wpływ siły piezoelektrycznej na częstość drgań kolumny nieliniowej

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
38, s. 175-182, Gliwice 2009
ISSN 1896-771X
WPŁYW SIŁY PIEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ
KOLUMNY NIELINIOWEJ Z PRĘTEM PIEZOCERAMICZNYM
JACEK PRZYBYLSKI, KRZYSZTOF SOKÓŁ
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. Układ badany w niniejszej pracy składa się z dwóch członów,
z których jeden wzdłuż określonej długości jest prętem piezoceramicznym.
Elementy konstrukcji połączone są przegubem i sprężyną rotacyjną o sztywności
C. Obciążenie zewnętrze kolumny wywołane jest poprzez przyłożoną osiowo siłę
skupioną P. Ze względu na nieliniowość geometryczną układu rozwiązanie
przeprowadzono metodą małego parametru. Prezentowane wyniki dotyczą
wpływu położenia przegubu, sztywności sprężyny rotacyjnej i siły
piezoelektrycznej na częstość drgań własnych układu.
1. WSTĘP
Prowadzone w ostatnich latach badania konstrukcji inteligentnych z zastosowaniem
piezoaktuatorów ceramicznych dotyczą min. możliwości sterowania własnościami
dynamicznymi i statycznymi układów mechanicznych, przy czym duża część prac jest
skoncentrowana na aktywnym tłumieniu drgań oraz profilowaniu kształtu lub ugięć smukłych
układów prętowych. Większość badanych układów stanowiły konstrukcje złożone ze
struktury nośnej i zespolonych z nią elementów piezoceramicznych. W grupie tej mieści się
praca Thompsona i Loughlana [1], którzy badali eksperymentalnie wyboczenie kolumny
wspornikowej z zamocowanymi obustronnie elementami piezoceramicznymi. Przez
wygenerowanie w piezoceramikach sił ściskających i rozciągających kompensowali ugięcie
kolumny wywołane obciążeniem zewnętrznym. Kandagal i Venkatraman [2] postulowali
zastosowanie piezoceramików zamocowanych symetrycznie względem osi belki do tłumienia
jej drgań poprzecznych. By zwiększyć możliwość kontroli kształtu i ugięć, Chaudhry i Rogers
[3] zaproponowali inną konfigurację układu struktura-aktuator w postaci belki z dyskretnie
zamocowanym prętem piezoceramicznym. Wykonując badania teoretyczne i doświadczalne,
wykazali, że przemieszczenia belki w postulowanym układzie były o 40% większe
w stosunku do układu z piezoceramikiem zespolonym z belką. Lalande i in. [4] badali relację
siła-przemieszczenie w piezoaktuatorze typu Moonie, który stanowi układ nieliniowy złożony
z dwóch prętów symetrycznie zamocowanych dyskretnie względem dodatkowego pręta
piezoceramicznego. Pręt piezoceramiczny w układach geometrycznie nieliniowych może
służyć do wstępnego sprężenia takich układów. Jak wykazano w pracach Meada [5]
i Przybylskiego [6], częstości poprzecznych drgań własnych układów nieliniowych są łatwe
do korygowania przez wprowadzenie wzdłużnej siły sprężającej.
176
J. PRZYBYLSKI, K. SOKÓŁ
W niniejszej pracy bada się wpływ siły piezoelektrycznej generowanej w pręcie
piezoceramicznym, stanowiącym element kolumny złożonej, na częstość drgań własnych
i siłę krytyczną układu.
2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
2.1. Siła wzdłużna generowana przez pręt piezoceramiczny
b)
a)
P
Pręt (1)
E1, J1, A1
Pręt (3)
E3, J3, A3
l3
x3
pręt
(E3I3, E3A3,
r3A3 )
C
l1
W3 (x3,t)
człon (2)
człon (1) - rura
(E1I1, E1A1,
r1A1)
pręt - piezo
(E2I2, E2A2,
r2 A2)
x1, x2
Pręt piezo (2)
E2, J2, A2
l2
W1(x1,t),
W2(x2,t)
Rys.1. Model badanego układu (a), schemat ugiętych osi (b)
Na rys. 1a przedstawiono model kolumny wspornikowej, której pręt (2) jest elementem
piezoceramicznym połączonym z prętem (3) za pomocą przegubu i sprężyny rotacyjnej
o sztywności C. Przegub ze sprężyną reprezentuje w modelu połączenie konstrukcyjne obu
prętów. Pręt (1) jest zamocowany dyskretnie do pozostałych elementów konstrukcji. Wybór
układu będącego przedmiotem niniejszych rozważań jest uzasadniony tym, że pręty
piezoceramiczne są produkowane w określonych rozmiarach i kształtach. Mogą one pełnić
funkcję elementu sprężającego układ niezależnie od swojej długości, stąd proponuje się takie
rozwiązanie konstrukcyjne, w którym pręt piezoelektryczny stanowi jedynie fragment
jednego z członów nośnych. Cały układ obciążony jest siłą skupioną P przyłożoną w miejscu
połączenia prętów (1) i (3). Pręty mają długości odpowiednio l1, l2, l3.
