identyfikacja kształtu w dyfuzji przeciwkierunkowej w tekstyliach

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
36, s. 173-180, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
IDENTYFIKACJA
KSZTAŁTU
W
DYFUZJI
PRZECIWKIERUNKOWEJ W TEKSTYLIACH KOMPOZYTOWYCH
RYSZARD KORYCKI
Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej, Politechnika Łódzka
e-mail:[email protected]
Streszczenie. Część opatrunków zawiera mikrokapsułowany czynnik leczniczy.
Dyfuzja płynu ustrojowego z rany inicjuje reakcję chemiczną i uwalnia czynnik
z mikrokapsuł. Membrana półprzepuszczalna zapobiega jego dyfuzji na zewnątrz,
płyn dyfunduje swobodnie. Zachodzi dyfuzja przeciwkierunkowa, którą analizuje
się w 2D przekroju opatrunku. Zmienne stanu to stęŜenia płynu ustrojowego
i czynnika leczniczego. Określono równania stanu, warunki brzegowe
i początkowe. Analizowano wraŜliwość pierwszego rzędu dowolnego
funkcjonału, wykorzystano ją do identyfikacji kształtu opatrunku. Wykorzystano
metodę róŜnic skończonych.
1. WSTĘP
W niektórych tekstyliach kompozytowych zachodzi dyfuzja przeciwkierunkowa, np.
w opatrunkach włókienniczych zawierających mikrokapsułowany aktywny czynnik leczniczy.
Dyfuzja czynnika aktywującego implikuje dyfuzję czynnika kompleksotwórczego w kierunku
przeciwnym. Sterylny opatrunek umieszcza się na ranie, stęŜenie płynu ustrojowego jest
początkowo pomijalnie małe. Płyn ustrojowy dyfunduje z rany przez strukturę, nieustalony
proces charakteryzuje gradient prędkości dyfuzji płynu rosnący w czasie. Reakcja chemiczna
jest inicjowana w mikrokapsułach przy określonym stęŜeniu płynu. Proces uwalniania
czynnika leczniczego zaczyna się po określonym martwym czasie, gradient prędkości dyfuzji
czynnika rośnie. Czynnik dyfunduje z mikrokapsuł do rany, membrana półprzepuszczalna
zapewnia tylko ten kierunek, płyn dyfunduje swobodnie. Wyciek płynu spada po pewnym
czasie, gradient prędkości dyfuzji płynu maleje. Jednak stęŜenie płynu jest duŜe i zapewnia
duŜą prędkość dyfuzji czynnika leczniczego. Po nasyceniu płynem opatrunek naleŜy usunąć.
Zakładając takie same warunki dyfuzji w kaŜdym przekroju, problem redukuje się do
układu 2D, czyli dowolnego przekroju opatrunku. Zmienne stanu to stęŜenia płynu
ustrojowego i czynnika leczniczego. Równania stanu to zaleŜności drugiego rzędu z uwagi na
zmienne projektowania i pierwszego rzędu z uwagi na czas. Warunki brzegowe są inne dla
obu procesów, membrana hamuje dyfuzję czynnika leczniczego. Na brzegu zewnętrznym płyn
ustrojowy podlega konwekcji, a czynnik leczniczy ma pomijalne stęŜenie dzięki membranie.
Na styku opatrunku i skóry płyn ustrojowy ma określone stęŜenia dla skóry normalnej
i zranionej, strumień czynnika leczniczego ma określoną gęstość. Pozostałe powierzchnie są
zaizolowane.
174
R. KORYCKI
Parametry projektowania b to współrzędne punktów w warstwach materiału kompozytu.
