Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

Atom dwupoziomowy
w niezerowej temperaturze
Tomasz Sowiński
1 paździenika 2008
Seminarium CFT – p. 1/24
Atom dwupoziomowy
Hamiltonian
b=H
b0 + H
bI
H
Z
∞
b 0 = mσz +
dk k a† (k)a(k),
H
0
Z ∞
b I = σx
H
dk g(k) Φ(k).
0
kwantowe pole elektromagnetyczne
a(k) + a† (k)
√
Φ(k) =
2k
a(k), a† (k) - operatory anihilacji i kreacji fotonów w odpowiednich modach
Seminarium CFT – p. 2/24
Sytuacja fizyczna
Założenia
b znajduje sie˛ w równowadze termodynamicznej z
układ opisany hamiltonianem H
rezerwuarem ciepła (termostatem) o temperaturze T
temperatura termostatu jest na tyle mała, że kreacja rzeczywistych par
elektron-pozyton nie wystepuje
˛
Seminarium CFT – p. 3/24
Sytuacja fizyczna
Założenia
b znajduje sie˛ w równowadze termodynamicznej z
układ opisany hamiltonianem H
rezerwuarem ciepła (termostatem) o temperaturze T
temperatura termostatu jest na tyle mała, że kreacja rzeczywistych par
elektron-pozyton nie wystepuje
˛
Zespół statystyczny
ustalona liczba fermionów (elektronów) i równa 1
ustalona temperatura termostatu T
ustalony potencjał chemiczny µ fotonów w rezerwuarze
Seminarium CFT – p. 3/24
Sytuacja fizyczna
Założenia
b znajduje sie˛ w równowadze termodynamicznej z
układ opisany hamiltonianem H
rezerwuarem ciepła (termostatem) o temperaturze T
temperatura termostatu jest na tyle mała, że kreacja rzeczywistych par
elektron-pozyton nie wystepuje
˛
Zespół statystyczny
ustalona liczba fermionów (elektronów) i równa 1
ustalona temperatura termostatu T
ustalony potencjał chemiczny µ fotonów w rezerwuarze
Stan kwantowy układu (β = 1/kT )
1 −β Kb
ρb = e
Zb
Hamiltonian statystyczny
b=H
b − µN
K
h
Zb = tr e
N
b
−β K
i
- operator liczby fotonów
Seminarium CFT – p. 3/24
Polaryzowalność atomu
Wartość oczekiwana dowolnego operatora
−βKb tr e O
hhOii = tr ρb O = −βKb tr e
Seminarium CFT – p. 4/24
Polaryzowalność atomu
Wartość oczekiwana dowolnego operatora
−βKb tr e O
hhOii = tr ρb O = −βKb tr e
liniowa polaryzowalność atomu
a(t, t0 ) = −i θ(t − t0 )
DDh
e
b
iHt
σx e
b
−iHt
,e
b 0
iHt
σx e
b 0
−iHt
iEE
Łatwo sie˛ przekonać, że a(t, t0 ) zależy jedynie od różnicy t − t0 i ma zatem proste
przedstawienie fourierowskie
a(ω) =
Z
∞
dt e
iω(t−t0 )
a(t, t0 )
−∞
Seminarium CFT – p. 4/24
replacements
Druga kwantyzacja
Dotychczasowy opis:
|0i
|1i
Opis w jezyku
˛
drugiej kwantyzacji:
|N i
|gi
|ei
|Bi
Seminarium CFT – p. 5/24
replacements
Druga kwantyzacja
Dotychczasowy opis:
|0i
|1i
Opis w jezyku
˛
drugiej kwantyzacji:
|N i
Operatory anihilacji:
|gi
