Linie pierwiastkowe - Matlab

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Z rozważań dotyczących uchybu w stanie ustalonym i odpowiedzi układu w stanie nieustalonym,
wynika ważność położeń zer i biegunów transmitancji liniowego układu zamkniętego. Pierwiastki
równania charakterystycznego, które są biegunami transmitancji układu zamkniętego określają
bezwzględną i względną stabilność liniowych układów z pojedynczym wejściem i wyjściem SISO
(Single Input Single Output).
W liniowych układach sterujących bardzo ważnym kryterium analizy jest badanie trajektorii
pierwiastków równania charakterystycznego podczas zmiany pewnego parametru układu nazywanych
liniami pierwiastkowymi. Podstawowe własności i zasady konstrukcji linii pierwiastkowych opisane
zostały przez Waltera Evansa [2].
W opracowaniu tym przedstawionych zostanie kilka prostych reguł dotyczących zasad
konstruowania tych linii. W celu wykreślenia dokładnych linii pierwiastkowych zawsze można użyć
programów komputerowych. Dla przykładu, w MATLABIE istnieje funkcja rlocus wykreślająca na
ekranie linie pierwiastkowe na podstawie transmitancji pętli. Ważne jest jednak, aby poznać podstawy
wykreślania i własności linii pierwiastkowych po to aby umieć dobrze zinterpretować dane
dostarczane przez linie pierwiastkowe wykorzystywane w analizie układu.
2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI LINII PIERWIASTKOWYCH
W opracowaniu tym linie pierwiastkowe przedstawione zostaną w odniesieniu do układu regulacji
pokazanego na rysunku 1.
R(s)
K
G(s)
Y(s)
H(s)
Rys. 1. Schemat blokowy układu regulacji ze strojonym parametrem K
Transmitancja układu zamkniętego z rysunku 1.
Y (s)
R( s )
KG ( s)
1 KG ( s) H ( s)
(1)
Równanie charakterystyczne uzyskiwane jest poprzez przyrównanie wielomianu mianownika do zera,
stąd pierwiastki równania charakterystycznego muszą spełniać zależność
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
(2)
1 KG(s) H (s) 0
Równanie (2) może zostać zapisane jako
1
K
G (s) H (s)
(3)
Aby spełnione było równanie (3) muszą być spełnione jednocześnie dwa poniższe warunki:
1o) Warunek amplitudy
1
K
G(s) H (s)
(4)
K
2o) Warunek kąta
G(s) H (s)
(2i 1)
G( s ) H ( s )
2i
dla
dla
K
K
0
(5)
0
(6)
gdzie i = 0, 1, 2, ...
W praktyce, warunki opisane równaniami (4), (5), (6) odgrywają różne role przy konstruowaniu linii
pierwiastkowych.
1. Warunki dotyczące kąta opisane równaniami (5) i (6) używane są do wykreślania trajektorii linii
pierwiastkowych na płaszczyźnie s.
2. Kiedy już linie pierwiastkowe są wykreślone to wartości parametru K wyznaczane są przez
użycie warunku amplitudy opisanego równaniem (4).
Konstruowanie linii pierwiastkowych jest przede wszystkim problemem graficznym, chociaż pewne
własności są wyprowadzane analitycznie. Graficzne konstruowanie linii pierwiastkowych jest oparte
na wiedzy o biegunach i zerach funkcji operatorowej KG (s) H (s) , czyli transmitancja KG (s) H (s)
musi być najpierw zostać zapisana w postaci
K ( s z1 )(s z 2 )  ( s z m )
( s p1 )(s p 2 )  ( s p n )
KG ( s) H ( s)
(7)
gdzie zera i bieguny funkcji KG (s) H (s) mają wartości rzeczywiste lub są parami zmiennych
zespolonych sprzężonych.
Stosując warunki zapisane w równaniach (4), (5) oraz (6) do równania (7) otrzymuje się
m
i 1
n
G (s) H (s)
s zi
s
pj
(s
zi )
j 1
1
K
K
(8)
(9)
Dla 0 K
m
G( s) H ( s)
n
i 1
Dla
(s
pj)
(2i 1) 180 o
(s
pj)
2i 180 o
j 1
K 0
m
G( s) H ( s)
n
(s
i 1
zi )
(10)
j 1
gdzie i = 0, 1, 2, ... .
Na linii pierwiastkowej w pewnym punkcie s1 graficzna interpretacja równania (9), która
odpowiada dodatniej wartości K, musi spełniać warunek:
Różnica pomiędzy sumą kątów wektorów wykreślonych z zer, a sumą kątów wektorów
wykreślonych z biegunów G(s) H (s) do bieguna s1 jest nieparzystym mnożnikiem kąta 180 .
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
2
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
Dla ujemnych wartości K, pewien punkt s1 na linii pierwiastkowej musi spełniać warunek:
Różnica pomiędzy sumą kątów wektorów wykreślonych z zer, a sumą kątów wektorów
wykreślonych z biegunów G(s) H (s) do bieguna s1 jest mnożnikiem parzystym kąta 180 ,
zawierającym zero stopni.
Podczas konstruowania linii pierwiastkowych, wartości K wzdłuż linii pierwiastkowych mogą być
wyznaczone po zapisaniu równania (8) w postaci
n
s
K
j 1
pj
(11)
m
s
i 1
zi
Wartość K na linii pierwiastkowej w pewnym punkcie s1 jest uzyskiwana z równania (11) przez
podstawienie wartości s1 do tego równania. Graficznie, licznik równania (11) reprezentuje iloczyn
długości wektorów wykreślonych z biegunów K G(s) H (s) do bieguna s1 , natomiast mianownik
reprezentuje iloczyn długości wektorów wykreślonych z zer K G(s) H (s) do bieguna s1 .
3. WŁASNOŚCI I KONSTRUKCJA LINII PIERWIASTKOWYCH
Chociaż obecnie są dostępne wydajne programy komputerowe do rysowania linii
pierwiastkowych to w celu właściwego zinterpretowania uzyskiwanych wyników wymagana jest
znajomość własności linii pierwiastkowych i umiejętność prostego ich szkicowania.
