Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej

Transkrypt

Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej
prof. dr hab. Bogdan Maruszewski
pokój 408 BM
e-mail: [email protected]
www: http://tm.am.put.poznan.pl
konsultacje: poniedziałek 1100 − 1200
Politechnika Poznańska
Instytut Mechaniki Stosowanej
Zakład Mechaniki Technicznej
Więzy
Jeśli rozważamy ruch układów nieswobodnych, należy określić ograniczenia
nałożone na ruch, czyli tzw. więzy.
Gdy układ n punktów jest ograniczony więzami, wówczas współrzędne
prostokątne tych punktów nie są od siebie niezależne i muszą spełniać
pewną ilość równań więzów:
fν (x1 , y1 , z1 , . . . , xn , yn , zn , t) ><= 0 ,
Bogdan Maruszewski
ν = 1, 2, . . . , k
Mechanika analityczna
2 / 43
Klasyfikacja więzów
skleronomiczne
–
reonomiczne
geometryczne
–
kinematyczne
jednostronne
–
dwustronne
holonomiczne
–
nieholonomiczne
idealne
Bogdan Maruszewski
3 / 43
Współrzędne uogólnione
Liczba wszystkich współrzędnych punktów jest równa 3n, ograniczeń jest k,
więc liczba niezależnych współrzędnych wynosi
s = 3n − k
– liczba stopni swobody
Układ liniowo niezależnych od siebie współrzędnych (parametrów)
wystarczających do opisu ruchu nazywamy współrzędnymi uogólnionymi
q1 , . . . , qs .
W związku z tym wszystkie współrzędne prostokątne układu n punktów
możemy przedstawić w postaci
xi = xi (q1 , . . . , qs ) ,
Bogdan Maruszewski
yi = yi (q1 , . . . , qs ) ,
zi = zi (q1 , . . . , qs )
4 / 43
Przesunięcia przygotowane
Rozważmy nieswobodny punkt A, który musi pozostawać na pewnej
nieruchomej powierzchni.
Załóżmy pewne pomyślane przesunięcie elementarne tego punktu po
powierzchni zgodnie z więzami, oczywiście w płaszczyźnie stycznej do tej
powierzchni. Przesunięcie to nie jest rzeczywiste, więc nie możemy go
oznaczyć dr. Oznaczamy je przez δ r. Przesunięcie takie nazywamy
przesunięciem przygotowanym.
Bogdan Maruszewski
5 / 43
W układzie kartezjańskim
δr = δxi+δyj+δzk,
gdzie δ x, δ y, δ z to wariacje współrzędnych. Wielkości te nie są od siebie
niezależne. Niech równanie więzów ma postać
f (x, y, z) = 0 .
Po przesunięciu przygotowanym punkt będzie miał współrzędne
x + δ x, y + δ y, z + δ z
Bogdan Maruszewski
6 / 43
Ponieważ z założenia przesunięcie to jest zgodne z więzami (punkt nie
opuszcza powierzchni), to muszą być spełnione równania
f (x + δ x, y + δ y, z + δ z) = 0
oraz
f (x + δ x, y + δ y, z + δ z) − f (x, y, z) = 0 .
Ostatnie wyrażenie to δ f , czyli
δf =
∂f
∂f
∂f
δx+ δy+ δz = 0
∂x
∂y
∂z
lub
grad f · δ r = 0 .
Równanie to oznacza, że δ r jest zawsze styczne do powierzchni.
Bogdan Maruszewski
7 / 43
