Składanie krętów

20
20.1
Wspó÷
czynniki Clebscha-Gordana
De…nicja
Rozwaz·my uk÷
ad sk÷
adajacy
¾ sie¾ z dwóch podsystemów zalez·nych od róz·nych zmiennych.
Najprościej wyobrazić sobie taki system jako uk÷
ad dwóch elektronów, poruszajacych
¾
sie¾
w potencjale sferycznie symetrycznym, których wzajemne oddzia÷
ywanie zaniedbujemy.
Wówczas funkcja falowa kaz·dego z elektronów daje sie¾ rozseparować na cześci
¾ radialna¾
i katow
¾ a,
¾ przy czym cześci
¾ katowe
¾
zalez·eć bed
¾ a¾ odpowiednio od katów
¾
1 , '1 i 2 , '2 .
^ (1) i
Jest oczywiste, z·e operatory orbitalnego momentu pedu
¾ dla pierwszego elektronu L
k
(2)
^
dla drugiego Lk komutuja¾
i
h
^ (1) ; L
^ (2) = 0;
L
k
m
gdyz· sa¾ to operatory róz·niczkowe dzia÷
ajace
¾ na róz·ne zmienne. Spróbujmy odpowiedzieć
^k =
na pytanie: jak wygladaj
¾ a¾ stany w÷
asne operatora sumarycznego momentu pedu
¾ L
(1)
(2)
^ +L
^ . Jak sie¾ okaz·e, nasze rozwaz·ania bed
L
¾ a¾ ca÷
kowicie ogólne i pozostana¾ s÷
uszne
k
k
(1;2)
takz·e dla kretów
¾
u÷
amkowych. Rozpatrzmy zatem dwa opeartory J^k
dzia÷
ajace
¾ w2
róz·nych przestrzeniach
2
2
J^(1) jj1 ; m1 i = j1 (j1 + 1) jj1 ; m1 i ; J^(2) jj2 ; m2 i = j2 (j2 + 1) jj2 ; m2 i ;
(1)
(2)
J^3 jj1 ; m1 i = m1 jj1 ; m1 i ; J^3 jj2 ; m2 i = m2 jj2 ; m2 i ;
(20.1)
gdzie dla u÷
atwienia przyjeliśmy
¾
uk÷
ad jednostek, w których ~ = 1, lub – jak kto woli –
^
^
przeskalowaliśmy operatory Jk ! Jk =~. Stad
¾ relacje komutacji przyjmuja¾ postać
h
i
h
i
(1;2)
(1)
(1;2)
(2)
J^k ; J^m
= i kmn J^n(1;2) ;
J^k ; J^m
= 0:
(20.2)
Operator ca÷
kowitego momentu pedu
¾ jest suma¾
(1)
(2)
J^k = J^k
1(2) + 1(1) J^k ;
(20.3)
gdzie przez 1(1;2) oznaczyliśmy operator jednostkowy dzia÷
ajacy
¾ odpowiednio w pierwszej
lub drugiej przestrzeni. Poniz·ej bedziemy
¾
opuszczać operatory jednostkowe, gdyz· upraszcza to znacznie notacje.
¾ Naszym zadaniem bedzie
¾
skonstruowanie stanów w÷
asnych
2
^
^
jj; mi operatora J i J3 ze stanów jj1 ; m1 i i jj2 ; m2 i. Z postaci operatora (20.3) widać, z·e
stanami w÷
asnymi operatora J^3 bed
¾ a¾ stany iloczynowe jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i. Rzeczywiście
(1)
(2)
J^3 jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i = J^3 jj1 ; m1 i 1(2) jj2 ; m2 i + 1(1) jj1 ; m1 i J^3 jj2 ; m2 i
= (m1 + m2 ) jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i :
(20.4)
Powstaje pytanie: czy stany te sa¾ stanami w÷
asnymi J^2 ? Okazuje sie¾ z·e nie. Aby to
105
wykazać zapiszmy J^2 jako
1
1
J^2 = J^+ J^ + J^ J^+ + J^32
2
2
1 (1)
1 (1)
(2)
(1)
(2)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
J +J
+
J+ + J+ + J3 + J 3
=
J+ + J+
J +J
2
2
1 (2) (2)
1 (1) (1)
(1) (1)
(2) (2)
=
J+ J + J J+ +
J J + J J+
2
2 +
(1)
+ J+ J
(2)
+J
(1)
(2)
(1)
(2)
2
J+ + J3 + J3
(1)
2
(20.5)
;
(2)
gdzie wykorzystaliśmy fakt, z·e Jk i Jm komutuja.
