status

UBEZPIECZENIA GRUPOWE
- status symetryczny a status łącznego
życia i ostatniego przeżywającego
AUTORZY:
MICHAŁ BOCZEK
MAŁGORZATA CZUPRYN
Rozważmy grupę m – osób. Oczywiście m jest liczba naturalną
większa od 1.
Niech xi oznacza wiek i – tej osoby dla i=1,2,..m.
Statusy grupy:
• status łącznego życia
• status ostatniego przeżywającego
Podstawowe oznaczenia:
•
u
- status przeżyciowy grupy,
•
T(u) - ZL opisującą przyszły czas trwania statusu,
•
K (u)  T (u) - ZL opisującą całkowity przyszły czas trwania statusu,
•
tpu
- prawdopodobieństwo, że grupa w chwili t jest w statusie u,
•
tqu
- prawdopodobieństwo, że grupa straci status u przed chwilą t,
•
Fu(t) - dystrybuantę zmiennej losowej T(u),
•
su(t)=1- Fu(t) - ogon dystrybuanty zmiennej losowej T(u),
•
f u(t)
•
f u (t )  su' (t )
u (t ) 

- natężenie zgonów (śmiertelności)
su (t )
su (t )
•
T(xk) = Tk
- gęstość zmiennej losowej T(u),
Status łącznego życia
u  x1 : x2 : ... : xm
Czas trwania łącznego życia wynosi:
T (u)  T1  T2  ...  Tm  min(Ti ; i  1,2,.., m)
Twierdzenie 1:
Jeżeli Tk są niezależnymi ZL, to:
m
t
pu t px1:x2 :...:xm   t pxk
k 1
Twierdzenie 2:
Jeżeli Tk są niezależnymi ZL, to:
u (t )   x :x :...:x (t )   x (t )  ...   x (,t )
1
gdzie
 x (t ) 
i
f xi (t )
s xi (t )
2
m
1
m
jest natężeniem zgonów dla życia (xi ).
Status ostatniego przeżywającego
u  x1 : x 2 : ... : x m
Czas trwania takiego statutu wynosi:
T (u)  T1  T2  ...  Tm  max( Ti ; i  1,2,..., m)
W grupie dwóch osób w wieku (x) i (y), mamy następującą zależność:
PT ( x)  t  T ( y)  t   PT ( x)  t   PT ( z)  t   PT ( x)  t  T ( y)  t 
zatem
t
px: y t px t p y t px: y
STATUSY SYMETRYCZNE
Symbol
k 
x 1 : x 2 : ... : x m
oznacza, że żyje dokładnie k spośród pierwotnej grupy m osób. Zatem status ten
rozpoczyna się dopiero z chwilą (m-k) - śmierci, a kończy się przy (m-k+1) –
śmierci.
Natomiast symbol:
k
x1 : x2 :...: xm
oznacza, że żyje przynajmniej k – osób z pierwotnej grupy m osób. Status
ten rozpoczyna się w chwili 0 i trwa do czasu (m-k+1) – śmierci.
Powyższe dwa statusy nazywamy statusami symetrycznymi.
SUMA SYMETRYCZNA
Niech φ będzie symetryczną funkcją względem k zmiennych (tzn.
φ(t1,…,tk)=φ(ti1,…,tik) dla dowolnej permutacji ti1,…,tik argumentów
t1,…,tk ). Dla tak zdefiniowanej funkcji φ, warto wprowadzić pojęcie
sumy symetrycznej danej wzorem:
S k 
 (i ,..., i )
1
C ( m ,k )
k
,
gdzie C(m,k) oznacza sumowanie po k- elementowych
podzbiorach indeksów 1,2,..,m.
Niech (Ω, F, P) będzie pewną przestrzenią probabilistyczną oraz B j
dla j=1,..,m nie będą wzajemnie rozłącznymi zdarzeniami. W
szczególności dla  (i1 ,..., ik )  P( Bi ,..., Bi ) mamy:
1
m
S1 
 P( B
S2 
 P( B
j 1
j1  j2
Sk 
j1
j
)
 B j2 )
 P( B
j1  j2 ... jk
W szczególnym przypadku, gdy:
mamy:
k
j1
 ...  B jk )
(1)
Bi  T ( xi )   : T ( xi )  t,
 (i1 ,..., ik )t p x
i1 : xi2 :...: xik
Oraz odpowiadającą jej sumę symetryczną postaci:
S kt 

