w momencie n jest równa sumie przyszłych wartości wpłat w
momencie n. Wykorzystując model kap. złożonej z dołu otrzymujemy (99) Kn=E1(1+r)n-1+E2(1+r)n2
+...+En= E1qn-1+E2qn-2+...+En-1q+En , gdzie q=1+r ; r - okres st.proc. przy czym okresy st.proc., wpłat i
kap. są równe. (jakiś wykres czasu)
W przypadku wkładów oszczędnościowych z góry, otrzymujemy (100) K n = E1(1+r)n+E2(1+r)n1
+...+En(1+r)= E1qn+E2qn-1+...+En , gdzie q=1+r
Jeśli wkłady oszczęd. są równe i ich wysokość wynosi E to wzory (99) i (100) przyjmują odpowiednio
postać (99') Kn=E(qn-1+qn-2+...+1)=E(qn-1)/(q-1) dla wkładów z dołu ; (100') K n = E(qn+qn-1+...+q) =
Eq(qn-1)/(q-1) dla wkładów z góry. Stosując podobne rozumowanie jak w dowodzie (14) otrzymujemy
(101) Kt=Kn/(qn-t) - wartość kwoty Kn zaktualizowana na dowolny moment t N {0}
Zatem wykorzystując podany wyżej wzór na aktualną w momencie t wart. sumy wkładów oszczęd.
możemy w szczególności otrzymać uwzględniając (100') i (101) nast. wzór: (102) K t= E 1/(qn-t) (qn1)/(q-1) -z dołu; Kt= E 1/(qn-t-1) (qn-1)/(q-1) -z góry, gdzie t=0,1,..,n
Wzory (102) wyrażają aktualizację na moment t sumy wkładów oszczędnościowych. W szczególności
dla t=0 aktualizacja prowadzi do wart. teraźniejszej (początkowej) sumy wkładów oszczędnościowych
określanej wzorem: (103) K0= E 1/qn (qn-1)/(q-1) -dla wkładów z dołu; K0= E 1/(qn-1) (qn-1)/(q-1) -dla
wkładów z góry; Oczywiście wzór (102) ustala zależności między wielkościami Kt,E,q,t i n.
OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE WKŁADÓW NIEZGODNYCH
Niezgodność wkładów oszczędnościowych oznacza, że przynajmniej spośród 3 okresów – okresu st.
procentowej, wkładów, kapitalizacji – są różne. Ustalanie aktualnej wart. wkładów oszczędność.
niezgodnych w szczególności wart. końcow. Lub wart. początkowej polega na ich równoważnym
zastąpieniu układami zgodnymi i wykorzystywaniu wzorów dotyczących wkładów zgodnych. Mimo, że
o zgodności lub niezgodności wkładów oszczędnościowych decydują 3 okresy, to jednak istotne
znaczenie ma porównanie okresu wkładów z okresem kapitalizacji. Ponieważ okres st.procent. możemy
ustalić w zależności od sytuacji poprzez wykorzystanie względnej st. procentowej, to istotne znaczenie
mają 3 przypadki wkładów niezgodnych, które będziemy analizować poniżej :
(a) okres wkładów równy okresowi kapitalizacji natomiast okr.st. procent. ma inną wart.
Zakładamy ponadto, że m określony wzorem m=okres stopy procentowej, okres kapitalizacji, jest liczbą
naturalną lub odwrotnością l.naturalnej. uzgodnienie wkładów otrzymuje się przez przejście na
względną st. procentową r =r/m wówczas okres st. procent. r jest równy okresowi kapitalizacji i okr.
wkładów. Jeśli przyjmiemy, że q = r + n to wobec wzoru (99’), (100’) i (103) otrzymujemy, że –
wartość przyszła sumy wkładów oszczędnościowych wynosi (104) Kn = E ( q n-1)/(q-1) ; Kn=E q ( q n1)/(q-1) dla wykładów z góry.
