27-31

27
GKF # 261
MATEMATYCZNA
FANTASTYKA
CZY FANTASTYCZNA
MATEMATYKA?
O, nie do y! rozkoszy, kto tak bez siwizny
Ani w przestrzeni Weyla ani Brouwera
Studium topologiczne u"ciskiem otwiera
Badaj#c Moebiusowi nieznane krzywizny!
(Lem, Cyberiada)
Musz si zastrzec od razu: tytu!owe pytanie, maj"ce wyja#ni$ rol matematyki
w Science Fiction, pozostawi
bez odpowiedzi, obarczaj"c tym brzemieniem
Czytelnika. Odpowiem tylko, dla u!atwienia zadania, na kilka pyta% pomocniczych.
A oto pierwsze z nich, sugerowane przez motto:
Jak kocha matematycznie?
Nie ulega w"tpliwo#ci, ze odpowied& winna si opiera$ na mocnych podstawach
teoretycznych. S" one zawarte w primaaprilisowym opowiadaniu Andrzeja
Le#niewskiego (ukrywaj"cego si pod pseudonimem John P. Houle) pt. Elementy
matematycznej teorii mi o!ci. Utwór ten powinien sprawi$ niek!aman" uciech
ka'demu matematykowi (i nie tylko). Oto próbki tekstu:
Najprostszym przyk adem wielok"ta erotologicznego jest trojk"t erotologiczny
(...) budujemy tu przepi#kn" teori# wielok"óow erotologicznych opart" na teorii
kohomologii. (…)
Twierdzenie Faoliniego g osi, $e wraz z czasem eropotencja y d"$" do zera prawie
wsz#dzie, tzn. wsz#dzie z wyj"tkiem, by% mo$e, zbioru miary zero.
Spróbujmy teraz przej#$ od teorii do praktyki. Dariusz Filar w opowiadaniu
Kszta ty i cienie przedstawia zmatematyzowane spo!ecze%stwo przysz!o#ci, w którym
efektywno#$ zawieranego ma!'e%stwa oblicza si za pomoc" pewnego prostego wzoru.
Oto kluczowy fragment utworu:
– A za kilka tygodni - u!miechn" si# szeroko - Arlet b#dzie moj" $on".
– A w a!nie! - przypomnia em sobie. - Przecie$ zawsze mówi e! o Nadzie.
– Tak, Nada - powiedzia . - Widzisz, jej wspó czynnik & okaza si# dla mnie za
wysoki, ' za! by o równe zeru. Omówili!my wszystko w trójk# i $eni# si# z Arlet (...)
W tej sytuacji wol ju' by$ konserwatyst" i proponuj przej#$ do weselszych
tematów. Oto nast pne pytanie:
Jakie dzia!ania mo"na wykonywa na smokach?
Odpowiedzi udziela Lem w Cyberiadzie. Maszyna cyfrowa zwyci 'a smoka ka'"c
mu wykona$ nast puj"ce trzy dzia!ania: podzieli$ si
przez siebie, wyci"gn"$
pierwiastek, a w ko%cu od siebie si odj"$.
(atwo zgadn"$, 'e dopiero trzecia operacja osi"gn !a zamierzony skutek,
a pierwsze dwie s!u'y!y li tylko do u#pienia czujno#ci. Natomiast wi ksze niespodzianki
oczekuj" nas dalej (Smoki prawdopodobie(stwa):
Tak tedy genialny Kerebron, zaatakowawszy problem metodami !cis ymi, wykry
trzy rodzaje smoków: zerowe, urojone i ujemne (...) Od dawna znany by w smokologii
paradoks polegaj"cy na tym, )e kiedy dwa ujemne herboryzuje si# (dzia anie
odpowiadaj"ce w algebrze smoków mno$eniu w zwyk ej arytmetyce), w rezultacie
powstaje niedosmok w ilo!ci oko o 0,6.