t
C ( m ,k )
p xi1 :xi2 :...:xik
(2)
Fakt 1:
Dla dowolnej grupy m osób odpowiednio w wieku x1,x2,…,xm
zachodzi zależność:
t
p x :x :...:x  S1t  S 2t  S3t  ...  (1) m1  S mt
1
2
m
t
gdzie jest symetryczną sumą daną wzorem Sk 

t
C ( m ,k )
,
(3)
pxi1:xi2 :...:xik
.
Składki dla statusu łącznego życia

Au  Ax1:x2 :...:xm   v k 1k px1:x2 :...:xm  q( x1:x2 :...:xm ) k
k 0
u  a
x1:x2 :...:xm 
a

k
v
 k px1:x2 :...:xm
k 0
Składki dla statusu ostatniego przeżywającego

ax :x :...:x   v k  k p x :x :...:x  S1a  S 2a  S 3a  ...  (1) m 1  S ma
1
2
m
k o
1
2
m
gdzie symetryczna suma jest postaci:
S ka 
 a
x j 1:x j 2 :...:x jk
C ( m ,k )
Ax :x :...:x  S1A  S 2A  S 3A  ...  (1) m1  S mA
1
dla
2
m
S kA 
A
x j 1:x j 2:...:x jk
C ( m ,k )
Operator różnicowy
Niech
m 
~
C  {(c0 , c1 ,..., cm ,0,0,..); c0 , c1 ,..., cm  R}
oraz
Oznaczmy przez Δ operator różnicowy taki, że
~
 : C  R
Zdefiniujmy k – ty element następująco: ck  ck 1  ck
W postaci tabelki zapiszmy ciąg kolejnych wyrazów operatora różnicowego
oraz ich potęg (złożeń).
Dodatkowo przyjmijmy, że:
0 ck  c k
k
ck
Δck
Δ2ck
…
Δmck
0
c0
c1 -c0
Δc1 -Δc0
…
Δm-1c1 -Δm-1c0
1
c1
c2 –c1
Δc2 -Δc1
…
…
2
c2
c3 –c2
Δc3 -Δc2
…
…
...
…
…
…
…
…
m-1
cm-1
cm –cm-1
…
…
…
m
cm
-cm
…
…
…
m+1
0
0
…
…
…
Zakładając, że B1 ,..., Bm oznaczają dowolne zdarzenia, nie
wykluczające się wzajemnie oraz
m
N  1( Bk ) , gdzie 1(Bk)
k 1
oznacza indykator zbioru Bk, dla k=1,..m. Przyjmujemy wielkość N
jako zmienną losową o wartościach od 0 do m.
Twierdzenie 3 (Schuette - Nesbitta):
Dla dowolnych liczb rzeczywistych c0 , c1 ,..., c m
prawdziwa jest równość:
m
m
k 0
k 0
k
c

P
(
N

k
)

(

k
 c0 )  S k
gdzie
Sk 
 P( B
j1  j 2 ... j k
j1
 ...  B jk )
oraz
(5)
S0  0
Operator identycznościowy I
Operator przesunięcia W
W (c0 , c1 , c2 ,...)  (c1 , c2 , c3 ,...)
Operator różnicowy Δ
 W  I
W  I  ,
W ci  I    ci
k
k
Dowód:
Mamy:
m
m
k 0
k 0
m
 1( Bk )
k
N
N
c

1
(
N

k
)

(
W
c
)

1
(
N

k
)

W
c

(
I


)
c0  ( I  ) k 1
k
 0
0

 ( I   )c
0
1( Bk ), k 0 ,1,...,m
c0 
m
  ( I  1( Bk )  )c0 
k 0
Powyższa równość wynika wprost z własności potęgowania
 I  1( B1 )   c o  I  1( B2 )   c o  ...  I  1( Bm )   c o 

 
 
 1( B1 )  1( B2 )  ...  1( Bm )  k  I  1( B2 )  1( B3 )  ...  1( Bm )  k  .. c o 
m
 (
k 0
k
1
(
B

B

...