|ei
ψ↓ = |eihB| − |N ihg|,
|Bi
ψ↑ = |gihB| + |N ihe|
Seminarium CFT – p. 5/24
replacements
Druga kwantyzacja
Dotychczasowy opis:
|0i
|1i
Opis w jezyku
˛
drugiej kwantyzacji:
|N i
Operatory anihilacji:
Operatory kreacji:
|gi
|ei
ψ↓ = |eihB| − |N ihg|,
ψ↓† = |Bihe| − |gihN |,
|Bi
ψ↑ = |gihB| + |N ihe|
ψ↑† = |Bihg| + |eihN |
Seminarium CFT – p. 5/24
replacements
Druga kwantyzacja
Dotychczasowy opis:
|0i
|1i
Opis w jezyku
˛
drugiej kwantyzacji:
|N i
Operatory anihilacji:
Operatory kreacji:
|gi
|ei
ψ↓ = |eihB| − |N ihg|,
ψ↓† = |Bihe| − |gihN |,

Operatory pola fermionowego:
Relacje antykomutacyjne:
n
Ψ=
Ψα , Ψ†β
o
ψ↑
ψ↓
|Bi
ψ↑ = |gihB| + |N ihe|

ψ↑† = |Bihg| + |eihN |

= δαβ ,
Ψ†
=
Ψα , Ψ β
ψ↑†
,
=
ψ↓†
n
Ψ†α , Ψ†β
o
=0
Seminarium CFT – p. 5/24
Druga kwantyzacja
replacements
Dotychczasowy opis:
|0i
|1i
Opis w jezyku
˛
drugiej kwantyzacji:
|N i
|gi
|ei
|Bi
Hamiltonian w nowym jezyku
˛
H = H0 + HI
Z
†
∞
H0 = mΨ σz Ψ +
dk k a† (k)a(k)
0
Z ∞
dk g(k) Φ(k)
H I = Ψ† σ x Ψ
0
Seminarium CFT – p. 6/24
Ewolucja operatorów pola
Obraz Heisenberga
à(t) = eiHt à e−iHt
(i∂t − m0 σz )Ψ(t) =
Z
∞
dk g(k)Φk (t)σx Ψ(t)
0
(∂t2 + k 2 )Φk (t) = − g(k)Ψ† (t) σx Ψ(t)
Obraz Diraca
Υ(t) = eiH0 t à e−iH0 t
(i∂t − m0 σz )ψ(t) = 0
(∂t2 + k 2 )φk (t) = 0
Seminarium CFT – p. 7/24
Ewolucja operatorów pola
Obraz Heisenberga
à(t) = eiHt à e−iHt
(i∂t − m0 σz )Ψ(t) =
Z
∞
dk g(k)Φk (t)σx Ψ(t)
0
(∂t2 + k 2 )Φk (t) = − g(k)Ψ† (t) σx Ψ(t)
Obraz Diraca
Υ(t) = eiH0 t à e−iH0 t
(i∂t − m0 σz )ψ(t) = 0
(∂t2 + k 2 )φk (t) = 0
Zwiazek
˛
pomiedzy
˛
propagatorami chronologicznymi
(twierdzenie Lowa i Gell-Manna)
hΩ|T ΨΨ . . . Ψ† Ψ† Φ . . . Φ|Ωi =
R
†
†
−i
dt HI |gi
hg|T ψψ . . . ψ ψ φ . . . φ e
R
−i
dt HI |gi
hg|T e
Seminarium CFT – p. 7/24
Roboczy układ statystyczny
Rozważamy formalnie pewien kwantowy stan układu
Definiujemy nowy operator statystyczny (β = 1/kT )
1
ρ = e−βK
Z
Hamiltonian statystyczny K = H − µN
h
Z = tr e
−βK
i
N - operator liczby fotonów
Seminarium CFT – p. 8/24
Roboczy układ statystyczny
Rozważamy formalnie pewien kwantowy stan układu
Definiujemy nowy operator statystyczny (β = 1/kT )
h
1
ρ = e−βK
Z
Z = tr e
Hamiltonian statystyczny K = H − µN
−βK
i
N - operator liczby fotonów
Wartość oczekiwana dowolnego operatora
tr e−βK O
hOi = tr ρ O =
−βK
tr e
Obserwacja:
jeśli operatory O1 , . . . , On działaja˛ tylko w podprzestrzeni qubitu to
hhO1 · · · On ii =
Z
hΨ† O1 Ψ · · · Ψ† On Ψi
b
Z
Seminarium CFT – p. 8/24
Roboczy układ statystyczny
Rozważamy formalnie pewien kwantowy stan układu
Definiujemy nowy operator statystyczny (β = 1/kT )
