2 lutego 2009 r. 1. Dany jest układ równań różniczkowych opisujący

2 lutego 2009 r.
Imię i nazwisko
1. Dany jest układ równań różniczkowych opisujący populacje dwóch wzajemnie konkurujących gatunków
i określony na pierwszej (domkniętej) ćwiartce układu współrzędnych:
(
x′ = x(2 − x − y)
y ′ = y(3 − 2x − y)
A. Wyznacz wszystkie punkty stacjonarne tego układu (pamiętaj, że interesują nas tylko punkty
z pierwszej, domkniętej ćwiartki układu współrzędnych).
Punkty stacjonarne:
B. Dla każdego z tych punktów stacjonarnych wyznacz macierz układu liniowego stanowiącego linearyzację układu wyjściowego w danym punkcie stacjonarnym.
Punkt:
Punkt:
Punkt:
Punkt:
Macierz:
Macierz:
Macierz:
Macierz:
C. Wyznacz wartości własne podanych w poprzednim podpunkcie macierzy. Zbadaj ich hiperboliczność.
Punkt:
Punkt:
Punkt:
Punkt:
wartości własne:
wartości własne:
wartości własne:
wartości własne:
Hiperboliczny (T/N)?
Hiperboliczny (T/N)?
Hiperboliczny (T/N)?
Hiperboliczny (T/N)?
JTRR egzamin
Instytut Matematyki UJ
str. 1 z 7
2 lutego 2009 r.
Imię i nazwisko
D. Dla tych punktów stacjonarnych, które spełniają założenia twierdzenia Grobmana-Hartmana naszkicuj portrety fazowe odpowiednich układów zlinearyzowanych.
Punkt:
Punkt:
Punkt:
Punkt:
E. Naszkicuj kompletny portret fazowy wyjściowego układu.
Portret fazowy:
F. Wyjaśnij dlaczego jest teoretycznie możliwe, lecz praktycznie mało prawdopodobne, że te dwa
gatunki będą trwale wspólnie występowały w opisywanym przez ten układ równań ekosystemie.
JTRR egzamin
Instytut Matematyki UJ
str. 2 z 7
2 lutego 2009 r.
Imię i nazwisko
2. A. Naszkicuj portret fazowy dla równania x′ = x2 − x4 na przedziale (−2, 2).
Portret fazowy
B. Naszkicuj wykres takiej funkcji f : (−2, 2) 7→ R, aby przedstawiony na poniższym rysunku portret
b
b
-1
0
fazowy odpowiadał portretowi fazowemu równania x′ = f (x).
b
1
Wykres f :
3. Rozważmy zbiór Σ2 wszystkich ciągów (jednostronnych) nad alfabetem {0, 1} oraz operator przesunięcia σ działający na tej przestrzeni (jest to układ pełnego przesunięcia jednostronnego (pełnego shiftu)
na dwóch symbolach 0 i 1).
A. Wypisz wszystkie ciągi, które są punktami okresowymi o okresie podstawowym 3 dla σ.
Punkty okresowe σ o okresie podstawowym 3
JTRR egzamin
Instytut Matematyki UJ
str. 3 z 7
2 lutego 2009 r.
Imię i nazwisko
B. Wskaż dwa takie ciągi, które należą do różnych cykli o długości 3 dla σ.
2009
C. Podaj przykład ciągu x = (xi )∞
(x)
i=0 ∈ Σ2 , takiego, że x nie jest punktem okresowym dla σ, ale σ
jest już punktem okresowym dla σ.
4. Dane są dwa układy równań na płaszczyźnie:
(
x′ = x2 − 2xy
y ′ = y 2 − 2xy
(
x′ = x2 + 2xy
y ′ = y 2 + 2xy
Zbadać, który z tych układów jest układem gradientowym, a który układem hamiltonowskim. Wyznaczyć hamiltonian H dla układu hamiltonowskiego oraz funkcję potencjału V dla gradientowego.
Układ gradientowy:
V (x, y) =
JTRR egzamin
Układ hamiltonowski:
H(x, y) =
Instytut Matematyki UJ
str. 4 z 7
2 lutego 2009 r.
Imię i nazwisko
5. Definiujemy odwzorowanie f : [1, 5] 7→ [1, 5] w ten sposób, że f (1) = 3, f (2) = 5, f (3) = 4, f (4) = 2,
f (5) = 1 oraz f jest liniowe na każdym przedziale postaci [i, i + 1], i = 1, 2, 3, 4.
A. Udowodnij, że f posiada punkt okresowy o okresie podstawowym 5.
B. Korzystając ze wskazówki udowodnij, że f nie posiada punktu okresowego o okresie podstawowym
3. Wskazówka: wyznacz obrazy f 3 ([1, 2]), f 3 ([2, 3]), f 3 ([3, 4]) oraz f 3 ([4, 5]) a następnie uzasadnij,
że f 3 |[3,4] jest funkcją ściśle malejącą. Wykaż, że wówczas f 3 ma także tylko jeden punkt stały
i pokaż, że wtedy f nie może mieć cyklu długości 3.
C. Wyznacz (powołując się na odpowiednie twierdzenie z wykładu) zbiór wszystkich długości cykli dla
f . Możesz przyjąć, że oba powyższe podpunkty są prawdziwe, nawet jeśli nie potrafisz ich uzasadnić.
JTRR egzamin
Instytut Matematyki UJ
str. 5 z 7
2 lutego 2009 r.
Imię i nazwisko
JTRR egzamin
Instytut Matematyki UJ
str. 6 z 7
2 lutego 2009 r.
Imię i nazwisko
6. Niech R będzie funkcją uczuć Romea do Julii, zaś J opisuje uczucia Julii do Romea. Załóżmy, że funkcje
te są powiązane ze sobą przez następujący układ równań liniowych:
(
R′ = J
J ′ = −R + J
A. Naszkicuj portret fazowy tego układu.
Portret fazowy
B. Sklasyfikuj punkt stacjonarny tego układu (czy jest to siodło, środek, a może to stabilny(e) lub
niestabilny(e) węzeł, ognisko?).
C. Spróbuj opisać, jaki wpływ na zmianę uczuć Romea R i Julii J mają aktualne uczucia Romea
i Julii. Spróbuj przewidzieć jak skończy się ten romans, jeżeli początkowo J(0) = 0 i R(0) = 1?
JTRR egzamin
Instytut Matematyki UJ
str. 7 z 7