Poniższe własności są użyteczne przy ręcznym konstruowaniu linii pierwiastkowych i do ich
właściwej interpretacji. Własności te opierają się na zależnościach pomiędzy zerami i biegunami
transmitancji KG(s)H(s) oraz zerami transmitancji 1+KG(s)H(s), które są pierwiastkami równania
charakterystycznego.
3.1. PUNKTY DLA K = 0 ORAZ K =
1. Punkty na linii pierwiastkowej dla K = 0 są biegunami transmitancji KG(s)H(s).
2. Punkty na linii pierwiastkowej przy K =
są zerami transmitancji KG(s)H(s).
Bieguny i zera odnoszą się również do tych wartości, które znajdują się w nieskończoności, jeśli takie
istnieją. Wnioski te uzyskiwane są z warunku na linie pierwiastkowe dane przez równanie (3). Jeśli
wartość K zmierza do zera to wówczas transmitancja G(s)H(s) osiąga nieskończoność, czyli s musi
osiągać wartości równe biegunom transmitancji G(s)H(s). Podobnie kiedy wartość K osiąga
nieskończoność, wówczas s musi osiągać wartości zer transmitancji G(s)H(s).
3.2. LICZBA GAŁĘZI NA LINII PIERWIASTKOWEJ
Gałąź linii pierwiastkowej jest trajektorią (torem) pewnego pierwiastka zmieniającego swoje
położenie gdy K zmienia swoją wartość w zakresie od
do
. Stąd liczba gałęzi linii
pierwiastkowej musi być równa liczbie pierwiastków równania.
Liczba gałęzi linii pierwiastkowej opisanej równaniem (2) jest równa rzędowi wielomianu.
3.3. SYMETRIA LINII PIERWIASTKOWYCH
Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s. Ogólnie
linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi symetrii konfiguracji zerowo-biegunowej
transmitancji KG(s)H(s).
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
3
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
Własność ta wynika z tego że pierwiastki zespolone są ze sobą sprzężone. Jeśli bieguny i zera
transmitancji KG(s)H(s) są symetryczne do dodatkowej osi to oznacza, że ta oś symetrii została
uzyskana przez liniową transformację.
j
K
K
K<0
K
K>0
K>0
K=0
K=0
2
1
K=0
K<0
K
0
Oś symetrii
K<0
K
K>0
Oś symetrii
Rys. 2. Linie pierwiastkowe funkcji s(s 1)(s 2) K
K
0 , przedstawiające własności symetrii.
3.4. KĄTY ASYMPTOT LINII PIERWIASTKOWEJ
Jak widać to z rysunku 2, kiedy rząd wielomianu mianownika n nie jest równy rzędowi wielomianu
licznika oznaczonego jako m, wówczas pewne linie na płaszczyźnie s dążą do nieskończoności.
Własności linii pierwiastkowych w pobliżu nieskończoności na płaszczyźnie s są opisane przez
asymptoty linii kiedy s
. Ogólnie kiedy n m , wówczas będzie 2 n m asymptot, które
opisują zachowanie linii pierwiastkowych przy s
. Kąty asymptot i ich punkty przecięcia z osią
liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s są opisane następująco:
Dla dużych wartości zmiennej s, linie pierwiastkowe dla K
wyznaczanymi następująco
i
2i 1
n m
180 o , n
m
0 są zbieżne do asymptot z kątami
(12)
gdzie i = 0, 1, 2, ..., n m 1 ; n oznacza liczbę skończonych biegunów, natomiast m liczbę
skończonych zer transmitancji KG(s)H(s). Dla K 0 kąty asymptot są wyznaczane z zależności
2i
i
n
m
180 o , n
gdzie i = 0, 1, 2, ..., n
m
m
(13)
1.
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
4
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
3.5. PUNKTY PRZECIĘCIA ASYMPTOT
Punkt przecięcia 2 n
w punkcie
biegunów
m asymptot linii pierwiastkowej występuje na osi liczb rzeczywistych
transmitan cji
1
G(s) H (s)
zer transmitan cji
G( s) H ( s)
n m
(14)
gdzie n oznacza liczbę skończonych biegunów, natomiast m liczbę skończonych zer transmitancji
G(s)H(s). Punkt przecięcia asymptot 1 określa środek ciężkości linii pierwiastkowych i zawsze
jest liczbą rzeczywistą.
Bieguny i zera transmitancji G(s)H(s) mają zarówno części rzeczywiste jak i urojone, przy czym
urojone części licznika równania (10) zawsze upraszczają się. Czyli w równaniu (10) składniki
sumowania mogą być zastąpione przez części rzeczywiste biegunów i zer transmitancji G(s)H(s).
3.6. LINIE PIERWIASTKOWE NA OSI LICZB RZECZYWISTYCH
Cała oś liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s jest zajmowana przez linie pierwiastkowe (albo
przez linie dla K 0 albo przez linie dla K 0 .
1. K 0 : Na osi liczb rzeczywistych, linia pierwiastkowa dla K 0 znajduje
odcinkach osi dla których liczba biegunów i zer transmitancji G(s)H(s)
odcinka jest nieparzysta.
2. K 0 : Na osi liczb rzeczywistych, linia pierwiastkowa dla K 0 znajduje
odcinkach osi dla których liczba biegunów i zer transmitancji G(s)H(s)
odcinka jest parzysta. Sprzężone bieguny i zera transmitancji G(s)H(s) nie
linii pierwiastkowej znajdującej się na osi liczb rzeczywistych.
się tylko na tych
z prawej strony
się tylko na tych
z prawej strony
wpływają na typ
3.7. KĄTY WYJŚCIA I KĄTY WEJŚCIA LINII PIERWIASTKOWYCH
Kąt wyjścia z bieguna lub wejścia do zera transmitancji G(s)H(s) oznacza kąt stycznej tej linii
w pobliżu punktu. Kąty wyjścia i wejścia określane są przy użyciu wzoru (9) dla linii wyznaczonej dla
K 0 oraz wzoru (10) dla linii wyznaczonej dla K 0 .
