P - Katedra Dynamiki Maszyn

N
Z
Y
LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN
A
S
Ćwiczenie 3
DYNAMIKA WIRNIKA DWUMASOWEGO
1. Cel ćwiczenia
M
Analiza numeryczna drgań wału z osadzonymi elementami o masach skupionych oraz obliczenie
prędkości krytycznych wału metodą współczynników wpływowych.
m1
y1
m2
y2
x
I
O
K
I
2. Wprowadzenie teoretyczne - drgania swobodne wału z osadzonymi elementami o masach
skupionych
l2
l
Rys.1
A
y
M
l1
N
Związki pomiędzy statycznymi ugięciami wału a siłami reakcji (Rys.1):
y1 = δ 11 P1 + δ 12 P2
........
(1)
Y
D
y2 = δ 21 P1 + δ 22 P2
W przypadku ogólnym:
y1 = δ 11 P1 + δ 12 P2 + .... + δ 1n Pn
(1a)
yn = δ n1 P1 + δ n 2 P2 + .... + δ nn Pn
A
gdzie: δij – współczynnik wpływowy wyrażający ugięcie wału w punkcie i wywołane siłą jednostkową
przyłożoną w punkcie j, przy czym δij = δji.
(2)
D
δ 12 
δ
[δ ] =  11

δ 21 δ 22 
R
Macierz współczynników wpływowych dla wału 2-masowego:
Ogólnie:
(2a)
T
E
δ 11 δ 12 ...... δ 1n 
[δ ] =  ..
.......
.. 


δ n1 δ n 2 ...... δ nn 
K
A
Stosując rachunek macierzowy równania (1a) można zapisać w następującej postaci:
(3)
{y} = [δ ]{P}
T
gdzie: {y}={y1 y2 ... yn} – wektor przemieszczeń mas skupionych;
{P}={P1 P2 ... Pn}T – wektor sił reakcji wału na masy skupione.
N
Y
Z
Mnożąc lewostronnie obie strony (3) przez macierz odwrotną do macierzy podatności otrzymuje się
(4),
{P} = [δ ]−1 {y} = [k ]{y}
-1
gdzie: [k] = [δ] – macierz sztywności.
M
A
S
W przypadku wału z dwiema masami elementy macierzy sztywności są określone następująco:
− δ 12 
 δ 22
 k11 k12   ∆
∆ 
(5),
[k ] = 
=

δ 11 
k12 k 22   − δ 12

 ∆
∆ 
gdzie: ∆ = δ11 δ22 - δ122.
K
m1 0 .... 0 
 0 m1 .... 0  - macierz bezwładności.
[m] = 