B
)

)c o .

j0
j1
jk
j0  j1  j 2 ... j k
Jest to prawdziwe przy założeniu, że wewnętrzna suma dla k=0 jest równa 1.
Przyłóżmy wartość oczekiwaną obustronnie.
Z lewej otrzymamy:
m
m
 m
E  ck 1( N  k )   ck E1( N  k )   ck P( N  k )
k 0
 k 0
 k 0
oraz z prawej strony:
m
m



k
E  ( 1( B j1  ...  B jk )   c0 )   E ( 1( B j1  ...  B jk )  k c0 ) 
 k 0 j1  j2 ... jk
 k 0  j1  j2 ... jk


  ( c0 )    E 1 B j1  ...  B jk
k 0
 j1 j2 ... jk
m
k

 m k
   ( c0 )  S k
 k 0


Warto zauważyć, że otrzymaliśmy w ten sposób tezę twierdzenia.

Z powyższego twierdzenia wynikają
następujące równości:
m
m
 ck a
k 0
k 
x1:x2 :...:xm
m
  ( c0 ) S
k
k 0
a
k
m
k 1
A
d

A

(

d
)

S
x
:
x
:
...
:
x
 k 12 m 
1
k
k
k 0
k 0
k
dla
d
j 1
j
 ck
(6)
(7)
Przykład 1:
Rozważmy grupę trzech postaci z bajek Disneya: Kaczora
Donalda, Myszkę Miki oraz Goofy-ego. Załóżmy, że dziś mają
one odpowiednio x=20lat , y=25lat i z=25 lat. Pewnego dnia
poszli wykupić dla siebie rentę wypłacaną corocznie
początkowo w wysokości 9 i zmniejszaną kolejną wraz z
każdą śmiercią w grupie o 4 i 3. Przy założeniu, że życia tych
postaci są wzajemnie niezależne wyznacz JSN. Załóżmy
dodatkowo, że stopa procentowa w Disneylandzie jest równa
i=5%, wymieralność jest dana wzorem lx=100-x, gdzie
xЄ(0,100).
Rozwiązanie:
Kolejność zgonów nie jest istotna.
JSN takiej renty jest więc kombinacją postaci:
( JSN )  9  a
[ 3]
 5  a
x: y:z
[ 2]
x: y:z
 2  a
[1 ]
x: y:z
W celu sprowadzenia (JSN) do składek dla statusu łącznego życia stosujemy wzór (6), czyli:
m
c
k 0
k
a
k 
x1:x2 :...:xm
m
  (k c0 ) S ka
k 0
dla c0=0, c1=2, c2=5, c3=9.
Tablica operatorów różnicowych ma postać:
k
0
ck
0
Δck
2
Δ2ck
1
1
2
3
1
2
5
4
3
9
Δ3ck
0
S1a  ax  ay  az
( JSN )  2  S1a  S2a
gdzie
S 2a  ax: y  ax:z  az: y
Wyliczmy poszczególne składniki powyższych sum:
79
ax  a20   v  k p 20
k
k 0
79
1
80  k 79
1
1
k
1






19
,
576

 377,628  14,856


k
k
k
80
80
80
(
1
,
05
)
(
1
,
05
)
(
1
,
05
)
k 0
k 0
k 0
79
74
az  ay  a25   v  k p 25
k
k 0
74
1
80  k 74
1
k




14,851


k
k
k
80
(
1
,
05
)
(
1
,
05
)
80

(
1
,
05
)
k 0
k 0
k 0
74
oraz
ax:z  ax: y
1
80  k 75  k 74  1
6000  155k  k 2 
 
 a20:25   v  k p 20:25   v  k p 20  k p 25  


 

k
k
80
75 k 0  (1,05)
6000
k 0
k 0
k  0 (1,05)