3.8. PUNKTY PRZECIĘCIA LINII PIERWIASTKOWYCH Z OSIĄ LICZB UROJONYCH
Punkty w których linie pierwiastkowe przecinają oś liczb urojonych na płaszczyźnie s, jeśli takie
występują, wyznaczane są przy użyciu kryterium Routha. Dla złożonych przypadków, kiedy linia
pierwiastkowa ma wiele punktów przecięcia z osią liczb urojonych, wartości krytyczne K mogą być
wyznaczone przy użyciu programów komputerowych.
3.9. PUNKTY ROZGAŁĘZIEŃ NA LINIACH PIERWIASTKOWYCH
Punkty rozgałęzień na liniach pierwiastkowych odpowiadają pierwiastkom wielokrotnym
równania.
Na rysunku 3(a) przedstawiony został przypadek w którym dwie linie pierwiastkowe spotykają się
w punkcie rozgałęzienia na osi liczb rzeczywistych i następnie opuszczają tą oś w przeciwnych
kierunkach. W tym przypadku punkt rozgałęzienia reprezentuje podwójny pierwiastek równania,
kiedy wartość K osiąga wartość odpowiadającą temu punktowi. Na rysunku 3(b) przedstawiona
została inna sytuacja w której dwa pierwiastki zespolone sprzężone spotykają się w punkcie
rozgałęzienia znajdującego się na osi liczb rzeczywistych i następnie przemieszczają się
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
5
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
K
K
K
Matlab
K
Punkt
rozgałęzienia
Punkt
rozgałęzienia
(a)
(b)
Rys.3. Przykłady punktów rozgałęzień na osi liczb rzeczywistych.
w przeciwnych kierunkach wzdłuż osi liczb rzeczywistych. W ogólnym przypadku, punkt
rozgałęzienia może obejmować więcej niż dwie linie pierwiastkowe. Linia pierwiastkowa może mieć
oczywiście więcej niż jeden punkt rozgałęzienia. Poza tym punkty przecięcia nie zawsze będą na osi
liczb rzeczywistych. Z powodu sprzężonej symetrii linii pierwiastkowych, punkty rozgałęzień
znajdujące się poza osią liczb rzeczywistych muszą być powiązane w zespolone pary sprzężone.
Punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej 1 KG(s) H (s) 0 muszą spełniać warunek
dG(s) H (s)
ds
(15)
0
Ważne jest aby zaznaczyć, że warunek na punkt rozgałęzienia opisany wzorem (15) jest konieczny ale
nie wystarczający. Innymi słowy, wszystkie punkty rozgałęzień muszą spełniać równanie (15) lecz nie
wszystkie rozwiązania równania (15) są punktami rozgałęzień. Aby być punktem rozgałęzienia,
rozwiązanie równania (15) musi również spełniać równanie 1 KG(s) H (s) 0 , czyli musi być
również punktem znajdującym się na linii pierwiastkowej dla pewnej wartości K. Ogólnie, poniższe
wnioski są uzyskiwane w odniesieniu do rozwiązań równania (15):
1. Wszystkie rzeczywiste rozwiązania równania (15) są punktami na linii pierwiastkowej, gdyż
cała oś liczb rzeczywistych płaszczyzny s jest zajęta przez linie pierwiastkowe.
2. Rozwiązania zespolone sprzężone równania (15) są punktami rozgałęzień tylko wówczas gdy
spełniają równanie charakterystyczne lub są punktami na linii pierwiastkowej.
3. Z warunku dotyczącego linii pierwiastkowej
K
1
G( s) H (s)
(16)
wyznaczając różniczkę na obu stronach równania względem zmiennej s, otrzymuje się
dK
ds
dG ( s) H ( s) ds
(17)
[G( s) H ( s)] 2
Więc warunek dotyczący punktu rozgałęzienia może być również zapisany jako
dK
ds
(18)
0
gdzie K jest wyrażone tak jak w równaniu (16).
3.9.1. Kąty wyjścia i wejścia linii pierwiastkowych w punktach rozgałęzień
Kąty przy których linia pierwiastkowa wchodzi lub wychodzi z punktu rozgałęzień zależy od liczby
linii, które obejmują ten punkt. Ogólnie
n linii pierwiastkowych osiąga lub opuszcza punkt rozgałęzień pod kątem 180 /n
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
6
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
3.10. OBLICZANIE K Z LINII PIERWIASTKOWYCH
Przy konstruowaniu linii pierwiastkowych, wartość K w dowolnym punkcie s1 na linii pierwiastkowej
może być wyznaczona przy użyciu równania (11).
Wszystkie ważne własności konstruowania linii pierwiastkowych zebrane zostały w tabeli 1.
Tabela1. Własności linii pierwiastkowych 1
KG(s) H (s) 0
1. Punkty dla K = 0
Punkty dla K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s), obejmując
również takie które znajdują się w s = .
2. Punkty dla K=
Punkty dla K=
są zerami transmitancji G(s)H(s), zawierając
również te które znajdują się w s = .
3. Liczba oddzielnych linii
pierwiastkowych
Całkowita liczba linii pierwiastkowych jest równa rzędowi równania
M(s) = 0.
4. Symetria linii
pierwiastkowych
Linie pierwiastkowe są symetryczne wzdłuż osi
konfiguracji zero-biegunowej transmitancji KG (s)H(s).
5. Asymptoty linii
pierwiastkowych gdy
s
Dla dużych wartości s, linie pierwiastkowe (K > 0) są zbieżne do
asymptot, których kąty są wyznaczane z następujących zależności:
i
2i 1
n m
symetrii
180 o
Dla linii pierwiastkowych (K < 0),
2i
i
n
m
180 o
gdzie
i = 0, 1, 2, ..., n m 1 ;
n = liczba skończonych biegunów transmitancji G(s)H(s)
m = liczba skończonych zer transmitancji G(s)H(s)
6. Punkt przecięcia
asymptot
(a) Punkt przecięcia asymptot występuje tylko na
rzeczywistych
(b) Punkt przecięcia asymptot wyznaczany jest ze wzoru
biegunów
transmitan cji
G(s) H (s)
a
n
zer transmitan cji
osi liczb
G(s) H ( s)
m
7. Linie pierwiastkowe na
osi liczb rzeczywistych
Linia pierwiastkowa (K > 0) występuje w tych odcinkach osi liczb
rzeczywistych dla których suma rzeczywistych zer i biegunów
transmitancji G(s)H(s) z prawej strony tego odcinka jest nieparzysta.