h
1
ρ = e−βK
Z
Z = tr e
Hamiltonian statystyczny K = H − µN
−βK
i
N - operator liczby fotonów
Wartość oczekiwana dowolnego operatora
tr e−βK O
hOi = tr ρ O =
−βK
tr e
Obserwacja:
jeśli operatory O1 , . . . , On działaja˛ tylko w podprzestrzeni qubitu to
hhO1 · · · On ii =
Z
hΨ† O1 Ψ · · · Ψ† On Ψi
b
Z
Aby znaleźć a(t, t0 ) wystarczy zatem znać
0
0
α(t, t ) = −i θ(t − t )
Dh
†
†
0
0
Ψ (t)σx Ψ(t), Ψ (t )σx Ψ(t )
iE
Seminarium CFT – p. 8/24
Roboczy swobodny układ statystyczny
Dla celów praktycznych definiujemy również
swobodny układ statystyczny
Swobodny operator statystyczny (β = 1/kT )
h
1 −βK0
ρ=
e
Z0
Z0 = tr e
Hamiltonian statystyczny K0 = H0 − µN
−βK0
i
N - operator liczby fotonów
Wartość oczekiwana dowolnego operatora
tr e−βK0 O
hOi0 = tr ρ0 O =
tr e−βK0
Seminarium CFT – p. 9/24
Propagatory czasu rzeczywistego
propagatory retardowane pola elektromagnetycznego
pełny propagator
DR (k, k 0 , t, t0 ) = −iθ(t − t0 )h Φ(t), Φ(t0 ) i
propagator pola swobodnego
0
0
0
0
DR (k, k , t, t ) = −iθ(t − t )h φ(t), φ(t ) i0
Seminarium CFT – p. 10/24
Propagatory czasu rzeczywistego
propagatory retardowane pola elektromagnetycznego
pełny propagator
DR (k, k 0 , t, t0 ) = −iθ(t − t0 )h Φ(t), Φ(t0 ) i
propagator pola swobodnego
0
0
0
0
DR (k, k , t, t ) = −iθ(t − t )h φ(t), φ(t ) i0
Wprost z równań dynami wynika zwiazek
˛
DR (k, k 0 , k0 ) = DR (k, k 0 , k0 )+
Z ∞
Z
−
dk1 g(k1 )
0
∞
dk2 g(k2 ) DR (k, k1 , k0 )α(k0 )DR (k2 , k 0 , k0 )
0
Wielkość α(k0 ) można wyznaczyć znajac
˛
propagator retardowany pola elektromagnetycznego
Seminarium CFT – p. 10/24
Formalizm Matsubary (τ = it)
Obraz Matsubary-Heisenberga
O(τ ) = eKτ O e−Kτ
Φ(k, τ ) = eKτ Φ(k) e−Kτ
Ψ(τ ) = eKτ Ψ e−Kτ
Ψ† (τ ) = eKτ Ψ† e−Kτ
Seminarium CFT – p. 11/24
Formalizm Matsubary (τ = it)
Obraz Matsubary-Heisenberga
O(τ ) = eKτ O e−Kτ
Φ(k, τ ) = eKτ Φ(k) e−Kτ
Ψ(τ ) = eKτ Ψ e−Kτ
Ψ† (τ ) = eKτ Ψ† e−Kτ
Obraz Matsubary-Diraca

ψ(τ ) = 
†
ψ (τ ) =
ψ↑ e−mτ
ψ↓ emτ

O(τ ) = eK0 τ O e−K0 τ

ψ↑† emτ , ψ↓† e−mτ
a(k)e−kτ + a† (k)ekτ
φ(k, τ ) =
√
2k
HI (τ ) = e
K0 τ
HI e
−K0 τ
†
= ψ (τ ) σx ψ(τ )
Z
∞
dk g(k)φ(k, τ )
0
Seminarium CFT – p. 11/24
Funkcje korelacji Matsubary
Temperaturowe funkcje korelacji
e 1 , . . . , τn ) = −hTτ O(τ1 ) · · · O(τn )i
G(τ
0 ≤ τi ≤ β
Seminarium CFT – p. 12/24
Funkcje korelacji Matsubary
Temperaturowe funkcje korelacji
e 1 , . . . , τn ) = −hTτ O(τ1 ) · · · O(τn )i
G(τ
0 ≤ τi ≤ β
Propagatory temperaturowe
Propagator fermionowy
Propagator fotonowy
Seαβ (τ1 , τ2 ) = −hTτ Ψα (τ1 )Ψ†β (τ2 )i
e
D(k,