¾ Wyliczmy teraz dzia÷
anie poszczególnych sk÷
adników sumy (??) na stan iloczynowy jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i:
(1) (1)
(1) (1)
J^+ J^ + J^ J^+ jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i = (j1 (j1 + 1)
m1 (m1
+ (j1 (j1 + 1)
= 2 j1 (j1 + 1)
1)) jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
m1 (m1 + 1)) jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
m21 jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
(20.6)
m22 jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i :
(20.7)
i analogicznie
(2) (2)
(2) (2)
J^+ J^ + J^ J^+ jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i = 2 j2 (j2 + 1)
Z kolei
(1) (2)
J^+ J^ jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
p
p
= j1 (j1 + 1) m1 (m1 + 1) j2 (j2 + 1)
(1) (2)
J^ J^+ jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
p
p
= j1 (j1 + 1) m1 (m1 1) j2 (j2 + 1)
m2 (m2
1) jj1 ; m1 + 1i jj2 ; m2
m2 (m2 + 1) jj1 ; m1
1i ; (20.8)
1i jj2 ; m2 + 1i (20.9)
i wreszcie
(1)
(2)
J^3 + J^3
2
jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i = m21 + 2m1 m2 + m22 jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i :
(20.10)
Zatem w sumie otrzymujemy
J^2 jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
(20.11)
= (j1 (j1 + 1) + j2 (j2 + 1) + 2m1 m2 ) jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
p
p
+ j1 (j1 + 1) m1 (m1 + 1) j2 (j2 + 1) m2 (m2 1) jj1 ; m1 + 1i jj2 ; m2 1i
p
p
+ j1 (j1 + 1) m1 (m1 1) j2 (j2 + 1) m2 (m2 + 1) jj1 ; m1 1i jj2 ; m2 + 1i :
Widzimy zatem, z·e w ogólności w wyniku dzia÷
ania operatora J^2 na stan iloczynowy
jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i dostajemy nowe stany, mianowicie jj1 ; m1 + 1i jj2 ; m2 1i i jj1 ; m1 1i
106
jj2 ; m2 + 1i. Warto zauwaz·yć, z·e wszystkie te stany odpowiadaja¾tej samej wartości w÷
asnej J^3 : m1 + m2 , czego nalez·a÷
o oczekiwać, gdyz· J^3 komutuje z J^2 .
Z równania (20.11) wynika, z·e stany diagonalizujace
¾ J^2 bed
¾ a¾w ogólności kombinacjami
liniowymi stanów iloczynowych jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i:
X
jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i Cjjm
;
(20.12)
jj; mi =
1 m1 ;j2 m2
m1 ;m2
m1 +m2 =m
gdzie suma przebiega po m1 i m2 z warunkiem, z·e m1 + m2 = m. Wspó÷
czynniki liczbowe
jm
Cj1 m1 ;j2 m2 mnoz·ace
¾ stany jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i w tych kombinacjach liniowych nosza¾ nazw¾
e
wspó÷czynników Clebscha-Gordana. Dla wspó÷
czynników tych przyjeto
¾ stosować nieco
inna¾ notacje¾
j1 j2
j
Cjjm
=
:
(20.13)
1 m1 ;j2 m2
m1 m2 m
Wówczas wzór (20.12) przyjmuje postać:
jj; mi =
X
m1 ;m2
m1 +m2 =m
jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
j1 j2
m1 m2
j
m
(20.14)
;
2
Zauwaz·my, z·e stany (20.12) czy (20.14) sa¾ takz·e stanami w÷
asnymi J (1;2) i czasami sa¾
oznaczane jako
jj1 ; j2 ; j; mi =
X
m1 ;m2
m1 +m2 =m
jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
j1 j2
m1 m2
j
m
:
(20.15)
W dalszej cześci
¾ dla uproszczenia bedziemy
¾
uz·ywać (20.12), (20.14).