28
INFORMATOR
Powy'sze stwierdzenie, jak si okazuje, prowadzi do zastosowania rachunku
prawdopodobie%stwa, sugeruj"c nast pne pytanie:
Czy nieprawdopodobne jest prawdopodobne?
Otó' Lem twierdzi, 'e tak – o ile zastosujemy miotacz nieprawdopodobie%stwa.
Oto skutki dzia!ania tego zmy#lnego urz"dzenia (Smoki prawdopodobie(stwa):
(...) przelatuj"cy motylek zacz" skrzyde kami nadawa%, alfabetem Morse’a,
drug" ,,Ksi#g# d$ungli”, a w!ród za omów skalnych zamajaczy y cienie wró$ek, wied*m
i dziwo$on, wyra*ny za! odg os t#tni"cych kopyt zwiastowa , $e gdzie! za smokiem
harcuj", wydobyte z niemo$liwo!ci strasznym napi#ciem miotacza, centaury
(…) pobliskie, co mniejsze kamienie wolno unosi y si# w powietrze, kurz za!, który
czochraj"cy si# smok wyrzuca spod zadu, zamiast opa!% w bez adzie, u o$y si#
w powietrzu we wcale czytelny napis S+UGA PANA DOKTORA.
Podobne efekty pojawiaj" si i u innych autorów, ro'ni" si jednak mechanizmem
powstawania. W opowiadaniu Stephena Barra J"dro krystalizacji &ród!em nieprawdopodobnych zdarze% jest ma!y od!amek dziwnej szklistej bry!y, który utkwi!
w policzku bohatera. Natomiast bohater Gigantycznego zak ócenia braci Strugackich
jest o#rodkiem cudów bez 'adnej widomej przyczyny, i to niemal'e od urodzenia.
Od ,,cudowno#ci totalnej” przejd&my teraz do pojedynczego cudu okre#lonego
pytaniem:
Czy ma!pa mo"e napisa Bosk komedi!?
Chodzi tu o znany paradoks wielkiej liczby: je#li nauczymy ma!p pisa$ na
maszynie (tzn. stuka$ w klawisze), to po up!ywie dostatecznie d!ugiego czasu napisze
ona (przypadkowo) dowolny tekst, a wi c np. wspomnian" Bosk" komedi#. Bardzo
dawno temu zdarzy!o mi si przeczyta$ opowiadanie fantastyczne realizuj"ce w sposób
dos!owny powy'szy pomys!. W uj ciu literackim koncept ten jest do#$ trywialny,
prosz wi c o wybaczenie, 'e w tym miejscu zaanonsuj utwór o znacznie wy'szej
randze artystycznej, mianowicie Bibliotek# Babel Borgesa. Autor opisuje monstrualn"
(by$ mo'e niesko%czon") bibliotek , której ksi"'ki zawieraj" wszelkie mo'liwe
kombinacje liter alfabetu. Znajduj" si wi c tam – w#ród przyt!aczaj"cej ilo#ci tekstów
bezsensownych - tak'e wszystkie ksi"'ki, które by!y lub b d" kiedykolwiek napisane.
Poszukiwanie takich dzie! jest celem 'ycia, a tak'e nieszcz #ciem ludzi
zamieszkuj"cych Bibliotek . Nie mam zamiaru streszcza$ utworu; chc tylko zwróci$
uwag , )e Biblioteka Babel stawia problem subtelniej: w jaki sposób spo#ród ogromnej
liczby kombinacji bezsensownych ekstrahowa$ po'yteczn" informacj ? Odpowied&
znajdujemy u Lema w szóstej wyprawie Cyberiady: nale'y po prostu stworzy$
,,demona drugiego rodzaju” wykonuj"cego t k!opotliw" funkcj . Niestety, ów demon
dlatego tak si nazywa, 'e jego istnienie jest dok!adnym zaprzeczeniem drugiego
prawa termodynamiki. Ale tu ju' zap dzili#my si na tereny fizyki, wycofujemy si
wi c czym pr dzej na z góry upatrzone pozycje i zadajemy klasyczne pytanie:
Jak wygl#da czwarty wymiar?