k 0 , τ1 , τ2 ) = −hTτ Φ(k, τ1 )Φ(k 0 , τ2 )i
Propagatory temperaturowe sa˛ funkcja˛ jedynie ró żnicy swoich argumentów. To
znaczy, że można ograniczyć sie˛ do argumentów spełniajacych
˛
warunek
−β ≤ τ1 − τ2 ≤ β
Seminarium CFT – p. 12/24
Reprezentacja Fouriera
Propagatory temperaturowe sa˛ cykliczne na odcinku 2β . Maja˛ zatem
przedstawienie w postaci szeregów Fouriera
∞
X
1
e )=
e n)
G(τ
e−iωn τ G(ω
β n=−∞
πn
ωn =
β
Seminarium CFT – p. 13/24
Reprezentacja Fouriera
Propagatory temperaturowe sa˛ cykliczne na odcinku 2β . Maja˛ zatem
przedstawienie w postaci szeregów Fouriera
∞
X
1
e )=
e n)
G(τ
e−iωn τ G(ω
β n=−∞
πn
ωn =
β
Propagator bozonów/fermionów ma dodatkowa˛ własno ść
e ) = ±G(τ
e + β)
G(τ
Współczynniki fourierowskie maja˛ zatem posta ć
e n) =
G(ω
Z
∞
0
e )
dτ eiωn τ G(τ
ωn =





+1
bozony
−1
fermiony
2nπ
β
2(n+1)π
β
bozony
fermiony
Seminarium CFT – p. 13/24
Temperaturowe propagatory swobodne
swobodny propagator fermionowy
definicja
Seαβ (τ1 , τ2 ) = −hTτ ψα (τ1 )ψβ† (τ2 )i0
składniki fourierowskie
e n) =
S(ω
1
iωn − mσz
ωn =
2(n + 1)π
β
Seminarium CFT – p. 14/24
Temperaturowe propagatory swobodne
swobodny propagator fermionowy
definicja
Seαβ (τ1 , τ2 ) = −hTτ ψα (τ1 )ψβ† (τ2 )i0
składniki fourierowskie
e n) =
S(ω
1
iωn − mσz
ωn =
2(n + 1)π
β
swobodny propagator fotonowy
definicja
e k 0 , τ1 , τ2 ) = −hTτ φ(k, τ1 )φ(k 0 , τ2 )i0
D(k,
składniki fourierowskie
δ(k − k 0 )
0
e
D(k, k , ωn ) = − 2
ωn + k 2
ωn =
2nπ
β
Seminarium CFT – p. 14/24
Rachunek perturbacyjny
Zwiazek
˛
podstawowy pomiedzy
˛
temperaturowymi
funkcjami korelacji
hTτ O1 (τ1 ) · · · On (τn )i =
=
hTτ O1 (τ1 ) · · · On (τn ) e−
hTτ e−
Rβ
0
Rβ
dτ HI (τ )
0
dτ HI (τ )
i0
i0
Twierdzenie Wicka w skończonej temperaturze
hTτ O1 · · · On i0 =
X
σ
(−1)κ hTτ Oσ1 Oσ2 i0 · · · hTτ Oσn−1 Oσn i0
Seminarium CFT – p. 15/24
Reguły Matsubary-Feynmana
⇒
⇒
⇒
e n) =
−S(ω
−1
iωn − mσz
0)
δ(k
−
k
e n) =
−D(ω
ωn2 + k 2
(2n + 1)π
ωn =
β
2nπ
ωn =
β
−V (k) = g(k)σx
Seminarium CFT – p. 16/24
Reguły Matsubary-Feynmana
⇒
⇒
⇒
e n) =
−S(ω
−1
iωn − mσz
0)
δ(k
−
k
e n) =
−D(ω
ωn2 + k 2
(2n + 1)π
ωn =
β
2nπ
ωn =
β
−V (k) = g(k)σx
W wierzchołku spełnione jest zachowanie cz˛esto ści ωn
Każda zamknieta
˛ petla
˛ fermionowa oznacza pomno żenie wyrażenia przez −1 i ślad
odpowiednich macierzy
Na końcu wycałkować po wszystkich wewnetrznych
˛
pedach
˛
k i wysumowa ć po
wszystkich wewnetrznych
˛
cz˛estościach ωn . Każda˛ sume˛ podzielić przez β
Seminarium CFT – p. 16/24
Temperaturowy propagator fotonu
Propagator fotonu w pełnej teorii
=
=
+
+
+
+ ...