Jeśli całkowita liczba zer i biegunów z prawej strony odcinka jest
parzysta, wówczas występuje linia pierwiastkowa dla (K < 0).
8. Kąty wejścia i wyjścia
Kąty wejścia lub wyjścia linii pierwiastkowej do bieguna lub zera
transmitancji G(s)H(s) mogą być wyznaczone przy założeniu
punktu, który jest bardzo blisko rozważanego bieguna lub zera przez
zastosowanie równania
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
7
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
m
n
G( s1 ) H (s1 )
( s1
zk )
k 1
Matlab
(s1
pj)
(2i 1) 180 o (K > 0)
(s1
pj)
2i 180 o
j 1
m
n
G( s1 ) H (s1 )
( s1
zk )
k 1
(K < 0)
j 1
gdzie i = 0, 1, 2, 3, ....
9. Punkty przecięcia linii
pierwiastkowych z osią
liczb urojonych
Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych
odpowiadają wartościom K, które mogą być wyznaczone przy
użyciu kryterium Routha.
10. Punkty rozgałęzień
Punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej są wyznaczane z
zależności dK ds 0 , lub dG ( s) H ( s) ds 0 . Są to tylko warunki
konieczne.
11. Obliczenie wartości K
na podstawie linii
pierwiastkowej
Wartość bezwzględną K w pewnym punkcie s1 należącym do linii
pierwiastkowej, wyznaczane są na podstawie zależności
K
1
G ( s1 ) H ( s1 )
Poniższy przykład podsumowuje wszystkie własności zebrane w tabeli 1.
Przykład 1
Naszkicuj linie pierwiastkowe dla poniższego układu regulacji (rys. 1.1).
R(s)
K
s+1
s +3s +16s2 20s
4
Y(s)
3
Rys. 1.1. Schemat blokowy rozważany układu regulacji
Rozwiązanie: Transmitancja rozwartej pętli ma postać
KG ( s) H ( s)
s
4
K ( s 1)
3s 3 16 s 2
20 s
K ( s 1)
s( s 1)( s 2 4s
20)
(1.1)
Własności linii pierwiastkowej zebrane są w tabeli 1, dla tego przypadku wyznaczane są
następująco:
1. Lokowanie biegunów na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Punkty w których K = 0 są
biegunami transmitancji KG(s)H(s): p1 = 0, p2 = 1, p3 = 2+ j4, p4 = 2 j4.
2. Umieszczenie zer na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Punkty w których K =
są zerami
transmitancji KG(s)H(s): z1 = 1, z2,3,4 = , , .
3. Są cztery oddzielne gałęzie linii pierwiastkowych.
4. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s.
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
8
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
5. Określenie kątów asymptot linii pierwiastkowych. Transmitancja KG(s)H(s) ma cztery
bieguny i jedno skończone zero, czyli trzy gałęzie linii pierwiastkowych osiągają
nieskończoność wzdłuż asymptot. Kąty asymptot linii pierwiastkowych (dla K > 0)
wyznaczane są z równania (12)
2i 1
n m
i
2i 1
180 o
4 1
180 o
(1.2)
0 K
dla i = 0, 1, 2. Są trzy linie pierwiastkowe, które osiągają nieskończoność wzdłuż asymptot
pod kątami: 60 , 180 , 300 . Kąty asymptot linii pierwiastkowych (K < 0) wyznaczane są
z równania (13)
2i
i
2i
180 o
4 1
180 o
n m
(1.3)
K 0
dla i = 0, 1, 2. Kiedy K osiąga
, wówczas trzy linie pierwiastkowe osiągają
nieskończoność wzdłuż asymptot pod kątami: 0 , 120 , 240 .
6. Wyznaczenie punktu przecięcia asymptot na osi liczb rzeczywistych. Punkt przecięcia
asymptot wyznaczany jest z równania (14)
(0 1 2 2) ( 1)
1
0.6667
3
(1.4)
7. Linie pierwiastkowe na osi liczb rzeczywistych. Odcinki linii pierwiastkowych (K>0) na osi
liczb rzeczywistych znajdują się w przedziałach
< s <
oraz 0 < s < . Pozostałe
odcinki linii pierwiastkowych na osi liczb rzeczywistych (K<0) znajdują się w przedziałach
1 < s < 0 oraz 1 < s < .
8. Kąty wyjścia: Kąt wyjścia 3 linii pierwiastkowej z bieguna p3 = 2+j4 jest wyznaczany przy
użyciu równania (9). Jeśli s1 jest punktem na linii pierwiastkowej opuszczającej biegun
2+j4, natomiast punkt s1 jest bardzo blisko bieguna.
