IX. ZAGADNIENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
67
IX. ZAGADNIENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Ograniczymy się do ciał sprężysto-plastycznych.
1. Zagadnienie jednowymiarowe
Podstawowe modele ciała sprężysto – plastyczne oraz ich analogi mechaniczne pokazano na rys.
9.1.
Rys. 9.1. Modele sprężysto-plastyczne materiału; σ0 – granica plastyczności
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
68
2. Zagadnienie trójwymiarowe – założenia
1. Materiał zachowuje się sprężyście dopóki nie osiągnie powierzchni plastyczności (powierzchnia graniczna).
2. Dla materiału dana jest powierzchnia plastyczności w przestrzeni naprężeń:
F (σ ) = f (σ ) − σ 0
bez wzmocnienia,
F (σ; κ ) = f (σ ) − σ 0 (κ )
dla wzmocnienia,
(9.1)
(9.2)
gdzie σ0 – granica plastyczności w próbie jednoosiowego ściskania,
κ - parametr wzmocnienia.
3. Całkowite odkształcenia jako superpozycja odkształcenia sprężystego i plastycznego (ważne
dla małych infinitezymalnych odkkształceń)
ε = ε (e ) + ε ( p )
(9.3)
gdzie: ε (e ) - odkształcenia sprężyste,
ε (p ) - odkształcenia plastyczne.
4. Prawo plastycznego płynięcia:
a) stowarzyszone prawo plastycznego płynięcia:
dε (p ) = dλ
∂F
,
∂σ
(9.4)
gdzie: dλ – przyrost nieokreślonego parametru,
Rys. 9.2
b) niestowarzyszone prawo plastycznego płynięcia:
dε (p ) = dλ
∂g
,
∂σ
(9.5)
gdzie: dλ – przyrost nieokreślonego parametru,
g = g (σ) − potencjał plastyczny.
Rys. 9.3
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
69
3. Powierzchnia plastyczności
Jest to powierzchnia ograniczająca pole naprężeń w trakcie procesu obciążania
F (σ; κ ) = f (σ ) − σ 0 (κ ) = 0 .
(9.6)
Różniczkując powyższa zależność
T
∂F
⎛ ∂F ⎞
dF = ⎜
dκ = 0 ,
⎟ dσ +
∂κ
⎝ ∂σ ⎠
(9.7)
T
⎧ dF ⎫
⎪ dσ ⎪
⎪ 1 ⎪ ⎧ σ1 ⎫
⎪ dF ⎪ ⎪σ 2 ⎪
⎪ dσ 2 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ∂F
dκ = 0 .
⎨ . ⎬ d⎨ . ⎬ +
⎪ ⎪ . ⎪ ∂κ
⎪
⎪ . ⎪ ⎪ ⎪
⎪ dF ⎪ ⎪⎩σ6 ⎪⎭
⎪
⎪
⎩ dσ 6 ⎭
Przyjmijmy oznaczenie
∂F dκ
A=−
⇒
∂κ dλ
(9.8)
∂F
dκ = − A ⋅ dλ .
∂κ
(9.9)
Po podstawieniu do (2) mamy
⎛ ∂F ⎞
⎜
⎟ ⋅ dσ − A ⋅ dλ = 0 .
⎝ ∂σ ⎠
(9.10)
Całkowite odkształcenie na powierzchni plastycznej
ε = ε (e ) + ε ( p ) ,
(9.11)
przyrost odkształcenia
dε = dε (e ) + dε (p ) = D −1 ⋅ dσ +
∂g
⋅ dλ .
∂σ
(9.12)
Równania (3) i (4) w zapisie macierzowym
⎡
D −1
⎢
d
ε
⎧ ⎫
⎨ ⎬ = ⎢ ∂F T
⎞
⎩ 0 ⎭ ⎢⎛⎜
⎟
⎢⎣⎝ ∂σ ⎠
∂g ⎤
∂σ ⎥ ⎧dσ ⎫
⎥⎨ ⎬ .
dλ
− A⎥ ⎩ ⎭
⎥⎦
(9.13)
Z powyższego układu należy wyznaczyć związek konstytutywny nie zawierający nieokreślonej
zmiennej dλ. W tym celu mnożąc lewostronnie równanie pierwsze przez D wyznaczamy dσ
∂g
dσ = D ⋅ dε − D ⋅
⋅ dλ ,
(9.14)
∂σ
podstawiając następnie powyższe wyrażenie do drugiego równania mamy
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
T
⎡⎛ ∂F ⎞ T
⎤
∂g
⎛ ∂F ⎞
+ A⎥ ⋅ dλ = 0 ⇒ dλ .