Zdefiniowano dowolny funkcjonał stowarzyszony z problemem dyfuzji, jego wraŜliwość
analizowano metodą bezpośrednią. Warunki stacjonarności identyfikacji definiuje się za
pomocą wyraŜenia wraŜliwości. UŜyto funkcjonału „odległości” między zmiennymi stanu
identyfikowanego problemu i konstrukcji rzeczywistej. Problem rozwiązano, wykorzystując
metodę róŜnic skończonych. Zmienne stanu (stęŜenia obu składników) mierzy się na części
Γm brzegu zewnętrznego. Analizowana literatura dotycząca dyfuzji w opatrunkach
włókienniczych nie zawiera zbliŜonych sposobów rozwiązania problemu identyfikacji.
2. PROBLEM PODSTAWOWY DYFUZJI CZYNNIKA
Zmiennymi stanu są stęŜenia czynnika aktywnego C1 (płyn ustrojowy) dyfundującego od
rany na zewnątrz oraz czynnika leczniczego (substancja w mikrokapsułach) C2 dyfundującego
do skóry. Istnieją dwa róŜne procesy, naleŜy sformułować osobne równania stanu i warunki
dla kaŜdego z nich. Rozpatrzono równania ciągłości czynników w roztworze dyfundującym,
otrzymując równania ciągłości strugi płynu. Dyfuzja substancji to w przypadku ogólnym
problem 3D. ZałóŜmy, Ŝe opatrunek jest symetryczny, z raną pośrodku. Upraszcza to model,
redukując wymiar z 3D do jego płaskiego poprzecznego przekroju 2D. Ponadto z uwagi na
symetrię układu opatrunek – rana, rozpatruje się jego połowę. Równanie stanu płynu
fizjologicznego dyfundującego z rany na zewnątrz określa się, zakładając brak reakcji płynu
w kontakcie ze składnikami opatrunku i roztworu. Dla 2D problemu nieustalonego jest
postaci
dC
− divq1 = 1 ; q1 = D1 ∇C1 + q1* w 2D obszarze opatrunku Ω;
(1)
dt
gdzie D1 to współczynnik dyfuzji płynu, C1 to stęŜenie płynu, q1 , q1* to wektory strumienia
dyfuzji i wstępnego strumienia dyfuzji płynu, ∇ to operator Hamiltona, t to czas rzeczywisty.
y
Γ1 ciało
C1 = C101
ciało
Γ1 rana
C1 = C102 (t )
Γ2 góra qn=0
Γ3 zewn
C1∞
q n = q n konw (t )
otoczenie
C1∞
Γ2 sym qn=0
x
Rys.1 Warunki brzegowe dla dyfuzji płynu fizjologicznego w opatrunku
Warunki brzegowe dyfuzji płynu z rany na zewnątrz konstrukcji kompozytowej są
pokazane na rys.1. Na styku z raną Γ1 rana jest określone stęŜenie płynu fizjologicznego
odpowiadające nieustalonemu wysiękowi z rany C1 = C102 (t ) . Wysięk płynu początkowo
znaczny, w krótkim czasie jeszcze rośnie. Po osiągnięciu maksimum (w zaleŜności od rany
kilkanaście – kilkadziesiąt godzin) stopniowo zmniejsza się i zanika. Na zdrowej części skóry
Γ1 ciało jest określony poziom stęŜenia płynu mniejszy niŜ dla rany. Jego poziom jest stały
IDENTYFIKACJA KSZTAŁTU W DYFUZJI PRZECIWKIERUNKOWEJ W TEKSTYLIACH…
175
w czasie C1 = C101 , C101 < C102 , dla duŜego wysięku rany jest pomijalny w stosunku do stęŜenia
płynu fizjologicznego dla rany. Zjawiska te modelują warunki pierwszego rodzaju.
Brzeg dolny to granica symetrii Γ2 sym, zakłada się brak przepływu czynnika. Jest to
warunek drugiego rodzaju, gęstość strumienia masy normalna do brzegu jest pomijalna qn=0.
