wyznaczanie modułu sprężystości przy pomocy wahadła torsyjnego

ĆWICZENIE 40
Mechanika
WYZNACZANIE MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI
PRZY POMOCY WAHADŁA TORSYJNEGO
1. Opis teoretyczny do ćwiczenia
zamieszczony jest na stronie
www.wtc.wat.edu.pl w dziale
DYDAKTYKA – FIZYKA –
ĆWICZENIA LABORATORYJNE.
2. Opis układu pomiarowego
Obiektem badań jest pręt
o długości l i średnicy 2r, którego
górny koniec jest sztywno
zamocowany. Drugi dolny jest
poddawany działaniu sił skręcających.
W dolnej części pręta zamocowane
jest ramię o długości 2d , na którego
końcach znajdują się gniazda do
zamocowania walców wykonanych z
różnych materiałów i posiadających
różne masy.
Taki układ jest przykładem wahadła
fizycznego i nosi nazwę wahadła
torsyjnego. Celem ćwiczenia jest
wyznaczenie modułu skręcenia D
pręta, oraz obliczenie modułu jego
sprężystości G , które zależą o
momentu bezwładności J układu.
ĆWICZENIE 40
Mechanika
3. Przeprowadzenie pomiarów
1. Zapoznać się z budową wahadła torsyjnego.
2. Ustalamy zakres amplitudy, dla którego spełniony jest warunek stosowania prawa Hooke’a. W tym celu
należy wzbudzić przy pomocy pary sił drgania torsyjne zadając początkową amplitudę (np. 5 stopni).
Mierzymy wtedy czas np. 10 pełnych wahnięć T p . Następnie zwiększamy amplitudę (np. o 5 stopni) i
wyznaczamy kolejny czas 10 pełnych wahnięć Tn . Początkową amplitudę drgań zwiększamy aż do
momentu gdy T p  Tn . Nie wychylamy jednak układu dalej niż o 30 stopni. Do dalszych prób stosujemy
największa z amplitud dla której T p  Tn .
3. Ustalamy liczbę pełnych drgań, po wykonaniu których amplituda zmniejszy się dwa razy. W tym celu
należy wzbudzić przy pomocy pary sił drgania torsyjne zadając ustaloną w punkcie 2 początkową amplitudę
drgań. Wyciągnąć wnioski na temat tłumienia drgań wahadła torsyjnego.
4. Wprawić wahadło w drgania torsyjne z amplitudą ustaloną w punkcie 2 bez obciążania wahadła i zmierzyć
czas trwania 10 lub 15 okresów drgań To . Pomiar powtórzyć co najmniej 10 razy.
5. Powtórzyć pomiary według punktu 4 dla wahadła obciążonego dwoma identycznymi walcami
umieszczonymi symetrycznie kolejno w odległościach d = 5; 7,5; 10; 12,5; 15 cm.
4. Opracowanie wyników pomiarów
Wyznaczanie średniego okresu drgań torsyjnych i ich niepewności
Obliczenia wykonać dla wszystkich przypadków drgań.
1 n
 Ti
m  n i 1
gdzie n – ilość wykonanych pomiarów, m - ilość drgań w pojedynczym pomiarze.
1. Wyznaczyć wartość średnią okresów drgań torsyjnych T 
n
2. Wyznaczyć niepewność standardową złożoną okresu drgań torsyjnych
u T  
 T  T  t 

2
i
2
i 1
n  1 n
3
uwzględniającą wykonanie n pomiarów oraz niepewność maksymalną pomiaru czasu w pojedynczym
pomiarze t .
3. Wyznaczyć wartości R  Td2  T02
gdzie To oznacza okres drgań torsyjnych bez obciążenia a Td oznacza okres drgań torsyjnych z
obciążeniem rozłożonym symetrycznie względem osi obrotu w odległościach d = 5; 7,5; 10; 12,5; 15 cm.
    T uT 
4. Wyznaczyć niepewność standardową u R   4 Td u Td
2
2
0
0
.
ĆWICZENIE 40
Mechanika
Wyznaczanie modułu skręcenia i jego niepewności
Obliczenia wykonać dla wszystkich przypadków drgań (bez obciążenia i z obciążeniami).
md 2
.
R
5. Wyznaczyć moduł skręcenia Dd  8   2
2
2
2
u ( m)   u ( d )   u ( R ) 
6. Wyznaczyć niepewność standardową względną uc ,r ( Dd )  
  2
 