1
−1
−
Seminarium CFT – p. 17/24
Temperaturowy propagator fotonu
Propagator fotonu w pełnej teorii
=
+
=
=
+
+
1
+
+
+
+ ...
−1
+
+ ...
−
=−
R∞
0 dk
g 2 (k)
2 +k2
ωn
Seminarium CFT – p. 17/24
Temperaturowy propagator fotonu
Propagator fotonu w pełnej teorii
=
+
=
=
+
+
1
+
+
+
+ ...
−1
+
−
=−
+ ...
Temperaturowa macierz przejścia
e n) =
− T(ω
R∞
0 dk
g 2 (k)
2 +k2
ωn
1
−1
−
Seminarium CFT – p. 17/24
Drugi rzad
˛ rachunku zaburzeń
e (2)
−P
1X e
e
=−
Tr σx S(ωn0 + ωn )σx S(ωn0 )
β 0
(ωn ) =
n
Ze wzgledu
˛ na statystyki kwantowe
2nπ
ωn =
β
ω n0
(2n0 + 1)π
=
β
Po wykonaniu sumowania i uporzadkowaniu
˛
4m
e (2) (ωn ) = −
tanh
P
2
4m2 + ωn
βm
2
To daje temperaturowa˛ macierz przejścia
e (2) (ωn ) = −
T
4m
(4m2 + ωn2 )coth βm
− 4me
h(ωn )
2
Seminarium CFT – p. 18/24
Co dalej?
Propagator temperaturowy (w urojonym czasie τ = it)
e
e
D(k,
k 0 , ωn ) = D(k,
k 0 , ωn ) +
Z
Z ∞
e
e n) ·
dk1 g(k1 )D(k,
k1 , ωn ) · T(ω
−
0
∞
0
e 2 , k 0 , ωn )
dk2 g(k2 )D(k
Seminarium CFT – p. 19/24
Co dalej?
Propagator temperaturowy (w urojonym czasie τ = it)
e
e
D(k,
k 0 , ωn ) = D(k,
k 0 , ωn ) +
Z
Z ∞
e
e n) ·
dk1 g(k1 )D(k,
k1 , ωn ) · T(ω
−
0
∞
e 2 , k 0 , ωn )
dk2 g(k2 )D(k
0
Propagator retardowany (w rzeczywistym czasie t)
DR (k, k 0 , k0 ) = DR (k, k 0 , k0 ) +
Z
Z ∞
dk1 g(k1 )DR (k, k1 , k0 ) · α(k0 ) ·
−
0
∞
dk2 g(k2 )DR (k2 , k 0 , k0 )
0
Jeśli znalibyśmy zwiazek
˛
pomiedzy
˛
propagatorami temperaturowymi i retardowanymi
e n)
to moglibyśmy odtworzyć funkcje˛ α(k0 ) ze znajomości macierzy przejścia T(ω
Seminarium CFT – p. 19/24
Reprezentacja spektralna
Propagator temperaturowy
Z
∞
0)
M(M,
k,
k
e k 0 , ωn ) =
D(k,
dM
iωn − M
−∞
Propagator retardowany
Z
∞
0)
M(M,
k,
k
DR (k, k 0 , k0 ) =
dM
k0 − M + i
−∞
Macierz spektralna
X
e−βKm − e−βKn
hn|Φ(k)|mihm|Φ(k 0 )|ni
M(M, k, k ) =
δ(M + Kn − Km )
Z
n,m
0
Seminarium CFT – p. 20/24
Przedłużenie analityczne
Z
∞
M(M, k, k 0 )
0
e
dM
D(k, k , ωn ) =
iωn − M
−∞
Z
∞
M(M, k, k 0 )
DR (k, k , k0 ) =
dM
k0 − M + i
−∞
0
Seminarium CFT – p. 21/24
Przedłużenie analityczne
Z
∞
M(M, k, k 0 )
0
e
dM
D(k, k , ωn ) =
iωn − M
−∞
Z
Z
∞
M(M, k, k 0 )
DR (k, k , k0 ) =
