lista_zad_10 IS 2014

Lista nr 10 do kursu Fizyka; rok. ak. 2013/14 sem. letni W. Inż. Środ.; kierunek Inż. Środowiska
Na stronach http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/mat-wzory.pdf/; http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf1.pdf;
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf2.pdf dostępne są tabele wzorów matematycznych/fizycznych. Student jest
zobowiązany do wydrukowania ww. tabel i przynoszenia na zajęcia. Lista nr 10 ma na celu zdobycie przez
studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących ruchu
falowego z wykorzystaniem dotychczas zbytych kompetencji. Zadania nie rozwiązane na zajęciach lub krótko
omówione mogą być treściami sprawdzianów.
187. Fala poprzeczna y ( x , t ) = A sin (ω ⋅ t − k ⋅ x ) o długości λ = 1,56 m, A = 2·10-5 m biegnie w naciągniętej strunie o liniowej gęstości masy ρl = 10-4 kg/m. Punkty struny przebywają dystans od położenia
równowagi do maksymalnego wychylenia (odkształcenia) w czasie 0,5 ms. A) Oblicz: okres,
częstotliwość, prędkość tej fali, siłę naciągu struny, maksymalną prędkość i maksymalne przyspieszenie
ruchu drgającego dowolnego elementu struny. Napisz jawną postać matematyczną tej fali stosując
jednostki SI. B) Średnia moc Pśr., czyli średnia szybkość, z jaką fala sinusoidalna w napiętej linie przenosi
2
energię, dana jest wzorem Psr = ρ l c (ω A )2 2 = ρ l c ( v pop. ) 2 , gdzie ρl – liniowa gęstość masy (masa
struny/długość struny), czyli masa 1 metra struny, c – prędkośc fazowa fali, νpop. – prędkość
poprzecznych drgań elementów struny. Oblicz Pśr. dla fali z zad. 187.
188. Wartość lim ∆x →0
y ( x + ∆x, t ) − y ( x , t ) ∂y ( x, t )
=
∆x
∂x
x
= − Ak cos (ω ⋅ t − k ⋅ x )
x
policzona dla fali z
zadania 187., jest miarą odkształcenia (bezwymiarowego) poprzecznego fragmentów struny o długości ∆x
dużo, dużo mniejszej od długości fali λ położonych w bezpośredniej odległości punktu x struny, tj. jej
fragmentów należących do odcinka (x,x+∆x) (x – jest odległością od źródła fali), natomiast wartość
bezwględna odkształcenia odcinka struny ∆x o długości dużo, dużo mniejszej od λ, dana jest wzorem
∂y ( x, t )
x ⋅ ∆x = 
 − Ak cos (ω ⋅ t − k ⋅ x ) x  ⋅ ∆x . Jakie jest wychylenie z położenia równowagi, odkształcenie
∂x
względne i bezwzględne elementów struny w chwili t = 25 s na odcinku (x,x+∆x), gdzie x = 68 m, a ∆x =
0,005 m?
189. (S) Równanie fali poprzecznej propagującej się wzdłuż naciągniętej długiej struny ma postać (w SI)
y ( x , t ) = 0, 0006 ⋅ cos [0, 05π ⋅ x + 6π ⋅ t ] . Wyznacz/oblicz:
amplitudę, długość, częstotliwość tej
fali, prędkość fazową, kierunek rozchodzenia się fali, maksymalną prędkość elementów struny. Jakie jest
wychylenie elementów struny o współrzędnej x = 0,038 m w chwili t = 0,37 s?
190.
Po
naciągniętej
strunie
ułożonej
wzdłuż
osi
OX
biegnie
fala
poprzeczna
y ( x , t ) = 0, 024 ⋅ sin [3 ⋅ x + 40 ⋅ t ] . Liniowa gęstość masy tej struny wynosi 2.2·10 kg/m. Oblicz
-4
prędkość fali i naprężenie struny. W jakim kierunku biegnie fala?
191. (S) Fala poprzeczna biegnąca w sznurze ma postać (w SI) y ( x, t ) = 0,35 ⋅ sin (10π t − 6π x + π / 4 ) . Ile wynosi
prędkość c i jaki jest kierunek rozchodzenia się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów ośrodka dla t = 0 i x = 0,1
m? Ile wynosi długość i częstotliwość tej fali? Ile wynosi maksymalna wartość prędkości poprzecznej?
