Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych

PrintWhatYouLike on Zamiana zmiennych w wyrażeniach różn...
http://www.printwhatyoulike.com/print?url=http://www.matem...
Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych
Poniższy tekst stanowi treść jednego z moich wykładów dla studentów mechaniki. Postanowiłem go udostępnić szerszemu gronu,
dotychczas korzystali z niego wyłącznie moi studenci, jeśli zechcieli wejść na moją stronę i ściągnąć odpowiedni plik. Świadomie
zrezygnowałem z precyzyjnego formułowania założeń przyjmując, że rozważane funkcje są dostatecznie regularne, aby
zachodziły żądane własności. Tym sposobem mogłem bardziej skupić się na technicznej stronie prezentowanego zagadnienia.
Wszelkie sugestie poprawek będą mile widziane. Proszę o kierowanie ich drogą prywatnych wiadomości.
Twierdzenie o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej
Załóżmy, że funkcje
,
mają pochodne cząstkowe w punkcie
cząstkowe w punkcie
punkcie
. Wtedy funkcja złożona
, a funkcja
ma ciągłe pochodne
ma w
pochodne cząstkowe, które wyrażają się wzorami
Powyższe twierdzenie znajduje zastosowanie w rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych, tj. takich równań
różniczkowych, w których wraz z funkcją niewiadomą występują jej pochodne cząstkowe. Często właściwa zamiana zmiennych
pozwala na znaczne uproszczenie równania różniczkowego, a co za tym idzie, na łatwiejsze jego rozwiązanie.
Uwaga. W poniższych przykładach zawsze będziemy zakładać równość pochodnych mieszanych drugiego rzędu. Zapewnia ją np.
ciągłość tych pochodnych (twierdzenie Schwarza).
Przykład 1.
Przekształcić wyrażenie różniczkowe
wprowadzając nowe zmienne
,
Z powyższej zamiany zmiennych obliczamy
Według wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Uwzględniając wzory (1) otrzymujemy stąd
1z8
11.07.2011 20:32
PrintWhatYouLike on Zamiana zmiennych w wyrażeniach różn...
Wstawiamy do wzoru (2) w miejsce
http://www.printwhatyoulike.com/print?url=http://www.matem...
wyrażenie
Korzystając jeszcze raz z (2) otrzymujemy
Uwzględniając równość pochodnych mieszanych otrzymujemy stąd
Podobną metodą obliczamy pochodne cząstkowe
skąd po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych
oraz
2z8
11.07.2011 20:32
PrintWhatYouLike on Zamiana zmiennych w wyrażeniach różn...
http://www.printwhatyoulike.com/print?url=http://www.matem...
Po ponownym uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych otrzymujemy
Korzystając teraz ze wzorów (4), (5), (6) dostajemy
Przykład 2.
Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego
Wprowadzając nowe zmienne
,
z Przykładu 1 przekształcamy równanie (7) do postaci
Całkujemy obie strony tego równania względem
i korzystając
:
skąd
gdzie
jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej (zauważmy, że stała całkowania w równaniu (8) nie zależy od
ale może zależeć od , gdyż jej pochodna cząstkowa względem
musi wynosić 0). Całkując teraz obie strony równania (8)
względem
dostajemy
3z8
,
11.07.2011 20:32
PrintWhatYouLike on Zamiana zmiennych w wyrażeniach różn...
gdzie
http://www.printwhatyoulike.com/print?url=http://www.matem...
jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracając do zmiennych
otrzymujemy stąd rozwiązanie
równania (7):
gdzie
są dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej.
Widzimy więc, że równanie różniczkowe cząstkowe może mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Często przy rozwiązywaniu
problemów natury technicznej interesuje nas nie tyle ogólna postać rozwiązania równania różniczkowego, ile konkretne jego
rozwiązanie spełniające jakieś dodatkowe warunki (wynikające np. z natury rozpatrywanego zagadnienia).
Przykład 3.
Wyznaczyć rozwiązanie
Wstawiając
równania (7) spełniające warunki
do wzoru (9) oraz korzystając z warunku (10) otrzymujemy
Podstawmy w powyższych równaniach
w miejsce
skąd
Podstawmy jeszcze w równaniu (13)
w miejsce
skąd
Odejmując stronami od równania (14) równanie (12) otrzymujemy
4z8
11.07.2011 20:32
PrintWhatYouLike on Zamiana zmiennych w wyrażeniach różn...
http://www.printwhatyoulike.com/print?url=http://www.matem...
Korzystając z (12) obliczamy
Wstawiając tak wyznaczone
do równania (9) otrzymujemy
skąd po dokonaniu uproszczeń
Łatwo sprawdzić, że
spełnia równanie (7) wraz z warunkami (10) oraz (11).
Jedną z częściej stosowanych zamian zmiennych jest przejście do współrzędnych
biegunowych.
Przykład 4.
Wyrażenie
zwane jest laplasjanem funkcji
obszarze
rozłącznym z osią
(równanie
nazywamy równaniem Laplace'a). Rozpatrując laplasjan
w
zapisać go współrzędnych biegunowych.
Wprowadzamy współrzędne biegunowe
i obliczamy
skąd
5z8
11.07.2011 20:32
PrintWhatYouLike on Zamiana zmiennych w wyrażeniach różn...
Powyższe związki różniczkujemy względem
http://www.printwhatyoulike.com/print?url=http://www.matem...
i
Ze wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Uwzględniając (15), (17) otrzymujemy
Podstawmy w powyższym wzorze w miejsce
wyrażenie
Stosujemy jeszcze raz wzór (20):
Po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych oraz uporządkowaniu wyrażeń otrzymujemy stąd
6z8
11.07.2011 20:32
PrintWhatYouLike on Zamiana zmiennych w wyrażeniach różn...
http://www.printwhatyoulike.com/print?url=http://www.matem...
Obliczymy teraz
Ze wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej
skąd po uwzględnieniu wzorów (16), (18)
Podstawmy w powyższym wzorze
w miejsce
Po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych oraz uporządkowaniu wyrażeń otrzymujemy stąd
Dodając teraz stronami wzory (21) i (23) otrzymujemy
7z8
11.07.2011 20:32
PrintWhatYouLike on Zamiana zmiennych w wyrażeniach różn...
http://www.printwhatyoulike.com/print?url=http://www.matem...
Dziękuję wszystkim, którzy doszli do tego miejsca, za okazaną cierpliwość.
8z8
11.07.2011 20:32