dowody niektórych twierdze ´n dotycz ˛acych

D ODATEK 1:
D OWODY N IEKTÓRYCH
T WIERDZE Ń D OTYCZ ACYCH
˛
S EMANTYKI
K LASYCZNEGO R ACHUNKU Z DA Ń
2.2. T WIERDZENIE O D EDUKCJI W PROST (wersja semantyczna).
Dla dowolnych X ⊆ FKRZ , α ∈ FKRZ , β ∈ FKRZ zachodza˛ nast˛epujace
˛ implikacje:
• (a) Jeśli X ∪ {α} |=KRZ β, to X |=KRZ α → β.
• (b) Jeśli X |=KRZ α → β, to X ∪ {α} |=KRZ β.
D OWÓD . Dowód zarówno (a), jak i (b) prowadzimy metoda˛ nie wprost. Obraz zbioru
X wzgl˛edem funkcji h oznaczać b˛edziemy przez h[X].
(a) Załóżmy, że X ∪ {α} |=KRZ β i przypuśćmy, że X 2KRZ α → β. Istnieje
zatem wartościowanie h takie, że:
• h[X] ⊆ {1}
• h(α → β) = 0.
Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pami˛etamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów
jest suma˛ obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
h[X ∪ {α}] = h[X] ∪ {h(α)} ⊆ {1}.
Stad,
˛ ponieważ założono, że X ∪{α} |=KRZ β, mamy h(β) = 1, co przeczy równości
h(β) = 0 otrzymanej z poczynionego przypuszczenia. Ostatecznie, X |=KRZ α → β.
(b) Załóżmy, że X |=KRZ α → β i przypuśćmy, że X ∪ {α} 2KRZ β. Istnieje
zatem wartościowanie h takie, że:
• h[X ∪ {α}] ⊆ {1}
• h(β) = 0.
Jak pami˛etamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest suma˛ obrazów tych zbiorów.
Tak wi˛ec, skoro h[X] ∪ {h(α)} = h[X ∪ {α}] ⊆ {1}, to:
1
• h[X] ⊆ {1}
• h(α) = 1.
Skoro h(α) = 1 oraz h(β) = 0, to h(α → β) = 0. Z drugiej strony, ponieważ
X |=KRZ α → β oraz h[X] ⊆ {1}, to h(α → β) = 1. Otrzymujemy sprzeczność.
Ostatecznie, X ∪ {α} |=KRZ β.
Q.E.D.
2.3. T WIERDZENIE O D EDUKCJI N IE W PROST (wersja semantyczna).
Dla dowolnych X ⊆ FKRZ , α ∈ FKRZ , β ∈ FKRZ zachodza˛ nast˛epujace
˛ równoważności:
• (a) X ∪ {α} |=KRZ {β, ¬β} wtedy i tylko wtedy, gdy X |=KRZ ¬α.
• (b) X ∪ {¬α} |=KRZ {β, ¬β} wtedy i tylko wtedy, gdy X |=KRZ α.
D OWÓD . Przedstawimy dowód (nie wprost) równoważności (a). Dowód (b) jest analogiczny.
(a)(⇒) Załóżmy, że X ∪ {α} |=KRZ {β, ¬β} i przypuśćmy, że X 2KRZ ¬α.
Wtedy istnieje wartościowanie h takie, że:
• h[X] ⊆ {1}
• h(¬α) = 0, czyli h(α) = 1.
Jak pami˛etamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest suma˛ obrazów tych zbiorów.
Mamy zatem:
h[X ∪ {α}] = h[X] ∪ {h(α)} ⊆ {1}.
Z h[X ∪{α}] ⊆ {1} i z X ∪{α} |=KRZ {β, ¬β} wynika, że h[{β, ¬β})] ⊆ {1}, czyli
że h(β) = 1 oraz h(¬β) = 1. To jednak jest sprzeczne z definicja˛ wartościowania.
Ostatecznie, X |=KRZ ¬α.
(a)(⇐) Załóżmy, że X |=KRZ ¬α i przypuśćmy, że X ∪ {¬α} 2KRZ {β, ¬β}.