Pod koniec XIX wieku odpowied& by!a prosta: czwarty wymiar zamieszkuj"
duchy.
Pogl"d
ten
by! ,,potwierdzany
do#wiadczalnie”
podczas
seansów
spirytystycznych dokonywaniem sztuczek wykonalnych jakoby tylko w przestrzeni
czterowymiarowej. Chodzi tu np. o zawi"zywanie w z!ów na sznurze bez
manipulowania ko%cami czy te' przekszta!canie przedmiotów w ich zwierciadlane
odbicia. Interesuj"ce dane na ten temat mo'na znale&$ w ksi"'ce Martina Gardnera
Zwierciadlany Wszech!wiat (str.217-219).
Dla nas istotny jest fakt, )e powy'sze pogl"dy znalaz!y swój wyraz literacki
w opowiadaniu Wellsa W czwartym wymiarze. Chcia!bym zwróci$ uwag , )e bohater
opowiadania powraca ze #wiata duchów w postaci lustrzanego odbicia – np. serce ma
GKF # 261
29
po prawej stronie. Od czasów Wellsa wiele si zmieni!o – nie tylko w fantastyce – ale
pomys! zwierciadlanego odbicia pozosta! – w zmienionych dekoracjach. W#ród wielu
przyk!adów wymie%my Pomy k# techniczn" Arthura Clarke'a czy te' Drug" stron#
lustra Janusza Zajdla. Jak powstaje takie odbicie, !atwo zrozumie$ metod" analogii.
Nale'y sobie wyobrazi$ #wiat dwuwymiarowy, a wi c np. p!aszczyzn po!o'on"
w trójwymiarowej przestrzeni, podobnie jak nasz rzeczywisty #wiat jest zanurzony
w hipotetycznej przestrzeni czterowymiarowej. W tej sytuacji lustrzanego odbicia
figury mo'na dokona$ przez odwrócenie jej „na drug" stron ” po wyj ciu z rozwa'anej
p!aszczyzny. Ta sama analogia pozwoli nam na zrozumienie innych osobliwo#ci
wyst puj"cych w utworach SF. W opowiadaniu Tadeusza Koz!owskiego Mi#dzy robrami
bohaterowi ukazuje si tajemniczy osobnik, przedstawiaj"cy si jako... Rafaelos
Angelos, który w nast puj"cy sposób t!umaczy swoje nag!e zjawienie:
Pan mo$e si# pokaza% p aszczakom. Wystarczy, je$eli pan ucharakteryzuje si#
i ubierze na ich wygl"d, nagra swój film i projektorem rzuci swój obraz na ekran, jakim
jest ich wszech!wiat. Gdy pan w "czy projektor, zjawia si# pan; gdy wy "czy - znika.
A przecie$ to samo mo$e zrobi% za pomoc" swego projektora istota z pi#ciowymiarowego wszech!wiata.
Poza projekcj" mo'na tak'e rozwa'a$ przeci cia obiektów czterowymiarowych
z naszym #wiatem. Powstaj" wtedy zwyk!e twory trójwymiarowe, mog" si jednak
zdarzy$ niespodzianki. Obiekt taki mo'e si nam na przyk!ad ukaza$ w postaci kilku
oddzielnych ,,kawa!ków”. Pisze o tym Lem w Smokach prawdopodobie(stwa:
Jak wynurzaj"ca si# z wody d o( ukazuje nad jej powierzchni" pi#% pozornie
ca kiem niezawis ych od siebie palców, tak wynurzaj"c si# z przestrzeni konfiguracyjnej
w realn", smoki wygl"daj" na mnogie, chocia$ s" tylko jednym.
Ciekawe, 'e podobny pomys! napotka!em w opowiadaniu niesamowitym Suknie
dla Egrish, w którym krawiec szyje kolejno stroje o groteskowych kszta!tach na
zamówienie tajemniczego nieznajomego. Na zako%czenie zjawia mu si ca!kowicie
ubrana ,,klientka” z za#wiatów w postaci kilku oddzielnych cz #ci – mog"c ju' teraz
zawojowa$ #wiat.