 .
 m   d   R 
7. Wyznaczyć niepewność standardową bezwzględną uc ( Dd )  Dd  uc , r ( Dd ) .
8. Wyznaczyć niepewność rozszerzoną U (Gd )  2uc (Gd ) .
Wykonanie wykresu (1)
zależności modułu skręcenia od kwadratu odległości obciążenia od osi obrotu
9. Wykonać Wykres-1 D  f (d 2 ) i nanieść punkty pomiarowe wraz z niepewnościami,
gdzie d2 = 0; 25; 56,25; 100; 156,25; 225 cm2.
10. Przeprowadzić aproksymację metodą najmniejszych przez punkty pomiarowe prowadząc prostą y  a x  b
, gdzie x  d 2 , y  D . Parametry prostej oraz ich niepewności wyznaczamy z
n
n
 xi
a
i 1
n
n
n
 n 2

  yi  a  xi yi  b  yi 
n  i 1
i 1
i 1

u a    a 
2
n
n
n2


n  xi2    xi 
i 1
 i 1 
 y i  n  ( xi y i )
i 1
i 1
2
n
n


  xi   n xi2
i 1
 i1 
n
b
n
n
n
 xi
 xi yi   y i
 xi2
i 1
i 1
i 1
i 1
2
n
 n 
  xi   n  xi2
i 1
 i 1 
n

u b b  a
2
i
x
i 1
n
Parametry prostej zapisać na wykresie.
Wyznaczanie modułu sprężystości i jego niepewności
Obliczenia wykonać dla wszystkich przypadków drgań.
ĆWICZENIE 40
Mechanika
16 lmd 2
,
r4R
2l
md 2
a uwzględniając że policzono już Dd  8   2
mamy Gd  4 Dd .
r
R
11. Wyznaczyć moduł sprężystości Gd 
12. Wyznaczyć niepewność standardową względną
2
2
2
2
 u ( m )   u ( d )   u ( R )   u ( r )   u (l ) 
u c , r ( Gd )  
  2
 
  4
 

 m   d   R   r   l 
2
13. Wyznaczyć niepewność standardową bezwzględną uc (Gd )  Gd  uc, r (Gd ) .
14. Wyznaczyć niepewność rozszerzoną U (Gd )  2uc (Gd ) .
Wykonanie wykresu (2)
zależności modułu sprężystości od kwadratu odległości obciążenia od osi obrotu
15. Wykonać Wykres-2 G  f (d 2 ) i nanieść punkty pomiarowe wraz z niepewnościami,
gdzie d2 = 0; 25; 56,25; 100; 156,25; 225 cm2.
16. Przeprowadzić aproksymację metodą najmniejszych przez punkty pomiarowe prowadząc prostą y  a x  b
, gdzie x  d 2 , y  G . Parametry prostej oraz ich niepewności wyznaczamy z
n
n
n
 xi  y i  n  ( xi
a
i 1
i 1
n
n
 n 2

  yi  a  xi yi  b  yi 
n  i 1
i 1
i 1

u a    a 
2
n
n
n2


n  xi2    xi 
i 1
 i 1 
yi )
i 1
2
n
n


  xi   n xi2
i 1
 i1 
n
b
n
n
n
 xi
 xi yi   y i
 xi2
i 1
i 1
i 1
i 1
2
n
 n 
  xi   n  xi2
i 1
 i 1 
n
2
i
x

