1707_W8_Podstawy,dyn..

Dynamika
n
Mechanika ogólna
Wykład nr 8
Podstawy dynamiki
n
Dział mechaniki zajmujący się
badaniem związków między ruchem
punktów materialnych i ciał sztywnych
oraz sił go wywołujących.
Dynamika bada zależności między
takimi wielkościami jak: siła,
przyspieszenie, prędkość, pęd, kręt,
praca, energia itd.
1
Druga zasada dynamiki
Newtona
Pierwsza zasada
dynamiki Newtona
n
2
Prawo bezwładności:
n
– Z punktu widzenia dynamiki jest wszystko
jedno, czy ciało się porusza ruchem
jednostajnym prostoliniowym, czy jest w
spoczynku.
– W obu przypadkach siły działające na
ciało są w równowadze.
– Można zawsze założyć istnienie
nieruchomego układu odniesienia.
n
Pod działaniem stałej siły punkt materialny
porusza się ruchem jednostajnie
przyspieszonym po linii prostej.
Przyspieszenie z jakim porusza się punkt
jest wprost proporcjonalne do działającej
siły (wypadkowej układu sił), a odwrotnie
proporcjonalne do masy ciała.
a=
P
m
3
Trzecia zasada dynamiki
Newtona
n
a
4
Prawo grawitacji
Siły wzajemnego oddziaływania dwóch
punktów materialnych równoważą się,
tj. mają jednakowe moduły i kierunki,
zaś zwroty przeciwne.
n
P2
P1
P1 = −P2
P
m
P1 = P2
Dwa ciała działają na siebie wzajemnie
jednakowymi co do wartości i
przeciwnie zwróconymi siłami o wartości
odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu
odległości między ich środkami i wprost
proporcjonalnej do iloczynu mas tych
ciał.
P=G
m1 ⋅ m2
r2
5
Równania ruchu punktu
materialnego
Zasada superpozycji
n
n
6
Efekt działania kilku wpływów na ciało
można wyrazić jako sumę efektów ich
działania.
Przyspieszenie z jakim porusza się ciało
pod wpływem układu sił (siły
wypadkowej) może zostać obliczone
jako suma przyspieszeń powodowanych
przez każdą z sił składowych.
n
n
Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu
punktu materialnego:
d  dr 
r = m⋅a = P
 m  = m ⋅ &&
dt  dt 
Dynamiczne różniczkowe równania ruchu
we współrzędnych prostokątnych:
m ⋅ &&
x = m ⋅ a x = ∑ Pix
i
m ⋅ &&
z = m ⋅ az = ∑ Piz
ma = ma1 + ma 2 + ... + ma n = P1 + P2 + ... + Pn = P
m ⋅ &&
y = m ⋅ a y = ∑ Piy
i
i
7
8
Pierwsze i drugie zadanie
dynamiki
Skalarne równania ruchu
n
Rzutowanie przyspieszenia na osie
normalną, styczną i binormalną:
m ⋅ an = m
2
n
– Dana jest masa i równania ruchu punktu
materialnego, należy wyznaczyć siły
działające na ten punkt;
dv
m ⋅ at = m = ∑ Pit
dt
i
v
= ∑ Pin
ρ
i
m ⋅ ab = ∑ Pib
Pierwsze zadanie dynamiki:
n
ab = 0
Drugie zadanie dynamiki:
– Dana jest masa i siły działające na punkt
materialny, należy wyznaczyć równania
ruchu tego punktu.
i
n
Wektor przyspieszenia całkowitego leży
na płaszczyźnie ściśle stycznej do toru.
10
9
Pierwsze zadanie
dynamiki
n
n
n
Drugie zadanie dynamiki
Równanie ruchu:
m ⋅ a = m ⋅ &&
r=P
Składowe wypadkowej we współrzędnych
prostokątnych:
Py = my&&
Px = mx&&
Px = mz&&
Wartość i kierunek wypadkowej:
n
Ruch punktu pod działaniem siły:
– Stałej co do wartości i kierunku;
P = const
– Zależnej od czasu;
– Zależnej od prędkości;
P = Px 2 + Py 2 + Pz 2
P
cos S ( P , i ) = x
P
cos S ( P, j) =
P = P (t )
– Zależnej od położenia.