Spotyka si tak'e pomys!y nie maj"ce 'adnego matematycznego uzasadnienia,
chocia' takowe sugeruj". W opowiadaniu Barringtona Bayleya Statek, który $eglowa
po oceanie Kosmosu tajemniczy obiekt ,,nie ma wewn"trz 'adnej przestrzeni”
i poprzez przedziurawienie zostaje ,,zatopiony” (tj. przeniesiony ca!kowicie do naszego
#wiata). Natomiast Ray Bradbury w opowiadaniu Dziecko jutra przedstawia ,,poród
w innym wymiarze” i jako jego rezultat... niebiesk" piramidk z sze#cioma mackami
i trojgiem oczu na szypu!kach. Trudno o pomys! bardziej idiotyczny. Ale, co
najdziwniejsze, powsta!o z tego (przepraszam za go!os!owno#$) ca!kiem niez!e
opowiadanie. Oto r ka mistrza!
Interesuj"cy pomys! zawiera opowiadanie Roberta Heinleina I zbudowa krzywy
dom. Jego ,,bohaterem” jest hipersze#cian, obiekt matematyczny b d"cy czterowymiarowym analogiem zwyk!ego sze#cianu. Podobnie jak powierzchni sze#cianu mo'na
sklei$ z p!askiej siatki narysowanej na papierze, tak samo ,,powierzchnia” hipersze#cianu
mo'e by$ sklejona z siatki trójwymiarowej – bry!y z!o'onej z o#miu sze#cianów. Tak"
w!a#nie siatk -dom zbudowa! architekt Til za namow" przyjaciela. Nie by!oby w tym nic
nadzwyczajnego, gdyby nie trz sienie ziemi, które spowodowa!o ,,obsuniecie si ” siatki
w czwartym wymiarze i powstanie autentycznego hipersze#cianu. W tak przekszta!conym domu Til wraz z gospodarzami prze'ywa wstrz"saj"ce przygody: okna
prowadz" z pokoju do pokoju, ale mo'na te' przez nie wypa#$ na zewn"trz, id"c
w tym samym kierunku wraca si do punktu wyj#cia, itp. Godny uwagi jest fakt, 'e
wszystkie opisane ,,dziwy” s" logicznymi konsekwencjami wyj#ciowego za!o'enia.
Czytelnik mo'e to sam prze#ledzi$ na modelu trójwymiarowym: powierzchni sze#cianu
ustawionego na p!aszczy&nie stanowi"cej wszech#wiat „p!aszczakow”.
30
INFORMATOR
Czas jednak na zmian nastroju. Proponuj wi c kolejne pytanie:
Co to s# proportki?
Odpowied& znajdujemy u Lema w Wielko!ci urojonej:
PROPORTKI, spodnie jednopowierzchniowe Kleina, patrz: krawiectwo kwantowotunelowe.
Trzeba przyzna$, 'e niewiele nam to mówi, co nale'y z!o'y$ na karb lakoniczno#ci
w!a#ciwej encyklopediom. Zajmijmy si
wi c dok!adniej kluczowym s!owem
,,jednopowierzchniowe”. Oto fragment opowiadania Janusza Zajdla Towarzysz podró$y:
(...) odci" z brzegu arkusza w"ski pasek, d ugi na jakie! 25 centymetrów.
– Je!li ten pasek skleimy w ten sposób – pokazywa – to otrzymamy po prostu
zwyk y pier!cie( czy raczej boczn" powierzchni# bardzo niskiego walca; je!li natomiast
jedn" z kraw#dzi przed sklejeniem odwrócimy ,,na drug" stron#”, czyli skr#cimy o 180
stopni, o, tak – skr#ci ta!m# o pó obrotu - i teraz dopiero spoimy brzegi, to
otrzymamy w a!nie wst#g# Mobiusa. Prosz# zauwa$y%, $e taka wst#ga posiada tylko
jedn" powierzchni#, jedn" stron#...