dM
k0 − M + i
−∞
0
∞
M(M, k, k 0 )
F (z) =
dM
z−M
−∞
Seminarium CFT – p. 21/24
Przedłużenie analityczne
Z
∞
M(M, k, k 0 )
0
e
dM
D(k, k , ωn ) =
iωn − M
−∞
Z
Z
∞
M(M, k, k 0 )
DR (k, k , k0 ) =
dM
k0 − M + i
−∞
0
∞
M(M, k, k 0 )
F (z) =
dM
z−M
−∞
Retardowany → Temperaturowy
e
D(k,
k 0 , ωn ) = DR (k, k 0 , iωn )
ωn > 0
e ∗ (k, k 0 , ωn )
e
D(k,
k 0 , −ωn ) = D
Seminarium CFT – p. 21/24
Przedłużenie analityczne
Z
∞
M(M, k, k 0 )
0
e
dM
D(k, k , ωn ) =
iωn − M
−∞
Z
Z
∞
M(M, k, k 0 )
DR (k, k , k0 ) =
dM
k0 − M + i
−∞
0
∞
M(M, k, k 0 )
F (z) =
dM
z−M
−∞
Retardowany → Temperaturowy
e
D(k,
k 0 , ωn ) = DR (k, k 0 , iωn )
ωn > 0
e ∗ (k, k 0 , ωn )
e
D(k,
k 0 , −ωn ) = D
Temperaturowy → Retardowany
Procedura niejednoznaczna matematycznie, ale fizycznie jednoznaczna
e
DR (k, k 0 , k0 ) = D(k,
k 0 , −ik0 + )
k0 > 0
Seminarium CFT – p. 21/24
Polaryzowalność atomu
Wykonujac
˛ przedłużenie analityczne otrzymujemy w drugim
rz˛edzie rachunku zaburzeń
α
(2)
(ω) =
(4m2 − ω 2 ) coth
βm
2
gdzie
∆(ω) = P
Γ(ω) =
Z
4m
h
b
b
+ i sign(ω) Γ(ω)
− 4m ∆(ω)
i
∞
g 2 (ω)
dk 2
k − ω2
0
πg 2 (ω)
2|ω|
Seminarium CFT – p. 22/24
Polaryzowalność atomu
Wzór na polaryzowalność
Z
a(ω) = α(ω)
Zb
Seminarium CFT – p. 23/24
Polaryzowalność atomu
Wzór na polaryzowalność
Z
a(ω) = α(ω)
Zb
W najniższym rz˛edzie rachunku perturbacyjnego
wystarczajace
˛ jest przybliżenie
e−βm + eβm + 2
Z0
Z
tanh(βm)
=
=
≈
−βm
βm
e
+e
Zb
Zb0
tanh βm
2
Seminarium CFT – p. 23/24
Polaryzowalność atomu
Wzór na polaryzowalność
Z
a(ω) = α(ω)
Zb
W najniższym rz˛edzie rachunku perturbacyjnego
wystarczajace
˛ jest przybliżenie
e−βm + eβm + 2
Z0
Z
tanh(βm)
=
=
≈
−βm
βm
e
+e
Zb
Zb0
tanh βm
2
Polaryzowalność w drugim rz˛edzie
a(ω) =
tanh(βm)
4m
i
h
βm
βm
b
b
+ i sign(ω) Γ(ω)
tanh 2
(4m2 − ω 2 ) coth 2 − 4m ∆(ω)
Seminarium CFT – p. 23/24
Polaryzowalność atomu
4m tanh (βm)
h
i
a(ω) =
b T (ω) + i sign(ω) Γ
bT (ω)
4m2 − ω 2 − 4m ∆
βm
b
∆T (ω) = ∆(ω) tanh
2
βm
b
ΓT (ω) = Γ(ω) tanh
2
Spodziewana zależność amplitudy polaryzowalności od temperatury
Niespodziewane wyostrzenie rezonansu przy wzro ście temperatury
Motional narrowing
Seminarium CFT – p. 24/24