−6
(
192. (S) Fala podłużna u ( x, t ) = 3 ⋅ 10 cos 4 ⋅ 10
3
π t − 0,8π x ) biegnie w stalowym pręcie o gęstości masy
7900 kg/m3 i polu przekroju porzecznego 4·10-4 m2. Ile wynosi: a) średnia energia wnoszona przez falę do
fragmentu ośrodka o długości ∆x = 0,001 m? Ws-ka:
Ws-ka:
〈∆W 〉 = ρ Sc(ω A)2 / 2; c)
gęstość energii fali w pręcie? Ws-ka:
∆Emech. = ρ S ∆x (ω A) 2; b) średnia moc tej fali?
2
średnia intensywność tej fali? Ws-ka:
〈 ρ E 〉 = ρ ⋅ A 2ω 2 / 2.
1
〈 I 〉 = ρ c (ω A) 2 / 2; d) średnia
192. Chwilowa wartość gęstości energii fali elektromagnetycznej wynosi u(x.t) =ε0E2+B2/µ0. Korzystając
ze związków E=Bc, c2ε0µ0=1, pokaż, że gęstość energii pola magnetycznego i elektrycznego fali
elektromagnetycznej są sobie równe.
193. (S) Spolaryzowaną falę płaską rozchodzącą się w próżni w dodatnim kierunku osi OX opisują
funkcje E = Emsin(ωt – kx)j (wektor pola elektrycznego drga w płaszczyźnie OXY) oraz B = Bmsin(ωt –
kx)k (wektor pola magnetycznego drga w płaszczyźnie OXZ). Pokaż, że średnia wartość gęstości energii
T
1
fali elektromagnetycznej u = ∫ ε 0 E 2 ( x, t )dt = ε 0 Em2 2 = Bm2
T 0
( 2µ 0 ) .
Ws-ka: Wprowadź nową
zmienną całkowania z = ωt , dt= dz/ω=(T/2π)dz, zauważ, że wtedy całkowanie po nowej zmiennej z
odbywa
się
po
przedziale
od
0
do
2π,
następnie
skorzystaj
ze
związku
1 − cos  2 (ωt − kx )
1 − cos  2 ( z − kx ) 
i stąd ostatecznie pokaż, że
sin 2 (ωt − kx ) =
= sin 2 ( z − kx ) =
2
2
T
1
1
sin 2 (ωt − kx )dt = .
∫
T 0
2
194. Wektor Poyntinga S = E × H określa chwilową ilość energii przenoszonej przez falę w jednostce
czasu przez jednostkę powierzchni ustawioną prostopadle do kierunku propagowania się fali (w zadaniu
poprzednim prostopadle do osi OX). Pokaż, że dla fali z zadania poprzedniego chwilowa wartość
wektora Poyntinga S ( t ) = E ( x , t ) × H ( x , t ) = cε 0 E 2 ( x , t ) .
195. Pokaż, że średnia wartość wektora Poyntinga, zwana intensywnością I fali z zadania 193. wyraża się
wzorem
T
1
cEm2
2
I = S = ∫ E ( x, t ) H ( x, t )dt = Em H m ( 2µ 0 ) = Em ( 2cµ 0 ) = 2 =
T 0
2c µ 0
= cEm2 µ 0ε 0
( 2µ 0 ) = cEm2 ε 0
2 = c⋅u .
196. Fala elektromagnetyczna o intensywności I padająca prostopadle na płaską powierzchnię wywiera
ciśnienie p = I c . Intensywność światła słonecznego (tzw. stała słoneczna) I = 1,4 kW/m2. Wyznacz
Em oraz Bm światła słonecznego. Potraktujmy Ziemię jako płaską tarcze o promieniu R = 6400 km. Ile
wynosi średnia wartość siły, z jaką światło słoneczne oddziałuje na Ziemię. Porównaj tak wyznaczoną
siłę z siłą oddziaływania grawitacyjnego Słońca i Ziemi.
197. (S) Laser wysyła impulsy o mocy szczytowej 1,5·103 MW, które są ogniskowane na powierzchni 1 mm2
całkowicie odbijającym impulsy. Jakie jest ciśnienie światła lasera w tych warunkach.
198. Związek między zmianą energii kinetycznej ∆Ek spowodowaną pochłonięciem światła niosącego
pęd ∆p ma postać ∆Ek = c·∆p. Statek kosmiczny o masie 1,5·103kg dryfuje w przestrzeni kosmicznej (nie
działają siły grawitacyjne). Astronauta włącza laser emitujący wiązkę światła o mocy 10 kW. Jaką
prędkość osiągnie statek po jednej dobie działania lasera?