Przesunięcia przygotowane – układ punktów
Dla układu n punktów mamy
fν (x1 , y1 , z1 , . . . , xn , yn , zn ) = 0 ,
ν = 1, 2, . . . , k
δ ri = [δ xi , δ yi , δ zi ]
i = 1, 2, . . . , n
n
∑
i=1
lub
∂ fν
∂ fν
∂ fν
δ xi +
δ yi +
δ zi
∂ xi
∂ yi
∂ zi
=0
n
∑ grad fν · δ ri = 0 .
i=1
Bogdan Maruszewski
8 / 43
Wzory transformacyjne
Jeżeli teraz położenie układu rozpatrywać będziemy we wspórzędnych
uogólnionych, to zgodnie z
xi = xi (q1 , . . . , qs ) ,
yi = yi (q1 , . . . , qs ) ,
zi = zi (q1 , . . . , qs )
ri = ri (q1 , . . . , qs )
mamy s przesunięć przygotowanych δ q1 , . . . , δ qs , a wzory transformacyjne
przyjmują następującą postać:
s
∂ xi
δ qj ,
j=1 ∂ qj
δ xi = ∑
lub
s
∂ yi
δ qj ,
j=1 ∂ qj
δ yi = ∑
s
∂ zi
δ qj
j=1 ∂ qj
δ zi = ∑
s
∂ ri
δ qj .
j=1 ∂ qj
δ ri = ∑
Bogdan Maruszewski
9 / 43
Praca przygotowana
Załóżmy, że punktowi, na który działa siła P udzielamy przesunięcia δ r.
Wówczas pracę tej siły na tym przesunięciu
δ L = P· δ r
nazywamy pracą przygotowaną
δ L = Pδ s cos α ,
Bogdan Maruszewski
δ s = |δ r|
10 / 43
Praca przygotowana
Dla układu n punktów i n sił mamy
n
n
n
δ L = ∑ δ Li = ∑ Pi · δ ri = ∑ (Pix δ xi + Piy δ yi + Piz δ zi )
i=1
i=1
i=1
Dla układu punktów nieswobodnych dochodzi praca reakcji więzów
n
∑ Ri · δ ri
i=1
Jeśli więzy są idealne, to
n
∑ Ri · δ ri = 0
(Ri ⊥ δ ri )
i=1
Bogdan Maruszewski
11 / 43
Praca przygotowana
Załóżmy teraz, że układ punktów znajduje się w równowadze.
Dla i-tego punktu mamy
Pi + Ri = 0 .
Stąd
Pi · δ ri + Ri · δ ri = 0 ,
a dla układu
n
n
∑ Pi · δ ri + ∑ Ri · δ ri = 0 .
i=1
Bogdan Maruszewski
i=1
12 / 43
Zasada prac przygotowanych
Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia równowagi w układzie
jest, by suma prac przygotowanych sił czynnych i reakcji więzów na
przesunięciach przygotowanych była równa zeru.
Dla więzów idealnych mamy
n
∑ Pi · δ ri = 0
i=1
Bogdan Maruszewski
13 / 43
Zasada prac przygotowanych – Przykład
P1 δ s1 − P2 δ s2 = 0
δ s1 = aδ ϕ ,
δ s2 = bδ ϕ
Stąd:
(P1 a − P2 b)δ ϕ = 0
Przy dowolnym δ ϕ 6= 0 mamy
P1 a − P2 b = 0 ,
Bogdan Maruszewski
czyli
P1 b
=
P2 a
14 / 43
Zasada prac przygotowanych
Można wykazać, że zasada prac przygotowanych jest równoważna
statycznym warunkom równowagi.
Załóżmy, że przemieszczenie dowolnego punktu bryły ma postać
δ r = δ r0 + δ ϕ × ri
n
n
n
n
∑ Pi · δ ri = ∑ Pi · (δ r0 + δ ϕ × ri ) = δ r0 ∑ Pi + ∑ Pi · (δ ϕ × ri ) = 0 ,
i=1
i=1
i=1
i=1
czyli
n
n
δ r0 ∑ Pi + δ ϕ · ∑ (ri × Pi ) = 0
i=1
i=1
Ponieważ ri i ϕ są dowolne, to
n
∑ Pi = 0
i=1
Bogdan Maruszewski
n
oraz
∑ (ri × Pi ) = 0
i=1
15 / 43
Siły uogólnione
Praca przygotowana sił P1 , P2 , . . . , Pn :
n
δ L = ∑ (Pix δ xi + Piy δ yi + Piz δ zi ) =