 19,459 


k
74
k
155
1
 368,626 
 12112,318  11,955
6000
6000
1
5625  150k  k 2 
 75  k  74  1
 
az: y  a25:25   v  k p 25:25   v  k p 25  k p 25  


  
k 
k
75
5625
(
1
,
05
)
(
1
,
05
)

 k 0 
k 0
k 0
k 0

150
1
 19,459 
 368,626 
 12112,318  11,783
5625
5625


k
74
2
k
Zatem:
( JSN )  2  S1a  S 2a  2  ax  ay  az   ax: y  ax:z  az: y 
 2  14,856  14,851  14,851  11,955  11,783  112,854
Przykład 2:
Rozpatrzmy ubezpieczenie grupowe dla 3 osób w wieku x=20 lat, y=z=25 lat.
Kwota ubezpieczenia wypłacona przy śmierci pierwszej osoby wynosi 1, przy
drugiej 3, przy trzeciej 5 (każda wypłata w momencie śmierci). Życie tych osób
jest wzajemnie niezależne, intensywność wymierania pochodzi z rozkładu de
Moivre’a z wiekiem granicznym 100 oraz δ=5%.
Rozwiązanie:
( JSN )  A
3
 3 A
x: y:z
2
 5 A
x: y:z
1
x: y:z
Stosujemy wzór (7):
m
m
k 1
A
d

A

(

d
)

S
x
:
x
:
...
:
x
 k 12 m 
1
k
k
k 0
k 0
dla d1=5, d2=3, d3=1.
Tworzymy tablice operatorów różnicowych:
k
dk
Δdk
Δ2dk
1
5
-2
0
2
3
-2
3
1
Wobec powyższego:
( JSN )  5  S1A  2  S 2A
S1A  A x  A y  A z
, gdzie:
S 2A  A x: y  A x: y  A z: y
Poniżej obliczymy poszczególne składniki tych sum:

A x  A 20   e
 t
80
t p x   x (t )dt   e 0,05t 
0
0

75
0
0
1
dt  0,245
80
A y  A z  A 25   e  t t p 25   25 (t )dt   e 0,05t 
1
dt  0,260
75
oraz

A x:z  A x: y  A 20:25   e
0
75
 e
 0 , 05t
 t
t p x: y   x: y (t )dt   e  t t p x t p y   x (t )   y (t ) dt 
0
75
t p 25 t p 20   20 (t )dt   e 0, 05t t p 20 t p 25   25 (t )dt 
0
75
 e
75
0
 0 , 05t
0
 0,386
1 75  t
1 80  t
155
2t
 
dt   e 0, 05t  
dt   e 0, 05t 
dt   e 0, 05t 
dt 
80 75
75 80
6000
6000
0
0
0
75
75
75
oraz

A y:z  A 25:25   e
 t
t p z: y   z: y (t )dt   e  t t p z t p y   z (t )   y (t ) dt 
75
0
75
 2 e
 0 , 05t
0
75
t p 25 t p 25   25 (t )dt  2   e
0
 0 , 05t
0
1 75  t
2
2t
 
dt   e 0,05t  dt   e 0, 05t 
dt 
75 75
75
5625
0
0
75
75
 0,394
Wobec powyższego ostatecznie mamy:




( JSN )  5  S1A  2  S 2A  5  A x  A y  A z  2  A x: y  A x: y  A z: y 
 5  0,245  0,260  0,260  2  0,386  0,386  0,394  1,493
BIBLIOGRAFIA
1. Bartłomiej Błaszczyszyn, Tomasz Rolski, „Podstawy matematyki
ubezpieczeń na życie”, WNT, Warszawa 2004;
2. Mariusz Skałba, „Ubezpieczenia na życie”, WNT, Warszawa 2003;
DZIĘKUJĘ ZA
UWAGĘ