Brzeg górny moŜna zabezpieczyć przed dyfuzją płynu (np. nieprzesiąkalnym opatrunkiem),
przepływ strumienia masy jest wówczas pomijalny. Jest to teŜ warunek drugiego rodzaju,
gęstość strumienia masy na fragmencie Γ2 góra jest zero qn=0.
Brzeg zewnętrzny Γ3 zewn ma duŜą powierzchnię, nie jest zaizolowany przed dyfuzją. Jest tu
określony warunek trzeciego rodzaju definiujący nieustaloną konwekcję masy, q n = q n konw (t ) .
Początkowa jej wartość jest równa zero, po pewnym czasie rośnie. Utrzymuje na znacznym
poziomie do zdjęcia opatrunku. Warunki te moŜna przedstawić w postaci
Γ1 ciało: C1 = C101 ;
Γ1 rana: C1 = C102 (t ) ;
Γ2 góra: qn=0;
Γ2 sym: qn=0;
Γ3 zewn: q n = q n konw (t ) = h (C1 − C1∞ ) .
(2)
Warunki czwartego rodzaju są określone na brzegach wewnętrznych opatrunku. Zakładają
ciągłość zmiennej stanu (stęŜenia płynu fizjologicznego) i gęstości strumienia płynu dla
sąsiednich warstw i oraz i+1. Oba parametry są nieustalone, co pozwala zapisać
C1 (x, t ) i = C1 (x, t ) i +1 ;
q n1 (x, t ) i = q n1 (x, t ) i +1
(3)
Równanie stanu środka leczniczego uwzględnia reakcję chemiczną uwalniania czynnika
z mikrokapsuł pod wpływem płynu ustrojowego z rany [2], [5]
dC 2
− divq 2 + R& 2 =
; q 2 = D 2 ∇C 2 + q*2 w 2D obszarze opatrunku Ω ;
(4)
dt
gdzie dodatkowo D2 to współczynnik dyfuzji czynnika leczniczego, C2 to stęŜenie czynnika
leczniczego, R& 2 to szybkość reakcji chemicznej dyfundującego czynnika.
Warunki brzegowe dla dyfuzji czynnika leczniczego zostały pokazane na rys.2. Przepływ
czynnika jest w jednym moŜliwym kierunku od mikrokapsuł do skóry, dyfuzję na zewnątrz
uniemoŜliwia membrana. Na brzegu dotykającym ciała Γ2 ciało naleŜy zapewnić określoną
gęstość strumienia w kierunku normalnym dla uzyskania efektu terapeutycznego, zmienną
w czasie q n = q 0n (t ) . Początkowa wartość gęstości strumienia jest równa zeru, nie ma reakcji
chemicznej uwalniania. Po martwym czasie gęstość szybko rośnie do osiągnięcia maksimum.
Następnie stale maleje, utrzymującsię na pewnym poziomie aŜ do zmiany opatrunku.
Brzeg dolny to granica symetrii Γ2 sym z warunkiem drugiego rodzaju qn=0.
Brzeg górny Γ2 góra moŜna zaizolować przed dyfuzją, z warunkiem drugiego rodzaju qn=0.
Membrana uniemoŜliwia transport czynnika leczniczego na zewnątrz. Stąd na brzegu
zewnętrznym Γ1 zewn zakłada się warunek pierwszego rodzaju, stęŜenie czynnika leczniczego
jest pomijalne C2=0. Wszystkie warunki moŜna zapisać następująco
Γ2 ciało: q n = q 0n (t ) ;
Γ2 góra: qn=0; Γ2 sym: qn=0; Γ1 zewn: C2=0.