i=1
n
=∑
i=1
s
s
∂ yi
∂ zi
∂ xi
Pix ∑
δ qj + Piy ∑
δ qj + Piz ∑
δ qj
j=1 ∂ qj
j=1 ∂ qj
j=1 ∂ qj
s
!
Zmieniając kolejność sumowania, mamy:
" #
s
n
∂ xi
∂ yi
∂ zi
+ Piy
+ Piz
δ qj
δ L = ∑ ∑ Pix
∂ qj
∂ qj
∂ qj
j=1 i=1
|
{z
}
Qj – siła uogólniona
s
δ L = ∑ Qj δ qj
j=1
Bogdan Maruszewski
16 / 43
Siły uogólnione – Przykład
Wahadło fizyczne
δ L = P· δ rA = −Pl sin ϕδ ϕ
δ L = Qϕ δ ϕ
Qϕ = −Pl sin ϕ = −Mz
Siła uogólniona jest w tym przypadku momentem siły P względem osi
obrotu.
Bogdan Maruszewski
17 / 43
Zachowawcze pole sił
Układ poddany więzom idealnym znajduje się w zachowawczym polu sił
Pix = −
∂V
,
∂ xi
Piy = −
∂V
,
∂ yi
Piz = −
∂V
.
∂ zi
We współrzędnych uogólnionych
n ∂ V ∂ xi ∂ V ∂ yi ∂ V ∂ zi
Qj = − ∑
+
+
,
∂ yi ∂ qj ∂ zi ∂ qj
i=1 ∂ xi ∂ qj
czyli
Qj = −
∂V
,
∂ qj
przy czym
V = V(q1 , q2 , . . . , qs )
Bogdan Maruszewski
18 / 43
Równowaga w zachowawczym polu sił
Jeżeli układ ma znajdować się w położeniu równowagi, to
∂V
= 0,
∂ q1
∂V
= 0,
∂ q2
... ,
∂V
= 0.
∂ qs
Twierdzenie
W położeniu równowagi układu materialnego poddanego więzom idealnym
i znajdującego się w zachowawczym polu sił energia potencjalna tego
układu spełnia warunki konieczne do istnienia ekstremum.
Bogdan Maruszewski
19 / 43
Ogólne równanie dynamiki analitycznej
Opierając sie na zasadzie d’Alemberta możemy każde zadanie z mechaniki
sprowadzić do równowagi sił czynnych i bezwładności. Korzystając z tego
i zasady prac przygotowanych, mamy
n
∑ (Pi − mi ai )· δ ri = 0 ,
i=1
czyli
n
∑ (Pi − mi r̈i )· δ ri = 0 .
i=1
Bogdan Maruszewski
20 / 43
W przypadku nieswoobodnego układu materialnego o więzach idealnych
suma prac przygotowanych sił czynnych i sił bezwładności na dowolnym
przemieszczeniu przygotowanym tego układu równa się zeru.
Ogólne równanie dynamiki analitycznej przyjmuje postać:
n
∑
i
h
(Pix − mi ẍi )δ xi + (Piy − mi ÿi )δ yi + (Piz − mi z̈i )δ zi = 0
i=1
Bogdan Maruszewski
21 / 43
Ogólne równanie dynamiki analitycznej – Przykład
Wyznaczyć przyspieszenia a1 i a2 :
Bogdan Maruszewski
22 / 43
Ponieważ nić jest nierozciągliwa, to
a1 = a2 = a .
Ogólne równanie dynamiki:
(m1 g − m1 a1 )· δ r1 + (m2 g − m2 a2 )· δ r2 = 0
Oznaczmy
|δ r1 | = |δ r2 | = δ s
m1 g· δ r1 = m1 gδ s sin α
m2 g· δ r2 = −m2 gδ s sin β
m1 a1 · δ r1 = m1 aδ s
m2 a2 · δ r2 = m2 aδ s
Stąd
[(m1 sin α − m2 sin β )g − a(m1 + m2 )] δ s = 0
(m1 sin α − m2 sin β )g − a(m1 + m2 ) = 0
czyli
a = a1 = a2 = g
Bogdan Maruszewski
m1 sin α − m2 sin β
m1 + m2
23 / 43
Opis ruchu układu nieswobodnego
Ogólne równanie dynamiki analitycznej razem z równaniami więzów
pozwala opisać ruch układu nieswobodnego, to znaczy
 n