20.2
Konstrukcja
Aby wyliczyć Cjjm
zastosujemy systematyczna¾ procedure¾ jawnej konstrukcji stanów
1 m1 ;j2 m2
2
^
w÷
asnych operatora J . Zauwaz·my najpierw, z·e istnieja¾ dwa stany iloczynowe, które sa¾
stanami w÷
asnymi J^2 , mianowicie stany o najwyz·szych i najniz·szych moz·liwych rzutach
kretu
¾ m1;2 = j1;2 . Rzeczywiście dla tych dwu wartości otrzymujemy
J^2 jj1 ; j1 i jj2 ; j2 i = (j1 (j1 + 1) + j2 (j2 + 1) + 2j1 j2 ) jj1 ; j1 i jj2 ; j2 i
= (j1 + j2 )(j1 + j2 + 1) jj1 ; j1 i jj2 ; j2 i :
(20.16)
Widzimy zatem, z·e te dwa stany sa¾ stanami w÷
asnymi operatora J^2 do wartości w÷
asnej
^
j = j1 + j2 oraz operatora J3 do wartości w÷
asnej m = (j1 + j2 ). Pozostaje zatem jedynie ustalić wspó÷
czynnik proporcjonalności pomiedzy
¾
stanem jj = j1 + j2 ; m = j1 + j2 i
a stanem jj1 ; j1 i jj2 ; j2 i. Ze wzgledu
¾ na warunek unormowania wspó÷
czynnik ten moz·e
i'
przyjmować jedynie postać fazy e . Tradycyjnie faze¾ te¾ przyjmuje sie¾ jako zero, czyli
jj = j1 + j2 ; m = j1 + j2 i = jj1 ; j1 i jj2 ; j2 i :
107
(20.17)
Warunek ten t÷
umaczy sie¾ na wartość pierwszego wspó÷
czynnika Clebscha-Gordana
j1 j2
j1 j2
j = j1 + j2
m = j1 + j2
(20.18)
= 1:
Wspó÷
czynnik proporcjonalności dla stanu o m = j1 j2 wyjdzie nam w sposób naturalny
z konstrukcji stanów w÷
asnych operatora J^2 . Wzór (20.17) jest pierwsza¾ z tzw. konwencji
Condona-Shortleya.
Majac
¾ stan jj; ji moz·emy skonstruować wszystkie stany w÷
asne operatora J^2 do wartości
w÷
asnej j = j1 + j2 poprzez wielokrotne dzia÷
anie operatorem J^ . Dzia÷
ajac
¾ jednokrotnie
otrzymujemy
p
J^ jj; ji = 2j jj; j 1i ;
p
p
(1)
(2)
J^ + J^
jj1 ; j1 i jj2 ; j2 i = 2j1 jj1 ; j1 1i jj2 ; j2 i + 2j2 jj1 ; j1 i jj2 ; j2 1i ; (20.19)
gdzie j = j1 + j2 . Poniewaz· oba stany we wzorze (20.19) sa¾ sobie równe, otrzymujemy, z·e
s
s
j1
j2
jj; j 1i =
jj1 ; j1 1i jj2 ; j2 i +
jj1 ; j1 i jj2 ; j2 1i :
(20.20)
j
j
×atwo sie¾ upewnić, z·e tak zde…niowany stan jj; j 1i jest poprawnie unormowany. Wzór
(20.20) t÷
umaczy sie¾ na wartości owiednich wspó÷
czyników Clebscha-Gordana:
s
j1
j1
j2
j1 + j2
=
;
j1 1 j2 j1 + j2 1
j1 + j2
s
j2
j1
j2
j1 + j2
:
(20.21)
=
j1 j2 1 j1 + j2 1
j1 + j2
Majac
¾ do dyspozycji dwa stany o ca÷
kowitym m = j1 + j2
jj1 ; j1
1i jj2 ; j2 i ;
jj1 ; j1 i jj2 ; j2
1:
(20.22)
1i
moz·emy skonstruować druga¾ kombinacje¾ liniowa,¾ która bedzie
¾
ortogonalna do (20.20).
