Obliczenia procentowe w zadaniach

Obliczenia procentowe w zadaniach
Symbol % został wprowadzony z powodów czysto praktycznych. Zamiast w mowie potocznej twierdzić, iż np. zawartość jakiejś substancji w roztworze wynosi 0, 08 (stosunek
masy tej substancji do masy całego roztworu), co nie brzmi najbardziej zrozumiale, definiuje się pojęcie procentu. Mówimy wówczas, że owa zawartość wynosi 8%, czyli osiem
setnych.
Dość ważne jest, aby na poziomie maturalnym sprawnie zamieniać procenty na liczby
1
i odwrotnie np.: 1% = 0, 01, 0, 2% = 0, 002, 105% = 1, 05, 81 = 12, 5%, 25
= 4%, 0, 45 =
1
45%, 6 = 16, (6)% itp.
Jak wiemy, żeby wyznaczyć połowę liczby x, trzeba ją podzielić przez 2, czyli inaczej
pomnożyć przez 12 , czyli przez połowę. Analogicznie, żeby wyznaczyć dwie trzecie liczby
p
y, trzeba tę liczbę pomnożyć przez 23 . Wiedząc już, że p% = 100
, aby obliczyć p% liczby
p
z, trzeba tę liczbę po prostu pomnożyć przez 100
.
Ostatni przykład:
35% powierzchni lasu stanowiły drzewa liściaste. Na pozostałej części rosły drzewa
iglaste. Jaką powierzchnię zajmowały drzewa iglaste, jeżeli całkowita powierzchnia tego
lasu wynosiła 20 ha?
1 − 0, 35 = 0, 65; 0, 65 · 20 = 13.
Drzewa iglaste zajmowały 13 ha.
Spróbujmy teraz wyznaczyć liczbę mając dany jej pewien procent. Wiemy już, że p%
p
liczby a to p% · a lub inaczej 100
a. Rozważmy następujący przykład:
25% liczby x wynosi 7. Wyznacz x.
Mamy:
25%x = 7,
1
x = 7,
4
x = 28.
Kolejny przykład:
Wyznacz liczbę, której 13% wynosi 510.
Oznaczmy szukaną liczbę przez x. Mamy:
0, 13x = 520,
x = 4000.
Szukana liczba to 4000.
Trzeci przykład:
Jaką kwotę pan Wojciech wpłacił do banku, jeśli kapitalizacja odsetek była roczna,
oprocentowanie wynosiło 5, 4% w stosunku rocznym, a odsetki wyniosły 216 zł?
Oznaczmy przez K kwotę, jaką Wojciech wpłacił do banku. Mamy:
0, 054K = 216,
K = 4000.
Pan Wojciech wpłacił 4000 zł.
Czwarty przykład:
1
Dopuszczalna ładowność windy towarowej wynosi 3, 5 tony i stanowi 700% masy własnej
windy. Ile waży winda?
Oznaczmy przez x masę windy. Mamy:
7x = 3, 5;
x = 0, 5.
Winda waży 0,5 tony czyli 500 kg.
Teraz przejdziemy do wyznaczania, jakim procentem pewnej liczby jest inna liczba. W
tym celu wystarczy obliczyć odpowiedni stosunek (iloraz) tych dwóch liczb oraz zamienić
na procent. Oczywiście, jeżeli pytamy się, jakim procentem liczby a jest liczba b, to ten
stosunek będzie wynosił ab , a nie na odwrót, gdyż liczbę b porównujemy do liczby a.
Przykłady:
a) Jakim procentem liczby 4 jest liczba 3?
3
= 0, 75 = 75%.
4
b) Jakim procentem liczby 13 jest liczba 26?
26
= 2 = 200%.
13
c) Jakim procentem liczby
5
6
jest liczba 31 ?
1
3
5
6
=
1 6
2
· = = 40%.
3 5
5
d) W zbiorniku znajduje się 550 kg wody morskiej. Po odparowaniu wody zostało 2,2
kg soli. Jaki procent zasolenia miała początkowo ta woda?
2, 2
22
2
=
=
= 0, 4%.
550
5500
500
Kolejne zagadnienie, to badanie, o ile procent jedna liczba jest większa lub mniejsza od
drugiej. Wystarczy wówczas obliczyć odpowiedni stosunek i odjąć 100% od wyniku, lub
od 100% odjąć wynik. Dlaczego tak jest, przedstawię na przykładzie.
O ile procent liczba 7 jest mniejsza od liczby 10?
Najpierw obliczamy, jakim procentem liczby 10 jest liczba 7. Mamy:
7
= 0, 7 = 70%.
10
Skoro liczba 7 stanowi 70% liczby 10, to jest od niej o 30% mniejsza (100% − 70% =
30%).
Prześledźmy kolejny przykład:
O ile procent liczba 64 jest większa od liczby 48?
64
4
= = 1, (3) = 133, (3)%;
48
3
133, (3)% − 100% = 33, (3)%.
Odpowiadamy zatem, że liczba 64 jest większa od liczby 48 o 33, (3)%.