199. (S) W obszarze przestrzeni kosmicznej wolnej od grawitacji wiązka o stałej wartości natężenia 6 mW/m2
przyspiesza kulkę o promieniu 2 µm i gęstości 5·103 kg/m3, która całkowicie pochłania światło. Oszacuj wartość
siły działającej na kulkę oraz jej przyspieszenie.
200. (S) Kosinusoidalna fala rozchodzi się w sprężynie leżącej wzdłuż osi OX. Amplituda fali A = 0,01m, długość
λ = 0,4m, a częstotliwość f = 8 Hz. Poprzeczne wychylenie punktów sprężyny dla t = 0 i x = 0 wynosi
0,01m.Wyznaczyć wektor falowy k, okres T, częstość kołową ω, prędkość c, fazę początkową tej fali. Napisz
równanie tej fali.
2
201. (S, trudne) Jednorodna struna o masie m i długości L zwisa pionowo w dół. Pokazać, że prędkość fali
poprzecznej w tej strunie zależy od odległości y od dolnego końcu jak c(y) = (gy)1/2. Ile wynosi czas potrzebny fali
poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny? Rozwiązanie: Na element struny o
długości ∆y odległy od dolnego końca struny o y działa siła naciągu N(y) = ρ·y·g będąca ciężarem struny o
długości y, gdzie ρ = m/L. Dla y = L wartość siły naciągu jest równa ciężarowi struny i wynosi N(y = L) = m·L·g/L
=
mg. Prędkość fali wyraża się wzorem c ( y ) = N ( y ) ρ , z którego po prostych podstawieniach i
uproszczeniach otrzymujemy c(y) = (gy)1/2. Na przebycie drogi ∆y fala potrzebuje czasu ∆t = ∆y/c(y), tj.
∆y
∆y
∆y
∆t =
=
=
; całkowity czas przebiegu fali wzdłuż struny od jej jednego do drugiego końca
c ( y)
gy
N ( y) ρ
jest sumą czasów ∆t =
∆y
, gdy wartość y zmienia się od zera do L a ∆y zmierza do zera, innymi słowy, należy
gy
y=L
policzyć sumę T = ∑ ∆t = lim ∆y →0 ∑
y =0
T =∫
L
0
∆y
, co prowadzi do końcowego wyniku
gy
dy
1
=
gy
g
∫
L
0
dy
2
=
y
g
y 0L =
2
g
(
)
L− 0 =2
L
.
g
202. (S) Napisz równanie opisujące poprzeczną falę sinusoidalną biegnącą w sznurze w dodatnim kierunku osi
OX, dla której k = 60 cm−1, T = 0,2 s, A = 3mm. Wyznacz maksymalną prędkość poprzeczną cząsteczek sznura. Jak
wyznaczamy współrzędne punktów sznura, w których w danej chwili wychylenie jest maksymalne/zerowe?
203. Monochromatyczna fala akustyczna pada pod kątem α na powierzchnię wody. Dla jakich kątów
padania fala ta nie wnika do wody? Prędkość dźwięku w wodzie c2 =1500 m/s, a w powietrzu c1 = 332
m/s; prawo załamania dla fal akustycznych c2 ⋅ sin α = c1 ⋅ sin β , gdzie β − kąt załamania. Komentarz:
Zaskakujący na pozór wynik, bowiem powinno być tak, jak w optyce geometrycznej: Fala przechodząca z ośrodka
rzadszego do gęstrzego nie powinna ulegać całkowitemu wewnętrznemu odbiciu!
204. (S) W skorupie ziemskiej fale podłużne mają prędkość c = 8 km/s i fale poprzeczne
c⊥ = 4,5 km/s .
Stacja sejsmograficzna zarejestrowała oba typy fal wywołane trzęsieniem ziemi, przy czym fale podłużne odebrała
o 18 min wcześniej. Oszacuj w jakiej odległości od stacji znajdowało się epicentrum trzęsienia ziemi?
205. (S) Struna ma długość 1,5 m, masę 8,7 g, a jej naprężenie wynosi 120 N. Zamocowano jej końce i wzbudzono
drgania. Obliczyć prędkość rozchodzenia się fal poprzecznych w tej strunie.
206. (S) Wyznaczyć prędkość poprzeczną vpop. = ∂y/∂t oraz przyspieszenie poprzeczne a = ∂2y/∂t2 fragmentów
struny w chwili czasu t = 0,2 s w punkcie x = 1,6m struny, w której rozchodzi się fala y(x, t) = 0,12 sin[π(x/8 + 4t)].
