NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ MHD Rafał

NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ MHD
Rafał Ogrodowczyk *, Krzysztof Murawski **,*
*
Katedra Informatyki
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie
** Instytut Fizyki
Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Streszczenie W artykule tym opisano podstawowe zagadnienia związane z teorią
modelu
magnetodhydroakustycznego
oraz
numerycznymi
metodami
rozwiązywania go. Wybrane aspekty teoretyczne omówiono na przykładzie ich
realizacji w kodach numerycznym FLASH i Emily uwidaczniając zastosowane
w nich schematy numeryczne.
Abstract In this paper we describe basic issues that are associated with a theory
of magnetohydrodynamic equations and numerical schemes for solving them.
The Flash and Emily codes are used as an example to present the numerical
algorithm and their results for solar plasma.
Wstęp
Plazma jest to zjonizowany gaz, który posiada specyficzne właściwości
fizyczne, szczególnie ujawniające się w polu elektromagnetycznym. Istnieją dwa
podstawowe sposoby opisu plazmy przenikniętej polem magnetycznym.
Pierwszy z nich traktuje plazmę jako płyn. Jest to podejście makroskopowe,
nieuwzględniające struktury molekularnej, w którym wykorzystuje się równania
zachowania masy, pędu, energii. Z drugiej strony możemy potraktować plazmę
jako zbiór jonów, przewodzących prąd elektryczny i opisywać jej własności przy
pomocy równań Maxwella.
Model magnetohydrodynamiczny (MHD) łączy dwa powyższe podejścia,
traktując plazmę makroskopowo jak płyn, w którym występują oddziaływania
elektromagnetyczne pomiędzy molekułami. Formalizm ten wykorzystuje,
w najprostszym przypadku, równania Eulera wzbogacone o człony związane z
polem elektromagnetycznym i dodatkowo uzupełnione równania Maxwella.
Symulacje numeryczne zachowań plazmy opisywanej układem
równaniami MHD, ze względu na ich skomplikowaną strukturę, wymagają
stosowania założeń i uproszczeń pozwalających uniknąć niezgodności
numerycznych z właściwościami modelu. Niniejsze opracowanie ma na celu
przybliżenie teorii równań MHD i metod numerycznych wykorzystywanych przy
ich rozwiązywania.
W Rozdz. 1 przedstawiamy równania MHD. Numeryczne metody ich
rozwiązywania dyskutowane są w Rozdz. 2. Wybrane programy stosowane
w symulacjach numerycznych równań MHD scharakteryzowane są w Rozdz. 3,
a ich przykładowe zastosowania ilustrujemy w Rozdz. 4.
1. Równania MHD i ich postać zachowawcza
Równania magnetohydrodynamiki opisują gęstość masy plazmy, prędkość
jej elementu, ciśnienie i pole magnetyczne w danym punkcie przestrzeni
i określonej chwili. Równania te dają się zapisać następująco [10]:
r
¶r
+ Ñ × ( rV ) = 0
¶t
r
r
r
r r
¶ rV
+ r V × Ñ V = -Ñp + j ´ B
¶t
( ) (
)
®
¶p
æ ®ö
+ Ñ × ç p V ÷ = (1 - g ) pÑ × V - L
¶t
è
ø
(1)
(2)
(3)
®
¶B
æ® ®ö
= Ñ ´ çV ´ B ÷
¶t
è
ø
r
Ñ×B = 0
(4)
(5)
140
®
®
Tutaj ρ jest gęstością masy, V prędkością przepływu plazmy, B indukcją
pola magnetycznego, p ciśnieniem gazu, μ przenikalnością magnetyczną ośrodka,
a g współczynnik adiabatyczym gazu.
Równanie (1) zwane również równaniem ciągłości masy jest różniczkową
postacią prawa zachowania masy. Wyrażenie (2) opisuje prawo zachowania pędu
uzupełnione o człon pochodzący od siły Lorenza. Dopełnieniem równań (1) i (2)
jest równanie (3) wyrażające zmiany ciśnienia. Związki (4) i (5) wynikają z
własności pola elektromagnetycznego. Uwzględniają one fakt wytwarzania
wirowego pola elektrycznego przez zmienny w czasie strumień pola
magnetycznego przenikającego plazmę i brak monopoli magnetycznych
w przyrodzie.