∑ (Pi − mi r̈i )· δ ri = 0



 i=1
fν (ri , t) = 0


n




 ∑ grad fν · δ ri = 0
i=1
Po wymnożeniu ostatniego równania przez λν i dodaniu do pierwszego
n
∑ (Pi − mi r̈i + λν grad fν )· δ ri = 0
i=1
Bogdan Maruszewski
24 / 43
Równania Lagrange’a I rodzaju
Ponieważ δ ri są dowolne, to
mi r̈i = Pi + λν grad fν
fν (ri , t) = 0
λν to tzw. nieoznaczone mnożniki Lagrange’a.
Bogdan Maruszewski
25 / 43
Równania Lagrange’a II rodzaju
n
∑ (Pi − mi r̈i )· δ ri = 0
i=1
jest spełnione dla więzów idealnych
s
∂ ri
δ qj .
j=1 ∂ qj
δ ri = ∑
Pamiętamy, że
ri = ri (q1 , . . . , qs , t)
oraz
qj = qj (t) .
Bogdan Maruszewski
26 / 43
Ponieważ δ qj są dowolne, można założyć, że tylko jedna wariacja δ qj 6= 0.
Wówczas
∂ ri
δ qj .
δ ri =
∂ qj
i ogólne równanie będzie
"
#
∂ ri
∑ (Pi − mi r̈i )· ∂ qj δ qj = 0 .
i=1
n
Ponieważ δ qj jest dowolne, to
n
∂ ri
∑ (Pi − mi r̈i )· ∂ qj = 0 ,
i=1
czyli
n
∂ ri
n
∂ ri
∑ mi r̈i · ∂ qj = ∑ Pi · ∂ qj
i=1
Bogdan Maruszewski
i=1
27 / 43
Oczywiście równań tych możemy ułożyc tyle, ile jest współrzędnych
uogólnionych.
Rozpisując prawą stronę, mamy
n n
∂ xi
∂ yi
∂ zi
∂ ri
=
P
+
P
+
P
P
·
∑ i ∂ qj ∑ ix ∂ qj iy ∂ qj iz ∂ qj = Qj .
i=1
i=1
Stąd
n
∂ ri
∑ mi r̈i · ∂ qj = Qj
i=1
Bogdan Maruszewski
28 / 43
W tym miejscu wprowadzimy dwie tożsamości niezbędne do przekształcenia
lewej strony równania. Biorąc pod uwagę, że
ri = ri (q1 , . . . , qs , t) ,
mamy
ṙi = vi =
∂ ri
∂ ri
∂ ri
q̇s +
q̇1 + . . . +
∂ q1
∂ qs
∂t
Wielkości q̇j nazywamy prędkościami uogólnionymi.
Różniczkując tę równość względem konkretnego q̇j , otrzymujemy pierwszą
z tożsamości:
∂ ṙi
∂ ri
=
∂ q̇j ∂ qj
Bogdan Maruszewski
29 / 43
Drugą tożsamość otrzymamy różniczkując
d
dt
∂ ri
∂ qj
=
∂ ri
∂ qj
względem czasu:
∂ 2 ri
∂ 2 ri
∂ 2 ri
q̇1 + . . . +
q̇s +
∂ q1 ∂ qj
∂ qs ∂ qj
∂ t∂ qj
Z drugiej strony różniczkując względem qj wyrażenie na ṙi , mamy
∂ ṙi
∂ 2 ri
∂ 2 ri
∂ 2 ri
=
q̇1 + . . . +
q̇s +
∂ qj ∂ qj ∂ q1
∂ qj ∂ qs
∂ qj ∂ t
Stąd
d
dt
Bogdan Maruszewski
∂ ri
∂ qj
=
∂ ṙi
∂ qj
30 / 43
Wykorzystując otrzymane tożsamości, mamy:
∂ ri
d
∂ ri
d ∂ ri
mi r̈i ·
=
mi ṙi ·
− mi ṙi ·
∂ qj dt
∂ qj
dt ∂ qj
∂ ri
d
∂ ṙi
∂ ṙi
mi r̈i ·
=
mi ṙi ·
− mi ṙi ·
=
∂ qj dt
∂ q̇j
∂ qj
d ∂
mi ṙ2i
∂
mi ṙ2i
=
−
.
dt ∂ q̇j
2
∂ qj
2