Ile wynoszą wartości maksymalne wyznaczonych wielkości? Dla jakich chwil czasu wielkości v oraz a osiągają w
tym punkcie wartości ekstremalne? Czy spełniona jest relacja a = −ω2y? Ile wynoszą: długość, okres i prędkość
fazowa tej fali?
207. (S) Sprawdzić, że równanie fali kosinusoidalnej y(x, t) = Acos(ωt − kx), gdzie ω/c = k = 2π/λ jest
rozwiązaniem jednowymiarowego równania falowego ∂2y/∂t2 = c2∂2y/∂x2.
208. (S) Stalowy pręt o dł. lFe = 12,4m jest połączony z prętem miedzianym o dł. lCu = 6,2m, tworząc jeden pręt o
dł. l = lFe + lCu. Przekroje poprzeczne obu prętów są równe i wynoszą S = 25mm2. Pręt rozciąga siła F = 3,1·103 N.
Jak długo biegnie podłużna (poprzeczna) fala sprężysta od jednego do drugiego końca pręta? Stałe materiałowe:
EFe = 2・1011N/m2, GFe = 8,4・1010N/m2, ECu = 1,1・1011N/m2, GCu = 4,2・1010N/m2, ρFe = 7800 kg/m3, ρCu =
8900 kg/m3.
209. (S) Prędkość dźwięku w powietrzu c = 332 m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 300 Hz jest syrena wozu
policyjnego. (a) Wóz porusza się z prędkością 45 m/s. Obliczyć częstotliwość i długość fal przed i za wozem. (b)
Za wozem jadą dwa samochody: jeden w tym samym kierunku z prędkością 30 m/s, a drugi w przeciwnym
kierunku z prędkością 15m/s. Jakie częstości fal słyszą pasażerowie samochodów? (c) Wóz policyjny zbliża się z
3
prędkością 5m/s do pionowej ściany odbijającej dźwięk syreny. Jaką częstotliwość dudnień słyszy policjant? Ws-ka
do zad. (c): Wyznacz najpierw częstotliwość dźwięku docierającego do ściany (i odbijającego się od niej) – ściana
jest źródłem/nadajnikiem fali odbieranej przez policjantów, a następnie częstotliwość fali odbieranej przez
policjantów. Należy pamiętać o tym, że częstotliwość odbieranej fali akustycznej zależy zarówno od prędkości
detektora/odbiornika jak i od źródła/nadajnika względem powietrza i liczona jest ze wzoru. Jeśli skierujemy wektor
Rdetektor→źródło o początku w miejscu położenia detektora i o zwrocie od detektora do źródła, to częstość odbieranej
c ± vdetektora/odbiornika
fali przez odbiorcę określa wzór f detektora/odbiornika = f źródla/nadajnika
; znaki plus wybieramy pod
c ± vźródla/nadajnika
warunkiem, że prędkości mają zwroty zgodne z dodatnim zwrotem wektora Rdetektor→źródło.
210. (S) Akustyczny alarm przeciwwłamaniowy samochodu emituje falę o częstości 10 kHz. Jaka jest częstość
dudnień powstających po nałożeniu się fali alarmu i fali odbitej od intruza, tj. potencjalnego złodzieja,
oddalającego się od źródła z prędkością 3m/s? Prędkość dźwięku 332 m/s. Ws-ka: Patrz zadania poprzednie i
następne.
211. (S) Podwodne okręty Czerwony Październik (CP) i Blue Shark (BS) płyną naprzeciw siebie po tym samym
kursie w nieruchomej wodzie oceanu. Ich prędkości wynoszą: vCP = 50 km/h, vBS = 70 km/h. CP wysyła sygnały
BS
sonaru o częstotliwości 1 kHz, których prędkość w wodzie wynosi 5470 m/s. Jaka jest częstotliwość f odb.
sygnałów
CP
odbieranych przez BS? Jaka jest częstotliwość f odb.
odbieranych na pokładzie CP fal odbitych od BS? Jak mierząc
CP
f odb.
wyznaczamy (nie znając prędkości VBS) prędkość BS? Rozwiązanie. Równanie, które pozwala wyznaczyć
nieznaną prędkość xBS = vBS ma postać
CP
CP
f odb.
= f nad
CP
CP
c + xBS c + vCP
c ⋅ ( c − vCP ) ⋅ f odb.
