Rozwiązanie T2

XXXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I
Zadanie teoretyczne.
ZADANIE T2
Nazwa zadania: „Drgająca deska pomiędzy sprężynkami”
Deska o masie M leży na dwóch jednakowych, jednorodnych wałkach o
masie m każdy. Końce deski są przymocowane do sprężyn o współczynnikach
sprężystości k (ryc. 1). Zakładając, że walce nie ślizgają się
Ryc. 1.
po podłożu a deska po wałkach, znajdź okres drgań układu.
ROZWIĄZANIE ZADANIA T2
Wychyleniu deski z położenia równowagi np. w prawo o x odpowiada
x
przemieszczenie każdego z walców w prawo o , wydłużenie lewej sprężyny o x i
2
x
skrócenie prawej sprężyny o . Zmiana energii potencjalnej obu sprężyn (łącznie)
wynosi
E p = kx 2 .
Walce w czasie drgań układu toczą się bez poślizgu. W układzie występuje
więc siła tarcia T , ale nie wykonuje ona pracy. Można zatem stosować zasadę
zachowania energii mechanicznej.
W momencie przejścia układu przez położenie równowagi deska ma energię
kinetyczną
1
E kd = Mv2 .
2
Każdy z walców ma wtedy energię kinetyczną
1
1
E kw = mv02 + Iω02 ,
2
2
przy czym prędkość środka walca v0 równa się
gdzie r oznacza promień walca. Zatem
1
v
V
,ω 0 = 0 oraz I = mr 2 ,
2
2
r
1
1
3
E kw = mv 2 + mv 2 = mv 2 ,
8
16
16
całkowita energia kinetyczna układu wynosi więc
Ek =
1
3
1
3 
1
Mv2 + 2 mv 2 =  M + m v 2 = mr v 2 ,
2
16
2
4 
2
gdzie
3
mr = M + m
4
jest masą zredukowaną drgającego układu. Zgodnie z zasadą zachowania
energii mamy
E p + E k = const.
Zatem
2
1  dx 
2
kx + mr   = const.
2  dt 
Obliczając pochodną względem czasu z obu stron tej zależności dostajemy
2kx
dx
 dx  d 2 x 
+ mr   2  = 0
dt
 dt  dt 
stąd
d 2 x 2k
+
x = 0.
dt 2 mr
Jest to równanie ruchu harmonicznego postaci
x + ω 2 x = 0,
gdzie
ω=
2π
.
T
Stąd dostajemy
T =π
4 M + 3m
.
2k
Punktacja:
Energia potencjalna
2 pkt.
Energia kinetyczna
4 pkt.
Zachowanie energii mechanicznej
2 pkt.
Równanie ruchu
1 pkt.
Okres
1 pkt.
Razem
10 pkt.
Źródło:
Zadanie pochodzi z czasopisma „Fizyka w Szkole” maj-czerwiec 1988
Komitet Okregowy Olimpiady Fizycznej w Szczecinie
www.of.szc.pl