Rachunek zda« - podej±cie formalne, cz II

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 5
Rachunek zda« - podej±cie formalne, cz II
Podamy teraz kilka twierdze«, pomijaj¡c ich dowody (mo»na je znale¹¢, w mniej lub bardziej rozbudowanej formie, w dost¦pnym na sieci skrypcie Jerzego Tiuryna Wst¦p do teorii mnogo±ci i
logiki)
Tw. 5.1
Dowód sekwentu
∆⊢α
w systemie naturalnej dedukcji istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
istniej jego dowód w rozszerzonym systemie Hilbertowski.
Aby to twierdzenie wykaza¢ wystarczy ka»d¡ z reguª wnioskowania systemu ND wyprowadzi¢ w
+.
systemie H
Na przykªad, wyprowadzenie reguªy PS ma posta¢
∆, ¬α ⊢⊥
∆ ⊢ ¬α →⊥
∆ ⊢ ¬¬α;
∆ ⊢ ¬¬α → α
(A3)
∆⊢α
v : P → {0, 1} i formuªa α zbudowana ze zmiennych
zdaniowych nale»¡cych do P. Warto±¢ formuªy α w warto±ciowaniu v oznaczamy α[v]. B¦dziemy
mówi¢, »e formuªa α jest speªniona przez warto±ciowanie v , gdy α[v] = 1, lub równowa»nie α[v].
Niech teraz dane b¦dzie warto±ciowanie
Def. 5.1 Mówimy, »e formuªa α jest semantyczn¡ konsekwencj¡ formuª za zbioru ∆ (oznaczaj¡c to
∆ α),
je±li dla ka»dego warto±ciowania, dla którego speªnione s¡ formuªy ze zbioru
jest tak»e formuªa
∆,
speªniona
α.
W szczególno±ci, je±li
α
to
α
jest tautologi¡.
Tw. 5.2 (O adekwatno±ci systemu H+ )
Dla dowolnego zbioru formuª
∆
i dla dowolnej formuªy
budujemy przy u»yciu spójników
W szczególno±ci, je±li
⊢ α,
to
α
→, ∧, ∨
⊥)
i symbolu
α
(formuªy nale»¡ce do
je±li
∆ ⊢ α,
to
∆
oraz formuª¦
α
∆ α.
jest tautologi¡.
Tw. 5.3 (O peªno±ci systemu H+ )
Je±li
α
+ istnieje dowód sekwentu
jest tautologi¡, to w systemie H
⊢ α.
+ dostajemy st¡d wniosek o adekwat-
Korzystaj¡c z twierdzenia o równowa»no±ci systemu NH i H
no±ci i peªno±ci systemu naturalnej dedukcji.
1
Rachunek zbiorów
Do tej pory zajmowali±my sie logik¡ zdaniow¡, analizuj¡c struktur¦ wypowiedzi, o których z pewno±ci¡ mogli±my powiedzie¢, »e s¡ prawdziwe oraz badaj¡c, jak jedne wypowiedzi wynikaj¡ z innych.
Teraz zajmiemy si¦ pewnym typem obiektów, których takie wypowiedzi mog¡ dotyczy¢ zbiorami.
Poj¦cie zbioru b¦dziemy traktowa¢ jako poj¦cie pierwotne, nie wymagaj¡ce uzasadnienia które wykorzystywaªoby poj¦cia bardziej podstawowe. Oznacza to, »e wypowied¹ typu A jest zbiorem
b¦dziemy traktowa¢ jako zdanie logiczne, maj¡ce sens bez dodatkowego wyja±niania czym jest zbiór.
Drugim poj¦ciem pierwotnym teorii zbiorów (lub te» teorii mnogo±ci) jest poj¦cie nale»enia elementu to zbioru (lub, równowa»nie, bycia elementem zbioru). Wypowied¹
A
(lub
x
nale»y do zbioru
A),
x jest elementem zbioru
zapisywana jako
x∈A
jest zdaniem logicznym, maj¡cym sens bez dodatkowego wyja±niania, na czym to bycie elementem
polega.
Konkretne zbiory b¦dziemy (prowizorycznie) deniowali poprzez wyliczenie (podanie) wszystkich
ich elementów . Dla przykªadu, zbiorem jest struktura typu
A = {a, b, c, d}
gdzie
a, b, c, d
s¡ obiektami dowolnego typu. Dla zbioru
A
powy»ej prawdziwe s¡ (deniuj¡ce go)
zdania:
a ∈ A,
Przyjmiemy równie», »e (dla zbioru
b ∈ A,
A
c ∈ A,
d ∈ A.
jak powy»ej) symbol
a
(i podobnie
b, c, d)
okre±la obiekt
oznaczony tym symbolem w sposób jednoznaczny. Struktury typu
{a, a, b, c, d}
nie b¦dziemy uwa»a¢ za zbiór.
Dziaªania na zbiorach
Dla pary zbiorów
1.
AiB
deniujemy nast¦puj¡ce operacje:
Suma zbiorów
Sum¡ zbiorów
A
elementy zbioru
zawiera,
i
A
B
nazywamy (oznaczany symbolem
i wszystkie elementy zbioru
B,
A ∪ B)
zbiór zawieraj¡cy wszystkie
i który »adnych innych elementów nie
(
(
))
∀x : x ∈ (A ∪ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) .
2
2.