(5)
Na brzegach wewnętrznych są spełnione warunki czwartego rodzaju, czyli równość stęŜeń
czynnika leczniczego oraz gęstości strumieni czynnika w kierunku normalnym do brzegu dla
warstw leŜących między membraną a skórą. Membrana zatrzymuje ruch czynnika leczniczego
na zewnątrz. Zakłada się, Ŝe oba parametry są nieustalone, co moŜna zapisać
C 2 (x, t ) i = C 2 (x, t ) i +1 ;
q n2 (x, t ) i = q n2 (x, t ) i +1
(6)
176
R. KORYCKI
Dla problemu nieustalonego naleŜy określić następujące warunki początkowe
C1 (x,0 ) = C10 ; C 2 (x,0 ) = C 20 ; x ∈ (Ω ∪ Γ )
y
(7)
Γ2 góra qn=0
Γ2 ciało
q n = q 0n (t )
ciało
Γ1 zewn
C2=0
otoczenie
Γ2 sym qn=0
x
Rys.2 Warunki brzegowe dla dyfuzji czynnika leczniczego w opatrunku
Poszczególne etapy dyfuzji obu składników są ze sobą związane i przebiegają następująco.
Etap 1. Sterylny opatrunek z mikrokapsułowaną substancją leczniczą jest nakładany na ranę,
rozkład początkowy stęŜeń obu czynników jest pomijalny. Płyn dyfunduje przez opatrunek na
zewnątrz, wydatek wysięku i jego gradient prędkości rosną. Zostaje zainicjowana reakcja
chemiczna w mikrokapsułach i uwalnianie czynnika leczniczego.
Etap 2. Wydatek i prędkość przepływu płynu fizjologicznego stale rosną. Wysokie stęŜenie
płynu zapewnia i podtrzymuje reakcję w mikrokapsułach, substancja lecznicza dyfunduje do
skóry dzięki membranie. Wydatek i gradient prędkości przepływu czynnika leczniczego rosną.
Etap 3. Wydatek i prędkość przypływu płynu ustrojowego na zewnątrz maleją. Trwa reakcja
chemiczna w mikrokapsułach dzięki wysokiemu stęŜeniu płynu. Środek leczniczy stale
dyfunduje do skóry i rany, jego wydatek i gradient prędkości przepływu rosną.
Etap 4. Wydatek i prędkość przypływu płynu fizjologicznego maleją. Wygasa reakcja
chemiczna w mikrokapsułach, bo maleje stęŜenie płynu w tej warstwie i mikrokapsuły są
rozpuszczone. Środek leczniczy dyfunduje jednak do skóry, jego prędkość przepływu maleje.
Etap 5. Wydatek i prędkość przypływu płynu na zewnątrz maleją, wreszcie wygasają. Brak
reakcji chemicznej w mikrokapsułach, zostały one rozpuszczone w płynie. Środek leczniczy
dyfunduje do skóry i rany, wydatek i prędkość przepływu maleją, po czym wygasają. StęŜenie
płynu fizjologicznego w opatrunku osiąga stan nasycenia, opatrunek zdejmuje się z rany.
3. ANALIZA WRAśLIWOŚCI PIERWSZEGO RZĘDU
Dowolny funkcjonał stowarzyszony z nieustalonym problemem dyfuzji jest postaci
tf


F = ∫  ∫ Ψ1 (C1 , ∇C1 , q1 , C& 1 ) d Ω + ∫ γ 1 (C1 , q n1 , C1∞ ) d Γ  dt +
0 Ω
Γ


& ) d Ω + γ (C , q , C ) d Γ  dt.
& ,C
Ψ
(
C
,
∇
C
,
q
,
R

2
2
2
2
2
2
∫0 Ω∫
∫Γ 2 2 n2 2∞ 
(8)
tf
gdzie Ψ1, Ψ2, γ1, γ2 to ciągłe i róŜniczkowalne funkcje swoich argumentów. WraŜliwość
pierwszego rzędu to pochodna materialna funkcjonału F po parametrach projektowania
Fp=DF/Dbp. Analizowano ją metodą bezpośrednią, co jest dogodne dla małej liczby
zmiennych projektowania b. Wprowadza się dodatkowe problemy dyfuzji stowarzyszone
z wariacją parametrów projektowania. Charakter dyfuzji jest taki sam w układach
podstawowym i dodatkowym. Problem dodatkowy opisują równanie stanu, warunki brzegowe
IDENTYFIKACJA KSZTAŁTU W DYFUZJI PRZECIWKIERUNKOWEJ W TEKSTYLIACH…
177
i początkowe, otrzymane ze zróŜniczkowania równań problemu podstawowego z uwagi na
zmienne bp. Zmienne stanu to stęŜenia czynników C1p = ∂C1 / ∂b p ; C 2p = ∂C2 / ∂b p .
