Kongruencje

Kongruencje
Łukasz Lamęcki
Kl. 3f
Definicja
Mówimy, że liczby całkowite a i b przystają
modulo n, co zapisujemy:
a ≡ b (mod n), jeżeli ich różnica a - b dzieli się
bez reszty przez n.
Równoważnie: jeśli liczby a i b dają w
dzieleniu przez n taką samą resztę.
Podobieństwo do równań
Kongruencje o tym samym module można
dodawać, odejmować lub mnożyć stronami.
Można przenosić wyrazy z jednej strony
kongruencji na drugą, zmieniając ich znaki.
Obie strony kongruencji można podnosić do
tej samej potęgi (o naturalnym wykładniku).
Zastosowania
n 
n 
n 
Znajdowywanie reszty z dzielenia przez liczby
całkowite
Rozwiązywanie równań diofantycznych (czyli
równań, w których niewiadome są liczbami
całkowitymi)
Znajdywanie cech podzielności przez liczby
całkowite
Przykłady zastosowań
Zadanie 1.
Znajdź ostatnią cyfrę liczby:
2014
3
+
2014
5
Przykłady zastosowań
Rozwiązanie:
Aby znaleźć ostatnią cyfrę dowolnej liczby
całkowitej wystarczy sprawdzić do jakiej cyfry
przystaje ta liczba względem modułu 10.
Mamy:
31 ≡ 3(mod10)
2 ≡ 9(mod10)
3
3 ≡ 7(mod10)
3
4 ≡ 1(mod10)
3
Przykłady zastosowań
Zatem :
2014
4⋅503+2
4 ⋅ 2≡ ⋅ ≡
≡
≡
(
3 3
3 ) 3 1 9 9 (mod 10)
503
Podobnie:
5 ≡ 5 (mod10)
2
5 ≡ 5 (mod10)
2014
5 ≡ 5 (mod10)
1
2014
2014
Stąd:
+
3 5 ≡ 9 + 5 ≡ 4 (mod 10)
Czyli ostatnią cyfrą liczby 32014 + 52014 jest 4.
Przykłady zastosowań
Zadanie 2
n
n
+
Udowodnij, że liczba 11 41 − 2 jest podzielna
przez 10.
Rozwiązanie:
Aby udowodnić to twierdzenie wystarczy
n
n
+
pokazać, że 11 41 − 2 ≡ 0 (mod10)
dla dowolnego n∈N
Przykłady zastosowań
lub równoważnie pokazać, że:
n
n
+
11 41 ≡ 2 (mod10)
dla dowolnego n∈N
Mamy:
11≡1(mod10)
więc 11n ≡1n ≡1(mod10)
podobnie 41 ≡1 (mod10) , więc 41n ≡1n ≡1 (mod10)
Przykłady zastosowań
Zatem:
11 + 41 ≡1+1 ≡ 2 (mod10)
n
n
dla dowolnego n∈N , co kończy dowód.
Przykłady zastosowań
Zadanie 3
Udowodnij, ze liczba 10!+1=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10+1
jest podzielna przez 11.
Rozwiązanie:
Aby rozwiązać to zadanie wystarczy pokazać,
że 10!+1≡ 0(mod10)
Przykłady zastosowań
Mamy kolejno:
1⋅10 ≡10(mod11)
2⋅6 ≡1(mod11)
3⋅4 ≡1(mod11)
5⋅9 ≡1(mod11)
7⋅8 ≡1(mod11)
Zatem:
10!+1≡ (1⋅10)⋅(2⋅6)⋅(3⋅4)⋅(5⋅9)⋅(7⋅8) +1≡10⋅1⋅1⋅1⋅1+1≡
≡11≡ 0(mod11)
co kończy dowód.
Dziękuję za uwagę.