( s1
z1 )
( s1
1)
s1
p1 )
( s1
p2 )
( s1
p3 )
( s1
p4 )
(2i 1) 180 o
(1.5)
czyli
( s1
( s1 1)
( s1
2
j 4)
( s1
2
j 4)
(2i 1) 180 o
(1.6)
90 o
(2i 1) 180 o
(1.7)
90 o
(1.8)
lub
1
1
2
3
104.0 o
4
116.6 o
126.9 o
4
dla i = 0, 1, 2, 3, ..... Wybierając i = 0, otrzymuje się
3
180
1
1
2
180 o
4
104.0 116.6 o
126 .9 o
49.4 o
W podobny sposób równanie (10) jest wykorzystywane do określenia kąta wejścia linii
pierwiastkowej (K < 0) do bieguna p3 = 2+j4. Kąt ten wyznaczany jest w bardzo łatwy
sposób, gdyż kąt
'
3
różni się od kąta
'
3
180 o
3
3
o 180 ; więc
180 o
49.4 o
130 .6 o
(1.9)
9. Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią urojoną wyznaczane są przy użyciu kryterium
Routha. Równanie charakterystyczne dla tego układu
s4
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
3s 3
16 s 2
(K
20) s
M. Tomera
K
0
(1.10)
9
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
Tablica Routha
s4
s3
1
3
16
K 20
68
s2
K2
s1
s0
K
K
3
79 K 1360
68 K
K
K
Aby równanie (1.10) nie miało pierwiastków na osi liczb urojonych ani w prawej
półpłaszczyźnie, wówczas wszystkie elementy pierwszej kolumny tablicy Routha muszą
mieć ten sam znak. Czyli spełnione muszą być następujące zależności
K
2
68 K > 0 lub K < 68
79 K 1360 0 lub 25.349 < K < 53.651
K>0
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Czyli wszystkie pierwiastki równania (1.10) pozostaną w lewej półpłaszczyźnie, jeśli K
będzie przyjmowało wartość z zakresu pomiędzy 25.349 < K < 53.651 co oznacza, że linia
pierwiastkowa będzie przecinać oś liczb urojonych kiedy K = 25.349 oraz K = 53.651.
Współrzędne punktów przecięcia na osi liczb urojonych, są wyznaczane z następującego
równania pomocniczego.
68 K
p( s)
s2 K 0
(1.14)
3
Równanie (1.14) zostało uzyskane przez użycie współczynników z wiersza znajdującego się
bezpośrednio nad wierszem zerowym w s 1 , który powstaje gdy K = 25.349 lub K = 53.651.
Podstawiając K = 25.349 do równania (1.14), otrzymuje się
14.217 s 2
25.349 0
(1.15)
Pierwiastkami równania (1.15) są s = j1.3353 oraz j1.3353, które są punktami w których
linia pierwiastkowa przecina oś liczb urojonych.
Podstawiając K = 53.651 do równania (1.14), otrzymuje się
4.783s 2
53.651 0
(1.16)
Pierwiastkami równania (1.16) są s = j3.3492 oraz j3.3492, które również są punktami
w których linia pierwiastkowa przecina oś liczb urojonych.
10. Punkty rozgałęzień: Aby wyznaczyć punkty rozgałęzień należy poddać obustronnej operacji
różniczkowania zależność (1.1) przy K = 1 względem s i przyrównać to do zera; wówczas
uzyskuje się następujące równanie
3s 4
10s 3
25s 2
32s
20 0
(1.17)
Pierwiastki uzyskane z rozwiązania równania (1.17) są następujące
s=
s=
s=
s=
0.7443 + j2.4584
0.7443 j2.4584
2.2866
0.4419
Czyli na osi liczb rzeczywistych są dwa punkty rozgałęzień. Pozostałe dwa nie znajdują się
na liniach pierwiastkowych i dlatego nie są punktami rozgałęzień Bazując na informacjach
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
10
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
uzyskanych w ostatnich dziesięciu krokach, linie pierwiastkowe dla rozważanego w tym
przykładzie układu regulacji pokazane są na rysunku 1.1.
W celu dokładnego wyznaczenia linii pierwiastkowych można sobie pomóc
korzystając z funkcji rlocus znajdującej się w bibliotece Matlaba.
10
Im s
K
K
8
K<0
K>0
6
K=0
4
j3.353 (K=53.651)
s1 2.4419
2
K
K>0
0
K>0
s2 = 0.4419
j1.335 (K=25.349)
K=0 K=0
K>0
K<0
K
Re s
j1.335 (K=25.349)
-2
a= 0.667
K>0
j3.353 (K=53.651)
-4
K=0
-6
K>0
K<0
-8
K
K
-10
-10
-8
-6
-4
Rys. 10. Linie pierwiastkowe s 4
-2
3s 3 16s 2
0
2
( K 20) s K
4
6
8
10
0
Kod źródłowy zapisany w języku Matlaba przy użyciu którego uzyskane zostały powyższe
wyniki.
clear
m = 1;
%
z1 = -1;
%
n = 4;
%
p1 = 0;
%
p2 = 1;
p3 = -2+4*i;
p4 = -2-4*i;
Liczba zer transmitancji
Zero transmitancji
Liczba biegunów transmitancji
Bieguny transmitancji
% Licznik transmitancji pętli otwartej
num = [1 -z1]
% Mianownik transmitancji pętli otwartej
den = conv( conv([1 -p1],[1 -p2]), conv( [1 -p3], [1 -p4]))
% Transmitancja pętli otwartej
G=tf( num, den)
% Punkt przecięcia asymptot
sigma = (p1 + p2 + p3 + p4 - z1)/(n-m)
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
11
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
% Wyznaczenie kąta wyjścia z punktu -2 + j4
fi_1 = angle(p3 - z1)*180/pi
theta_1 = angle(p3 - p1)*180/pi
theta_2 = angle(p3 - p2)*180/pi
theta_4 = angle(p3 - p4)*180/pi
theta_3_wyj = 180 + fi_1 - theta_1 - theta_2 - theta_4
% Wyznaczenie kąta wejścia do punktu -2 + j4
theta_3_wej = 180 + theta_3_wyj
% Kryterium Routha
% b1 - współczynnik tablicy Routha
b1 = [0 3*16] - [1 -20]
roots_b1 = roots(b1)
% c1 - współczynnik tablicy Routha
c1 = conv(b1, [1 -20]) - [0 9 0]
roots_c1 = roots(c1)
% K1, K2 - wartości K przy których pojawiają się bieguny na osi
K1 = roots_c1(1)
K2 = roots_c1(2)
% Wyznaczenie pierwszej pary punktów przecięcia z osią urojoną
K = K1;
ps1 = [(68-K)/3 0 K]
roots_ps1 = roots( ps1)
% Wyznaczenie drugiej pary punktów przecięcia z osią urojoną
K = K2;
ps2 = [(68-K)/3 0 K]
roots_ps2 = roots( ps2)
% Wyznaczenie punktów rozgałęzień
a0 = den(5);
a1 = den(4);
a2 = den(3);
a3 = den(2);
a4 = den(1);
breakaway_points = den - conv([4*a4 3*a3 2*a2 a1], num)
roots( breakaway_points)
ĆWICZENIA
M1. Dla każdego z poniższych układów sterowania dla których podane są zera i bieguny
transmitancji pętli G(s)H(s) Skonstruuj linie pierwiastkowe wyznaczając:
Punkt przecięcia asymptot,
Kąty asymptot,
Punkty rozgałęzień,
Kąty wejścia i wyjścia linii pierwiastkowych do biegunów i zer znajdujących się poza osią liczb
rzeczywistych
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych
Na podstawie wykreślonych linii pierwiastkowych i kryterium Routha określ
Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układy te są stabilne
Wartość wzmocnienia krytycznego K kr przy którym w układzie pojawiają się oscylacje o stałej
amplitudzie oraz okres tych oscylacji Tosc .