^
Kombinacja ta bedzie
¾
stanem w÷
asnym operatora J3 do tej samej wartości w÷
asnej m =
j 1. Poniewaz· stany jj; mi nie sa¾zdegenerowane, musi ona odpowiadać stanowi o innym
j. Jedynym moz·liwym stanem jest tu stan jj 1; j 1i. A zatem
jj
1; j
1i =
jj1 ; j1
1i jj2 ; j2 i +
jj1 ; j1 i jj2 ; j2
1i ;
(20.23)
gdzie rzeczywiste (to kolejna konwencja) wspó÷
czynniki i wyliczymy z warunku ortogonalności
s
s
j1
j2
+
=0
(20.24)
hj 1; j 1 jj; j 1i =
j
j
108
i unormowania
hj
1 jj
1; j
1; j
2
1i =
2
+
(20.25)
= 1:
Jak ÷
atwo sie¾ przekonać rozwiazanie
¾
równań (20.24) i (20.25) nie jest jednoznaczne
s
s
j1
j2
:
(20.26)
;
=
=
j
j
Musimy zatem przyjać
¾ kolejna¾ konwencje,
¾ która jednoznacznie określi wybór znaku w
równaniu (20.26). Aby te¾ konwencje¾ wygodnie wypowiedzieć, zauwaz·my z·e
=
j1
j1
j2
1 j2
j1 + j2
j1 + j2
Przyjmiemy, z·e wspó÷
czynnik
1
1
;
=
j1
j2
j1 j 2 1
j1 + j2
j1 + j2
1
1
:
(20.27)
> 0, co ogólnie moz·emy zapisać jako
j1
j2
j 1 j2 n
j1 + j2
j1 + j2
n
n
(20.28)
> 0;
gdzie 0 6 n 6 2j2 . Konwencja ta pozwala nam wyznaczyć juz· jednoznacznie wszystkie
wspó÷
czynniki Clebscha-Gordana. Stad
¾ mamy
s
s
j1
j2
jj1 ; j1 1i jj2 ; j2 i +
jj 1; j 1i =
jj1 ; j1 i jj2 ; j2 1i ;
(20.29)
j
j
czyli
j1
j2
1 j2
j 1 + j2
j1 + j2 1
=
j1
j2
j1 j2 1
j 1 + j2
j1 + j2 1
=
j1
s
s
j1
;
j1 + j2
j2
:
j1 + j2
(20.30)
Dalsza procedura jest juz· oczywista: dzia÷
amy na stany (20.20) i (20.29) operatorem
J^ i dostajemy dwie kombinacje liniowe stanów
jj1 ; j1
2i jj2 ; j2 i ;
jj1 ; j1
1i jj2 ; j2
1i ;
jj1 ; j1 i jj2 ; j2
2i
(20.31)
odpowiadajace
¾ stanom
jj; j
2i ;
jj
1; j
2i ;
gdzie j = j1 +j2 . Korzystajac
¾ z warunku ortogonalności, unormowania i konwencji (20.28)
konstruujemy trzecia¾ kombincaje¾ liniowa¾ odpowiadajac
¾ a¾ stanowi
jj
2; j
109
2i :
Zauwaz·my, z·e w zerowym kroku dysponowaliśmy jednym stanem iloczynowym jj1 ; j1 i
jj2 ; j2 i, w pierwszym dwoma stanami (20.22), a w drugim trzema stanami (20.31). W