Równania MHD można zapisać w postaci zachowawczej, która jest
wykorzystywana w symulacjach numerycznych. Dla dwuwymiarowej przestrzeni
równania (1)-(4) przyjmują postać równań hiperbolicznych:
rV1
rV 2
ù
é
ù
é
ér ù
ú
ê
ú
ê
2
2
ê rV ú
~
rV1V2 - B1 B 2
rV1 + p - B1
ú
ê
ú
ê
ê 1ú
ú
ê
ú
ê
ê rV 2 ú
rV1V 2 - B1 B2
rV22 + ~
p - B22
ú
ê
ú
ê
ú
ê
rV1V3 - B1 B3
rV 2V3 - B2 B3
(6)
¶ ê rV 3 ú ¶ ê
ú
ú ¶ ê
+ ê
r rú+ ê
r rú=0
~
~
ú
ê
¶x V1 ( E + p ) - B1 (V × B ) ¶y V2 ( E + p ) - B 2 (V × B )
¶t E
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
0
V 2 B1 - V1 B2
ê B1 ú
ú
ê
ú
ê
êB ú
V1 B2 - V2 B1
0
ú
ê
ú
ê
ê 2 ú
ú
ê
ú
ê
êë B3 úû
V
B
V
B
V
B
V
B
1 3
3 1
2 3
3 2
û
ë
û
ë
®
W powyższym równaniu B zostało znormalizowane przez 1
®
®
BÞB
m , czyli
®
®
m . Vi , Bi stanowią odpowiednie składowe wektorów V i B ,
®2
ciśnienie całkowite opisano wyrażeniem pc = p + B / 2 .
Główne trudności związane z numerycznym rozwiązywaniem układu
równań MHD spowodowane są równaniem (5). Miejscowe zaburzenia tego
warunku skutkuje pojawieniem się monopoli magnetycznych oraz strumieni
magnetycznym w rozpatrywanym obszarze. Tak powstałe błędy numeryczne
mogą doprowadzić do przerwana symulacji. Zachowanie tego warunku jest
bardzo trudne i wiąże się z wykorzystaniem kosztownych numerycznie
algorytmów.
2. Numeryczne metody rozwiązywania równań MHD
Równania (1)-(4) możemy zapisać w postaci quasi-liniowej, która w
przypadku jednowymiarowym przyjmuje następującą postać:
®
®
ut + A×u x = 0.
(7)
141
®
Tutaj u ( x, t ) oznacza n-elementowy wektor stanu, a A jest macierzą
o wymiarach n ´ n . W przypadku, gdy macierz A daje się zdiagonalizować
i posiada rzeczywiste wartości własne, tak opisywany układ równań nazywamy
hiperbolicznym.
Numeryczne
metody
rozwiązywania
hiperbolicznych
równań
różniczkowych mogą być oparte na problemie Riemana, który dla przypadku (7)
przybiera postać:
ìQl dla x < x 0
u ( x, t = 0) = í
îQr dla x > x 0
(8)
Tutaj Ql i Qr oznaczają wartości funkcji w lewej i prawej komórce numerycznej
(patrz Rys. 1). Korzystając z kryterium hiperboliczności macierz A możemy
wyrazić przez diagonalną macierz wartości własnych L i macierze wektorów
własnych R :
A = RLR -1 .
(9)
Równanie (7) przyjmie wtedy postać równania adekwacji:
(l u ) + l (l u )
i
i
i
t
x
=0
(10)
gdzie l i ( r i ) oznacza lewy (prawy) wektor własny o wymiarze 1 ´ n ( n ´ 1 ),
a li jest wartością własną. Rozwiązaniem równania (7) będzie superpozycja n
rozwiązań równania:
n
(
)
u ( x, t ) = å l i u x - li t ,0 r i .
(11)
i =1
Rozwiązanie to przedstawia n nieciągłości poruszających się z prędkościami li .
®
Rysunek 1. Problem Riemana - nieciągłość funkcji u ( x, t ) dla czasu t = 0 .
Ql i Qr oznaczają odpowiednie wartości funkcji w lewej i prawej komórce numerycznej.
142
LeVeque [4] jako pierwszy zaproponował numeryczną metodę
rozwiązywania zachowawczych równań różniczkowych zwaną metodą
rozchodzenia się fal. Metoda ta wykorzystuje rozwinięcie w szereg:
1
u ( x, t + Dt ) = u ( x, t ) + Dtu ( x, t ), t + Dt 2 ( x, t ), tt +...
2
Tutaj indeksy
,t
i
, x oznaczają
(12)
odpowiednio pochodne po czasie i przestrzeni.