− f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ c
⋅
→ xBS =
.
CP
CP
c − vCP c − xBS
f nad ⋅ ( c + vCP ) + ( c − vCP ) f odb.
Wniosek: Za pomocą sonaru CP może namierzać cudzy okręt podwodny i zmierzyć jego prędkość. Wyprowadzenie
powyższego wzoru. BS odbiera sygnał (patrz zadanie 151.) o częstotliwości (uwaga, v [m/s] = v [km/h]/3,6)
BS
CP
f odb.
= f nad
c + vBS
≃ 1,1048 kHz. Fale te odbijają się od BS, który staje się ruchomym źródłem fal sprężystych
c − vCP
CP
BS
= f odb.
dla CP odbieranych z częstością f odb.
c + vCP
≃ 1,2226 kHz. Traktując vBS jako niewiadomą, możemy
c − vBS
wyznaczyć ją w oparciu o dane będące w dyspozycji CP, ponieważ
CP
BS
f odb.
= f odb.
CP
CP
f odb.
= f nad
c + vCP
,
c − v BS
BS
CP
f odb.
= f nad
c + v BS c + vCP
,
⋅
c − vCP c − v BS
CP
CP
f odb.
= f nad
c + vBS
,
c − vCP
c + x BS c + vCP
,
⋅
c − vCP c − x BS
CP
CP
= f nad
( c − vCP )( c − xBS ) f odb.
( c + xBS ) ⋅ ( c + vCP ) →
CP
CP
CP
CP
− ( c − vCP ) ⋅ xBS ⋅ f odb.
+ c ⋅ ( c − vCP ) ⋅ f odb.
= f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ xBS + f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ c →
i kolejno otrzymujemy :
CP
CP
CP
CP
c ⋅ ( c − vCP ) ⋅ f odb.
− f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ c = f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ xBS + ( c − vCP ) ⋅ xBS ⋅ f odb.
→
xBS = vBS =
CP
CP
− f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ c
c ⋅ ( c − vCP ) ⋅ f odb.
→ podstawiamy i liczymy
CP
CP
f nad ⋅ ( c + vCP ) + ( c − vCP ) f odb.
4
vBS =
( 332m/s ) ⋅  332m/s −
50
50



m/s  ⋅ 1,2226 ⋅ 103Hz − 103Hz ⋅ ( 332m/s ) ⋅  332m/s +
m/s 
3,6
3,6



→
50
50

 

103Hz ⋅  ( 332m/s ) +
m/s  +  ( 332m/s ) −
m/s  ⋅ 1,2226 ⋅ 103Hz
3,6
3,6

 

129122,318 − 114835,111
xBS = vBS =
≃ 19,45m/ s = 70 km/ h.
345,8889 + 388,9226
Tak więc kapitan CP zna prędkość BS, którą wyznacza oprogramowanie sonaru na podstawie własnej
prędkości oraz zmierzonych wartości częstotliwości wysyłanych i odbieranych przez sonar.
212. Podaj regułę wyznaczania odległości w kilometrach od miejsca błyskawicy metodą zliczania sekund
upływających od zobaczenia błysku do usłyszenia grzmotu. Załóż, że dźwięk biegnie po linii prostej.
213. (S) Dwóch kibiców piłki nożnej obserwuje mecz i widzi kopnięcie przez piłkarza piłki. Dźwięk uderzonej
piłki dociera do obu z opóźnieniem 0,25 s i 0,14 s. Linie proste poprowadzone od kibiców do piłkarza tworzą kąt
prosty. W jakiej odległości od siebie znajdują się kibice?
214. (S) a) Kamień wrzucono do studni. Po 3 s usłyszano plusk. Jak głęboka jest studnia? Gęstość powietrza 1,2
kg/m3, a moduł ściśliwości 1,33 ·105 Pa. b) Studnia rezonuje przy najniższej częstości 7Hz. Jak głęboka jest ta
studnia?
215. (S) Natężenie fali akustycznej w powietrzu wynosi I = (∆pmax)2/(2ρc), gdzie (∆pmax) ‒ amplituda zmian
ciśnienia. Oszacować wartość (∆pmax) dla dźwięku o częstotliwości 4 kHz i intensywności I = 10−8 W/m2. Jakie
ciśnienie wywiera ta fala padając prostopadle na powierzchnię, która: a) całkowicie pochłania, b) całkowicie odbija
dźwięk?
Wrocław, 18 maja 2014
W. Salejda
5