Czyli dla całego układu
n
n ∂ ri
d ∂
mi v2i
∂
mi v2i
−
=
∑ mi r̈i · ∂ qj = ∑ dt ∂ q̇j 2
∂ qj
2
i=1
i=1
"
!#
!
n
n
d ∂
mi v2i
∂
mi v2i
−
=
∑ 2
∑ 2 .
dt ∂ q̇j i=1
∂ qj i=1
Bogdan Maruszewski
31 / 43
Tak więc
n
d
∂ ri
∑ mi r̈i · ∂ qj = dt
i=1
∂T
∂ q̇j
−
∂T
∂ qj
oraz
d
dt
∂T
∂ q̇j
−
∂T
= Qj
∂ qj
Energia kinetyczna w ogólności jest zatem funkcją
T = T(q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇s , t) .
Bogdan Maruszewski
32 / 43
W przypadku ruchu układu w potencjalnym polu sił mamy
Qj = −
∂V
,
∂ qj
czyli
d
dt
Bogdan Maruszewski
∂T
∂ q̇j
−
∂T
∂V
=−
∂ qj
∂ qj
33 / 43
Wprowadzając funkcję
L = T −V ,
gdzie
T = T(q̇1 , . . . , q̇s ) ,
V = V(q1 , . . . , qs ) ,
mamy
d
dt
∂ (T − V)
∂ (T − V)
−
= 0,
∂ q̇j
∂ qj
czyli
d
dt
Bogdan Maruszewski
∂L
∂ q̇j
−
∂L
=0
∂ qj
34 / 43
Równania Lagrange’a II rodzaju – Przykład 1
Wahadło matematyczne
Ogólna postać równania ruchu:
d ∂T
∂T
∂V
−
=−
dt ∂ ϕ̇
∂ϕ
∂ϕ
Energia kinetyczna:
1
1
T = mv2 = ml2 ϕ̇ 2
2
2
Stąd
s=1
q1 = ϕ
Bogdan Maruszewski
∂T
∂T
= ml2 ϕ̇ ,
= 0,
∂ ϕ̇
∂ϕ
d ∂T
= ml2 ϕ̈
dt ∂ ϕ̇
35 / 43
Jeżeli przyjmiemy, że w położeniu
równowagi ϕ = 0, to
V = mgl(1 − cos ϕ)
oraz
Bogdan Maruszewski
∂V
= mgl sin ϕ
∂ϕ
36 / 43
Możemy też rozważyć pracę
przygotowaną siły ciężkości:
π
+ϕ ,
δ L = mgδ r cos
2
δ r = lδ ϕ .
Stąd
δ L = mglδ ϕ sin ϕ ,
δ L = Qδ q = mgl sin ϕδ ϕ ,
czyli
Q = mgl sin ϕ = −
Bogdan Maruszewski
∂V
∂ϕ
37 / 43
Podstawiając do ogólnej postaci
równania Lagrange’a II rodzaju,
mamy:
ml2 ϕ̈ = −mgl sin ϕ ,
co ostatecznie zapisujemy w postaci
g
ϕ̈ + sin ϕ = 0
l
Bogdan Maruszewski
38 / 43
Położenie i prędkość punktu A
w kartezjańskim układzie współrzędnych:
x = ξ + l sin ϕ ,
ẋ = ξ˙ + lϕ̇ cos ϕ
y = l cos ϕ ,
ẏ = −lϕ̇ sin ϕ
Energia kinetyczna i potencjalna:
1
T = m(ẋ2 + ẏ2 ) =
2
1 = m l2 ϕ̇ 2 + ξ˙ 2 + 2lϕ̇ ξ˙ cos ϕ
2
1
1
V = −mgy + cξ 2 = −mgl cos ϕ + cξ 2
2
2
s=2
q1 = ϕ ,
Bogdan Maruszewski
q2 = ξ
39 / 43
Równania Lagrange’a II rodzaju dla omawianego układu:
∂T
∂V
d ∂T
−
=−
dt ∂ ϕ̇
∂ϕ
∂ϕ
d ∂T
∂T
∂V
−
=−
˙
dt ∂ ξ
∂ξ
∂ξ
Po obliczeniu poszczególnych pochodnych funkcji T i V otrzymujemy:
(
ml2 ϕ̈ + mlξ¨ cos ϕ + mgl sin ϕ = 0
mξ¨ + mlϕ̈ cos ϕ − mlϕ̇ 2 sin ϕ + cξ = 0
Dla małego wychylenia ϕ mamy cos ϕ ≈ 1, sin ϕ ≈ ϕ, a równania ruchu
przyjmują postać