Rozważmy równanie skalarne:
u , t + f x (u, x ), x = 0 .
(13)
Z równania (12) otrzymamy wtedy wyrazy z pochodną czasową i przestrzenną:
1
u ( x, t + Dt ) = u ( x, t ) + Dtf x , x + Dt 2 ( Ax f x , x ), x +... .
(14)
2
We wzorach (13)-(14) f x oznacza strumień, a jest Ax macierzą Jacobiego.
Rezultaty numeryczne otrzymane z równania (14) zależeć będą od liczby
uwzględnionych członów. Schematy numeryczne ograniczające się tylko do
poprawek I rzędu nazywamy I rzędu dokładnymi, wykorzystujące człony II
rzędu – II rzędu dokładnymi. Liczba uwzględnionych członów źródłowych
wpływa znacząco na wyniki oraz na złożoność numeryczną schematu, a tym
samym na czas wykonywania symulacji. Parametry te są ważne w ocenie
przeprowadzanego eksperymentu numerycznego.
Rysunek 2. Schemat rozwiązania równania (10) metodą rozchodzenia się fal.
prędkości rozchodzenia się fal, a Wi i-tą falę.
li oznacza
3. Kody numeryczne wykorzystywane w symulacjach równań MHD
Złożoność numeryczna modelu MHD zaowocowała wieloma
propozycjami algorytmów pozwalających na przeprowadzanie eksperymentów
numerycznych zjawisk plazmy. Do najefektywniejszych z nich należy zaliczyć
CLAWPACK [3], ATHENA [11], FLASH [1,9] i EMILY [2]. Własności dwóch
ostatnich wraz z przykładowymi rezultatami zostaną pokrótce omówione
poniżej.
Program FLASH został napisany przez zespół naukowców z ASCI Center
for Thermonuclear Flashes. Jest to narzędzie do modelowania plazmy
przenikniętej polem magnetycznym. Pole takie występuje w wielu strukturach
143
astrofizycznych, takich jak rozbłyski czy pętle koronalne. Program ten napisany
jest w języku Fortran 90, a strukturalnie jest to zestaw wielu modułów, które
można dowolnie zestawiać w celu jak najbliższego odwzorowania
modelowanego zjawiska. Należy dodać, iż w kodzie tym wykorzystano zarówno
samoadaptacyjne siatki numeryczne [5] jak i zestaw bibliotek Message Passing
Interface (MPI) umożliwiający wykonywanie obliczeń rozproszonych [6]
czyniąc symulacje dokładniejszymi, a jednocześni efektywniejszymi. Schematy
numeryczne zaimplementowane w programie FLASH to na przykład: jawny
schemat Eulera pierwszego rzędu, metoda Runge-Kutty trzeciego rzędu, czy
metoda objętości skończonych ze schematem obcięcia błędów mającym na celu
zachowanie warunku (5).
Program EMILY został napisany w języku Fortran 77 przez Jonesa,
Shumlaka i Eberhardta z Uniwersytetu w Waszyngtonie w roku 1997 [2]. W
algorytmie tym użyto metody objętości skończonych wykorzystującej
przybliżenie Riemanna dla strumieni hiperbolicznych oraz schematu
różnicowego dla strumieni parabolicznych pochodzących od członów
nieliniowych, takich jak lepkość. Schemat ten jest drugiego rzędu dokładny
zarówno dla czasu jak i składowych przestrzennych.
4. Zastosowanie kodów numerycznych w symulacjach równań MHD
W celu przedstawienia rezultatów uzyskiwanych podczas symulacji
numerycznych kodami FLASH i EMILY wprowadzimy model plazmy w koronie
słonecznej. Ograniczymy naszą dyskusje do modelu dwuwymiarowego,
w którym wszystkie własności plazmy będą niezależne od współrzędnej y .
Rozważamy model pętli koronalnej, w którym opisywane wielkości fizyczne
zmieniają skokowo swoja wartość między obszarem zewnętrznym a wnętrzem
pętli. Schemat geometrii modelu został przedstawiony na Rys. 3, a wartości
podstawowych parametrów opisujących plazmę koronalną zawarto w Tab. 1.
Rysunek 2. Geometria modelu. Szary obszar odpowiada zagęszczeniu plazmy
wewnątrz pętli.
Tabela 1. Wartości wielkości definiujących właściwości modelowanej plazmy.
Indeksy i i e oznaczają odpowiednio wartości wewnątrz i na zewnątrz pętli.
