Materiały pomocnicze do ćwiczeń nr 5

POLITECHNIKA GDAŃSKA
WYDZIAŁ MECHANICZNY
KATEDRA TECHNIKI CIEPLNEJ
ZASTOSOWANIE METOD KOMPUTEROWYCH
W TECHNICE CIEPLNEJ
ANALIZA WPŁYWU PARAMETRÓW KONSTRUKCYJNYCH
CZUJNIKA DO POMIARU WILGOTNOŚCI NA JEGO
CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE I DYNAMICZNE
Opracował dr hab. inż. Dariusz Mikielewicz, prof. nadzw. PG
Gdańsk, luty 2003
1. WSTĘP
Osiągalność termopar możliwych do połączenia z odczytem cyfrowym umożliwiła
szersze zastosowanie psychrometrów opartych na odczycie sygnału elektrycznego. Jako że
możemy stosować coraz mniejsze przekroje połączeń termopar z badanym materiałem,
charakterystyka dynamiczna takich układów na zmiany temperatur jest bardzo szybka. W
rozpatrywanym zadaniu, analizowany jest wpływ parametrów konstrukcyjnych czujnika do
pomiaru wilgotności na jego charakterystyki statyczne i dynamiczne. W związku z rozwojem
technik pomiarowych, odpowiedź na zmiany wilgotności takiego czujnika jest bardzo szybka
i możliwe jest konstruowanie psychrometrów opartych na pomiarze temperatury przy pomocy
termopar w takich przypadkach, gdzie stan powietrza silnie zmienia się w czasie, patrz Trela
[1]. Autor tej pracy rozwinął ideę pomiaru temperatury rosy opartą na zmianie dynamicznej
temperatury czujnika w okolicy punktu rosy.
Posługując się analitycznym modelem czujnika do pomiaru temperatury rosy,
zaprezentowanym w [2], dokonano analizy dynamiki układu czujnika. Rozpatrzono wpływ
poszczególnych elementów czujnika na szybkość jego reakcji.
Podczas pierwszej fazy chłodzenia powietrza wilgotnego w warstwie przyściennej,
mechanizm wymiany ciepła przebiega tylko poprzez konwekcję do płytki. Kiedy zostanie
osiągnięty punkt rosy (warunki nasycenia) wtedy rozpoczyna się proces kondensacji pary z
powietrza wilgotnego. Proces ten jest kontrolowany przez konwekcję i kondensację na
powierzchni płytki. Temperatura płytki jest mierzona termoparą zamontowaną na
powierzchni płytki.
W niniejszej pracy, autorzy pracy postawili sobie za zadanie analizę wpływu
poszczególnych elementów czujnika na zmiany odpowiedzi czujnika do pomiaru temperatury
rosy.
2. PODSTAWY MODELOWANIA ZJAWISKA
Przedstawiona w niniejszej pracy koncepcja badania dynamiki czujnika do pomiaru
temperatury rosy poprzedzona została analizą teoretyczną wpływu parametrów termicznych
płytki na niestacjonarne pomiary temperatur [2]. Jako, że rozpatrywany w [2] model dał dobre
jakościowe jak i ilościowe wyniki, zachęciło to autorów pracy do zbadania charakterystyk
statycznych i dynamicznych tego czujnika. Ideowy schemat czujnika przedstawiono na rys. 1.
Metoda analizy wpływu poszczególnych części czujnika na charakterystyki statyczne i
dynamiczne polega na dekompozycji sieci rozpływu ciepła w rozpatrywanym systemie
cieplnym na podukłady. Masa poszczególnych podukładów jest jednorodna i skupiona w
punkcie.
Bilans cieplny każdego z podukładów można zapisać ogólnie w postaci
N
∑ K ΔT
i
i =1
i, j
+ Mi
d Ti
= Si
dt
(1)
gdzie:
i - oznacza numer podukładu, dla którego zapisany jest bilans cieplny,
j - oznacza numer podukładu, z którym podukład i wymienia ciepło,
N - oznacza liczbę podukładów w analizowanym układzie.
Poszczególne człony w równaniu (1) wyrażają:
Ki ΔTi , j - strumień ciepła przepływający pomiędzy podukładami i i j wymieniającymi ciepło,
Mi
d Ti
- akumulację ciepła w układzie i,
dt
2
Si - ciepło dostarczone do podukładu i ze źródła ciepła
T0
α
Ap
Tp
Tpp
Tm
F
Rys. 1 Ideowy schemat czujnika do pomiaru wilgotności powietrza.