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
12
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
Równanie charakterystyczne uzyskiwane jest przez przyrównanie licznika wyrażenia 1+KG(s)H(s)
do zera.
a) Bieguny: s = 0, 5, 6; zero: s = 8.
b) Bieguny: s = 0, 1, 3, 4; brak skończonych zer.
c) Bieguny: s = 0, 0, 2, 2; zero: s = 4.
d) Bieguny: s = 0, 1 + j, 1
j; zero: s = 2.
e) Bieguny: s = 0, 1 + j, 1
j; zero: s = 5.
f) Bieguny: s = 0, 1 + j, 1
j, 4; brak skończonych zer.
g) Bieguny: s = 0, 0, 8, 8; zera: 4, 4.
h) Bieguny: s = 0, 0, 8, 8; brak skończonych zer.
i) Bieguny: s = 0, 0, 8, 8; zera: 4 + j2, 4
j2
j) Bieguny: s = 0, 1, 2; zera: 1.
k) Bieguny: s = j, j, j2, j2; zera: 2, 2.
l) Bieguny: s = 0, 0, 0, 1; zera: 1, 2, 3.
M2. Dla każdego z poniższych układów sterowania dla których podane są zera i bieguny
transmitancji pętli G(s)H(s) Skonstruuj linie pierwiastkowe wyznaczając:
Punkt przecięcia asymptot,
Kąty asymptot, dla K > 0 oraz K < 0
Punkty rozgałęzień,
Kąty wejścia i wyjścia linii pierwiastkowych do biegunów i zer znajdujących się poza osią liczb
rzeczywistych
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych
Na podstawie wykreślonych linii pierwiastkowych i kryterium Routha określ
Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układy te są stabilne
Wartość wzmocnienia krytycznego K kr przy którym w układzie pojawiają się oscylacje o stałej
amplitudzie oraz okres tych oscylacji Tosc .
a) G( s) H (s)
b) G( s) H ( s)
c) G( s) H (s)
d) G(s) H (s)
e) G(s) H (s)
f) G ( s) H ( s)
g) G ( s) H ( s)
s
4
s4
s4
s4
s4
K ( s 1)
5s 3 9 s 2 7 s 2
K ( s 2)
4s 3 3s 2 2s
K ( s 2)
4s 3 7 s 2 6s 2
K (s 3)
4s 3 6s 2 4s
K ( s 1)
3
5s 13s 2 14 s 6
K ( s 2 4s 5)
s 4 2 s 3 5s 2
K ( s 2 2s 10)
s 4 4s 3 6s 2
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
13
Teoria sterowania
h) G ( s) H ( s)
i) G ( s) H ( s)
j) G ( s ) H ( s)
Linie pierwiastkowe
Matlab
K ( s 2 3s 2)
s 4 2 s 3 5s 2
K (s 2
s 4 3s 3
s4
3s 2)
3s 2 12 s
K ( s 2 3s)
4s 3 9s 2 10 s
3
4
2
k) G( s) H ( s)
K ( s 11s
38s 40)
4
3
2
s
3s
4s
2s 5
l) G ( s) H ( s)
K (2s 3 15s 2 7 s
s 4 5s 3 6 s 2
4)
ODPOWIEDZI DO ĆWICZEŃ
M1.
K ( s 8)
s( s 5)(s 6)
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 1.5,
Kąty asymptot: dla K > 0, i = 90 , 270 ; dla K < 0;
a) KG ( s) H ( s)
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 2.2178; dla K < 0, s 2 = 9.7098, s 3 = 5.5724.
Stabilny: 0 < K <
K
s( s 1)(s 3)(s 4)
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 2,
Kąty asymptot: dla K > 0, i = 45 , 135 , 225 , 315 ; dla K < 0;
b) KG ( s) H ( s)
i
= 0 , 90 , 180 , 270 , i = 0, 1, 2, 3.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 3.5811, s 2 = 0.4189; dla K < 0, s 3 = 2.
j
j1.2247 dla K = 26.25
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
Stabilny: 0 < K < 26.25
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 26.25, Okres oscylacji: Tosc = 5.130 [s]
c) KG ( s) H ( s )
K ( s 4)
s 2 ( s 2) 2
Punkt przecięcia asymptot:
Kąty asymptot: dla K > 0,
1
i
= 0,
= 60 , 180 , 300 ; dla K < 0;
i
= 0 , 120 , 240 , i = 0, 1, 2.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 4.9141, s 2 = 2, s 3 = 0; dla K < 0, s 4 = 1.0851.
Niestabilny dla każdego K.