144
Wielkość
V Ae
Wartość
1 Mm s-1
c se
0,2 Mm s-1
re
Ti Te
10 -15 kg m-3
2
d = ri r e
10
v = V Ae V Ai
10.1
Stan równowagi zaburzany był impulsem w gęstości masy r i ciśnieniu
p , a jego matematyczna postać opisana była zależnościami:
dr (x, z , t = 0 ) = Ar e -[( x - x0 ) wx ] e -[( z - z0 ) wz ] ,
(15)
dp(x, z , t = 0) = A p e -[( x - x0 ) wx ] e -[( z - z0 ) wz ] .
(16)
2
2
2
2
Tutaj Ar i A p oznaczają względne amplitudy impulsu, x0 i z 0 jego pozycję,
a w x i w z szerokość zaburzenia w kierunku osi x i z.
Rysunek 3. Profil przestrzenny składowej prędkości V z dla t = 16 s (górny panel).
Charakterystyka czasowa sygnału falowego (lewy dolny panel) i odpowiadające mu
widmo falkowe (prawy dolny panel) zbieranego w punkcie z d . Wyniki otrzymano przy
pomocy programu FLASH dla przypadku impulsu początkowego generowanego
w punkcie x 0 = z 0 = 0 . Wyniki zaczerpnięte z pracy [7].
145
Rysunek 3. Wyniki otrzymano programem EMILY dla przypadku impulsu początkowego
generowanego w punkcie x 0 = z 0 = 0 . Poszczególne panele odpowiadają panelom
z Rys. 3. Wyniki zaczerpnięte z [8].
Rysunki (3) i (4) przedstawiają rezultaty otrzymane dla przypadku impulsu
generowanego w punkcie x 0 = z 0 = 0 , uzyskane odpowiednio przy użyciu
programów FLASH i EMILY. Porównując je, widzimy, że zarówno jakościowo
i ilościowo są one zbieżne. Występujące różnice wynikają z zastosowania w nich
różnych schematów numerycznych.
5. Podsumowanie
Ustawiczny rozwój metod numerycznych przy jednoczesnym wzroście
mocy obliczeniowej współczesnych komputerów, wyprzedzających znacznie
możliwości obserwacyjne człowieka w dziedzinie badań astrofizycznych,
skutkuje coraz większą rolą eksperymentów numerycznych w procesie
poznawczym. Oczywistym staję się wiec fakt ciągłego doskonalenia już
wykorzystywanych i odkrywanie nowych schematów numerycznych, dających
naukowcom narzędzie do dalszej pracy badawczej.
Wszystkie omówione tu kody numeryczne przyczyniły się do poznania
wielu nowych faktów i wyjaśnienia istoty otaczających nas zjawisk.
146
Literatura
[1] Fryxell i inni, FLASH: An Adaptive Mesh Hydrodynamics Code for
Modeling Astrophysical Thermonuclear Flashes, Astrophys. J. Suppl., 131, 273
(2000)
[2] Jones O.S., Shumlak U., Eberhardt D.S., An Implicit Scheme for Nonideal
Magnetohydrodynamics , J. Comput. Phys., 130, 2, (1997)
[3] LeVeque R. J., CLAWPACK use notes, Applied mathematic, Univ. of
Washington, Washington, (1997)
[4] LeVeque R. J., Finite difference methods for differential eqations,
Applied mathematic, Univ. of Washington, Washington, (1998)
[5] Olszanowski G., Ogrodowczyk R., Adaptacyjne siatki numeryczne, KEI
III, Chełm (2004)
[6] Ogrodowczyk R., Murawski K., Bielecki B., Systemy rozproszone, KEI
IV, Chełm (2005)
[7] Ogrodowczyk R., Murawski K., Massively parallel numerical simulations
of magnetosonic waves in a solar coronal magnetic slab, XI SKMI, Chełm,
(2006)
[8] Ogrodowczyk R., Murawski K., Numerical simulations of impulsively
generated magnetosonic waves in a coronal loop, Solar Physics, (2006)
[9] Selwa M., Murawski K., FLASH – a tool for surgery of solar plasma,
Annales UMCS Informatica, A1, 2 (2004)
[10] The Sun: An introduction to MHD , Solar and Magnetospheric MHD
Theory Group, University of St Andrews, St Andrews, (1999)
[11] The Athena Code, Department of Astrophysical Sciences, Peyton Hall,
Princeton, (2000)
[12] http://flash.uchicago.edu/
147