Rozwiązanie problemu dodatkowego wymaga uwzględnienia dodatkowych pól stanu w
konstrukcji.
Równanie stanu dla płynu fizjologicznego otrzymuje się z zaleŜności (1) w postaci
dC1p
p
− divq1 =
; q1p = D1 ∇C1p + q1*p w 2D obszarze opatrunku Ω;
(9)
dt
Warunki na odpowiednich odcinkach brzegu zewnętrznego otrzymuje się, róŜniczkując
zaleŜności dla problemu podstawowego. Wykorzystując związki (2), powstaje
( ) = (C )
Γ1 ciało: C1p = C101
p
01
1 p
Γ2 góra: q pn = 0 ;
(10)
− C101 , x ⋅v p ;
( ) = (C ) − C , ⋅v
(t ) = h (C − C ).
=q
Γ1 rana: C1p = C102
Γ2 sym: q pn = 0 ;
Γ3 zewn: q n
p
02
1 p
02
1 x
p
1
n konw
p
;
p
1∞
Analogicznie określa się warunki czwartego rodzaju na brzegach wewnętrznych opatrunku,
dla sąsiednich warstw i oraz i+1. Mają one postać przy wykorzystaniu związku (3)
C1p (x, t ) = C1p (x, t ) ;
q pn1 (x, t ) = q pn1 (x, t )
(11)
i +1
i
i
i +1
Równanie stanu czynnika leczniczego formułuje się, wykorzystując związek (4) jako
dC p2
− divq p2 + R& p2 =
; q p2 = D 2 ∇C p2 + q *2p w 2D obszarze opatrunku Ω ;
(12)
dt
Warunki na odpowiednich odcinkach brzegu zewnętrznego otrzymuje się przez materialne
zróŜniczkowanie zaleŜności dla problemu podstawowego. Po wykorzystaniu związków (2)
jest
0
0
p
Γ2 ciało: q pn = q 0p
Γ2 góra: q pn = 0 ;
n = q n p − q n , x ⋅v ;
( )
Γ2 sym: q pn = 0 ;
Γ1 zewn: C p2 = 0 .
Warunki czwartego rodzaju na brzegach wewnętrznych formułuje się, róŜniczkując (6)
C p2 (x, t ) = C p2 (x, t ) ;
q pn2 (x, t ) = q pn2 (x, t ) .
i +1
i
i
i +1
Dla problemu nieustalonego naleŜy określić warunki początkowe zgodnie z (7)
p
C1p (x,0 ) = C10
= (C10 )p − C1 , x ⋅v p ; C 2 (x,0 ) = C p20 = (C 20 )p − C 2 , x ⋅v p ; x ∈ (Ω ∪ Γ ) .