1
g

 ϕ̈ + ξ¨ + ϕ = 0
l
l
c

 ξ¨ + lϕ̈ + ξ = 0
m
Bogdan Maruszewski
40 / 43
Energia kinetyczna układu materialnego
Jeśli chcemy stosować równania Lagrange’a, energię kinetyczną musimy
formułować w wielkościach uogólnionych. We współrzędnych
prostokątnych, przy zastosowaniu konwencji sumacyjnej, energia kinetyczna
ma postać
1
T = mi ẋi2 + ẏ2i + ż2i , i = 1, . . . , n
2
Współrzędne kartezjańskie są funkcjami qj i t. Stąd różniczkując xi , yi , zi
względem t mamy
ẋi =
ẏi =
żi =
∂ xi
∂ xi
∂ xi
∂ xi
∂ xi
∂ xi
q̇1 +
q̇2 + . . . +
q̇s +
=
q̇j +
,
∂ q1
∂ q2
∂ qs
∂t
∂ qj
∂t
∂ yi
∂ yi
∂ yi
∂ yi
∂ yi
∂ yi
q̇1 +
q̇2 + . . . +
q̇s +
=
q̇j +
,
∂ q1
∂ q2
∂ qs
∂t
∂ qj
∂t
∂ zi
∂ zi
∂ zi
∂ zi
∂ zi
∂ zi
q̇1 +
q̇2 + . . . +
q̇s +
=
q̇j +
.
∂ q1
∂ q2
∂ qs
∂t
∂ qj
∂t
Bogdan Maruszewski
j = 1, . . . , s
41 / 43
Ogólna postać wyrażenia na energię kinetyczną
Wstawiając uzyskane składowe prędkości do energii, otrzymujemy
1
1
T = akl q̇k q̇l + bk q̇k + c0
2
2
gdzie:
∂ xi ∂ xi ∂ yi ∂ yi ∂ zi ∂ zi
+
+
,
= alk = mi
∂ qk ∂ ql ∂ qk ∂ ql ∂ qk ∂ ql
∂ xi ∂ xi ∂ yi ∂ yi ∂ zi ∂ zi
= mi
,
+
+
∂ qk ∂ t ∂ qk ∂ t ∂ qk ∂ t
"
#
2
∂ yi 2
∂ zi
∂ xi 2
= mi
+
+
, k, l = 1, . . . , s
∂t
∂t
∂t
akl
bk
c0
Z powyższych wzorów wynika, że
akl = akl (qj , t) ,
Bogdan Maruszewski
bk = bk (qj , t) ,
c0 = c0 (qj , t) .
42 / 43
Ogólna postać wyrażenia na energię kinetyczną
Gdy więzy, którym podlega układ, są skleronomiczne, wówczas xi , yi , zi
nie zależą bezpośrednio od czasu:
∂ xi ∂ yi ∂ zi
=
=
=0
∂t
∂t
∂t
oraz bk = 0, c0 = 0. W takim przypadku
1
T = akl q̇k q̇l
2
to znaczy energia kinetyczna jest jednorodną formą kwadratową
prędkości uogólnionych q̇j .
Bogdan Maruszewski
43 / 43

Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej

Transkrypt

Podobne dokumenty

26.04.2010 r. Sprzęt komputerowy - ekran projekcyjny

rysunek 1. - Aktywne 50+

1. Która godzina będzie 200 godzin po godzinie 14.00? a) 11.00 b

Mądry Bogdan po szkodzie.

Mechanika analityczna, II r. AiR Zagadnienia do kolokwium 1