1. Przestrzeń liniowa

1. Przestrzeń liniowa
Niech R będzie zbiorem liczb rzeczywistych, X - dowolnym niepustym zbiorem. Na
elementach zbioru X określone są dwa działania:
- dodawanie dwóch elementów zbioru X
x + y∈ X ,
dla dowolnych x, y ∈ X ,
- mnoŜenie elementu zbioru X przez element zbioru R
a ⋅ x∈ X ,
dla dowolnego x ∈ X oraz a ∈ R .
Zbiór X z tak określonymi działaniami nazywamy przestrzenią liniową, jeŜeli
spełnione są następujące warunki, zwane aksjomatami przestrzeni liniowej:
A1.
przemienność dodawania
x+ y = y+ x,
A2.
łączność dodawania
x + ( y + z) = ( x + y) + z ,
A3.
istnienie elementu neutralnego dodawania (elementu zerowego)
istnieje 0 ∈ X takie, Ŝe x + 0 = 0 + x = x , dla dowolnego x ∈ X ,
A4.
istnienie elementu przeciwnego
dla dowolnego x ∈ X istnieje − x ∈ X taki, Ŝe
A5.
rozdzielność mnoŜenia względem dodawania
a ⋅ ( x + y) = a ⋅ x + a ⋅ y ,
dla dowolnych x, y ∈ X , a ∈ R ,
A6.
rozdzielność dodawania względem mnoŜenia
( a + b) ⋅ x = a ⋅ x + b ⋅ x ,
dla dowolnych a, b ∈ R , x ∈ X ,
A7.
łączność mnoŜenia
(a ⋅ b) ⋅ x = a ⋅ (b ⋅ x) ,
A8.
istnienie elementu neutralnego mnoŜenia (jedynki)
1⋅ x = x ,
dla dowolnego x ∈ X .
dla dowolnych x, y ∈ X ,
dla dowolnych x, y, z ∈ X ,
x + ( − x) = 0 ,
dla dowolnych a, b ∈ R , x ∈ X ,
Uwaga
Dla dowolnych x, y ∈ X moŜna określić róŜnicę x − y = x + (− y ) ∈ X . Tak
określone działanie nazywamy odejmowaniem elementów przestrzeni X .
Przykłady
1.
2.
X = R - zbiór liczb rzeczywistych.
X = R 2 = R × R - zbiór par liczb rzeczywistych,
x = ( x1 , x 2 ) ∈ X , x1 ∈ R , x 2 ∈ R ,
y = ( y1 , y 2 ) ∈ X , y1 ∈ R , y 2 ∈ R ,
x + y = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ) ∈ X ,
3.
4.
a ⋅ x = (a ⋅ x1 , a ⋅ x 2 ) ∈ X ,
a∈R.
3
X = R = R × R × R - zbiór trójek liczb rzeczywistych,
x = ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ X , x1 ∈ R , x 2 ∈ R , x3 ∈ R
y = ( y1 , y 2 , y 3 ) ∈ X , y1 ∈ R , y 2 ∈ R , y3 ∈ R
x + y = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , x3 + y 3 ) ∈ X ,
a ⋅ x = (a ⋅ x1 , a ⋅ x 2 , a ⋅ x3 ) ∈ X ,
a∈R.
X - zbiór funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
f = f ( x),
g = g ( x) ∈ X ,
a∈R,
f + g = f ( x) + g ( x) ∈ X ,
a ⋅ f = a ⋅ f ( x) ∈ X .
Zbiór A ⊂ X nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej X , jeŜeli
a⋅ x+b⋅ y∈ A,
dla dowolnych x, y ∈ A oraz a, b ∈ R .
Przykłady
1.
2.
X = R2,
A = {x ∈ X : x = ( x1 ,0)}.
X - zbiór funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
A = { f ∈ X : f (0) = 0}.
Uwaga
Przestrzeń liniową X nazywa się takŜe przestrzenią wektorową, a jej
elementy wektorami.
JeŜeli X = R 2 , to wektor x ∈ X moŜna zapisać w postaci
x = [x1 , x 2 ] wektor wierszowy
lub w postaci
x 
x =  1
wektor kolumnowy.
 x2 
JeŜeli X = R 3 , to wektor x ∈ X moŜna zapisać w postaci
x = [x1 , x 2 , x3 ] wektor wierszowy
lub w postaci
 x1 
x =  x 2 
wektor kolumnowy.
 x 3 
Ogólniej, jeŜeli X = R n , n ∈ N , to wektor x ∈ X moŜna zapisać w postaci
x = [x1 , x 2 , K , x n ]
wektor wierszowy
lub w postaci
 x1 
x 
x =  2
M
 
