Macierze i wyznaczniki

ALGEBRA LINIOWA 1
Specjalna lista zadań*
Uwaga. Lista zawiera tylko zadania "z gwiazdką" - znacznie trudniejsze i nietypowe. Jest ona przeznaczona dla studentów
pragnących głębiej zastanowić się nad tematyką kursu. Lista jest przygotowana również z myślą o tych osobach, które zamierzają ubiegać się w przyszłości o ocenę celującą 5,5 z kursu ALGEBRA LINIOWA 1, ALGEBRA Z GEOMETRIĄ
ANALITCZNĄ lub innych kursów o podobnej tematyce. Prezentowane tu zadania pojawiły się na egzaminach na ocenę
celującą organizowanych od roku 1995.
3. Macierze i wyznaczniki
3.1*
3.2*
Uzasadnić, że nie istnieją macierze A, B spełniające warunek
AB − BA = I ,
gdzie I oznacza macierz jednostkową.
(cel-11-3)
Znaleźć wszystkie macierze A stopnia 1998, które spełniają równości
A 1997 = I, A 2000 = I .
Odpowiedź uzasadnić.
(cel-6-2)



3.3* Pokazać, że macierz 



102495
370628
835044
663780
550429
909093
601178
487252
873296
127450
624655
292276
660697
925601
263392
593107


 jest nieosobliwa.




Odpowiedź uzasadnić.
(cel-09-3 )
3.4*
Elementami macierzy kwadratowej stopnia 4 są tylko liczby −2 oraz 1 (dowolnie ustawione). Pokazać, że wyznacznik tej macierzy jest podzielny przez 27 .
(cel-12-2)
3.5*
Pokazać, że istnieje macierz kwadratowa stopnia 12 , złożona tylko z liczb
−1, 0, 1 , której wyznacznik jest równy 1995.
(cel-02-2)
Obliczyć wyznacznik macierzy kwadratowej [a ij ] stopnia n ∈ N , gdzie
a ij = min { i, j } dla 1 ≤ i, j ≤ n .
(cel-14-2)
3.6*
3.7*
Obliczyć wyznacznik macierzy [a ij ] stopnia n ≥ 3 , której elementy mają postać
 2 dla i = j,

a ij =  1 dla i − j = 1, .

 0 dla i − j ≥ 2.
(cel-15-3)
3.8*
Obliczyć det A dla macierzy A = [a ij ] stopnia 2005 określonej następująco:
a i i+1 = 2005 dla 1 ≤ i ≤ 2004 , a i i+2 = −2004 dla 1 ≤ i ≤ 2003 ,
a ii−1 = −2005 dla 2 ≤ i ≤ 2005 , a i i−2 = 2004 dla 3 ≤ i ≤ 2005 ,
a ij = 0 w pozostałych przypadkach.
(cel-17-3)
3.9*
Niech A będzie antysymetryczną macierzą stopnia 1997 . Obliczyć wyznacznik
macierzy 1996 A − 1998 A T .
(cel-05-2)
3.10*. Macierz A spełnia warunek A 2007 = O . Pokazać, że wówczas
det ( I + A + A 2 + ... + A 2006 ) ≠ 0.
(cel-19-3)
3.11* Elementami macierzy kwadratowej są liczby 0, 1, 2, …, 9 . Każdy wiersz
tej macierzy czytany jako liczba w systemie dziesiętnym jest podzielny przez 7 .
Udowodnić, że wyznacznik tej macierzy także jest podzielny przez 7 .
(cel-03-1)
3.12* Miejscowości M 1 , M 2 , ..., M n położone są przy prostoliniowej drodze. Odległość między miejscowościami M i oraz M j jest równa d ij , gdzie 1 ≤ i, j ≤ n .
Udowodnić, że det [d ij ] ≠ 0 .
(cel-01-1)
3.13* Pierwszy wiersz wyznacznika stopnia n , gdzie n ≥ 2 , tworzą kolejne liczby
pierwsze 2, 3, 5, ..., p n . Pokazać, że w pozostałe wiersze wyznacznika
można wpisać liczby naturalne tak, aby był on równy 1 .
(cel-16-3)
3.14* Niech I oznacza macierz jednostkową stopnia n ∈ N . Ponadto niech
a 1 , a 2 , ..., a n oraz b 1 , b 2 , ..., b n będą liczbami rzeczywistymi.
Uzasadnić równość
(cel-08-4)


det ( I + 



a1
a2
..
.
an

 a1 

a 

 2 
.
.
.
.
.
.



)
=
1
+
det
(
bn 
b1 b2
b n   ..  ) .
  b1 b2


 . 




 an 
3.15* Na płaszczyźnie zespolonej dane są trójkąty o wierzchołkach z 1 , z 2 , z 3 oraz
w 1 , w 2 , w 3 . Pokazać, że te trójkąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy
 z1 z2 z3 


det  w 1 w 2 w 3  = 0 .


 1 1 1 
(cel-18-1)
3.16* Uzasadnić, że równanie macierzowe
 −1 5 3 


2X + 2X =  −2 1 2 


 0 −4 −3 
2
nie ma rozwiązań w zbiorze macierzy rzeczywistych.
(cel-18-3)
3.17* Niech X 1 = [ 1 1 1 ], X 2 = [ 1 −1 2 ] oraz X 3 = [ 2 2 1 ] . Macierze
A i B wymiaru 3 × 1999 spełniają równości:
X 1 A = X 1 B, X 2 A = X 2 B, X 3 A = X 3 B .
Czy A = B ? Odpowiedź uzasadnić.
(cel-08-3)
3.18* Macierz A jest odwracalna i ma następującą własność: wszystkie elementy
jej głównej przekątnej są jednakowe oraz wszystkie elementy spoza jej głównej
przekątnej są jednakowe. Zbadać, czy macierz A −1 ma tę samą własność.
(cel-18a-3)
3.19* Macierz A spełnia warunek A + A
−1
1 3 5


=  0 2 4  . Obliczyć A 3 + A −3 .


0 0 3
(cel-07-1)
3.20* Macierz P jest odwracalna. Obliczyć sumę wszystkich elementów głównej
przekątnej macierzy



A = P −1 ⋅ 



1
0
0
..
.
0
0
2
0
..
.
0
0
0
3
..
.
0
... 0 
... 0 

. . . 0  ⋅ P.
.
..
. .. 
. . . 2000 
(cel-10-3)
3.21* Liczba zespolona z ≠ 1 jest pierwiastkiem równania z 5 = 1 . Uzupełnić zapis







1
1
1
1
1
1
z
z4
z2
z3
1
z2
z3
z4
z1
1
z3
z2
z1
z4
1
z4
z
z3
z2







−1



= 15 



1
1
1
1
1
1
.
.
.
.
1
.
.
.
.
1
.
.
.
.
1
.
.
.
.



.



(ce1-13-3)
Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas
październik 2007