u b b  a
i 1
n
Parametry prostej zapisać na wykresie.
5. Podsumowanie
1. Zgodnie z regułami prezentacji wyników zestawić wyznaczone wielkości dla wybranej wartości d
G, uc G , uc,r G , U G  oraz wartości odniesienia Gteoria ,
4
uc, r D , U D  oraz wartości odniesienia Dteoria  Gteoria r ,
c
2l
a wybór wartości d uzasadnić.
D, u D ,
ĆWICZENIE 40
Mechanika
2. Przeanalizować uzyskane rezultaty:
a) która z niepewności wnosi największy wkład do niepewności złożonej uc G  ,
b) czy spełniona jest relacja uc ,r G   0,12 ,
c) czy spełniona jest relacja Gteoria  G  U G  ,
d) która z niepewności wnosi największy wkład do niepewności złożonej uc D  ,
b) czy spełniona jest relacja uc ,r D   0,12 ,
c) czy spełniona jest relacja Dteoria  D  U D  ,
pod kątem występowania i przyczyn błędów grubych, systematycznych i przypadkowych.
3. Wnioski z analizy rezultatów (w tym i z wykresów).
a) Wyciągnąć wnioski na temat występowania i przyczyn błędów: grubych, systematycznych i przypadkowych.
b) Zaproponować działania zmierzające do podniesienia dokładności wykonywanych pomiarów.
c) Wyjaśnić czy cele ćwiczenia został osiągnięty.
6. Przykładowe pytania
Zamieszczone są na stronie www.wtc.wat.edu.pl w dziale
DYDAKTYKA – FIZYKA – ĆWICZENIA LABORATORYJNE.
*************************
Zadania dodatkowe do wyznaczenia i analizy:

 n

 xi  x  yi  y 

Wyznaczyć współczynnik korelacji liniowej R 2   i 1
2
n
n
 x  x    y
i
i 1
i
2
2
dla wszystkich funkcji,
 y
i 1
zapisać go na wykresie. Wynik poddać analizie i wyciągnąć wnioski.

Wyciągnąć wnioski z analizy wszystkich wartości Gd .

Wyciągnąć wnioski z analizy wszystkich wartości Dd .

Po wykonaniu połowy pomiarów zamienić odważniki miejscami. Wyciągnąć wnioski z analizy
uzyskanych wartości.
ĆWICZENIE 40
Mechanika
Zespół w składzie….................................................................................................................................
cele ćwiczenia:
 wyznaczenie modułów skręceń D,
 wyznaczenie modułu sprężystości G,
3.1 Wartości teoretyczne wielkości wyznaczanych lub określanych:
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
3.2 Potwierdzić na stanowisku wartości parametrów i ich niepewności i ich!
Moduł sprężystości stali …................................, Moduł sprężystości aluminium …................................
Wymiary pręta: długość l = 480 mm, u(l) = 1 mm; promień r = 1,0 mm, u(r) = 0,1mm, …......................
Masa dwóch ciężarków m = 127,646 g, u(m) = 0,001 g..........................................................................
……………………………………………………………………………………………………………………
3.3. Pomiary i uwagi do ich wykonania.
Niepewność maksymalna pomiaru kąta …..............................................................................................
Niepewność maksymalna pomiaru czasu t ..........................................................................................
Niepewność maksymalna pomiaru położenia ciężarków d = 1 mm …...............................................
Pomiar okresu drgań przeprowadzany dla 5 / 10 / 15 ………………………… okresów drgań
……………………………………………………………………………………………………………………
Kartę pomiarów proszę drukować dwustronnie
ĆWICZENIE 40
Mechanika
Kąt [stopnie]
5
10
15
20
25
30
T [s]
Do dalszych pomiarów przyjąć największy z kątów dla okres drgań jest zbliżony do okresów drgań dla
mniejszych kątów.
Liczba pełnych okresów drgań dla przyjętego kąta …......., po których amplituda spada o połowę to …………
Pomiar n.........
okresów drgań
[s]
Bez
obciążania
(d = 0 cm)
Z obciążeniem rozłożonym symetrycznie względem osi obrotu
d = 5 cm
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
T13
T14
T15
3.4 Data i podpis osoby prowadzącej
d = 7,5 cm
d = 10 cm
d = 12,5 cm
d = 15 cm