K (s 2)
s(s 2s 2)
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 0,
Kąty asymptot: dla K > 0, i = 90 , 270 ; dla K < 0; i = 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K < 0, s1 = 2.8393.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 1+j: = 0
d) KG ( s) H ( s)
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 1+j:
Stabilny: 0 < K <
K ( s 5)
s(s 2s 2)
Punkt przecięcia asymptot:
'
= 180
e) KG ( s) H ( s)
1
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
= 1.5,
M. Tomera
14
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
= 90 , 270 ; dla K < 0;
i
Matlab
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K < 0, s1 = 7.2091.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 1+j:
= 31
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 1+j: ' = 149
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
j
j1.8257 dla K = 1.333
Stabilny: 0 < K < 1.333
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 1.333, Okres oscylacji: Tosc = 3.441 [s]
K
f) KG ( s) H ( s)
s( s 4)(s 2 2s 2)
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 1.5,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
= 45 , 135 , 225 , 315 ; dla K < 0;
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 3.0922.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 1+j:
i
= 0 , 90 , 180 , 270 , i = 0, 1, 2, 3.
= 63.4349
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 1+j: ' = 116.5651
j
j1.1547 dla K = 11.5556
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
Stabilny: 0 < K < 11.5556
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 11.5556, Okres oscylacji: Tosc = 5.4414 [s]
g) KG ( s) H ( s)
K ( s 4) 2
s 2 ( s 8) 2
Punkt przecięcia asymptot:
Kąty asymptot: dla K > 0,
1
i
=
,
= 90 , 270 ; dla K < 0;
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 8, s 2 = 0, s 3 = 4+j4.899, s 4 = 4 j4.899; dla K < 0, s 5 = 4.
Stabilny: 0 < K <
K
s ( s 8)2
Punkt przecięcia asymptot: 1 = ,
Kąty asymptot: dla K > 0, i = 90 , 270 ; dla K < 0; i = 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 8, s 2 = 0; dla K < 0, s 3 = 4.
Niestabilny dla każdego K.
h) KG ( s) H ( s)
i) KG ( s) H ( s )
2
K (s 2
8s 20)
2
s ( s 8) 2
Punkt przecięcia asymptot:
Kąty asymptot: dla K > 0,
1
i
=
,
= 90 , 270 ; dla K < 0;
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 8, s 2 = 0, s 3 = 4+j4.899, s 4 = 4 j4.899; dla K < 0, s 5 = 4.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z zera (K < 0) s = 4+j2: = 270
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K > 0) 4+j2:
Stabilny: 0 < K <
K ( s 1)
s( s 1)(s 2)
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 2
Kąty asymptot: dla K > 0, i = 90 , 270 ; dla K < 0;
'
= 90
j) KG ( s) H ( s)
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 1.5321, s 2 = 0.3473; dla K < 0, s 3 = 1.8794
j
j 0.7071 dla K = 1.5
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
Stabilny: 1.5 < K < 0
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 1.5, Okres oscylacji: Tosc = 8.8858 [s]
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
15
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
K (s 2
k) KG ( s ) H ( s)
(s
2
1)(s
Matlab
4)
2
2)
Punkt przecięcia asymptot:
Kąty asymptot: dla K > 0,
1
i
=0
= 90 , 270 ; dla K < 0;
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 0; dla K < 0, s 2 = 3.2132; s 3 = 3.2132, s 4 = j1.5246, s 5 = j1.5246
Na granicy stabilności: 0.3509 < K < 1
l) KG ( s ) H ( s)
K (s 3
6s 2 11s 6)
s 3 ( s 1)
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 9.0723, s 2 = 1.2103, s 3 = 0, s 4 = 0.6830;
dla K < 0, s 5 = 2.4004, s 6 = 0.
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1, 2
s 3,4
j 4.079 dla K = 2.9506,
j
j
j 0.0339 dla K = 0.0339
Stabilny: 2.9506 < K <
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 2.9506, Okres oscylacji: Tosc = 1.5403 [s]
M2.
a) Bieguny: s = 2, 1, 1, 1,
Zera: s = 1
Punkt przecięcia asymptot:
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
1
= 2,
= 60 , 180 , 300 ; dla K < 0;
i
= 0 , 120 , 240 , i = 0, 1, 2.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 1.7321, s 2 = 1, s 3 = 1.7321; dla K < 0, s 4 = 1.
Kąt wejścia i wyjścia linii pierwiastkowej do bieguna lub zera znajdującego się poza osią liczb
rzeczywistych: brak takich zer lub biegunów
j
j 0.8219 dla K = 3.6228,
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
s 3,4
j
j3.6503 dla K = 59.6228
Stabilny: 2 < K < 3.6228
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 3.6228, Okres oscylacji: Tosc = 7.6451 [s]
b) Bieguny: s = 0, 3.2695, 0.3652+j0.6916, 0.3652 j0.6916,
Zera: s = 2
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 0.6667,
Kąty asymptot: dla K > 0, i = 60 , 180 , 300 ; dla K < 0; i = 0 , 120 , 240 , i = 0, 1, 2.