Przepływ ciepła pomiędzy poszczególnymi podukładami może odbywać się:
a) bez wymiany masy pomiędzy poszczególnymi podukładami, wówczas
Ki = k i Ai
(2)
gdzie: ki - współczynnik przenikania ciepła
Ai - powierzchnia wymiany ciepła,
b) przy przepływie strumienia masy pomiędzy poszczególnymi podukładami, wówczas
Ki = mi , j C p
(3)
gdzie: mi,j - strumień masy przepływającej między podukładami wymieniającymi ciepło,
Cp - ciepło właściwe strumienia masy.
Dla wyznaczenia temperatur poszczególnych podukładów należy rozwiązać układ
równań zapisanych zgodnie z (1). Układ ten jest układem równań różniczkowych pierwszego
rzędu lub równań algebraicznych.
3. MODEL TEORETYCZNY ZJAWISKA
W rozpatrywanym zagadnieniu układ podzielono na trzy podukłady: płytka
(membrana), element grzejny (termoelement chłodniczy) wraz z odzielającą go od płytki
szczeliną powietrzną, radiator. W rozważaniach założono, że
• własności fizyczne wszystkich materiałów są stałe
• strumień chłodzenia płytki jest stały
• grubość płytki jest stała i wówczas można założyć liniowy rozkład temperatury w płytce
• otoczenie oddziałuje na czujnik poprzez stały współczynnik wymiany ciepła oraz stałą
temperaturę otoczenia
3
Stosując metodę dekompozycji sieci rozpływu ciepła wyprowadzono następujące równania
dla:
• płytki (membrany)
(
d Tp
M p C pp
)
(
)
+ Tp − T0 A p k p0 + Tp − Tpp A p k pp = 0
dt
(4)
• elementu grzejnego i szczeliny powietrznej
(T
pp
)
(
(
)
)
− Tp A p k pp + Tpp − Tm A p k pm = Qg
(5)
• radiatora
M m C pm
d Tm
+ Tm − Tpp A p k pm + ( Tm − T0 ) Fk m0 = 0
dt
(6)
Równania (4) i (6) są równaniami różniczkowymi liniowymi pierwszego rzędu a równanie (5)
jest równaniem algebraicznym. Metoda rozwiązania polega na następującym prostym
algorytmie. Z równania (5) wyznaczamy temperaturę Tpp, która wynosi
Tpp =
k pp
k pp + k pm
Tp +
k pp
k pp + k pm
Tm +
(
Qg
A p k pp + k pm
)
(7)
Temperaturę Tpp podstawiamy następnie do równań (4) i (6) i w wyniku otrzymujemy
przekształcone równanie (4)
M p C pp d Tp
Ap
dt
=
k pp k pm
k pp + k pm
+ T0 k p0 +
⎡
k pp k pm ⎤
Tm − ⎢ k p 0 +
⎥T
k pp + k pm ⎥⎦ p
⎢⎣
Qg k pp
(
A p k pp + k pm
(8)
)
oraz przekształcone równanie (6)
⎛ k pp k pm
⎞
M m C pm d Tm
k pp k pm
F
k m0 ⎟⎟ Tm
Tp − ⎜⎜
=
+
Ap
dt
k pp + k pm
⎝ k pp + k pm A p
⎠
Qg k pm
F
k m0 T0 +
+
Ap
A p k pp + k pm
(
(9)
)
W wyniku tych działań uzyskujemy dwa równania różniczkowe liniowe z dwiema
niewiadomymi Tp oraz Tm. Jako, że przede wszystkim zainteresowani jesteśmy w rozwiązaniu
dotyczącym temperatury płytki Tp, dlatego dalsze przekształcenia poprowadzimy w tym
kierunku. W tym celu z równania (8) wyznaczamy Tm oraz ze zróżniczkowanej formy
równania (8) względem czasu wyznaczamy dTm/dt. Po podstawieniu do równania (9)
otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu ze względu na Tp następującej
postaci
4
⎡⎛ k p0 ⎞ M mC pm ⎛
F km0 ⎞ M p C pp ⎤ d Tp
⎜
⎟
+
+
+
+
+
1
1
⎢
⎥
⎟
⎜
⎜
Ap AA Ap d t 2 ⎢⎣⎝ AA ⎠ Ap
Ap AA ⎟⎠ Ap ⎥⎦ d t
⎝
⎡
⎛
⎡
k p0 ⎞ ⎤
k p0 ⎞ ⎤
F km0 ⎞ Qg
F km0 ⎛
F k m0 ⎛
⎟⎟
⎟ ⎥T0 + ⎜⎜1 +
⎜1 +
⎟ ⎥Tp = ⎢k p0 +
⎜1 +
⎢k p0 +
A
k
A
AA
A
AA
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
p
p
p
pm ⎠ Ap
M mC pm M p C pp d 2 Tp
gdzie AA =
k pp k pm
k pp + k pm
(10)
.