– Jak to? – spyta em ze zdumieniem, nie bardzo rozumiej"c, co ma na my!li. –
Przecie$ papier ma dwie strony?! (…)
– A teraz prosz# wzi"% o ówek i przejecha% nim po ta!mie, poczynaj"c od
dowolnego punktu, zawsze równolegle do obu brzegów papieru, nie przekraczaj"c
$adnego z nich.
– Rzeczywi!cie! – zdziwi em si#, stwierdziwszy, $e o ówek powróci dok adnie
tam, sk"d wyruszy . – To zadziwiaj"ce: obszed em obie strony papieru! Kreska ci"gnie
si# po obu stronach ta!my...
– Po jednej stronie, prosz# pana. Drugiej strony ta!ma nie posiada!
Czytelnikowi, który jeszcze tego nie robi!, gor"co polecam powtórzenie powy'szego do#wiadczenia.
Innym przyk!adem powierzchni jednostronnej jest tzw. butelka Kleina (por.
,,proportki”). Mo'na o niej przeczyta$ w Zwierciadlanym Wszech!wiecie Gardnera. Ale
co z tego ma SF? Oto dalszy fragment Towarzysza podró$y:
(...) )yjemy na takiej w a!nie ,,powierzchni jednostronnej”; aby dosta% si# do
punktu maksymalnie odleg ego (...) musimy odby% d ug" podró$ wzd u$ ta!my.
A przecie$ w rezultacie znajdziemy si# jakby w tym samym punkcie, bo od punktu
wyj!cia oddziela% nas b#dzie jedynie papier, o którym wszak za o$yli!my, $e jest
niesko(czenie cienki. (...) Aby znale*% si# ,,na drugim ko(cu” Wszech!wiata, wystarczy
tylko ,,przebi%” niesko(czenie cienk" upin#...
Oczywi#cie jest to znowu dwuwymiarowa analogia sytuacji trójwymiarowej.
W opowiadaniu mówi si o ,,przestrzeni Ferenca”.
Na podobnej koncepcji opiera si jedno z najpi kniejszych opowiada% SF, ,ciana
mroku Arthura Clarke’a. Akcja rozgrywa si w jednym z wszech#wiatów p!yn"cych jak
p cherzyki piany po Rzece Czasu. *wiat ten posiada tylko jedno s!o%ce i jedn" planet
zwrócon" ku niemu zawsze t" sam" stron". Tam, gdzie #wiat!o nie dochodzi, zaczyna
si Kraina Wiecznej Nocy, odgrodzona od zamieszka!ych obszarów tajemnicz" *cian",
zbudowan" w zamierzch!ych czasach i chroni"c" ludzi przed szale%stwem, gro'"cym
jakoby nieostro'nemu w drowcowi. M!ody w!adca pragnie zg! bi$ tajemnic *ciany,
ka'e wi c zbudowa$ rusztowanie, po którym samotnie dostaje si na gór . Id"c ci"gle
w kierunku przeciwnym do s!o%ca powraca nieoczekiwanie do punktu wyj#cia. Taka
jest pointa utworu, przygotowana przez uprzednie sugestie dotycz"ce symbolu wst gi
Mobiusa w dawnych religiach planety i jego zwi"zku z w!asno#ciami #wiata. Niestety,
sugestie te nie mog" wyt!umaczy$ opisanego efektu, co jednak w niczym nie
pomniejsza warto#ci utworu.
