Zadania na etap szkolny

IV KONKURS MATEMATYCZNY
DLA UCZNIÓW SZKÓŁ
GIMNAZJALNYCH
Zadania I etapu
Czas rozwiązania 90 minut
POWODZENIA !
1. Oblicz pole pierścienia wyznaczonego przez okrąg wpisany i okrąg opisany
na trójkącie równobocznym o boku 2 cm.
(5p)
2. Liczba naturalna dwucyfrowa jest równa potrojonemu iloczynowi jej cyfr.
Znajdź tę liczbę.
x 8
3 − y = 3
3. RozwiąŜ układ równań: 
.
 x + 10 = 2 2
 6 y
3
(7p)
(6p)
4. Trzy kolejne boki pewnego czworokąta wypukłego mają długości 1 cm, 2 cm i 3 cm.
Wyznacz długość czwartego boku tego czworokąta wiedząc, Ŝe jego przekątne są
wzajemnie prostopadłe.
(6p)
5. Do naczynia w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 4cm, 4 cm, 10 cm
napełnionego napojem do 75% jego wysokości wrzucamy kawałki lodu w kształcie
kuli o promieniu 1 cm. Ile maksymalnie kostek moŜna wrzucić do tego naczynia, tak
(6p)
aby nie spowodować wylania napoju z naczynia?
ROZWIĄZANIA ZADAŃ
Zadanie 1.
1 a 3
2 a 3
r= ⋅
; R= ⋅
3 2
3 2
(
(1p)
)
P = πR 2 − πr 2 = π R 2 − r 2 =
a=2 cm
r
(1p)
2
2
 1
 
 1
= π  a 3  −  a 3   =
 
 6
 3
1  3
1
1
= π  a 2 − a 2  = ⋅ πa 2 = πa 2 .
12  12
4
3
Podstawiając a = 2 cm otrzymujemy P = π cm 2 .
R
(2p)
(1p)
Zadanie 2.
Oznaczmy:
x – cyfra dziesiątek
x ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
y ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(1p)
y - cyfra jedności
10x+y – dana liczba dwucyfrowa
Z warunków zadania wynika, Ŝe
10 x + y = 3 xy .
Po przekształceniach otrzymujemy: x(3 y −10) = y .
Aby to równanie miało rozwiązanie to 3 y − 10 > 0 i 3 y − 10 < 10 .
Stąd otrzymujemy y ∈ {4,5,6}.
Sprawdzając wyjściową równość dla otrzymanych
x = 2
x = 1
y otrzymujemy 
, 
.
y = 4
y = 5
Odpowiedź: Szukane liczby to 24 i 15.
(1p)
(1p)
(1p)
(1p)
(1p)
(1p)
Zadanie 3.
Podstawmy:
1
=t.
y
(1p)
1
x
+
5
t
=
4
 3
3
Otrzymujemy następujący układ: 
,
x
2
 + 10t = 2
 6
3
 x + 15t = 13
a następnie 
.
− x − 60t = −16
(2p)
 x = 12

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb 
1 .
t = 15
(2p)
 x = 12
Wracając do pierwotnej zmiennej y otrzymujemy rozwiązanie 
.
 y = 15
(1p)
Zadnie 4.
A
(1p)
1
c
b
B
.
d
D
a
2
(sporządzenie rysunku wraz z oznaczeniami)
x
3
C
Zastosujmy trzykrotnie twierdzenie Pitagorasa:
a2 + b2 = 4
a2 + d 2 = 9
(2p)
b + c =1
2
2
Dodajemy stronami drugie i trzecie równanie otrzymując:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 10 .
(1p)
Wykorzystując w powyŜszej równości pierwsze równanie otrzymujemy:
c2 + d 2 = 6 .
(1p)
Stąd wynika, Ŝe x = 6 .
(1p)
Zadanie 5.
Oznaczmy:
V1 – objętość prostopadłościanu
V2 – objętość cieczy wlanej do prostopadłościanu
V3 - objętość wrzuconych kostek lodu
V1= 4 ⋅ 4 ⋅ 10 = 160 cm 2
(1p)
3
(1p)
V2= ⋅ 160 cm 2 = 120 cm 2
4
V2-V1=40 cm2
(1p)
Aby obliczyć ilość kulek ( ozn. n ), które moŜna wrzucić do naczynia naleŜy rozwiązać
4
(1p)
nierówność: 40 ≥ n ⋅ ⋅ π ⋅ 13 .
3
Przyjmując π ≈ 3,14 otrzymujemy n ≤ 9,55 .
(1p)
Odp: Do naczynia moŜna wrzucić maksymalnie 9 kostek lodu w kształcie
kuli o promieniu 1 cm.
(1p)