Powyższa postać równania różniczkowego daje się zapisać w następującej postaci
uproszczonej:
A
d 2 Tp
dt2
+B
d Tp
dt
+ C Tp = D
(11)
gdzie człony A, B, C, D mają następujące wartości:
A=
M m C pm M p C pp
Ap
AA A p
⎡⎛ k p0
⎞ M m C pm ⎛
F k m0 ⎞ M p C pp ⎤
⎟
⎥
B = ⎢⎜
+ 1⎟
+ ⎜⎜ 1 +
Ap
A p AA ⎟⎠ A p ⎥
⎠
⎢⎣⎝ A
⎝
⎦
⎡
k p0 ⎞ ⎤
F k m0 ⎛
⎜1 +
⎟⎥
C = ⎢k p0 +
Ap ⎝
AA ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
(12)
⎡
⎡
⎞⎤
F k m0 ⎛ k p 0
F k m0 ⎤ Q g
⎥
⎜
− 1⎟ ⎥T0 + ⎢1 +
D = ⎢k p0 +
A
A
AA
k
⎝
⎠
⎢
A
⎢⎣
p
p pm ⎥
⎦⎥
⎣
⎦ p
Rozwiązanie tego równania metodami klasycznymi oznacza znalezienie całki ogólnej
równania niejednorodnego, która jest określona jako suma:
• całki ogólnej równania jednorodnego - odpowiedź swobodna układu yp(t)
• całki szczególnej równania niejednorodnego określającej składową wymuszoną
rozwiązania ys(t)
Pełne rozwiązanie ma następującą postać
y = y p + ys
(13)
W naszym przypadku forma rozwiązania równania (11) ze względu na temperaturę płytki Tp
ma następującą postać
Tp =
⎛ 1 B − B2 − 4 A C
D
+ C1 exp⎜ −
⎜ 2
C
A
⎝
⎞
⎛ 1 B + B2 − 4 A C ⎞
t i ⎟ + C2 exp⎜ −
ti ⎟
⎟
⎜ 2
⎟
A
⎠
⎝
⎠
(14)
W celu wyznaczenia stałych C1 i C2 stawiamy następujące warunki początkowe
dla t = 0
dla t = 0
Tp = p
dTp
dt
=q
(15)
Po podstawieniu powyższego warunku do równania (16) otrzymujemy
5
p=
D
+ C1 + C2
C
(16)
B − B2 − 4 A C 1
B + B2 − 4 AC
1
− C2
q = − C1
2
2
A
A
Rozwiązanie powyższego równania ze względu na stałe C1 oraz C2 daje nam w wyniku
)
)( [ (
)]
(− B + 4 AC + B B − 4 AC )
B − 4 AC − 2 D)
− B 2 + 4 AC − B B 2 − 4 AC
1
2
C1 = 2 p C + q B − B − 4 AC − 2 D
4
C − B 2 + 4 AC
(
C2 =
(
1
2 pC + q B +
4
2
2
2
[ C(− B
2
+ 4 AC
(17)
)]
W ten sposób znalezione zostało rozwiązanie równania (11) w sposób analityczny. Tym
samym zostało znalezione rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, czyli odpowiedź
swobodna (drgania własne) układu oraz rozwiązanie szczególne (człon D/C). Rozwiązanie
szczególne jest odpowiedzialne za rozwiązanie zadania w warunkach ustalonych.
Temperatura ustalona czujnika musi być mniejsza niż przewidywana temperatura rosy, gdyż
inaczej nie nastąpi kondensacja pary. Jest to pierwsza wskazówka konstrukcyjna, którą należy
uwzględnić przy projektowaniu czujnika. Odpowiedź swobodna układu daje informacje o
dynamice układu i umożliwia lepsze dopasowanie wymiarów czujnika oraz dobór materiałów
do przyszłej jego pracy w warunkach zmiennych w czasie.