 xn 
-
wektor kolumnowy.
Działania w X = R n określa się następująco:
 x1   y1   x1 + y1 
 x1   a ⋅ x1 
x   y  x + y 
 x  a ⋅ x 
2
2
2
2
2



x+ y =
,
a⋅x = a⋅ 2 = 
+
=
M M  M 
M  M 
    

  

 xn   y n   xn + y n 
 x n  a ⋅ x n 
Uwaga
JeŜeli x = [x1 , x 2 , K , x n ] , to element xi ( i = 1,2, K , n ) nazywamy i-tą
współrzędną lub i-tą składową tego wektora.
Przykład
1. W przestrzeni wektorowej R 3 dane są trzy wektory
1
2
4




x1 = 3 ,
x 2 = 1  ,
x3 = − 1 .
6
5
 3 
Wyznaczyć wektor x = 7 ⋅ x1 − 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x3 .
1
2
 4   7  −6  8   1   8  9 




x = 7 ⋅ 3 + (−3) ⋅ 1 + 2 ⋅ − 1 =  21 +  − 3  + − 2 = 18  + − 2 = 16  .
6
5
 3  42 − 15  6  27  6  33
Oczywiście, moŜna to wykonać szybciej
1
2
 4   7 ⋅1 − 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4   9 




x = 7 ⋅ 3 − 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ − 1 = 7 ⋅ 3 − 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) = 16  .
6
5
 3   7 ⋅ 6 − 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3  33
Kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 , K , x k ∈ X , k ∈ N , nazywamy wektor
k
a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 + K + a k ⋅ x k ≡ ∑ ai ⋅ xi ,
i =1
gdzie a i ∈ R , i = 1,2, K , k .
Wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X , k ∈ N , nazywamy liniowo niezaleŜnymi, jeŜeli równość
a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x2 + K + a k ⋅ x k = 0 ,
gdzie 0 jest wektorem zerowym przestrzeni X , zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
a1 = a 2 = K = a k = 0 . Wektory, które nie są liniowo niezaleŜne nazywamy liniowo
zaleŜnymi.
MoŜna stwierdzić, Ŝe jeŜeli zachodzi równość
a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x2 + K + a k ⋅ x k = 0
oraz istnieje i takie, Ŝe a i ≠ 0 , 1 ≤ i ≤ k , to wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X są liniowo zaleŜne.
Przykłady
1. Wektory
 2
4 
x1 =   ,
x2 =  
1 
3 
2
są liniowo niezaleŜne w przestrzeni wektorowej R .
Istotnie, z równości
a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 = 0 ,
czyli
 2
 4  0 
a1 ⋅   + a 2 ⋅   =   ,
1 
 3  0 
wynika, Ŝe
2 ⋅ a1 + 4 ⋅ a 2 = 0
.

 a1 + 3 ⋅ a 2 = 0
Jedynym rozwiązaniem tego układy jest a1 = a 2 = 0 , co oznacza, Ŝe wektory są liniowo
niezaleŜne.
2. Wektory
1 
3 
x1 =   ,
x2 =   ,
 2
4 
2
są liniowo zaleŜne w przestrzeni wektorowej R .
Istotnie, z równości
a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 + a 3 ⋅ x3 = 0 ,
czyli
1 
3 
3 0
a1 ⋅   + a 2 ⋅   + a 3 ⋅   =   ,
 2
4 
5 0
wynika, Ŝe
 a1 + 3 ⋅ a 2 + 3 ⋅ a3 = 0
.

