Wyrównywanie sieci niwelacyjnych

Sieć niwelacyjna
z odrzuceniem bezbłędności części reperów nawiązania
Wyrównanie metodą spostrzeżeń pośrednich
Sieć różnodokładna
Mierzymy L1, L2, L3,...LJ
(J spostrzeżeń)
z wagami p1, p2, p3 ....... pJ
jako .
pi
c
mi2
Niewiadome (wysokości reperów)
H1=H10+dh1
H2=H20+dh2
H3=H30+dh3
(K – reperów wyznaczanych)
Punkty nawiązania:
Część punktów nawiązania traktowana jest jako punkty
bezbłędne, a dla części odrzucamy bezbłędność nawiązania (dla
„r” reperów)– czyli te punkty będą ponownie wyrównywane.
Punkty stałe:
Hst=Hst
Punkty ponownie wyrównywane
Hwr = Hr + dhr
z wagą
pr
c
mH2 r
Tworzymy klasyczne równania obserwacyjne typu:
Hp+Li+vi=Hn
Przekształcamy równania do postaci:
vi = Hn – Hp - Li
1
podstawiając odpowiednio za wysokości reperów
wyznaczanych i po uporządkowaniu otrzymamy
vi = ai dh1 + bi dh2 +ci dh3 + . . .+ li
dla „j” spostrzeżeń
Dodatkowo dodajemy równania wynikające z potraktowania
punktów nawiązania (z odrzuconą bezbłędnością – „r” równań),
jako dodatkowe spostrzeżenia:
Hwr=Hr+dhr
oraz
Hwr=Hr+vr
co daje
Hr+dhr = Hr+vr
czyli równanie typu
vr = dhr
Mamy więc:
Ilość spostrzeżeń
N=j+r
Ilość niewiadomych
U=k+r
I ilość spostrzeżeń nadliczbowych
Nn = N – U = j - k
Układ równań poprawek (URP)
dla „U” niewiadomych i „N” spostrzeżeń
v1 = a1 dh1 + b1 dh2 + . . + u1 dhu.+ l1
v2 = a2 dh1 + b2 dh2 + . . + u2 dhu.+ l2
v3 = a3 dh1 + b3 dh2 + . .+ u3 dhu.+ l3
. . . . . . . . . . . . . . . . .
vj = aj dh1 + bj dh2 + . . + uj dhu.+ lj
. . . . . . . . . . . . . . . . .
vn = an dh1 + bn dh2 + . . + un dhu.+ ln
Uwzględniamy (MNK):
F = [PVV] => minimum
otrzymując układ równań normalnych zrównoważonych (URN )
2
[paa]*
dh1+[pab]* dh2+[pac]* dh3+
... +[pau]*
dhu+[pal]=0
[pab]*
dh1+[pbb]* dh2+[pbc]* dh3+
... +[pbu]*
dhu
+[pbl]=0
[pac]*
dh1+[pbc]* dh2+[pcc]* dh3+
... +[pcu]*
dhu
+[pcl]=0
.........................................................
[pau]*
dh1+[pbu]* dh2+[pcu]* dh3+
... +[puu]*
dhu
+[pul]=0
Rozwiązanie układu daje nam niewiadome (a właściwie
przyrosty do niewiadomych)
dh1, dh2, dh3, . .dhk, dhr,. . . . . . dhu
a z równań
Hi = H0 + dhi
wyliczamy właściwe niewiadome (zarówno dla punktów
wyznaczanych i dla ponownie wyrównywanych), co było naszym
celem.
Rozwiązanie układu równań normalnych przeprowadzamy w
dowolny sposób, np. metodą macierzową.
3
Analiza dokładności
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
Błąd średni jednostkowy (estymator wariancji resztowej)
m0
pvv
n u
Błędy średnie niewiadomych
mdhi
Błędy średnie funkcji niewiadomych
mfi
m0 * Bdhi
m0 *Bf i
4
Zapis macierzowy
Spostrzeżenia różnodokładne
v
v1
v2
v3
...
vj
A
...
...
vn
a1
a2
a3
...
aj
...
...
an
b1
b2
b3
...
bj
...
...
bn
c1
c2
c3
...
cj
...
...
cn
d1
d2
d3
...
dj
...
...
dn
......
......
......
......
......
.....
.....
.....
u1
u2
u3
...
uj
...
...
un
x
dh1
dh2
....
dhr
L1
L2
L3
L4
L
L5
....
dhu
...
...
Ln
V=A*x+L
( AT * p * A ) * x + AT * p* L = 0
p
p1
0
0
...
0
0
p2
0
...
0
0
0
pj
...
0
... 0
... 0
... 0
... ...
... pn
- x = ( AT * p * A )-1 * AT * p * L
Cov (x) =
m02
* ( AT * p * A )-1
na
2
mdh
i
na
m2fi
odpowiednio
Cov( x)
2
mdh
1
..
..
...
..
..
2
mdh
2
..
...
..
..
..
2
mdh
k
...
..
przekątnej zawiera
... ..
... ..
... ..
... ...
2
... mdh
u
Cov (L) = A * Cov (x) * AT
przekątnej zawiera
odpowiednio
5
Cov( L)
m 2f1
..
..
...
..
..
m 2f 2
..
...
..
..
..
m 2f j
...
..
... ..
... ..
... ..
... ...
... m 2f n
Praktycznie
1. Powiązać wagi spostrzeżeń klasycznych z wagami dla wysokości
reperów, podlegających ponownemu wyrównaniu.
2. Wyrównane wysokości reperów (ponownie wyrównane) występują
dwukrotnie:
jako współrzędne wyrównane
jako wyrównane spostrzeżenia
3. Analogicznie błędy wyrównanych wysokości
6