n tym kroku powinniśmy mieć do dyspozycji n + 1 stanów:
jj1 ; j1 i jj2 ; j2 i
jj1 ; j1 i jj2 ; j2
jj1 ; j1 i jj2 ; j2
2i ;
jj1 ; j1
1i ;
jj1 ; j1
1i jj2 ; j2
1i jj2 ; j2 i
1i ;
jj1 ; j1
2i jj2 ; j2 i
(20.32)
:::
jj1 ; j1 i jj2 ; j2
ni ; jj1 ; j1
1i jj2 ; j2
n + 1i ; : : : jj1 ; j1
ni jj2 ; j2 i
i tak dalej. Jez·eli jednak n = 2j1 lub n = 2j2 to wówczas w nastepnym
¾
(n + 1–wszym)
kroku nie pojawia sie¾ jeden (lub dwa jeśli j1 = j2 ) z dwu skrajnych stanów we wzorze
(20.32), co oznacza, z·e liczba stanów jest taka sama (lub o jeden mniejsza) jak w kroku
poprzednim. A to z kolei oznacza, z·e nie musimy konstruować nowej kombinacji liniowej,
która odpowiada÷
aby stanowi jj n 1; j n 1i. Od tego momentu przestaje pojawiać
sie¾ konieczność konstruowania stanów o nowym j. Czyli, z·e minimalne jmin = j1 j2 gdy
j1 > j2 , lub jmin = j2 j1 , gdy j2 > j1 . Od tej pory liczba stanów otrzymywana w kolejnych krokach bedzie
¾
sie¾ zmniejszać, az· osiagniemy
¾
ostatni, pojedynczy stan iloczynowy
jj1 ; j1 i jj2 ; j2 i.
Podsumujmy: w wyniku opisanej konstrukcji otrzymamy kombinacje liniowe stanów
iloczynowych odpowiadajace
¾ stanom w÷
asnym ca÷
kowitego momentu pedu
¾ o j zawartym
miedzy
¾
jj1 j2 j 6 j 6 j1 + j2 :
(20.33)
Liczba wszystkich stanów iloczynowych wynosi
(2j1 + 1) (2j2 + 1) ;
(20.34)
natomiast liczba stanów w÷
asnych operatora ca÷
kowitego kretu
¾ J^2 i J^3 wynosi
j1 +j2
N=
X
(2j + 1):
(20.35)
j=jj1 j2 j
Za÷
óz·my, z·e j1 > j2 i obliczmy N ze wzoru na sum¾
e postepu
¾ arytmetycznego:
j1 +j2
N =2
X
j=j1 j2
j1 +j2
j+
X
1 = [(j1 + j2 ) + (j1
j2 )] [2j2 + 1]+(2j2 + 1) = (2j1 + 1) (2j2 + 1) :
j=j1 j2
(20.36)
Liczba stanów iloczynowych i liczba stanów w÷
asnych operatora ca÷
kowitego kretu
¾ J^2 i J^3
sa¾sobie równe. W dodatku oba zbiory stanów sa¾ortonormalne, stad
¾ transformacja (20.14)
dla j z przedzia÷
u (20.33) jest faktycznie ortonormalna¾ transformacja¾ bazy iloczynowej
do bazy stanów w÷
asnych operatora ca÷
kowitego kretu
¾ J^2 i J^3 .