W celu wyznaczenia relacji pomiędzy przyłożonym napięciem i generowaną w układzie
sprężającą siłą rezydualną definiuje się energię potencjalną P w następującej postaci:
P=
i
i
1 3
1
s 11 e 11 dW i - ò D z E z dW 2
å
ò
2 i =1 Wi
2 W2
(1)
gdzie naprężenia normalne, odkształcenia, przemieszczenie elektryczne Dz wywołane polem
elektrycznym Ez definiowanym jako iloraz napięcia V przez grubość piezoelektryka hp są
wyrażone prze następujące związki
WPŁYW SIŁY PIEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ KOLUMNY NIELINIOWEJ …177
1
1
2
s 11 = Y1 e 11
i
e 11 =
2
s 11 = Y2 e 11 - e31 E z
dU i ( xi )
dxi
3
3
s 11 = Y3 e 11
1
D z = e31 e 11 + x 33 E z
(2a-e)
Wielkości występujące w powyższych wzorach to: e31 - efektywna stała dielektryczna [C/m2],
ξ33 - efektywny współczynnik przenikalności elektrycznej ośrodka [C/Vm].
Po przyrównaniu pierwszej wariacji energii potencjalnej do zera i przeprowadzeniu
niezbędnych operacji całkowania i obliczania wariacji, przy założeniu stałej wartości
potencjału elektrycznego, otrzymuje się
é dU
dP = å Yi Ai ê i dU i
êë dxi
i =1
3
li
0
li
-ò
0
ù
d 2U i
d
U
dx
i
i ú - F dU 2
dxi2
úû
l2
0
=0
(3)
Wielkość oznaczona przez F to siła piezoelektryczna zdefiniowana jako:
F = be31V
(4)
gdzie b to szerokość piezoceramika. Na podstawie równania (3), przy założeniu, że
przemieszczenie wirtualne δUi(xi) w przedziale 0 á xi á li jest dowolne i niezależne, otrzymuje
się trzy równania różniczkowe drugiego rzędu na przemieszczenia wzdłużne. Rozwiązanie
zagadnienia oraz analiza naprężeń w poszczególnych segmentach prowadzi do wzoru
opisującego rezydualną siłę wzdłużną R, której wartość zależy od siły piezoelektrycznej F,
relacji między długościami poszczególnych prętów kolumny, jak również wzajemnej relacji
między sztywnościami na ściskanie składowych układu. W przypadku kolumny współosiowej
siła rezydualna w członie (1) jest równa co do bezwzględnej wartości sile w segmentach (2)
i (3) członu drugiego:
l æ 3 l ö
R1 = R2 = R3 = R = be31V 2 çç å i ÷÷
Y2 A2 è i =1 Yi Ai ø
-1
(5)
2.2 Drgania poprzeczne układu
Zagadnienie drgań poprzecznych kolumny trzyelementowej opisują poniższe równania:
Ei J iWi IV ( xi , t ) + ( Si ± R)Wi II ( xi , t ) + r i AiW&&i ( xi , t ) = 0
i =1,2,3
(6)
gdzie siła wzdłużna Si jest definiowana następująco:
æ ¶U ( x , t ) 1 é ¶W ( x , t ) ù 2 ö
S i = - Ei Ai ç i i + ê i i ú ÷
ç ¶xi
2 ë ¶xi
û ÷ø
è
(7)
Rozwiązania równań (6) muszą spełniać następujące warunki brzegowe:
W1 (x1 , t ) x =0 = W1I (x1 , t )
1
x1 = 0
=0
W2 ( x2 , t ) x
= W2 ( x2 , t ) x
I
2 =0
2 =0
=0
178
J. PRZYBYLSKI, K. SOKÓŁ
W1 ( x1 , t ) x =l = W3 ( x3 , t ) x
W1 ( x1 , t ) x =l = W3 ( x3 , t ) x =l
I
I
1
W2 ( x2 , t ) x
1
3
2 =l2
= W3 ( x3 , t ) x
E1 J 1W1
E2 J 2W2 III ( x2 , t ) x
2 =l 2
III
( x1 , t ) x =l
1
1
3
1
E3 J 3W3
II
II
II
+ PW1 ( x1 , t ) x =l + E3 J 3W3
I
(x 2 , t ) x =l
2
3 =l3