Py
P
cos S ( P , k ) = z
P
P
P = P (v)
P = P ( x)
11
12
Ruch pod działaniem
stałej siły
Ruch pod działaniem
stałej siły
(1)
n
n
n
n
Rzut ukośny:
Równania ruchu:
mx&& = 0
my&& = − mg
ax = 0
ay = − g
n
v
mg
v y (t = 0) = v0 y = v0 sin α
x(t = 0) = 0 y (t = 0) = 0
xmax
n
v y ( t ) = − gt + C2
n
Równania ruchu:
y (t ) = −
n
gt 2
+ C2 t + C4
2
n
Drgania liniowe:
Różniczkowe
równanie ruchu:
Px = max = mx&& = − kx
n
P
0
m
Rozwiązanie ogólne:
k
x=0
m
ω=
C2 = v0 sin α
n
x
C3 = 0
C4 = 0
14
k
m
W przypadku, gdy warunki zewnętrzne
ograniczają swobodę ruchu, w
równaniu ruchu należy uwzględnić
także siły bierne (reakcje więzów):
ma = m&&
r = P+R
N
C1 = a cos ϕ0
xmax
Równania prędkości:
vx = v0 cos α
v ( t ) = − gt + v0 sin α
Równania ruchu
gt 2
y (t ) = −
+ v0t sin α
x ( t ) = v0 t cos α
x = C1 sin ωt + C2 cos ωt
x = a sin ( ωt + ϕ0 )
mg
Ruch nieswobodnego
punktu materialnego
x
&&
x+
v
2
13
Ruch pod działaniem siły
zależnej od położenia
n
v0
ymax
Stałe całkowania:
C1 = v0 cos α
Składowe prędkości:
x ( t ) = C1t + C3
Warunki brzegowe:
vx (t = 0) = v0 x = v0 cos α
Składowe przyspieszeń:
vx = C1
n
ymax
v0
(2)
C2 = a sin ϕ0
Y
T = µN
X
(Równanie ruchu harmonicznego prostego)
15
G = mg
ma x = ∑ Px
0 = ma y = ∑ Py
16
Zasady zachowania w
dynamice
Siła bezwładności
n
n
n
Równanie ruchu:
P = ma
P − ma = 0
Siła bezwładności
(d’Alemberta):
B = − ma
Zasada d’Alemberta:
v
v = const
m
r
n
at = 0
v2
an =
r
an
0
– zachowania pędu;
– zachowania momentu pędu (krętu);
– równoważności energii i pracy;
– zachowania energii mechanicznej.
B
– Siły rzeczywiste działające na
punkt materialny równoważą
się z siłą bezwładności tego
punktu.
Zasada:
m
r
P
0
P+B=0
18
17
Pęd,
zasada zachowania pędu
n
Moment pędu, zasada
zachowania krętu
Zgodnie z drugim prawem Newtona:
dv d ( mv )
P = ma = m
=
dt
dt
n
– Pochodna pędu punktu materialnego
względem czasu równa jest sumie sił
działających na ciało.
n
Momentem pędu (kręt) punktu
materialnego względem bieguna jest
iloczyn wektorowy promienia wodzącego
punktu względem bieguna i pędu:
mv
m
K 0 = r × mv
r
0
Pęd (ilość ruchu) pozostaje wielkością
stałą, jeżeli siły działające na ciało
pozostają w równowadze:
mv = const
n
Kręt punktu materialnego względem
bieguna jest wielkością stałą, jeśli moment
sił działających na punkt materialny
względem tego bieguna jest równy 0.
19
Zasada równoważności
energii i pracy
Praca
n
n
Praca stałej siły na prostoliniowym
przesunięciu równa jest iloczynowi wartości
bezwzględnej przesunięcia przez miarę
rzutu siły na kierunek przemieszczenia.
Praca wypadkowej układu sił działających
na ciało równa jest sumie prac
poszczególnych sił działających na ciało.
m
20
P
P
α
α
l
m
n
Energia kinetyczna:
n
Zasada równoważności energii i pracy:
E=
mv 2
2
– Przyrost energii kinetycznej punktu
materialnego (ciała) równy jest pracy
wykonanej przez siły działającej na ciało.
W = Pl cos α
∆E = E2 − E1 = W
W = P⋅l
21
Zasada zachowania
energii mechanicznej
Zasada zachowania
energii – przykład
(1)
Potencjalne pole sił:
n
– Praca wykonana przez siły w potencjalnym
polu sił nie zależą od drogi po której
wykonane zostało przemieszczenie a jedynie
od położeń początkowego i końcowego.
n
Wyznaczyć miejsce oderwania punktu
materialnego zsuwającego się po
gładkiej półkuli:
mv 2
mv 2
r
Energia mechaniczna ciała w
potencjalnym polu sił pozostaje
wielkością stałą.
