MOMENT ELEKTROMAGNETYCZNY

MOMENT ELEKTROMAGNETYCZNY
Zmiana energii pola magnetycznego wynikająca ze zmiany położenia
wybranego elementu związana z pracą mechaniczną wykonaną. Jeśli analizujemy
ruch obrotowy wirnika maszyny elektrycznej, wówczas moment elektromagnetyczny
wytworzony w maszynie elektrycznej można wyznaczyć ze wzoru:
dEe
Me = −
dα
Me – moment elektromagnetyczny
Ee – energia pola magnetycznego
α - kąt położenia wirnika
Energia pola magnetycznego n uzwojeń
Równania napięciowe n obwodów w maszynie elektrycznej można wyrazić wg
ogólnej zależności:
dΨk
u k = Rik +
dt
Po wymnożeniu tego k- tego równania opisującego k-te uzwojenie przez
wartość chwilową prądu otrzymamy zależność na moc chwilową dostarczoną do
k-tego uzwojenia:
dΨk
pk = uk ik = Ri k + ik
dt
2
W równaniu występują dwa składniki:
- Straty mocy w uzwojeniach (w miedzi)
- Moc pola magnetycznego i moc mechaniczna
Przy założeniu, że analizujemy stan, gdy nie zmienia się położenie wirnika drugi
składnik zawiera tylko moc pola magnetycznego. Energię zgromadzoną w polu
magnetycznym możemy zatem obliczyć ze wzoru:
dΨk
Ee = ∑ ∫ ik
dt
dt
k 0
t
t
Ee = ∑ ∫ ik dΨ k
k
0
Przyjmijmy, że indukcyjności własne i wzajemne są wartościami stałymi
(założenie liniowości obwodu magnetycznego), wówczas:
Ψk = Lk ik + M ki ( k ≠i )ii
Dla uproszczenia analizy dalsze rozważania będą obejmowały dwa uzwojenia:
Ψ1 = L1i1 + M 12i2
Ψ2 = L2i2 + M 12i1
Otrzymamy energię zgromadzoną w polu magnetycznym dwóch uzwojeń
sprzężonych:
Ee = ∫ i1d ( L1i1 + M 12i2 ) + ∫ i2 d ( L2i2 + M 12i1 )
Ee = L1 ∫ i1di1 + M 12 ∫ i1di2 + L2 ∫ i2 di2 + M 12 ∫ i2 di1
Ee = L1 ∫ i1di1 + M 12 ∫ (i1di2 + i2 di1 ) + L2 ∫ i2 di2
Ee = L1 ∫ i1di1 + M 12 ∫ d (i1i2 ) + L2 ∫ i2 di2
1 2 1 2
Ee = L1i1 + L2i2 + M 12i1i2
2
2
1
1
Ee = i1 ( L1i1 + M 12i2 ) + i2 ( L2i2 + M 12i1 )
2
2
1
1
Ee = i1ψ 1 + i2ψ 2
2
2
W ogólnym przypadku dla k uzwojeń:
1
Ee = ∑ ikψ k
2 k
Wzór ogólny na moment elekromagnetyczny maszyny elektrycznej można
wyrazić zależnością:
1 d
Me = −
(∑ ikψ k )
2 dα m k
MOMENT MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ
Energia zgromadzona w polu magnetycznym maszyny indukcyjnej może być
przedstawiona jako:
1
E = ∑ ikψ k
2 k
Przy pominięciu składowej zerowej:
∑i ψ
k
k
= isαψ sα + isβψ sβ + irαψ rα + irβψ rβ
k
W zapisie wektorowym:
∑i ψ
k
= Re{i s ψ s + i r ψ }
*
k
k
Biorąc pod uwagę równania strumieniowo-prądowe:
ψ s = Ls i s + Lµ i r e jα
ψ r = Lr i r + Lµ i s e − jα
*
r
otrzymamy:
− jα
jα
i
ψ
=
Re{
i
(
L
i
+
L
i
e
)
+
+
i
(
L
i
+
L
i
e
)}
∑k k
s s
µ r
r r
µ s
s
r
*
*
*
*
k
− jα
jα
i
ψ
=
Re{
L
i
+
L
i
i
e
+
L
i
i
+
L
i
i
e
}
∑k k
s s
r r r
µ s r
µ s r
*
*
*
*
k
Jako, że zależność na moment wyznaczona jest jako pochodna po kącie to po
wykonaniu różniczkowania otrzymamy:
1
*
*
M e = − p Re{− jLµ i s i r e − jα + jLµ i s i r e jα }
2
1
*
*
M e = − pLµ Re{ j (−i s i r e − jα + i s i r e jα )}
2
1
*
*
M e = − pLµ Im{−i s i r e − jα + i s i r e jα }
2
Oznaczając:
i r = i r e jα
'
1
'*
* '
M e = − pLµ Im{−i s i r + i s i r }
2
'*
* '
Im{−i s i r } = − Im{i s i r }
M e = pLµ Im{i s i r }
'*
Biorąc pod uwagę, że:
ψ = Lr i + Lµ i s
otrzymamy:
'
'
r
r
ψ − Lµ i s
'
ir =
'
r
Lr
M e = pLµ Im{i s
Me = p
Lµ
Lr
ψ − Lµ i
'*
*
r
s
Lr
}
Im{i sψ − Lµ i s i s }
'*
*
r
Me = p
Lµ
Lr
Im{i sψ }
'*
r
Inną postać uzyskamy wyznaczając z równań strumieniowo-prądowych prądy
stojana i wirnika w zależności od strumieni i podstawiając tak otrzymane równania do
równania na moment, otrzymamy:
M e = p L L − L 2 Im{ψ sψ }
Lµ
s r
'*
µ
r