... 
 ... ....
 0 0 .... mn 
I
gdzie:
I
Macierzowe równanie ruchu drgającego mas skupionych umieszczonych na bezmasowym wale
można zapisać w następującej postaci:
(6)
[m]{&y&} = −[k ]{y}
M
Dla układu 2-masowego równanie macierzowe (6) można zapisać w postaci układu dwóch równań
różniczkowych:
m1 &y&1 + k11 y1 + k12 y2 = 0
m2 &y&2 + k12 y1 + k22 y2 = 0
(7)
R
A
D
Y
N
A
Przyjmując, że układ opisany równaniami (7) drga według jednej z postaci głównych poszukuje się
rozwiązań w postaci harmonicznej
(8)
y1 = A1 sin(α t ) ;
y 2 = A2 sin(α t )
Po podstawieniu (8) do (7) otrzymuje się układ równań algebraicznych względem niewiadomych A1 i A2
(k11 − α 2m1 ) A1 + k12 A2 = 0
(9)
k12 A1 + (k22 − α 2 m2 ) A2 = 0
Warunkiem istnienia niezerowych rozwiązań na A1 i A2 jest zerowanie się wyznacznika charakterystycznego układu równań (9). Otrzymuje się w ten sposób równanie częstości, z którego wyznacza się
poszukiwane częstości drgań własnych układu
k11 − α 2 m1
k12
(10)
=0
k12
k22 − α 2 m2
Po rozpisaniu wyznacznika równanie częstości ma następującą postać:
(11)
m1 m2α 4 − (k11 m2 + k 22 m1 )α 2 + k11 k 22 − k122 = 0
W ogólnym przypadku wału z n masami równanie częstości można zapisać w postaci:
(12)
[k ] − α 2 [m] = 0
D
Stosunki amplitud odpowiadające głównym postaciom drgań układu dwumasowego są określone na
podstawie jednego z równań (9). Biorąc pod uwagę na przykład równanie pierwsze otrzymuje się:
 A2  k11 − α12 m1
 A2 
k11 − α 22 m1
;
(13)
E
u1 =   =
 A1 1
− k12
u2 =   =
 A1  2
− k12
K
A
T
Stosunek amplitud u1 jest zawsze dodatni, co oznacza że obie masy poruszają się w fazie (zawsze w tę
samą stronę). Stosunek amplitud u1 jest ujemny, co oznacza że obie masy poruszają się w przeciwfazie (w
przeciwne strony). Wynika stąd, że drugą postać drgań wału charakteryzuje przegięcie. Jeden przekrój
wału w czasie drgań jest nieruchomy, czyli stanowi węzeł. Ogólnie większej częstości drgań własnych
odpowiada większa liczba węzłów i większa energia ugięcia odpowiadająca postaci drgań.
N
m
Y
3. Obliczanie elementów macierzy sztywności wału z masami skupionymi (Rys.2)
m
x
Z
EI
l/2
Rys. 2
y
Wyznaczenie macierzy współczynników wpływowych (macierzy podatności)
A
l
S
l/4
l
Reakcje na podporach (Rys.3):
R1 + R2 = P
=>
R1 = P
l−a
;
l
EIy1" = − R2 (l − x ) + P(a − x ) = − P
a
l
(a)
a
(l − x ) + P(a − x )
l
a x2
x2
− P + C1
2
l 2
3
ax
x3
EIy1 = P
− P + C1 x + C2
l 6
6
(b)
N
- dla x > a :
A
EIy1' = P
a
(l − x )
l
Y
EIy2" = − R2 (l − x ) = − P
R2 = P
Rys. 3
I
Pa = R2l
Równanie różniczkowe osi ugiętej belki:
- dla x ≤ a :
R2
K
a
M
R1
y
I
x
EI
M
P
a x2
− Pa x + C3
l 2
a x3
x2
EIy2 = P
− Pa + C3 x + C4
l 6
2
(c)
D
EIy2' = P
A
Warunki brzegowe i warunki ciągłości:
- dla x = 0 , y1 = 0
⇒ C2 = 0
- dla x = l , y2 = 0
⇒ C3 l + C4 = P a l2/3
- dla x = a , y1’ = y2’ ⇒ C3 – C1 = P a2/2
- dla x = a , y1 = y2
⇒ C1a – C3 a – C4= -P a3/3
Stałe całkowania wyznaczone z układu równań (d):
R
(d)
al
a3
a2
al
a3
a3
+P −P
; C3 = P + P
; C4 = − P
3
6l
2
3
6l
6
D
C1 = P
(e)
E
Końcowa postać równania linii ugięcia:
- dla x ≤ a :
- dla x ≥ a :
A
EIy 2 = P
K
a x3
x3
al
a3
a2
−P +P x+P x−P x
l 6
6
3
6l
2
(f)
a x3
x2
al
a3
a3
− Pa + P x + P x − P
l 6
2
3
6l
6
(g)
T
EIy1 = P
N
Z
x
R2
l
Rys. 4
S
a
x
(h)
(i)
A
M
I
K
I
M
Wyznaczenie ugięć belki dla różnych położeń siły (oznaczenia jak na Rys.4)
3 Pl 3
- dla a = l/4 , x = l/4
⇒
y=
256 EI
11 Pl 3
- dla a = l/2 , x = l/4
⇒
y=
768 EI
11 Pl 3
- dla a = l/4 , x = l/2
⇒
y=
768 EI
1 Pl 3
- dla a = l/2 , x = l/2
⇒
y=
48 EI
Macierz współczynników wpływowych:
11 
 3
3
δ
δ


1,17 1,43  − 2 l 3
12 
256 768  l
[δ ] =  11
=
=>
[
δ
]
=
 
1,43 2,08 10 EI
1  EI
δ 21 δ 22   11



 768 48 
Wyznaczenie macierzy sztywności:
k 
− δ12 
k
1δ
−1
[k ] =  11 12  = [δ ] =  22
∆ − δ12 δ11 
k12 k 22 
A
R1
y
y EI
Y
P
(j)
Y
N
gdzie: ∆ = δ11 δ22 - δ122.
 2,08 − 1,43
 5,33 − 3,67 
1
EI
− 2 EI
10
[k ] =
×
=
× 10 2 3 [N/m]




−4
3
3,0 
0,391×10 − 1,43 1,17 
l
l
− 3,67
D
4. Przebieg ćwiczenia
a) wyznaczyć współczynniki wpływu dla wału przedstawionego na Rys.5 przyjmując następujące
dane liczbowe: E = 2,1× 1011 Nm-2; I = 6,362 × 10-11 m4
m
m
x
A
EI
R
l/4
3l/4
D
y
l
Rys. 5
T
E
b) przy użyciu arkusza kalkulacyjnego Excel przeprowadzić analizę wpływu zmiany długości wału
oraz wielkości mas osadzonych na wale na wartość prędkości krytycznych (zakresy zmian: l (0,5 ÷
1,5 m); m (0,1 ÷ 1 kg))
c) sformułować wnioski
5. Literatura
K
A
1. Parszewski Z.; Drgania i dynamika maszyn, WNT Warszawa 1982;
2. Kapitaniak T.: Wstęp do teorii drgań. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź 1992.
3. Tse F.S., Morse I.E., Hinkle R.T.: Mechanical Vibrations - Theory and Applications, Allyn and Bacon Inc.,
Boston, London, Sydney, Toronto, 1978.