Iloczyn (cz¦±¢ wspólna) zbiorów
Iloczynem (lub cz¦±ci¡ wspóln¡) zbiorów
AiB
A ∩ B ) zbiór
zbioru B, i który
nazywamy (oznaczany symbolem
zawieraj¡cy wszystkie elementy nale»¡ce zarówno do zbioru
A
jak i do
»adnych innych elementów nie zawiera,
(
(
))
∀x : x ∈ (A ∩ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) .
3.
Ró»nica zbiorów
Ró»nic¡ zbiorów
AiB
elementy nale»¡ce zarówno do zbioru
elementów nie zawiera,
A
które nie
(
(
∀x : x ∈ (A \ B) ⇔
Sposób zdeniowania ró»nicy zbiorów
jakimi konkretnie zbiorami s¡
istnieje wi¦c taki element
x,
A \ B ) zbiór zawieraj¡cy wszystkie te
nale»¡ do zbioru B, i który »adnych innych
nazywamy (oznaczany symbolem
A
i
B.
AiB
))
(x ∈ A) ∧ ∼ (x ∈ B) .
wskazuje, »e jest ona ona zbiorem niezale»nie od tego,
Niech w szczególno±ci
który nale»aªby równocze±nie i
A = {a}, B = {b} dla a ̸= b. Nie
do zbioru A, i do zbioru B. Musimy
wi¦c przyj¡¢, »e istnieje zbiór nie posiadaj¡cy »adnych elementów. Zbiór taki nazywamy zbiorem
pustym, oznaczamy symbolem
∅
i deniujemy zdaniem:
∀ x : ∼ (x ∈ ∅).
Zdeniujmy jeszcze dwa poj¦cia: mówimy, »e zbiory
t.j.:
A=B
mówimy, »e zbiór
elementy zbioru
A
A
⇔
∀x :
zawiera si¦ w zbiorze
B
s¡ tak»e elementami zbioru
A⊂B
⇔
AiB
(
s¡ równe, gdy maj¡ one te same elementy,
)
x∈A ⇔ x∈B ;
(lub, »e jest podzbiorem zbioru
B ),
je±li wszystkie
B:
∀x :
(
)
x∈A ⇒ x∈B .
Poj¦cie zawierania si¦ zbiorów nie jest to»same z poj¦ciem nale»enia elementu do zbioru. Na przykªad, zbiór
A = {a}
jest podzbiorem zbioru
natomiast elementem zbioru
C = {{a}, b}.
Czy
B = {a, b}, nie jest jednak
A jest podzbiorem zbioru C?
jego elementem, jest
Inny przykªad: zbiór pusty jest podzbiorem ka»dego zbioru, ª¡cz¡c bowiem denicj¦ zbioru pustego
z denicj¡ zawierania si¦ zbiorów dostajemy, »e zdanie
(
)
∀x : x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A
jest prawdziwe dla dowolnego zbioru
A (poprzednik implikacji jest zdaniem faªszywym dla dowolnego
x!). Nie oznacza to jednak, »e zbiór pusty jest elementem dowolnego zbioru (w szczególno±ci nie jest
on elementem »adnego ze zbiorów, które zostaªy podane w tym konspekcie).
3
Czasami b¦dziemy przyjmowa¢, »e wszystkie zbory, którymi si¦ zajmujemy, s¡ podzbiorami pewnego
zbioru
X.
dla dowolnego
A⊂X
jego dopeªnieniem w tym zbiorze nazywamy zbiór
A′ = X \ A.
Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru
X
b¦dziemy oznaczali symbolem
P (X)
lub (rzadziej)
2X .
Za-
chodzi wi¦c
A ∈ P (A)
⇔
A ⊂ X.
Do poj¦cia zbioru podchodzili±my w tym konspekcie w sposób intuicyjny, posªuguj¡c sie nieprecyzyjn¡ zasad¡ zbiór jest czym±, co ma elementy. Mo»emy (z sensem!) zapyta¢, czy dowolny obiekt
maj¡cy elementy, jest zbiorem? ›e tak nie jest, przekonuje nas paradoks Russela.
Zdeniujmy obiekt
Z
»¡daj¡c, by nale»aªy do« wszystkie te (i tylko te) zbiory, które nie s¡ swoimi
wªasnymi elementami (zbiory takie ªatwo skonstruowa¢, przykªadem mo»e by¢
teraz, czy
Z
A = {a}). Zapytajmy
jest swoim wªasnym elementem.
Z jednej strony, gdyby
Z ∈ Z,
swoimi wªasnymi elementami) wnioskujemy, »e
Z drugiej strony, je±li
Z ̸∈ Z,
Z (do Z nale»¡ tylko te zbiory, które
Z ̸∈ Z. Otrzymujemy wi¦c sprzeczno±¢.
to na mocy denicji
Z (do Z nale»¡ wszystkie
Z ∈ Z. Ponownie sprzeczno±¢.
to na mocy denicji
swoimi wªasnymi elementami) wnioskujemy, »e
Uzyskane sprzeczno±ci wskazuj¡, »e pytanie o to, czy
Z ∈Z
nie s¡
zbiory, które nie s¡
nie ma sensu. Oznacza to, »e
Z nie
jest zbiorem.
Paradoks Russela pokazuje, »e aby móc w sposób wolny od sprzeczno±ci rozwija¢ teori¦ zbiorów
musimy oprze¢ j¡ na solidniejszym ni» intuicja fundamencie potrzebujemy aksjomatycznego podej±cia do teorii zbiorów.
4