(13)
(14)
(15)
Przekształcając związek (8), róŜniczkując odpowiednie składniki przez części i w czasie
oraz korzystając z twierdzenia Gaussa, otrzymuje się ostateczną postać wyraŜenia wraŜliwości
tf
tf




FP =  ∫ Ψ1 , C& 1 C1p dΩ +  ∫ Ψ1 , C& 2 C p2 dΩ +
Ω
 0 Ω
0
tf
 
d
 p
p
p
∫0 Ω∫  Ψ1 ,C1 − dt Ψ,C& 1 C1 + ∇ ∇C1 Ψ1 ⋅ ∇C1 + ∇ q1 Ψ1 ⋅ q1 dΩ +
tf
 
d
 p
p
p
p
∫0 Ω∫  Ψ2 ,C2 − dt Ψ,C& 2 C 2 + ∇ ∇C2 Ψ2 ⋅ ∇C 2 + ∇ q 2 Ψ2 ⋅ q 2 + Ψ, R& 2 R& 2 dΩ +
(
)
(
)
178
R. KORYCKI
∫ [γ , (C
ΓT
∫ [γ
,
)
2 C2
(C
)]
(
− ∇ Γ C10 ⋅ v Γp − C10 , n v pn + γ 1 , q n1 q pn1 − q1Γ ⋅ ∇ Γ v pn dΓT +
0
1p
1 C1
0
2p
)
)]
(
− ∇ Γ C 02 ⋅ v Γp − C 02 , n v pn + γ 2 , q n2 q pn2 − q 2 Γ ⋅ ∇ Γ v pn dΓT +
ΓT
∫ [γ ,
C1p + γ 1 , q n1 q 0n1p − ∇ Γ q 0n1 ⋅ v Γp − q 0n1 , n ⋅v pn dΓq +
∫ [γ ,
C p2 + γ 2 , q n2 q 0n2p − ∇ Γ q 0n2 ⋅ v Γp − q 0n2 , n ⋅v pn dΓq +
∫ [γ ,
C1p + γ 1 , q n1 h C1p − C1p∞ dΓC +
1 C1
Γq
1 C2
Γq
1 C1
(
)]
(
)]
)]
(
ΓC
∫ [(Ψ + γ ,
1
Γ
1 n
ΓC
(
)]
, C p2 + γ 2 , q n2 h C p2 − C p2 ∞ dΓC +
2 C2
]
(
)
−2Hγ 1 )v pn + (Ψ2 + γ 2 , n −2Hγ 2 )v pn dΓ + ∫ γ 1 , C1∞ C1p∞ + γ 2 , C 2 ∞ C p2 ∞ dΓ
Γ

+ ∫ γ 1 v p ⋅ υ + ∫ γ 2 v p ⋅ υ dt ;
Σ
Σ

]
∫ [γ
[ ]
[
p = 1, 2, ... P.
(16)
WraŜliwość pierwszego rzędu to suma całek obliczanych w czasie, w objętości, na brzegach
konstrukcji i wzdłuŜ linii nieciągłości brzegu. Pierwsze dwa składniki to całki oznaczone
obliczane w czasie od 0 do tf. Rozwiązanie tą metodą wymaga rozwiązania problemu
podstawowego i tylu dodatkowych, ile jest zmiennych projektowania. Istnieją dwa problemy
dyfuzji. Dyfuzję płynu ustrojowego opisują równanie stanu (9) i warunki brzegowe (10)
i (11). Dyfuzja czynnika leczniczego jest charakteryzowana równaniem stanu (12) oraz
warunki brzegowe (13) i (14). Warunki początkowe obu problemów opisują związki (15).
4. IDENTYFIKACJA KSZTAŁTU OPATRUNKU WŁÓKIENNICZEGO
Identyfikuje się kształt wielowarstwowego opatrunku z materiału włókienniczego.
Warstwy są ze sobą ściśle złączone, opatrunek dolega do rany dla zapewnienia efektu
terapeutycznego, stąd zakłada się brak powietrza między sąsiadującymi warstwami opatrunku
oraz opatrunkiem i skórą. Na styku warstw wewnętrznych stosuje się warunki czwartego
rodzaju. Podstawowy materiał uŜywany na opatrunki to włóknina (rys.3). Dobrze odprowadza
płyn ustrojowy z rany i transportuje czynnik leczniczy do skóry, jest tania, prosta do łączenia
przez igłowanie, prosta do naniesienia apretury, łatwo umieścić w niej warstwę mikrokapsuł.