2 ⋅ a1 + 4 ⋅ a 2 + 5 ⋅ a3 = 0
3
x3 =  
5
Przyjmując np. a1 = 3 , a 2 = 1 , a 3 = −2 , stwierdzamy, Ŝe wektory są liniowo zaleŜne.
Uwaga
JeŜeli wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X są liniowo zaleŜne, to co najmniej jeden z
nich moŜna przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych wektorów.
Np. w przykładzie drugim mamy x 2 = 2 ⋅ x3 − 3 ⋅ x1 .
Wymiarem przestrzeni wektorowej X nazywamy maksymalną liczbę liniowo
niezaleŜnych wektorów tej przestrzeni i oznaczamy symbolem dim X .
Mówimy, Ŝe wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X tworzą bazę przestrzeni wektorowej X , jeŜeli
1. wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X są liniowo niezaleŜne,
2. k = dim X .
Przykłady
1. Wektory
 4
x1 =   ,
 2
1
x2 =  
1
 4
x1 =   ,
 2
2 
x2 =  
1 
tworzą bazę w przestrzeni R 2 .
2. Wektory
nie tworzą bazy w przestrzeni R 2 .
3. Wektory
 4
x1 =   ,
 2
1
x2 =   ,
1
 2
x3 =  
 4
nie tworzą bazy w przestrzeni R 2 .
Uwaga
Zbiór wektorów
1
0 
0 
0 
1 
0 




e1 =
,
e2 =
,
...,
en =  
M 
M
M
 
 
 
0 
0 
1 
n
tworzy bazę w przestrzeni wektorowej R . Taką bazę nazywamy bazą kanoniczną lub bazą
standardową.
Dowolny wektor x ∈ R n , czyli wektor postaci
 x1 
x 
x =  2
M
 
 xn 
moŜna zapisać następująco
x = x1 ⋅ e1 + x 2 ⋅ e2 + K + x n ⋅ en .
Liczby x1 , x 2 , K , x n ∈ R są współrzędnymi wektora x ∈ R n w bazie kanonicznej przestrzeni
Rn .
Przykład
Wektor
4 
x= 
3 
przestrzeni wektorowej R 2 wyraŜony jest za pomocą wektorów bazy kanonicznej tej
przestrzeni
1
0 
e1 =   ,
e2 =  
0 
1 
w następujący sposób
x = 4 ⋅ e1 + 3 ⋅ e2 .
JeŜeli wektory x1 , x 2 , K , x k ∈ X , 1 ≤ k ≤ n = dim X , są liniowo niezaleŜne, to zbiór
L( x1 , x 2 , K , x k ) ⊂ X , złoŜony z wszystkich kombinacji x = a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 + K + a k ⋅ x k ,
gdzie a1 , a 2 , K , a k ∈ R generuje (rozpina) podprzestrzeń liniową przestrzeni X .
Przykład
Wektory
1 
x1 = 2 ,
3
0 
x 2 = 2 ,
1
są liniowo niezaleŜne w przestrzeni X = R 3 . Zatem zbiór
 1   0  


L 2, 2 
  3  1  
   
złoŜony z kombinacji
1 
0


a1 ⋅ 2 + a 2 ⋅ 2,
a1 , a 2 ∈ R ,
3
1
jest podprzestrzenią przestrzeni X = R 3 .
Czy wektor
 1   0  
1
1 ∈ L 2, 2  ?
   

  3  1  
1
   
Aby odpowiedzieć na to pytanie, naleŜy sprawdzić, czy istnieją a1 , a 2 ∈ R takie, Ŝe
1 
0 1


a1 ⋅ 2 + a 2 ⋅ 2 = 1 ,
3
1 1
co prowadzi do układu równań
a1 = 1


2 ⋅ a1 + 2 ⋅ a 2 = 1 ,
 3⋅ a + a = 1
1
2

który jest sprzeczny, a zatem
 1   0  
1
1 ∉ L 2, 2  .
   