Punkty rozgałęzień: brak
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 0.3652+j0.6916: = 18.3017
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 0.3652+j0.6916: ' = 161.6983
j
j 0.8376 dla K = 0.8062,
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
Stabilny: 0 < K < 0.8062
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 0.8062, Okres oscylacji: Tosc = 7.5015 [s]
c) Bieguny: s = 1, 1, 1 j,
Zera: s = 2
Punkt przecięcia asymptot:
Kąty asymptot: dla K > 0,
1 j,
1
i
= 0.6667,
= 60 , 180 , 300 ; dla K < 0;
i
= 0 , 120 , 240 , i = 0, 1, 2.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 2.4271, s 2 = 1, dla K < 0, brak
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 1+j1:
= 45
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 1+j1: ' = 135
j
j1.6436 dla K = 4.8062,
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
Stabilny: 1 < K < 4.8062
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 4.8062, Okres oscylacji: Tosc = 3.8227 [s]
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
16
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
d) Bieguny: s = 0, 2, 1 j, 1 j,
Zera: s = 3
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 0.3333,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
= 60 , 180 , 300 ; dla K < 0;
i
= 0 , 120 , 240 , i = 0, 1, 2.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 3.6487, s 2 = 1.5391, dla K < 0, brak
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 1+j1:
= 63.4349
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 1+j1: ' = 116.5651
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
j
j1.2580 dla K = 2.3303,
Stabilny: 0 < K < 2.3303
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 2.3303, Okres oscylacji: Tosc = 4.9946 [s]
e) Bieguny: s = 0.8425+j0.4634, 0.8425 j0.4634, 1.6575+j1.9345, 1.6575 j1.9345
Zera: s = 1
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 2
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
= 60 , 180 , 300 ; dla K < 0;
i
= 0 , 120 , 240 , i = 0, 1, 2.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 0.9381; dla K < 0, s 2 = 1.8672
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 0.8425+j0.4634:
s = 1.6575+j1.9345:
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 0.8425+j0.4634:
s = 1.6575+j1.9345:
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
j
s3,4
1=
65.668
3 = 6.189
'
1 = 245.668
'
3 = 186.189
j1.0908 dla K = 8.0512,
j
j 4.1000 dla K = 70.0512
Stabilny: 8.0512 < K < 6
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 8.0512, Okres oscylacji: Tosc = 5.7604 [s]
f) Bieguny: s = 0, 0, 1+j2, 1 j2
Zera: s = 2 j, 2 j
Punkt przecięcia asymptot: 1 =
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
= 90 , 270 ; dla K < 0;
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 0; dla K < 0, brak
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 1+j2: = 26.5651
z zera (K < 0) s = 2+j: = 190.3048
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 1+j2: ' = 153.4349
do zera (K > 0) s = 2+j: ' = 10.3048
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
j
j 2.2361 dla K = 2.5,
Stabilny: 0 < K < 2.5
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 2.5, Okres oscylacji: Tosc = 2.8099 [s]
g) Bieguny: s = 0, 0, 2+j1.4142, 2 j1.4142
Zera: s = 1 j3, 1 j3
Punkt przecięcia asymptot: 1 =
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
= 90 , 270 ; dla K < 0;
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 0; dla K < 0, brak
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 2+j1.4142: = 141.0576
z zera (K < 0) s = 2+j: = 261.8699
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 2+j1.4142: ' = 38.9424
do zera (K < 0) s = 2+j: ' = 81.8699
j
j3.7414 dla K = 28,
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
Stabilny: 28 < K <
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 28, Okres oscylacji: Tosc = 1.6793 [s]
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
17
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Matlab
h) Bieguny: s = 0, 0, 1+j2, 1 j2
Zera: s = 2, 1
Punkt przecięcia asymptot: 1 =
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
= 90 , 270 ; dla K < 0;
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 1.3185, s 2 = 0; dla K < 0, brak
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) s = 1+j2: = 10.3048
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) s = 1+j2: ' = 190.3048
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
j
j3.3166 dla K = 7.3333,
Stabilny: 0 < K < 7.3333
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 7.3333, Okres oscylacji: Tosc = 1.8945 [s]
i) Bieguny: s = 0, 3.2240, 0.1120+j1.9260, 0.1120 j1.9260
Zera: s = 2, 1
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 3
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
= 90 , 270 ; dla K < 0;
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 1.3144, s 2 = 1.339; dla K < 0, s 3 = 4.1642
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.1120+j1.9260: = 222.5092
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.1120+j1.9260: ' = 42.5092
j
j1.8113 dla K = 0.7192,
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
s 3,4
j
j1.1042 dla K = 2.7808
Stabilny: 0.7192 < K < 2.7808
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 0.7192, Okres oscylacji: Tosc = 3.4689 [s]
K kr = 2.7808, Okres oscylacji: Tosc = 5.6903 [s]
j) Bieguny: s = 1, 1, 1+j1.7321, 1 j1.7321
Zera: s = 3, 0
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 0.5
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
= 90 , 270 ; dla K < 0;
i
= 0 , 180 , i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, brak; dla K < 0, s1 = 4.1281, s 2 = 1, s 3 = 0.6641
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 1+j1.7321: = 70.8934
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 1+j1.7321: ' = 109.1066
j
j 0.8239 dla K = 2.4283,
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
Stabilny: 2.4283 < K <
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 2.4283, Okres oscylacji: Tosc = 7.6263 [s]
k) Bieguny: s = 1.7207+j1.1898, 1.7207 j1.1898, 0.2207+ j1.0458, 0.2207 j1.0458
Zera: s = 5, 4, 2
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 8
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
=180 ; dla K < 0;
i
= 0 , i = 0.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 13.1383, s 2 = 2.4157; dla K < 0, s 3 = 4.4246, s 4 = 0.2879
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 1.7207+ j1.1898: 1 = 267.5688
0.2207+ j1.0458:
3
'
1=
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 1.7207+j1.1898:
0.2207+ j1.0458:
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2
j
= 95.6748
'
3
87.5688
= 275.6748
j 2.9539 dla K = 0.8259,
Stabilny: 0.8259 < K <
Wzmocnienie krytyczne: K kr = 0.8259, Okres oscylacji: Tosc = 2.1271 [s]
l) Bieguny: s = 3, 2, 0, 0
Zera: s = 7.0434, 0.2283+j0.4815, 0.2283 j0.4815
Punkt przecięcia asymptot: 1 = 2.5
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
18
Teoria sterowania
Kąty asymptot: dla K > 0,
Linie pierwiastkowe
i
=180 ; dla K < 0;
i
Matlab
= 0 , i = 0.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, s1 = 11.6916, s 2 = 2.5223; s 3 = 0, dla K < 0, s 4 = 0.6514
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z zera (K < 0) 0.2283+j0.4815:
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do zera (K > 0) 0.2283+j0.4815:
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: brak
Stabilny: 0 < K <
= 161.7542
'
= 18.2458
LITERATURA
1. Dorf R.C., Bishop R.H. Modern Control Systems. Addison-Wesley Longman, 1998.
2. Evans W.R. "Graphical Analysis of Control Systems", Transaction of AIEE, Vol. 67, pp. 547-551,
1948.
3. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems.
Addison-Wesley Publishing Company, 1986
4. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
5. Nise N.S. Control Systems Engineering. 3th ed. John Wiley&Sons Inc., 2000.
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
19