Warstwy wewnętrzna przylegająca bezpośrednio do skóry oraz zewnętrzna za membraną są
wykonane z włókniny. Warstwa środkowa ma naniesioną apreturę i dodatkowo mikrokapsuły
z czynnikiem leczniczym. Określmy współczynniki dyfuzji obu problemów transportu,
opisując zjawisko w stałym materiale porowatym według [5]
D = K exp − E/ (R g T ) ,
(17)
[
]
gdzie E to energia aktywacji, K to współczynnik ekspotencjalny, Rg to stała gazowa, T to
temperatura w jakiej zachodzi dyfuzja. Dla dyfuzji płynu ustrojowego przyjmuje się według
Eksteina [1] E=12,14 kJ/kmol; K=2⋅10-7 m2/s i zakłada temperaturę stanu podgorączkowego
człowieka T=310 K. Wówczas współczynnik dyfuzji jest według (17) D1=1,9904⋅10-7 m2/s.
W przypadku czynnika leczniczego przyjmuje się E=15 kJ/kmol; pozostałe wartości są bez
zmian. Zgodnie z (17) otrzymuje się D2=2,02⋅10-7 m2/s.
W rzeczywistości oba procesy dyfuzji są zaleŜne od siebie, współczynniki dyfuzji są teŜ
zaleŜne. Związek między nimi jest określony przez energię aktywacji, pozostałe parametry są
IDENTYFIKACJA KSZTAŁTU W DYFUZJI PRZECIWKIERUNKOWEJ W TEKSTYLIACH…
179
bez zmian. Z uwagi na brak opublikowanych danych dotyczących energii aktywacji dla
opatrunków z róŜnym stęŜeniem czynnika leczniczego przyjęto taką samą energię aktywacji.
Warunki brzegowe problemów transportu rozpatrzy się w okresie końcowym dyfuzji, gdy
wydatek wysięku płynu z rany i jego gradient prędkości maleją. Wartości zmienne w czasie są
mierzone dla czasu t0=0; tk=600 s; ∆t=120 s. Konwekcja dyfuzyjna na brzegu zewnętrznym
jest opisana współczynnikiem h=10-3m. StęŜenie płynu ustrojowego w otoczeniu zostało
przyjęte C∞=0,1C1, czyli 10% stęŜenia na brzegu Γ3 zewn. Warunki brzegowe z uwagi na
związki (2) są postaci
Γ1 ciało: C1 = C101 = 0,01 kmol/m 3 ;
Γ1 rana: C1 = C102 (t ) = 0,05[1 − 0,2 t/3600] kmol/m 3 ;
Γ2 góra: qn=0;
Γ2 sym: qn=0;
Γ3 zewn: q n = q n konw (t ) = h (C1 − C1∞ ) .
1
2
3
(18)
4
x
Rys.3 Problem identyfikacji kształtu opatrunku włókienniczego
1 – warstwa wewnętrzna (włóknina), 2 – warstwa środkowa (włóknina z apreturą i
mikrokapsułami), 3 – membrana półprzepuszczalna, 4 – warstwa zewnętrzna (włóknina)
Dyfuzja czynnika leczniczego zmniejsza się w okresie końcowym i jest pomijalnie mała
w stosunku do poprzednich etapów. Dlatego przyjęto w przybliŜeniu stałą gęstość strumienia
czynnika leczniczego. Warunki brzegowe są z uwagi na związki (5) postaci
Γ2 ciało: q n = q 0n (t ) = 1,5 ⋅ 10 −4 kmol/ m 2s ;
Γ2 góra: qn=0; Γ2 sym: qn=0; Γ1 zewn: C2=0. (19)
( )
Warunek początkowy dla płynu ustrojowego przyjmuje się w postaci rozkładu parabolicznego
na szerokości przekroju. Wykorzystując (7), moŜna napisać
C1 (x,0 ) = C10 = 0,05g -2 x 2 -0,1g -1x + 0,05 kmol/m 3 ; C 2 (x,0 ) = C 20 = 0; x ∈ (Ω ∪ Γ ) ;
(20)
[
]
gdzie g to szerokość opatrunku, x to współrzędna wysokości x∈<0,10-2>m. ZałoŜono stałe
współczynniki materiałowe, niezaleŜne od czasu i zmiennych stanu.