r
E1 + V1 = E2 + V2
ϕ
ϕ
mg
23
r
r cosϕ
n
22
= mg cos ϕ
mv 2
= mg ( r − r cos ϕ )
2
cos ϕ =
2
3
24
Zasada zachowania
energii – przykład
Zasada zachowania
energii – przykład
(2a)
n
(2b)
Na jaką wysokość po gładkiej równi
wjedzie ciało, któremu nadano
Energia
Energia
prędkość
kinetyczna potencjalna
początkową v:
2
Początek
0
0
mgh
Koniec
Na jaką wysokość po równi wjedzie
ciało, któremu nadano prędkość
początkową v (z uwzględnieniem tarcia):
– Praca siły tarcia: W = Ts
N
µ
T
v
h
h
v
mv
2
n
α
mv 2
= mgh
2
mg
s
α
mv 2
= mgh + Ts
2
T = µN
N = mg cos α
mv 2
= mgh + µ mg cos α ⋅ h sin α
2
26
25
Dynamika układu
punktów materialnych
Dynamika ruchu obrotowego
bryły sztywnej
n
Druga zasada dynamiki w
ruchu obrotowym bryły
sztywnej:
vR
vR
R
r
vr
Kręt w ruchu obrotowym:
K t = Iω
n
Energia kinetyczna:
E=
Iω 2
2
27
Zasada ruchu środka masy
n
Zasady zachowania w ruchu układu
punktów materialnych:
– Ruchu środka masy;
– Zachowania pędu;
– Zachowania krętu;
– Zasada d’Alemberta;
– Zachowania energii mechanicznej.
0
M 0 = Iε
n
ω
n
Jeżeli siły zewnętrzne działające na układ
ciał równoważą się, to środek masy
układu pozostaje w spoczynku lub porusza
się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
28
Zasada zachowania pędu
n
n
n
Pęd układu punktów materialnych –
suma wektorowa pędów wszystkich
punktów.
Przyrost pędu układu punktów
materialnych jest równy popędowi
wypadkowej sił zewnętrznych.
Pęd układu punktów materialnych
pozostaje niezmienny, jeżeli siły
działające na układ równoważą się.
29
Zasada zachowania
momentu pędu
Zasada zachowania pędu
– przykład
n
Określić prędkość ciała po uderzeniu
kuli:
( m1 + m2 ) v
m1v1
n
m2 v2
v2
30
n
v
v1
m1v1
n
( m1 + m2 ) v
m2 v2
31
Moment pędu (kręt) układu punktów
materialnych – suma wektorowa krętów
wszystkich punktów układu względem
bieguna.
Pochodna krętu układu punktów po
czasie równa jest wypadkowemu
momentowi sił względem bieguna.
Kręt układu punktów materialnych
pozostaje niezmienny, jeżeli wypadkowy
moment sił względem bieguna jest równy
zero.
32
Zasada zachowania energii
mechanicznej
Zasada zachowania krętu
– przykład
Po cięciwie tarczy zaczyna poruszać się punkt
materialny z prędkością v. Z jaką prędkością
kątową poruszać się będzie tarcza?
K=0
R
m
ω
r
α
vr
0
M
n
K t = Iω
K p = mwd − mur
w
x(t)=wt
n
n
mwd − mur − Iω = 0
MR 2
ω=0
2
MR 2
mwd − mω ( d 2 + w2t 2 ) −
ω=0
2
mwd − mω r 2 −
d
Energia mechaniczna układu punktów
materialnych w potencjalnym polu sił
pozostaje niezmienna.
Przyrost energii kinetycznej układu
punktów materialnych równy jest
sumie prac wykonanych przez
wszystkie siły (zewnętrzne i
wewnętrzne) działające na ten układ.
33
R
Energia kinetyczna
r
m1
m2
Początek
M
Koniec
m
35
Zasada zachowania energii
mechanicznej
(3)
MgH + mgh1 =
mv 2 MV 2 I1ω 2 I 2ω 2
+
+
+
+ mgh2
2
2
2
2
MgH − mg ( h2 − h1 ) =
I1 =
1
m1 R 2
2
I2 =
mv 2 MV 2 I1ω 2 I 2ω 2
+
+
+
2
2
2
2
1
m2 r 2
2
2
φ=
h2 − h1 H
=
r
R
ω=
2
v V
=
r R
1
1
 Vr 
V 
V 
m 
m1 R 2  
m2 r 2  
2
Hr
MV
R
2
R
2
  +
 R
MgH − mg
=   +
+
R
2
2
2
2
0
mv 2 MV 2
+
+
2
2
I ω2 I ω2
+ 1 + 2
2
2
Energia
potencjalna
m1
2
37
φ
m2
MgH + mgh1
m
mgh2
M
h1
Na dwa współśrodkowe
walce o masach m1 i m2
nawinięte są nieważkie
nici na których
zawieszono dwa ciała.
Obliczyć z jaką
prędkością uderzy o
ziemię ciało M.
H
n
(2)
H
(1)
Zasada zachowania energii
mechanicznej
h2
Zasada zachowania energii
mechanicznej
34
36