E1 J1W1 (x1 , t ) x =l + E3 J 3W3 ( x3 , t ) x
3 =0
+ (S 2 - R )W2 I ( x2 , t ) x
E2 J 2W2
1
II
2
2 =l2
[
[
1
1
1
( x3 , t ) x = l
III
1
3
- E3 J 3W3 III (x3 , t ) x
3 =0
+ C W3 ( x3 , t ) x = 0 - W2 ( x 2 , t ) x
3
2
2
]= 0
]= 0
I
3
( x3 , t ) x =0 + C [W3 I ( x3 , t ) x =0 - W2 I ( x2 , t ) x =l
3
=0
+ (S 2 - R)W3 I ( x3 , t ) x
3 =0
I
3
=0
3 =l3
2 =l2
]= 0
(8a-l)
Przemieszczenia wzdłużne U i ( xi ) spełniają warunki ciągłości na granicach przedziałów:
U 1 (0 ) = U 2 (0 ) = 0
U 2 (l 2 ) = U 3 (0 )
U 1 (l1` ) = U 2 (l 2 ) + U 3 (l 3 )
(9a-c)
Dalsze rozważania prowadzi się po wprowadzeniu wielkości bezwymiarowych w postaci:
di =
EJ
E J
Cl
Pl 2
be31Vl 2
li
, pd =
, v=
, rw = 3 3 , rm = 2 2
, cb =
E1 J 1
E2 J 2
l
E2 J 2
E1 J 1 + E2 J 2
E1 J1 + E2 J 2
xi =
W (x ,t)
U (x , t)
xi
r A l4
, t = Wt , wi (xi ,t ) = i i , ui (xi ,t ) = i i
, wi2 = W i i .
Ei J i
l
l
l
(10a-k)
Do rozwiązania problemu zastosowano metodę małego parametru e, zgodnie z którą
przemieszczenie poprzeczne wi (xi ,t ) , przemieszczenie wzdłużne u i (x i ,t ) , siłę wzdłużną
ki (t ) oraz częstość drgań wi i-tego pręta rozpisuje się w szeregi potęgowe
N
N
n=1
n =1
2n
2 N +1
)
wi (x ,t ) = å e 2n -1wi 2 n-1 (x ,t ) + O (e 2 N +1 ) u i (x ,t ) = u i 0 (x ) + å e u i 2n (x ,t ) + O(e
N
k i (t ) = k io + å e 2 n k i 2 n (t ) + O (e 2 N +1 )
n =1
N
w = w 0 i + å e 2 nw i 2 n + O (e 2 N +1 )
2
i
2
2
n =1
(11a-d)
Wielkości rozwinięte zgodnie z równaniami (11) wprowadza się do równań ruchu (6), sił
wzdłużnych (7) i warunków brzegowych (8) i (9). Następnie grupuje się wyrazy przy tych
samych potęgach małego parametru e , co prowadzi do otrzymania nieskończonych ciągów
równań ruchu i sił wzdłużnych wraz z odpowiednimi ciągami warunków brzegowych.
Rozwiązanie zaprezentowane w niniejszej pracy otrzymano na podstawie układu równań przy
małym parametrze w potędze pierwszej.
WPŁYW SIŁY PIEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ KOLUMNY NIELINIOWEJ …179
3. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
Po opracowaniu programu obliczeń numerycznych na podstawie przyjętego modelu
matematycznego, w celu określenia wpływu wybranych parametrów geometrycznych układu
niesprężonego na jego własności dynamiczne, przystąpiono do zbadania pierwszej częstości
i postaci drgań poprzecznych w funkcji obciążenia zewnętrznego. Wszystkie wykresy
wykreślono we współrzędnych bezwymiarowych (por. (10a-k)). Przyjmując identyczną
sztywność na zginanie każdego z prętów, zerową siłę sprężającą układ oraz zmieniając
położenie przegubu, wykreślono krzywe opisujące relację bezwymiarowa siła zewnętrzna (pd)
4
2
2
– częstość ( w i = W i rEi Ai Jili ) i wyznaczono odpowiadające im postacie drgań układu. Rys. 2 i 3
przedstawiają zależność pomiędzy obciążeniem zewnętrznym a częstością drgań przy różnych
położeniach przegubu i sztywności sprężyny rotacyjnej cb.