31
GKF # 261
Natomiast wy!"cznie jako 'art mo'na potraktowa$ zr cznie napisane opowiadanie
znanego nam ju' Martina Gardnera Zerostronny profesor. Uczestniczymy w wyk!adzie
profesora Slapenarskiego na temat odkrytej przez niego powierzchni bez stron. Odczyt
ko%czy si demonstracj" na figurze wyci tej z papieru (sylwetce cz!owieka), która po
odpowiednim poskr caniu i posklejaniu nagle znika – dowodz"c tym faktem, 'e
zerostronna powierzchnia w naszej przestrzeni istnie$ nie mo'e. Specyficzny kszta!t
wyj#ciowej figury umo'liwia nast pnie powtórzenie do#wiadczenia przez 'ywych ludzi,
co w konsekwencji przenosi ich ,,do czwartego wymiaru”. Utwór ko%czy efektowna
pointa:
– Ca e szcz#!cie – powiedzia – $e Simpson i ja uwolnili!my praw" r#k# przed
lew". (...) Inaczej byliby!my obaj !rodkiem na zewn"trz.
Ciekawe, 'e podobny pomys! spotykamy u Wellsa w opowiadaniu Niewydarzony
duch. Tytu!owy bohater ma trudno#ci z powrotem ,,do czwartego wymiaru”, bo
zapomnia! przepisanej sekwencji ruchów, które mia!y to umo'liwi$. )ywy obserwator
prób uwie%czonych wreszcie powodzeniem demonstruje kombinacj kolegom i po jej
zako%czeniu pada martwy. Oto jedyny sposób przeniesienia si do czwartego wymiaru!
Ale oto d!ugo#$ artyku!u d"'y do niesko%czono#ci, kolej wi c na ostatnie pytanie:
I co jeszcze?
Po pierwsze – modelowanie matematyczne – domena Stanis!awa Lema.
W Cyberiadzie modeluje si na papierze walk króla Okrucyusza i potwora (a król go
ró$niczkami, a$ operatory funkcyjne lecia y na wszystkie strony, etc.). Za pomoc"
komputera modeluje si istoty rozumne (Non serviam), a nawet samego siebie
(Kobyszcz#). Przy tych pomys!ach blednie prawdziwy cud, jakim jest pojawienie si
autentycznej mini-gwiazdy wewn"trz komputera (Model supernowej Dworaka
i Danaka).
Osobn" grup tematyczn" stanowi" ,,metody stwarzania geniuszów matematycznych”. W Równaniach Maxwella Anatolija Dnieprowa dzia!a si na mózg odpowiednio dobranym polem elektromagnetycznym, w Transformacji Krzysztofa
Malinowskiego wywo!uje si schizofreni w celu pobudzenia ,,wyobra&ni czterowymiarowej”, a w opowiadaniu Ilji Warszawskiego Niepokoj"cych objawów nie stwierdzono wymazuje si z pami ci wszelkie ludzkie uczucia. Nie s" to zbyt zach caj"ce
perspektywy. Je#li chodzi o ,,zwyczajnych” matematyków – jedyn" istot" z krwi i ko#ci
jest profesor Hogarth z powie#ci Lema G os Pana. Bardziej papierowy, cho$ nie pozbawiony uroku, jest tytu!owy bohater Odkrycia matematyka Matwiejewa Dymitra de
Spillera. Warto odnotowa$, 'e tytu!owe odkrycie zosta!o dokonane nie bez pomocy
oswojonej o#miornicy – dzi ki specyfice widzenia g!owonogów.
A zatem, Drogi Czytelniku: matematyczna fantastyka czy fantastyczna
matematyka?
Andrzej Proszy(ski
Powy szy tekst ukaza! si" w mocno skróconej wersji, w tak zwanej ,,jednodniowce” wydanej z okazji
drugiego przegl#du filmów „Wszech$wiat w fantastyce naukowej” (Muzeum Toru%, 19-21.II.1978 r.).
Uzupe nienie lutego 2011 – suplement
Jeszcze w lutym, nak adem wydawnictwa ISA, uka!" si# dwie powie$ci Davida Webera:
Z FURII ZRODZONA (IN FURY BORN) ksi#ga druga
Data wydania: 28 Luty 2011
ALTERNATYWA EKSKALIBURA (THE EXCALIBUR ALTERNATIVE)
Data wydania: 28 Luty 2011
ISA: reaktywacja!
ZAPOWIEDZI WYDAWNICZE