Istnieje zatem wartościowanie h takie, że:
• h[X ∪ {α}] ⊆ {1}
• h[{β, ¬β}] − {1} 6= ∅.
Ponieważ h[X ∪ {α}] ⊆ {1}, wi˛ec h[X] ⊆ {1} oraz h(α) = 1. W konsekwencji,
h(¬α) = 0. A to oznacza, że X 2KRZ ¬α, co przeczy poczynionemu założeniu.
Ostatecznie, X ∪ {α} |=KRZ {β, ¬β}.
Q.E.D.
2
4.1. T WIERDZENIE O P OSTACIACH N ORMALNYCH .
Każda funkcja prawdziwościowa jest przedstawialna zarówno w koniunkcyjnej, jak
i w alternatywnej postaci normalnej.
D OWÓD . Pokażemy, że dowolna funkcja f : {0, 1}n → {0, 1} jest przedstawialna w
alternatywnej postaci normalnej. Stosujemy zapis metaj˛ezykowy (a wi˛ec nie używamy
wyrażeń postaci f ).
Możliwe sa˛ dwa przypadki:
(a) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 dla wszystkich x1 , x2 , . . . , xn . Wtedy f jest przedstawialna np. jako pojedyncza koniunkcja elementarna:
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = Kn(x1 , N g(x1 )).
(b) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = 1 dla co najmniej jednego układu argumentów. Niech
A = {(ai1 , ai2 , . . . , ain ) : 1 6 i 6 k ∧ f (ai1 , ai2 , . . . , ain ) = 1}
b˛edzie zbiorem tych wszystkich układów argumentów, dla których f przyjmuje wartość 1.
Dla każdego 1 6 i 6 k tworzymy koniunkcj˛e elementarna˛ Ki postaci:
Li1 ∧ Li2 ∧ . . . ∧ Lin
gdzie Lij ma postać xj , gdy aij = 1, a postać N g(xj ), gdy aij = 0. Wtedy Ki przyjmuje
wartość 1 dla każdego układu argumentów (ai1 , ai2 , . . . , ain ) ze zbioru A, a wartość 0
dla wszystkich pozostałych układów argumentów. Zachodzi równość:
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = Al(K1 , K2 , . . . , Kk )
dla dowolnego układu argumentów x1 , x2 , . . . , xn . Równość ta jest szukanym przedstawieniem funkcji f w alternatywnej postaci normalnej.
Dla znalezienia koniunkcyjnej postaci normalnej przedstawiajacej
˛ f modyfikujemy
powyższy dowód, zast˛epujac
˛ wsz˛edzie Al przez Kn oraz Kn przez Al, a także zamieniajac
˛ role 0 i 1.
Q.E.D.
Twierdzenie 4.2. (O R EPREZENTACJI PRZEZ W IELOMIANY Ż EGAŁKINA .)
Każda funkcja prawdziwościowa ma dokładnie jedno przedstawienie w postaci
wielomianu Żegałkina (z dokładnościa˛ do kolejności czynników w jednomianach oraz
składników w wielomianie).
D OWÓD . Należy udowodnić, że dla każdej funkcji prawdziwościowej
f : {0, 1}n → {0, 1}
istnieje dokładnie jeden zbiór
{M1 , M2 , . . . , Mk }
3
różnych jednomianów taki, że
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = M1 + M2 + . . . + Mk ,
gdzie +, jak pami˛etamy, jest alternatywa˛ rozłaczn
˛ a˛ Ar (dodawaniem modulo 2).
Każdy jednomian zbudowany ze zmiennych x1 , x2 , . . . , xn może być utożsamiany
z podzbiorem tego zbioru zmiennych (zbiór pusty niech odpowiada stałej 1). Istnieje
zatem 2n takich jednomianów. Z kolei wielomiany Żegałkina (sumy jednomianów)
moga˛ być utożsamiane z podzbiorami tego zbioru jednomianów (gdzie zbiór pusty
n
odpowiada stałej 0). Tak wi˛ec, istnieje 22 różnych wielomianów Żegałkina, czyli
dokładnie tyle samo, ile jest n-argumentowych funkcji prawdziwościowych.