  3  1  
1
   
Niech w przestrzeni X = R n ustalona będzie baza oraz
 x1 
 y1 
x 
y 
2

x=
,
y =  2∈ X .
M
M
 
 
 xn 
 yn 
Liczbę rzeczywistą x o y określoną wzorem
x o y = x1 ⋅ y1 + x 2 ⋅ y 2 + K + x n ⋅ y n
nazywamy iloczynem skalarnym wektorów x, y ∈ X .
Przykład
Niech
1 
x = 2 ,
3
Wtedy
0 
y = 2 .
1
x o y = 1⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅1 = 7 .
JeŜeli x o y = 0 , to mówimy, Ŝe wektory x, y ∈ X są prostopadłe (ortogonalne) i
zapisujemy x⊥y .
Przykład
Niech
1
0 


x = 0  ,
y = 2 .
3
0
Wtedy
x o y = 1⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 = 0 ,
czyli x⊥y .
JeŜeli wektory x1 , x 2 , K , x n ∈ X = R n tworzą bazę oraz xi ⊥x j dla i ≠ j ,
i, j = 1,2, K , n , to taką bazę nazywamy bazą ortogonalną.
Przykład
Wektory
1 
0


x1 = 0,
x 2 = 2,
0
0
tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni R 3 .
 0
x3 = 0
3
Liczbę x określoną wzorem
x = xo x
nazywamy normą (długością) wektora x ∈ X .
JeŜeli x ∈ R n , to
x = x12 + x 22 + K + x n2 .
Przykład
Niech
1 
x = 2 ,
3
0 
y = 2 .
0
Wtedy
x = 12 + 2 2 + 3 2 = 14 ,
y = 02 + 22 + 02 = 2 .
JeŜeli wektory x1 , x 2 , K , x n ∈ X = R n tworzą bazę oraz
xi ⊥x j dla i ≠ j , i, j = 1,2, K , n ,
xi = 1 dla i = 1,2, K , n ,
to taką bazę nazywamy bazą ortonormalną.
Przykład
Wektory
1
e1 = 0,
0
 0
e2 = 1,
0
tworzą bazę ortonormalną w przestrzeni R 3 .
0 
e3 = 0
1
Kąt ϕ między wektorami x, y ∈ X określamy wzorem
xo y
cos ϕ =
.
x ⋅ y
Przykład
Niech
1 
x = 2 ,
3
0 
y = 2 .
0
Wtedy
x = 12 + 2 2 + 3 2 = 14 ,
y = 02 + 22 + 02 = 2 ,
xo y = 4,
a więc
cos ϕ =
4
14 ⋅ 2
=
2
14
,
ϕ ≈ 58 o .
Zbiór V ⊂ R n nazywamy wypukłym, jeŜeli dla dowolnych x1 , x 2 ∈ V i dowolnego
λ ∈ [0;1] wektor x = λ ⋅ x1 + (1 − λ ) ⋅ x 2 ∈ V .
Przykład
Niech
2
6 
x1 =  ,
x2 =  
7 
1 
będą wektorami w przestrzeni R 2 . Wówczas V jest odcinkiem łączącym końce wektorów
x1 , x 2 . Punkt
4
x = 12 ⋅ x1 + 12 ⋅ x 2 =  
4
jest środkiem tego odcinka.
WyraŜenie
λ1 ⋅ x1 + λ2 ⋅ x 2 + K + λk ⋅ x k ,
gdzie λi ≥ 0 , i = 1,2, K , k oraz λ1 + λ 2 + K + λ k = 1 , nazywamy wypukłą kombinacją
liniową wektorów x1 , x 2 , K , x k ∈ X .
Zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych wektorów x1 , x 2 ∈ X , czyli
λ1 ⋅ x1 + λ2 ⋅ x 2 ,
λ1 , λ2 ≥ 0,
λ1 + λ 2 = 1 ,
jest odcinkiem łączącym końce wektorów x1 , x 2 .
Zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych wektorów x1 , x 2 , x3 ∈ X , czyli
λ1 ⋅ x1 + λ2 ⋅ x 2 + λ3 ⋅ x3 ,
λ1 , λ2 , λ3 ≥ 0,
λ1 + λ 2 + λ3 = 1 ,
jest trójkątem o wierzchołkach w końcach wektorów x1 , x 2 , x3 .
Zbiór wszystkich wypukłych kombinacji x1 , x 2 , K , x k ∈ X
λ1 ⋅ x1 + λ2 ⋅ x 2 + K + λk ⋅ x k ,
gdzie λi ≥ 0 , i = 1,2, K , k oraz λ1 + λ 2 + K + λ k = 1 , tworzy sympleks k-wymiarowy.