⎜
⎟ ⋅ D ⋅ dε − ⎢⎜
⎟ ⋅D⋅
∂σ
⎝ ∂σ ⎠
⎢⎣⎝ ∂σ ⎠
⎥⎦
70
(9.15)
I ostatecznie równanie konstytutywne dla stanu na powierzchnię plastyczności otrzymujemy
jeżeli do równania (5) podstawimy dλ, i tak
dσ = D*ep ⋅ dε ,
(9.16)
gdzie:
−1
D*ep
T
T
⎡
∂g ⎤
∂g ⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂F ⎞
⋅⎜
= D − D⋅
⎟ ⋅ D ⋅ ⎢A + ⎜
⎟ ⋅D⋅ ⎥ .
∂σ ⎝ ∂σ ⎠
∂σ ⎥⎦
⎝ ∂σ ⎠
⎢⎣
(9.17)
4. Równanie konstytutywne
Dla procesu sprężystego i procesu biernego (zejście z powierzchni plastyczności)
dε = dε (e ) = D −1 ⋅ dσ lub dσ = D ⋅ dε .
(9.18)
Dla procesu czynnego (na powierzchni plastyczności)
−1
dε = dε (e ) + dε (p ) = D ep
⋅ dσ lub dσ = D ep ⋅ dε .
(9.19)
Macierz Dep:
– symetryczna dla stowarzyszonego prawa płynięcia ⇒ g ≡ F,
– niesymetryczna dla niestowarzyszonego prawa płynięcia.
Znaczenie parametru A:
a) idealna plastyczność (bez wzmocnienia)
A = 0,
b) plastyczność ze wzmocnieniem.
(9.20)
W równaniu powierzchni plastyczności F (σ, κ ) parametr κ związany jest ze zmianą powierzchni plastyczności:
– parametr κ wyraża energię odkształceń plastycznych
dκ = σ1dε1( p ) + σ 2 dε (2p ) + ... + σ 6 dε (6p ) = σ T dε ( p ) ,
∂g
mamy:
∂σ
∂g
∂g
dκ
dκ = dλ ⋅ σ T ⋅
, oraz
= σT ⋅
,
∂σ
dλ
∂σ
– wracając do wcześniejszego oznaczenia mamy:
∂F T ∂g
∂F dκ
A=−
⇒ A=−
⋅σ ⋅
.
∂κ dλ
∂σ
∂κ
(9.21)
– po podstawieniu: dε = dλ
(9.22)
(9.23)
Parametr A można tak wyznaczyć, jeżeli znana jest jawna funkcja F (σ, κ ) względem σ i κ.
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
71
5. Teoria plastyczności Prandtla – Reuss’a
Założenia:
a) małe odkształcenia,
b) materiał idealnie sprężysto – plastyczny z warunkiem HMH (może być z izotropowym
wzmocnieniem),
c) ważne jest stowarzyszone prawo płynięcia.
Powierzchnia plastyczności:
(
)
1
1
1
⎡1
⎤2
F (σ, κ ) = ⎢ (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 + 3 σ 24 + σ 52 + σ 62 ⎥ − σ 0 (κ ) = 0 ,
2
2
⎣2
⎦
(9.24)
lub
(
)
1
⎡1
⎤2
F (σ, κ ) = 3 ⎢ s12 + s 22 + s32 + s 42 + s52 + s62 ⎥ − σ 0 =
⎦
⎣2
3 T
⋅ s ⋅ s − σ0 = 0 ,
2
(9.25)
gdzie:
⎧σ m ⎫ ⎧ σ1 − σ m ⎫
⎪σ ⎪ ⎪σ − σ ⎪
m⎪
⎪ m⎪ ⎪ 2
⎪⎪σ m ⎪⎪ ⎪⎪σ 3 − σ m ⎪⎪
σ = σ0 + s = ⎨ ⎬ + ⎨
⎬,
⎪ 0 ⎪ ⎪ σ4 ⎪
⎪ 0 ⎪ ⎪ σ5 ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪⎩ σ 6 ⎪⎭
(9.26)
σ 0 − aksjator tensora naprężenia,
s − dewiator tensora naprężenia,
1
(σ1 + σ 2 + σ3 ) .
3
Jednoosiowy stan naprężenia – badanie doświadczalne
σm =
Rys. 9.4
Niech parametr κ oznacza pracę naprężeń na odkształceniach plastycznych:
( )
dκ = σ 0 ε ( p ) ⋅ dε ( p ) .
Wówczas
(9.27)
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
(p)
∂σ 0
∂σ 0 dε
∂σ
∂F
1
H
=−
= − ( p) ⋅
= − ( p0) ⋅
=− ,
∂κ
∂κ
dκ
σ0
σ0
∂ε
∂ε
gdzie H ≡
∂σ 0
∂ε
(p)
72
(9.28)
( )
jest tangensem kata nachylenia wykresu σ 0 ε ( p ) w trakcie uplastycznienia (w
układzie σ 0 − ε ( p ) ).