2
W sposób naturalny nasuwa się teraz umiejętność wyliczania liczby o p% większej lub
mniejszej od danej. Przypuśćmy, że chcemy wiedzieć, jaka jest liczba o 10% mniejsza od
60. Liczymy na piechotę:
60 − 10% · 60 = 60 − 0, 1 · 60 = 60 − 6 = 54.
Zauważmy, że rachunki mogły trwać dużo szybciej, gdyż de facto mamy obliczyć 100% −
10% = 90% = 0, 9 liczby 60. Błyskawicznie otrzymujemy:
0, 9 · 60 = 54.
Widzimy zatem, że drugi sposób jest bardziej praktyczny, a nie jest trudny. Popatrzmy
więc na przykłady:
a) Wyznacz liczbę o 20% większą od liczby 15.
15 · 1, 2 = 18.
b) Oblicz liczbę o 4% mniejszą od liczby 0,05.
0, 05 · 0, 96 = 0, 048.
c) Napisz liczbę o 35% większą od a.
1, 35 · a = 1, 35a
d) Cena laptopa wynosiła 1500 zł. Obniżono ją o 10%, a następnie podwyższono cenę
o 20%. Ile obecnie wynosi cena?
1500 · 0, 9 · 1, 2 = 1620.
Cena obecnie wynosi 1620 zł.
e) Wartość jednej akcji firmy A spadła w ciągu dnia o 5%, a następnie o 7%. Ile
początkowo była warta jedna akcja, jeśli po dwóch obniżkach spadła ona do 176 zł
70 gr?
Oznaczmy przez x wartość początkową jednej akcji. Mamy:
x · 0, 95 · 0, 93 = 176, 7;
0, 8835x = 176, 7;
x = 200
Akcja początkowo była warta 200 zł.
f) Liczbę x różną od zera zmniejszono o p%, otrzymaną wartość zwiększono o p% i
ponownie wynik zwiększono o p% otrzymując ponownie liczbę x. Ile wynosi p, jeśli
wiadomo, że p ∈ (0, 100)?
Niech q = p%. Mamy:
x(1 − q)(1 + q)(1 + q) = x,
(1 − q 2 )(1 + q) = 1,
q 3 + q 2 − q = 0,
q 2 + q − 1 = 0,
√
5−1
q=
≈ 0, 618.
2
Odp. p ≈ 61, 8.
3
g) W naczyniu N1 znajduje się 10 litrów wody, a w naczyniu N2 30 litrów. Ile wody
trzeba przelać z naczynia N2 do N1 , aby w naczyniu N2 było o 50% więcej wody
niż w naczyniu N1 ?
Oznaczmy przez x ilość wody do przelania. Wówczas po przelaniu w naczyniu
N1 będzie 10 + x litrów, a w naczyniu N2 30 − x litrów. W naczyniu N2 ma być o
50% wody więcej, niż w N1 , więc ilość wody w N1 należy pomnożyć przez 1, 5, aby
otrzymać ilość wody w N2 . Mamy więc:
1, 5(10 + x) = 30 − x;
15 + 1, 5x = 30 − x;
2, 5x = 15;
x = 6.
Należy przelać 6 litrów wody.
Dość często spotykamy się z zawartością procentową czegoś w czymś. Na przykład woda
utleniona zawiera 3% nadtlenku wodoru, śmietanka 18% tłuszczu, piwo 6% alkoholu. To
znaczy, że jeśli mamy x wody utlenionej, to jest w niej 0, 03x nadtlenku wodoru. W 100
g śmietanki znajdziemy 100 · 0, 18 = 18 g tłuszczu, a w 500 ml piwa 500 · 0, 06 = 30 ml
czystego alkoholu. Wobec tego, jeśli podzielimy np. ilość alkoholu przez ilość całego piwa,
otrzymamy zawartość procentową. Rozpatrzmy przykłady:
a) W 25-osobowej klasie uczniowie, którzy zdają matematykę na poziomie rozszerzonym stanowią 44%. Ile osób nie zdaje matematyki na poziomie rozszerzonym?
1 − 0, 44 = 0, 56;
25 · 0, 56 = 14.
14 osób nie zdaje rozszerzonej matematyki.
b) Spośród 300 żarówek w fabryce uszkodzonych jest 18. Jaki procent ogółu stanowią
uszkodzone żarówki?
6
18
=
= 6%.
300
100
c) Na działce rośnie 45 drzew, z czego 20% stanowią jabłonie. Ile jabłoni trzeba ściąć,
żeby stanowiły one 10% wszystkich drzew?
Aktualnie na działce rośnie 0, 2 · 45 = 9 jabłoni. Oznaczmy przez x ilość jabłoni
do ścięcia. Po ścięciu wszystkich jabłoni będzie 9 − x, a wszystkich drzew 45 − x.
Zatem otrzymujemy równanie:
9−x
= 0, 1;
45 − x
10(9 − x) = 45 − x;
x = 5.
Trzeba wyciąć 5 jabłoni.
Edukacja Karol Suchoń
www.karolsuchon.pl
[email protected]
4