Dwa różne wielomiany nie moga˛ przedstawiać tej samej funkcji prawdziwościowej, bo gdyby tak było, to istniałaby funkcja prawdziwościowa nieprzedstawialna żadnym wielomianem Żegałkina. Istnienie takiej funkcji jest wykluczone poprzez to, że
układ {+, ·, 1} (czyli układ {Ar, Kn, 1}) jest zupełny.
Ostatecznie, każda˛ funkcj˛e prawdziwościowa˛ można przedstawić za pomoca˛ dokładnie jednego wielomianu Żegałkina.
Q.E.D.
Twierdzenie 4.3. (O B INEGACJI I K RESCE S HEFFERA .)
Jedyne zupełne jednoelementowe układy funkcji to: {|} oraz {↓}.
D OWÓD . Przypomnijmy, że:
N g(x) = |(x, x)
N g(x) =↓ (x, x)
Al(x, y) =↓ (↓ (x, y), ↓ (x, y))
Kn(x, y) = |(|(x, y), |(x, y))
Stad,
˛ oraz z faktu, że układ {N g, Kn} (a także układ {N g, Al}) jest zupełny, otrzymujemy, że zarówno {|}, jak i {↓} sa˛ układami zupełnymi.
Pokażemy teraz, że dla każdego jednoelementowego układu zupełnego {f } złożonego z funkcji f : {0, 1}2 → {0, 1} zachodzi f = | lub f =↓.
Po pierwsze, f (0, 0) = 1, ponieważ w przeciwnym przypadku każde wyrażenie T
zbudowane tylko ze zmiennej x oraz symbolu f przyjmowałoby wartość 0 dla x = 0, a
wi˛ec równość N g(x) = T nie byłaby prawdziwa dla żadnego takiego T (czyli negacja
nie byłaby przedstawialna przez f ).
Po drugie, z podobnych powodów jak powyżej, f (1, 1) = 0. W przeciwnym przypadku każde wyrażenie T zbudowane tylko ze zmiennej x oraz symbolu f przyjmowałoby wartość 1 dla x = 1, a wi˛ec równość N g(x) = T nie byłaby prawdziwa dla
żadnego takiego T (czyli negacja nie byłaby przedstawialna przez f ).
(∗) Przypomnijmy (z wykładu):
• Każda funkcja przedstawialna przez układ funkcji liniowych także jest liniowa.
• Funkcje: Kn(x, y) = xy oraz Al(x, y) = x + y + xy nie sa˛ liniowe.
• Układ funkcji liniowych nie może być zatem zupełny.
4
Dla wartości f (0, 1) oraz f (1, 0) sa˛ możliwe cztery przypadki:
(1) f (0, 1) = 0 oraz f (1, 0) = 0. Wtedy f =↓.
(2) f (0, 1) = 0 oraz f (1, 0) = 1. Wtedy f (x, y) = N g(y) = y + 1. A zatem f
jest funkcja˛ liniowa.˛ To jednak jest niemożliwe, ponieważ układ {f } jest (z założenia)
zupełny. Zob. (∗) powyżej.
(3) f (0, 1) = 1 oraz f (1, 0) = 0. Wtedy f (x, y) = N g(x) = x + 1. A zatem f
jest funkcja˛ liniowa.˛ To jednak jest niemożliwe, ponieważ układ {f } jest (z założenia)
zupełny. Zob. (∗) powyżej.
(4) f (0, 1) = 1 oraz f (1, 0) = 1. Wtedy f = |.
Q.E.D.
∗∗∗
Wyniki Emila Posta dot. funkcji prawdziwościowych opublikowane były w:
Post, E. 1921. Introduction to a general theory of elementary propositions. Amer. J.
Math. 43, 3, 163–185.
Post, E. 1941. The two-valued iterative systems of mathematical logic. Annals of
Math. Studies, vol. 5, Princeton University Press, Princeton, London.
∗∗∗
J ERZY P OGONOWSKI
Zakład Logiki Stosowanej UAM
www.logic.amu.edu.pl
5