Z rysunku H =
E1
.
1 − E1 / E
6. Powierzchnie plastyczności wyrażone przez niezmienniki tensora naprężenia
Zwykle powierzchnię plastyczności wyrażamy przez niezmienniki:
I1 ≡ σ1 + σ 2 + σ 3 = 3σ m - pierwszy niezmiennik tensora naprężenia,
J2 ≡
(
)
1 2
s1 + s 22 + s32 + s 42 + s52 + s 62 - drugi niezmiennik dewiatora naprężenia,
2
J 2 ≡ s1 ⋅ s 2 ⋅ s3 + 2 ⋅ s 4 ⋅ s5 ⋅ s 6 − s1 ⋅ s52 − s 2 ⋅ s 62 − s3 ⋅ s 42 - trzeci niezmiennik dewiatora.
Powierzchnie plastyczności w przestrzeni naprężeń głównych oraz na płaszczyźnie dewiatorowej:
Płaszczyzna dewiatorowa jest prostopadła do osi hydrostatycznej – patrz rysunek
Rys. 9.5. Opis przestrzeni Haigh- Westergaard
Parametrami (współrzędnymi) przestrzeni Haigh- Westergaard są: (ξ,ρ,θ).
Związki transformacyjne:
3ξ = σ1 + σ 2 + σ 3
ρ = ( s12 + s 22 + s32 ) = 2 J 2 = 3τ oct
(9.29)
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
Powierzchnia plastyczności wg hipoteza Treski
1
F (σ, κ ) = F ( J 2 , θ, κ ) = 2 J 2 sin(θ + π) − σ 0 (κ )
3
lub
1
F (ρ, θ, κ ) = 2ρ sin(θ + π) − σ 0 (κ )
3
73
(9.30)
(9.31)
dla 0 ≤ θ ≤ 60 0
Rys. 9.6. Powierzchnia plastyczności Treski; (a) w przestrzeni naprężeń,
(b) Przekrój płaszczyzną σ3 = 0, (c) na płaszczyźnie dewiatorowej
Powierzchnia plastyczności wg hipoteza Hubera-Missesa-Henckego
1
F ( J 2 , κ ) = J 2 − σ 02 (κ ) = 0 .
3
(9.32)
Rys. 9.7. Powierzchnia plastyczności Hubera-Missesa-Henckego; (a) w przestrzeni naprężeń,
(b) Przekrój płaszczyzną σ3 = 0, (c) na płaszczyźnie dewiatorowej
Powierzchnia plastyczności wg hipotezy Coloumba – Mohra
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
F (I 1 , J 2 , θ, κ ) =
I1
π⎞
⎛
sin φ(κ ) + J 2 sin ⎜ θ + ⎟ −
3
3⎠
⎝
74
J2
π⎞
⎛
sin φ(κ ) cos⎜ θ + ⎟ − c(κ ) cos φ( κ) = 0 ,
3
3⎠
⎝
(9.33)
lub
π⎞
π⎞
⎛
⎛
F (ξ, ρ, θ, κ ) = 2ξ sin φ( κ) + 3 ρ sin ⎜ θ + ⎟ + ρ cos⎜ θ + ⎟ sin φ( κ) − 6c( κ) cos φ( κ) = 0
3⎠
3⎠
⎝
⎝
(9.34)
dla 0 ≤ θ ≤
π
3
gdzie parametry zależne od κ: c(κ), φ(κ).
Rys. 9.8. Powierzchnia plastyczności Coloumba – Mohra; (a) w przestrzeni naprężeń,
(b) na płaszczyźnie dewiatorowej
Powierzchnia plastyczności wg hipotezy Drucker’a – Prager’a:
F (I 1 , J 2 , κ ) = a ⋅ I 1 + J 2 − b = 0 ,
(9.35)
Rys. 9.9. Powierzchnia plastyczności Drucker’a – Prager’a; (a) w przestrzeni naprężeń,
(b) na płaszczyźnie dewiatorowej
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
gdzie:
a=
2 sin φ(κ )
3 (3 − sin φ(κ ))
,
b=
6c(κ ) cos φ(κ )
3 (3 − sin φ(κ ))
75
,
parametry: c(κ), φ(κ) zależne od κ.