110
20.3
W÷
asności ortogonalności
Z opisanej wyz·ej konstrukcji wynika, z·e wspó÷
czynniki Clebscha-Gordana sa¾ rzeczywiste
i sprze¾z·enie hermitowskie stanu
X
j1 j2
j
jj; mi =
jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
(20.37)
m1 m2 m
m1 ;m2
przyjmuje postać
hj 0 ; m0 j =
X
m01 ;m02
hj10 ; m01 j hj20 ; m02 j
j0
m0
j10 j20
m01 m02
(20.38)
;
gdzie dla późniejszej wygody zamieniliśmy j–ty i m–y na wielkości primowane. Korzystajac
¾ z warunku ortogonalności stanów
hj 0 ; m0 j j; mi =
(20.39)
jj 0 mm0
otrzymujemy
X
m1 ;m2
j1 j2
m1 m2
j
m
j1 j 2
m1 m2
j0
m0
=
(20.40)
jj 0 mm0 :
Zwiazek
¾ ten pozwala nam na zapisanie relacji odwrotnej do (20.14)
X
j1 j 2
j
jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i =
jj; mi
;
m1 m2 m
(20.41)
j;m
przy czym sumowanie po j przebiega w granicach (20.33), a sumowanie po m ogranicza
sie¾ do m = m1 + m2 .
Z warunku unormowania stanu (20.41) otrzymujemy druga¾ relacje¾ ortogonalności:
X
j
j1 j2
j0
j1 j2
= m01 m1 m02 m2 :
(20.42)
m1 m2 m0
m01 m02 m
j;m
20.4
Zwiazki
¾ rekurencyjne
Dzia÷
ajac
¾ operatorem J^+ na równanie (20.37) otrzymujemy:
p
j(j + 1) m(m + 1) jj; m + 1i
X hp
j1 (j1 + 1) m1 (m1 + 1) jj1 ; m1 + 1i jj2 ; m2 i
=
m1 ;m2
p
+ j2 (j2 + 1)
=
X
m1 ;m2
p
i
m2 (m2 + 1) jj1 ; m1 i jj2 ; m2 + 1i
j1 (j1 + 1)
p
+ j2 (j2 + 1)
m2 (m2
m1 (m1
1) jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
1) jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i
111
j1 j2
m1 m2
j1
m1
j1
j2
m1 m2 1
j
m
j2
1 m2
j
m
j
m
(20.43)
Zastosujmy teraz wzór (20.37) ale dla stanu jj; m + 1i i porównajmy wspó÷
czynniki przy
stanach jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i:
p
j(j + 1)
=
p
m(m + 1)
j1 (j1 + 1)
p
+ j2 (j2 + 1)
j1 j2
m1 m2
m1 (m1
m2 (m2
j1
1)
1)
j
m+1
j2
1 m2
m1
j1
j2
m1 m2 1
j
m
j
m
:
(20.44)
Postepuj
¾ ac
¾ w analogiczny sposób dla operatota J^ otrzymamy drugi zwiazek
¾ rekurencyjny
p
j(j + 1)
=
+
20.5
p
m(m
1)
j1 (j1 + 1)
p
j2 (j2 + 1)
j1 j2
m1 m2
m
1
j1
j2
m1 + 1 m2
m1 (m1 + 1)
m2 (m2 + 1)
j
j1
j2
m1 m2 + 1
j
m
j
m
:
(20.45)
Jawna postać wspó÷
czynników Clebscha-Gordana
Wspó÷
czynniki Clebscha-Gordana sa¾ stabelaryzowane i w tej formie moz·na je znaleźć w
literaturze. Na przyk÷
ad dla j1 = j2 = 1 tabela taka przyjmuje postać
j1 = 1 j 2 = 1
m1
m2
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
0
1
0
0
0
1
6
2
3
1
6
1
2
1
3
1
3
1
3
0
1
2
2
1
1
1
2 j
2 m
(20.46)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
gdzie wartości stojace
¾ w tabeli nalez·y wziać
¾ z pierwiastkiem, a ewentualny znak postawić
przed pierwiastkiem. Nie wype÷
nione miejsca to zera. Na przyk÷
ad stan j1; 1i daje sie¾
rozpisać jako
r
r
1
1
j1; 1i =
j1; 1i j1; 0i
j1; 0i j1; 1i :
(20.47)
2
2
Warto na koniec zaznaczyć, z·e w literaturze spotyka sie¾ tzw. wspó÷
czynniki 2j i 3j:
112
113