pd
pd
pd - ω
pd - ω
Cb =100
Cb =10
Cb =1
Cb =0
4.0
Cb =100
Cb =10
Cb =1
Cb =0
3.0
3.0
2.0
2.0
1.0
1.0
ω
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
ω
0.0
0.0
5.0
Rys.2 Krzywe częstości drgań kolumny przy
zmianie sztywności sprężyny (pozostałe
dane d2 = 0.5, v = 0 rm = 1, rw = 1)
1.0
2.0
4.0
3.0
Rys.3 Krzywe częstości drgań kolumny przy
zmianie sztywności sprężyny (pozostałe
dane d2 = 0.7, v = 0, rm = 1, rw = 1)
Tabela 1 Pierwsze postacie drgań (d2 = 0.7, v = 0, rm = 1, rw = 1, pd = 1)
cb = 0
d2 = 0.7
cb = 1
d2 = 0.7
wi(ζi)
wi(ζi)
ζi
cb = 10
d2 = 0.7
ζi
cb = 100
wi(ζi)
d2 = 0.7
wi(ζi)
ζi
ζi
180
J. PRZYBYLSKI, K. SOKÓŁ
Na osi rzędnych, osi obciążenia zewnętrznego, zaznaczono punkty odpowiadające siłom
krytycznym układu. Siła krytyczna jest silnie zależna od sztywności sprężyny rotacyjnej
w przegubie, a najwyższa sztywność sprężyny nie odpowiada maksymalnemu obciążeniu
krytycznemu. Przy sztywności sprężyny rotacyjnej cb > 10, niezależnie od położenia
przegubu, zmiana wartości częstości drgań i sił krytycznych jest nieznaczna. Prosta
przecinająca krzywe częstości z rys. 3 na poziomie obciążenia pd = 1 wyznacza punkty,
którym odpowiadają pierwsze postacie drgań pokazane w tabeli 1. Mimo takich samych
sztywności na zginanie obu członów, przy dwóch niższych wartościach sztywności sprężyny
(cb = 0, 1), kształty ugięć poszczególnych prętów odpowiadające pierwszej postaci drgań
różnią się, co determinuje zróżnicowanie obciążeń krytycznych układu. Przy sztywności
sprężyny o wartościach większych od cb = 8 linie ugięć obu członów w pierwszej postaci
pozostają identyczne, a siły krytyczne przyjmują bliskie sobie wartości.
Wyniki obliczeń numerycznych w zakresie częstości drgań własnych układu
z uwzględnieniem siły piezoelektrycznej zaprezentowano na rys. 4, 5 i 7. W przypadku
układu złożonego z członów o tej samej sztywności na zginanie z przegubem umieszczonym
symetrycznie i wzmocnionym sprężyną o sztywności cb = 10 przyłożenie napięcia o tej samej
wartości niezależnie od kierunku pola elektrycznego powoduje zmniejszenie częstości drgań
własnych i obciążenia krytycznego (rys. 4). Przy mniejszej wartości sztywności sprężyny
i położeniu przegubu poza środkiem kolumny, wprowadzenie siły rezydualnej koryguje
przebieg krzywych częstości drgań i wartości obciążenia krytycznego w zależności od
kierunku pola elektrycznego (rys. 5). W efekcie nośność kolumny może być determinowana
przez wartość i kierunek pola elektrycznego, co zobrazowano na rys. 6. Na rys. 7
przedstawiono krzywe częstości drgań w funkcji rosnącego napięcia przy różnym poziomie
obciążenia zewnętrznego. Przy większej wartości siły zewnętrznej utrata stateczności układu
następuje przy niższym napięciu.