4. WYNIKI OBLICZEŃ
Wyprowadzony powyżej model został sprawdzony liczbowo na przykładzie istniejącej
konstrukcji czujnika z termoelementem chłodniczym MELCOR FC0.6-32-05TL [3]. Na rys. 2
przedstawiono wymiary radiatora:
Rys. 2 Schemat radiatora czujnika punktu rosy [4]
Dla wymiarów pokazanych na rysunku obliczono poszczególne składniki równania
modelu. Zostały one zestawione w tabeli 1 oraz tabeli 2.
6
Tabela 1
Wielkości dane
Masa membrany
Masa radiatora
Pojemność cieplna membrany
Pojemność cieplna radiatora
Szerokość szczeliny powietrznej
Wysokość termoelementu
Współczynnik przewodzenia ciepła materiału membrany
Współczynnik przewodzenia ciepła materiału radiatora
Tabela 2
Wielkości przyjęte do obliczeń
Uogólniony współczynnik przenikania ciepła pomiędzy
otoczeniem i membraną
Uogólniony współczynnik przenikania ciepła pomiędzy
membraną i termoelementem
Uogólniony współczynnik przenikania ciepła pomiędzy
termoelementem i radiatorem
Uogólniony współczynnik przenikania ciepła pomiędzy
radiatorem i otoczeniem
Współczynnik przejmowania ciepła do otoczenia
Temperatura otoczenia
Średni współczynnik przewodzenia ciepła termoelementu
Współczynnik przewodzenia ciepła powietrza
Temperatura początkowa
Początkowy strumień ciepła
Ciepło chłodzenia
Wartość
0.000018 kg
0.046 kg
400 J/kg K
400 J/kg K
0.000075 m.
0.0025 m.
370 W/mK
370 W/mK
Wartość
30 W/m2K
266.7 W/m2K
5.137×104 W/m2K
503.8 W/m2K
30 W/m2K
25 oC
210 W/mK
0.0267 W/mK
100 oC
0.1 W
0.1 W
Wartości poszczególnych oporów cieplnych pomiędzy poszczególnymi elementami są
następujące:
• współczynnik przenikania między otoczeniem a membraną
k p0 =
1
1
δ
+
2λ p α
(18)
gdzie δ jest grubością membrany.
• współczynnik przenikania między membraną a elementem grzejno-chłodzącym
(termoelementem) z uwzględnieniem szczeliny powietrznej między nimi
k pp =
1
δ
δ
δ
+ 1 + 2
2λ p λ pow 2λnpn
(19)
gdzie δ1 jest grubością szczeliny powietrznej, δ2 jest grubością termoelementu, λpow
współczynnikiem przewodzenia ciepła w powietrzu, a λnpn jest średnim współczynnikiem
przewodzenia ciepła w termoelemencie (elemencie grzejno-chłodzącym).
• współczynnik przenikania pomiędzy elementem grzejnym a radiatorem
7
k pm =
1
δ2
h
+
2λnpn 2λm
(20)
gdzie h jest wysokością radiatora, a λm jego przewodnością cieplną
• współczynnik przenikania między radiatorem a otoczeniem
k m0 =
1
h
2λm
+
(21)
Ap
Fα
Powyższe zależności na współczynniki przenikania ciepła zostały wyprowadzone przy
założeniu, że przepływ ciepła odbywa się tylko w kierunku wzdłużnym, zgodnie z modelem,
i tylko radiator wymienia ciepło z otoczeniem całą swoją powierzchnią (zarówno boczną jak i
wzdłużną).
Obliczenia przebiegu temperatury membrany przedstawiono na rysunku 3.
Temperatura ustalona membrany dla tego przypadku wynosi Tp ustalona = 24.96 oC.
SPIS SYMBOLI
Ap
- powierzchnia wymiany ciepła
A,B,C,D - współczynniki równania (11)
AA
- parametr
Cp
- ciepło właściwe przy stałym
ciśnieniu
δ
- grubość
F
- powierzchnia wymiany ciepła
k
- współczynnik przenikania ciepła
K
- uogólniony współczynnik
przenikania ciepła
λ
- współczynnik przewodzenia ciepła
M
- masa
p
q
Qg
t
T
- warunek początkowy temperatury
- war. początkowy strumienia ciepła
- ciepło
- czas
- temperatura,
Indeksy dotyczą
m
- radiatora
p
- płytki (membrany)
pp
- elementu grzejnego (termoelementu)
0
- parametrów otoczenia
8