wartość teraźniejsza sumy wkładów oszczędnościowych wynosi:
n
(105) K
0
1 q 1 dla wkładów z dołu ;
K0
E n
q q 1
n
1 q 1
E n1
q 1
q
dla wkładów z góry
(b) okres wkładów większy od okresu kapitalizacji
Przypuśćmy, że okres wkładów jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji(np. wkłady są
półroczne, kapitalizacja kwartalna, oczywiście stopa procentowa może być dowolna np. roczna)
Niech r oznacza dostosowaną do okresu wkładów stopę procentową, tzn. taką stope procentową, której
okres jest równy okresowi wkładów (wystarczy względną stopę procentową lub jednostkę podstawową
po odpowiedniej modyfikacji). Wykorzystamy efektywną st. proc. ref (1 mr ) m 1 , gdzie m – liczba
określająca ile razy okres wkładów (oraz okres st. proc. r) jest większy od okresu kapitalizacji, czyli:
m=(okres st. proc. (r)/okres kapitalizacji) ; wtedy okres st. proc. ref jest równy okresowi st. proc. r i
okresowi wkładów, a stopa ref rekompensuje efekt kapitalizacji w podokresach. Otrzymaliśmy wkłady
zgodne, dla których możemy stosować (99),(100),(99’),(100’),(102),(103). W konsekwencji dla n
wkładów oszczędnościowych o jednakowej wysokości E przy oznaczeniu qef = 1+ref otrzymujemy
następujące wzory:
wartość przyszła sumy wkładów oszczędnościowych
(106) K n
E
qefn
1
qef
1
dla wkładów z dołu ; K n
Eqef
qefn
1
qef
1
dla wkładów z góry
wartość teraźniejsza sumy wkładów oszczędnościowych wynosi:
n
(107) K 0
1 q ef
dla wkładów z dołu ; K 0
E n
q ef q ef 1
n
1 qef
E n1
qef qef
1
1
dla wkładów z dołu
(c) okres wkładów mniejszy od okresu kapitalizacji
Załóżmy, że okres kapitalizacji jest wielokrotnością okresu wkładów (np. wkłady miesięczne przy
kapitalizacji kwartalnej i rocznej st. procentowej) Na początek wyznaczamy taka st. procentową, której
okres jest równy okresowi kapitalizacji. Stopę tą otrzymujemy wykorzystując względną st. procentową.
Niech r ozn. st. procent. dostosowaną do okresu kapitalizacji. Przyjmijmy następnie, że wkładów
dokonywano przez n okr. kapit. przy czym w każdym okr. kapit. dokonywano m wkładów o tej samej
wysokości E. Łączna ilość wkładów wynosi więc n*m. Schemat wkładów:
m 1
1
2
czas
....
n-1
n
m m
m 1
wkłady z dołu
E E ........
z góry E E E ........
E E ........
E E ........
....
....
E E
E
Opiszemy dwie metody przyszłej wartości wkładów oszczędnościowych częstszych niż kapitalizacja.
(c1) Model kapitalizacji złożonej z dołu
W tej metodzie uzgodnienia wkładów dokonuje się przez zastąpienie w kapitalizacji okresowej o
zadanym okresie kapitalizacji przy stopie procent. r równoważną kapitalizacją w podokresach zgodnie z
okr. wkładów z wykorzystaniem st. równoważnej. rr = (1+r)1/m – 1
gdzie m N określającą ile razy okres kapitalizacji jest większy od okresu wkładów. Stosując wzory
(106) i (107) dla wkładów oszczędnościowych zgodnych przy oznaczeniach qr = 1+ rr otrzymujemy
podstawowe wzory dla analizowanych wkładów oszczędnościowych:
- wartość przyszłą (końcową) sumy wkładów oszczędnościowych wyrażają wzory:
(108) K nm
E
qrnm 1
dla wkładów z dołu; K nm
qr 1
Eqr
qrnm 1
dla wkładów z góry
qr 1
- wartość teraźniejszą (początkową) sumy wkładów oszczędnościowych określają wzory:
(109) K 0
E
1 qrnm 1
dla wkładów z dołu; K 0
qrnm qr 1
E
1
qrnm 1
qrnm 1
dla wkładów z góry
qr 1
(C2) Model kapitalizacji mieszanej
Zastosowanie modelu kapitalizacji mieszanej w analizie wkładów oszczędnościowych częstszych niż
kapitalizacja polega na tym, że w podokresach okresu kapitalizacji (czyli w okresach wkładów) stosuje
się oprocentowanie proste, a w pełnych okresach kapitalizacji oprocentowanie złożone z dołu zatem
zastępujemy m wkładów o wartości E każdy, dokonywanych w podokresach okresu kapitalizacji
jednym równoważnym w sensie kapitalizacji prostej, wkładem umownym z dołu. Okres wkładu
umownego jest równy okresowi kapitalizacji i okr. st. procent. r. Model kapitalizacji mieszanej stosują
m. in. polskie banki. 1 – okres kapitalizacji, okres stopy procentowej
r
m
m=5
W celu wyznaczenia odsetek prostych od wpłacanych kwot za 1 okres kapitalizacji zauważamy, że
względna st. procentowa dla podokresów wpłat wynosi mr , wg tej stopy wyznaczmy okresy w
podokresach wpłat. Zatem dla wpłat z dołu mamy:
Z1
E mr (m 1)
E mr (m 2) ...
natomiast dla wpłat z góry: Z1
E mr [( m 1) (m 2) ... 1]
E mr m E mr (m 1) ... E mr
m 1
2
rE
E mr [m (m 1) ... 1]
m 1
2
rE
Zatem ogólnie: Z1 = Er (m(+lub-)1)/2
st. procent.
r
m
z dołu
z góry E
r
m
E
E
r
m
E
E
r
m
.....................
E
E
.....................
.....................
E
E
1 okres kapitalizacji
okres st. procent r = okres kapitalizacji
Przy czym znak "-" dotyczy wpłat z dołu a "+" dotyczy wpłat z góry
E