pd
pd - ω
v=0
v = ± 1.5 vcr
3.0
pd
pd - ω
4.0
v=0
v = 1.0 vcr
v = -1.0 vcr
3.0
2.0
2.0
1.0
1.0
ω
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Rys.4 Krzywe częstości drgań własnych
kolumny przy różnym napięciu v
(pozostałe dane d2=0.5, cb=10 rm=1,
rw=1)
ω
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Rys.5 Krzywe częstości drgań własnych
kolumny przy różnym napięciu v
(pozostałe dane d2=0.7, cb=1, rm=1,
rw=1)
WPŁYW SIŁY PIEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ KOLUMNY NIELINIOWEJ …181
v
6.0
pcr
12.0
v -ω
pd = 0
pd = 1
pd = 2
8.0
4.0
pcr - v
4.0
d2 = 0.5
d2 = 0.7
v
ω
0.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
Rys.6 Wpływ napięcia na nośność kolumny,
przy różnych położeniach przegubu
(pozostałe dane cb=1, rm=1, rw=1)
0.0
2.0
4.0
6.0
Rys.7 Zmiana częstości drgań własnych
układu w funkcji przyłożonego napięcia
przy różnej wartości siły zewnętrznej
(pozostałe dane d2=0.7, cb=10, rm=1,
rw=1)
4. WNIOSKI
Celem niniejszej pracy było określenie wpływu siły generowanej przez pręt
piezoceramiczny na częstość drgań kolumny trzyprętowej obciążonej siłą zewnętrzną P o
stałym kierunku działania. Po przeprowadzeniu badań numerycznych i analizie otrzymanych
wyników można stwierdzić, że:
• istnieje taka wartość sztywności sprężyny rotacyjnej łączącej pręty kolumny, powyżej
której zarówno częstość drgań układu jak i jego wyboczeniowa siła krytyczna zmienia
się w sposób niezauważalny. Efekt ten występuje powyżej sztywności cb = 8;
• położenie przegubu ma istotny wpływ na nośność konstrukcji. Przesuwanie przegubu
od miejsca utwierdzenia w górę kolumny dla małych wartości sztywności sprężyny cb
powoduje zmniejszenie sił krytycznych. Przy cb większym od 8 zmiana jest
minimalna. Wraz ze zmianą położenia przegubu zmieniają się częstości drgań układu;
• wygenerowanie w pręcie piezoceramicznym dodatkowej siły poprzez przyłożenie doń
napięcia ma znaczący wpływ zarówno na siły krytyczne jak i częstość drgań
własnych;
• w zależności od zwrotu wektora pola elektrycznego istnieje możliwość redukcji lub
zwiększenia częstości drgań układu;
• im dłuższy element piezoceramiczny wchodzący w skład badanego układu, tym
mniejsza wartość napięcia potrzebnego do sterowania własnościami statycznymi
i dynamicznymi kolumny;
• niezależnie od wartości siły zewnętrznej obciążającej układ istnieje taka wartość siły
piezoelektrycznej, przy której częstość drgań kolumny spada do zera.
Otrzymane wyniki mogą być wykorzystane przy projektowaniu konstrukcji inteligentnych
takich jak złożone kolumny lub belki z dodatkowym prętem piezoceramicznym.
Praca została wykonana w ramach projektu badawczego Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa
Wyższego N N501 117236, oraz badań własnych BW 1-101/204/07/P
182
J. PRZYBYLSKI, K. SOKÓŁ
LITERATURA
1. Thompson S., Loughlan J.: The active buckling control of some composite column
strips using piezoceramic actuators. “Composite Structures” 1995, 32, p. 59-67.
2. Kandagal S.B.,Venkatraman K.: Form factors for vibration control of beams using
resistively shunted piezoceramics. “Journal of Sound and Vibration” 2004, 274, p.
1123-1133.
3. Chaudhy Z.,Rogers C.A.: Enhancing induced strain actuator authority through
discrete attachment structural elements. “AIAA Journal” 1993, 31, p. 1287-1292.
4. Lalande F., Chaudhry Z.,Rogers C.A.: A simplified geometrically nonlinear
approach to the analysis of the Moonie actuator. “IEEE Transactions on ultrasonic,
ferroelectric and frequency control” 1995, Vol. 42, No. 1, p. 21- 27.
5. Mead D.J.: Free vibration of self-strained assemblies of beams.” Journal of Sound
and Vibration” 2002, Vol. 249, No. 1,p. 101-127.
6. Przybylski J. Drgania i stateczność dwuczłonowych układów prętowych wstępnie
sprężonych przy obciążeniach niezachowawczych. Częstochowa: Wyd. Pol.
Częst. 2002. Seria Monografie, Nr 92.
INFLUENCE OF THE PIEZOELECTRIC FORCE ON VIBRATION
FREQUENCY OF A GEOMETRICALLY NONLINEAR COLUMN
WITH A PIEZOCERAMIC ROD
Summary In this work the problem of natural vibrations of the geometrically
nonlinear column which loses its stability via divergence has been presented. The
system considered in this work consists of two members, from which one is
composed of two rods joined together by a pin strengthen by a rotational spring.
One of the rods is made of piezoceramic material. The external load is axially
applied to the column. Due to the geometrical nonlinearity, the solution to the
problem was made by using the perturbation method. Presented results concern
the influence of the joint localisation, the spring stiffness and the piezoelectric
force on the natural vibration of the system.