Materiały pomocnicze - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI
Systemy ciągłe – systemy dyskretne
Materiały pomocnicze do zajęć ćwiczeniowych T4
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
1. Dyskretyzacja sygnału ciągłego w dziedzinie czasu
Dynamiczny układ ciągły można, w dziedzinie czasu, opisać równaniem/układem
równań różniczkowych. Zatem dla czasu dyskretnego musimy znaleźć właściwą
aproksymację pochodnej funkcji w punkcie. W dziedzinie czasu ciągłego jest to
definicja pochodnej zapisana w postaci granicy ilorazu różnicowego. W dziedzinie
czasu dyskretnego wartość pochodnej w danym punkcie najczęściej aproksymuje się
różnicą wartości następnej i bieżącej lub bieżącej i poprzedniej lub następnej
i poprzedniej (rys. 1). Jest to:
 różnica progresywna (różnica wprzód) – szczególny przypadek ekstrapolacji
(szukanie wartości funkcji spoza przedziału już dostępnych punktów):
 k  y  k  1  y  k 
 różnica regresywna (różnica wstecz) – procedura interpolacji (szukanie
wartości funkcji w przedziale dostępnych punktów):
 k  y  k   y  k  1
 różnica symetryczna:
k
 y  k  1  y  k  1 
y(k) y(t)
y(k+1)
k–1
y(k)
k
y(k–1)
y(k–2)
0
k
t
k–1 k
k+1
k
Rys. 1. Przykład dyskretyzacji sygnału ciągłego w czasie
Oczywiście można dokonywać aproksymacji wyższych pochodnych. Dla drugiej
pochodnej mamy:
2
 różnica progresywna (różnica wprzód):
 2k   k 1   k  y  k  2   y  k  1  y  k  1  y  k   y  k  2   2y  k  1  y  k 
 różnica regresywna (różnica wstecz):
 2k   k   k 1  y  k  2   y  k  1  y  k  1  y  k   y  k   2y  k  1  y  k  2 
 różnica symetryczna:
2
k

k 1

k 1
 y  k  2   y  k   y  k   y  k  2   y  k  2   2y  k   y  k  2 
Analogiczne operacje wykonuje się dla wyższych pochodnych.
Przyjmując okres próbkowania jako T s dla kolejnych pochodnych otrzymujemy:
 różnica progresywna (różnica wprzód):
y t   y k 
d y t 
y  k  1  y  k 

dt
Ts
d 2 y t 
y  k  2   2y  k  1   y  k 

2
dt
T s2
 różnica regresywna (różnica wstecz):
y t   y k 
d y t 
y  k   y  k  1

dt
Ts
d 2 y t 
y  k   2y  k  1   y  k  2 

2
dt
T s2
 różnica symetryczna:
y t   y k 
d y t 
y  k  1  y  k  1

dt
2 T s
d 2 y t 
y  k  2   2y  k   y  k  2 

2
dt
4  T s2
3
Kolejną, po metodzie aproksymacji pochodnych schematami różnicowymi, metodą
dyskretyzacji ciągłego układu dynamicznego jest metoda aproksymacji całek.
Dla systemu dynamicznego postaci:
y  ay  bu
Możliwa jest dyskretna reprezentacja systemu z przedziałem dyskretyzacji Δt postaci:
y  k  1   y  k    u  k 
gdzie:
  ea t
t
   eat b dt 
0
b at
 e  1
a
W przypadku, gdy system posiada pochodne wyższych rzędów (n), należy
sprowadzić je do n równań pierwszego rzędu i dokonać ich dyskretyzacji traktując a
oraz b z powyższych zależności jako macierze.
Równanie różnicowe stanu opisujące dyskretną postać układu n tego rzędu:
x( k  1)   x( k )   u( k )
gdzie:
  e A t
t
   e At B dt
0
przy czym A, B są macierzami stanu.
Przy wyznaczaniu macierzy  oraz  można posłużyć się znaną formułą
wykorzystującą odwrotne przekształcenie Laplace’a:
e A t 
L-1 {(sI  A)1 }
4