7. Gradient funkcji plastyczności
Przy formułowaniu algorytmów numerycznych występuje zawsze konieczność wyznaczenia
gradientu funkcji plastyczności. Jeżeli ta funkcja jest wyrażona przez niezmienniki tensora naprężenia, wówczas
∂F ( I1 , J 2 , J 3 ) ∂F ∂I 1 ∂F ∂J 2 ∂F ∂J 3
=
⋅
+
⋅
+
=
⋅
∂σ
∂I 1 ∂σ ∂J 2 ∂σ ∂J 3 ∂σ
(9.36)
(1) ∂I 1
( 2 ) ∂J 2
( 3) ∂J 3
=M ⋅
+M ⋅
+M ⋅
∂σ
∂σ
∂σ
Dla poszczególnych hipotez macierze M(1), M(2), M(3) są wyznaczone i podane w literaturze.
8. Materiał sprężysto – plastyczny. Uogólniona teoria
Zakłada się, że dla dowolnego poziomu naprężenia materiał odkształca się sprężyście i plastycznie i nie ma wyraźnej powierzchni plastyczności.
Rys. 9.10
Oznacza to, że przez każdy punkt przestrzeni naprężeń przechodzi powierzchnia plastyczności o
zmieniającym się współczynniku wzmocnienia.
Wektory normalne jednostkowe:
∂F
∂σ
n=
do powierzchni F (σ, κ ) = 0 ,
1
⎛ ⎛ ∂F ⎞ T ⎛ ∂F ⎞ ⎞ 2
⎜⎜
⎟ ⋅⎜
⎟⎟
⎜ ⎝ ∂σ ⎠ ⎝ ∂σ ⎠ ⎟
⎠
⎝
(9.37)
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
ng =
∂g
∂σ
do powierzchni g (σ ) = const .
1
⎞2
76
(9.38)
⎛ ⎛ ∂g ⎞ ⎛ ∂g ⎞
⎜⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎝ ∂σ ⎠ ⎝ ∂σ ⎠ ⎟
⎠
⎝
T
Rys. 9.11
Wyróżniamy trzy stany obciążenia:
– obciążenie: n T ⋅ dσ > 0 ,
– odciążenie: n T ⋅ dσ < 0 ,
– stan neutralny n T ⋅ dσ = 0 .
Zakłada się, że znane są macierze sprężysto – plastyczne dla każdego ze stanu obciążenia i
odciążenia, stąd:
dσ = D*L ⋅ dε dla obciążenia ,
dσ = D*U ⋅ dε dla odciążenia.
Dla stanu neutralnego: D* przyjmuje się zwykle jako D*L .
Macierze sprężysto – plastyczne:
(
D(H
)
⋅D⋅n )
D*L = D − D ⋅ n g ⋅ n T D H L + n T ⋅ D ⋅ n g
−1
D*U = D − D ⋅ n g ⋅ n T
−1
U
+ nT
g
,
(9.39)
.
W jakim stopniu macierz jest różna od macierzy sprężystej decydują współczynniki HL i HU.
Jeżeli mamy do czynienia z odkształceniami sprężystymi to H→∞ i D*→D. Jeżeli H→0 to materiał staje się idealnie plastyczny.
Uwaga: takie założenia są dla większości materiałów realistyczne (zwykle brak wyraźnej granicy
plastyczności) oraz łatwiejsze są dla nich algorytmy komputerowe.
9. Algorytmy obliczeń komputerowych
Stosujemy metody przyrostowe.
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
77
Dany jest stan n-ty dla obciążenia Qn. Wyznaczane są parametry q n , ε n , σ n . Przyjmujemy przyrost obciążenia ΔQ n . Dla kolejnych iteracji i-tej wyznaczamy:
– macierz styczną K iT ,
– przyrost Δq in oraz Δε in ,
– przyrost naprężeń
Δσ in
=
Δε in
∫D
*
⋅ dε − różne metody wyznaczania tej całki.
0
A) Obliczanie Δσ in metoda bezpośrednią
Δσ in
k
=∑
l −1
l =0
D* ⋅ Δε in
k
,
(9.40)
gdzie D*L jest macierzą sprężysto – plastyczną dla kolejnych poziomów naprężenia
k
σ in = σ n + ∑ Δσ in .
(9.41)
l =0
Rys.9.12
Liczba odcinków na które się dzieli przedział nie jest określona – zależy od typu zadania.
B) Obliczanie Δσ in metoda niejawną
[
]
Δσ in = (1 − θ) ⋅ D*i + θ ⋅ D*i +1 ⋅ Δε in .
(9.42)
Macierze D*ni i D*ni +1 – wyznaczane na końcach przedziału. Dla ustalonego θ ∈ (0, 1) równanie
jest nieliniowe – należy rozwiązać iteracyjnie.
Rys. 9.13
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
W przypadku zdeterminowanej powierzchni plastyczności:
⎧D * = D ep dla obciazenia
D * = ⎨ L*
⎩ D U = D dla odciazenia
78