Identyfikacja to minimalizacja funkcjonału celu bez ograniczeń, warunki stacjonarności
problemu DF/Dbp=0 określa się, stosując wyraŜenie wraŜliwości (18). Zmienne stanu
w konstrukcji rzeczywistej mierzy się na fragmencie brzegu zewnętrznego Γm∈Γ3 zewn.
Dlatego moŜna identyfikować kształt wyłącznie przez pomiar stęŜenia płynu ustrojowego, bo
stęŜenie czynnika leczniczego jest pomijalne. Wykorzystano funkcjonał „odległości”
zmiennych stanu identyfikowanego modelu i konstrukcji rzeczywistej dla płynu
t
1 f
2
F = ∫ ∫ (C1 - C1m ) dΓm dt
(21)
2 0 Γm
Zmienne projektowania to współrzędne wybranych węzłów na granicy warstw
wewnętrznej i środkowej. Z uwagi na konstrukcję opatrunku nie zmienia się kształtu warstw
membrany i zewnętrznej. Obliczenia prowadzono dwustopniowo procedurą analizy-syntezy.
Kształt konstrukcji dyskretyzowano siatką 100 elementów czterowęzłowych. Rozwiązanie
problemu podstawowego i dodatkowego w danej konfiguracji etapu analizy uzyskano metodą
180
R. KORYCKI
róŜnic skończonych. W etapie syntezy zaimplementowano metodę najszybszego spadku,
gradientową pierwszego rzędu. Kształty początkowy i zidentyfikowany w 15 iteracjach
pokazano na rys.4.
y=10-2
początkowy
zidentyfikowany
punkty węzłowe
y=0
x=0
x=10-2
Rys.4. Początkowe i zidentyfikowane połoŜenia granic warstw materiału w opatrunku
NiezaleŜnie od identyfikacji kształtu powyŜsze metody moŜna wykorzystać jako dogodne
i efektywne narzędzie optymalizacji kształtu przekroju poprzecznego opatrunku.
Współczynniki dyfuzji moŜna przyjąć z literatury lub wyznaczyć doświadczalnie.
LITERATURA
1. Ekstein H.J.: Heat treatment of the solid structures (in German). Leipzig : VEB, 1971.
2. Kącki E.: Równania róŜniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i technik. Warszawa:
WNT, 1995.
3. Korycki R.: Shape optimization and shape identification for transient diffusion problems
in textile structures. “Fibres and Extiles in Eastern Europe” 2007,Vol.15, No.1, p. 43-49
4. Li Y.: The science of clothing comfor. “Textile Progres” 2001, Vol.15, No.1,2.
5. Tomeczek J.:Termodynamika. Gliwice: Wyd. Pol.Śl., 1999.
Praca wykonana w ramach grantu nr No 3955/TO2/2007/32 Departamentu Badań Naukowych Polskiego Rządu
SHAPE IDENTIFICATION IN OPPOSITELY DIRECTED DIFFUSION
WITHIN COMPOSITE STRUCTURES
Summary. Some dressings have the microcapsulated therapeutic agent. Diffusion
of body fluid from the wound initiates the chemical reaction and releases the agent
from microcapsules. The semi-permeable membrane stops the outside transport of
therapeutic agent, whereas the fluid diffuses normally. The problem is analyzed in
the 2D cross-section of dressing. State variables are the concentrations of body
fluid and therapeutic agent. State equations, boundary and initial conditions are
defined. The sensitivity of an arbitrary functional is analyzed and implemented
into the shape identification of dressing. The Finite Difference Method was used.