Materiały do wykładu „Logiczne podstawy kognitywistyki”∗

Andrzej Pietruszczak
Materiały do wykładu
„Logiczne podstawy kognitywistyki”∗
Cześć
˛ 8
1. Zapis symboliczny dla relacji wynikania logicznego
Aby skracać zapisy różnych stwierdzeń, przyjmijmy, że frazę zdaniową:
yk
ła d
uL
PK
będziemy zapisywać symbolicznie jako:
,2
01
6/2
01
7
ze zbioru zdań Π wynika logicznie zdanie κ
Π |= κ .
M
a te
r ia
ły
do
w
Zatem sam symbol ‘|=’ ma znaczyć to samo, co metajęzykowy zwrot ‘wynika logicznie’.
Przypomnijmy, że to, iż ze zbioru zdań Π wynika logicznie zdanie κ ma znaczyć, że przesłanki ze
zbioru Π oraz wniosek κ podpadają pod jakiś niezawodny schemat wnioskowania. Dla prostoty przyjmiemy, że także niezawodność tego schematów wnioskowania zaznaczać będziemy poprzez użycie symbolu
‘|=’ zamiast poprzednio używanych zapisów ‘niezawodny’ bądź ‘poprawny’:
s(Π)
s(κ)
x
gdzie s(Π) ma być grupą złożoną ze schematów wszystkich przesłanek należących do Π, a s(κ) ma być
schematem wniosku κ.
Jeżeli Π składać się będzie z dokładnie jednego zdania π (tj. Π = {π}), to zamiast zapisu ‘{π} |= κ’
będziemy pisać: ‘π |= κ’ lub ‘s(π) |= s(κ)’. Ogólnie, jeśli Π składać się będzie z n zdań π1 , . . . , πn (tj.
Π = {π1 , . . . , πn }, gdzie n > 1), to będziemy pisać ‘π1 , . . . , πn |= κ’ lub ‘s(π1 ), . . . , s(πn ) |= s(κ)’.
Innymi słowy, jeśli będą wymienione elementy zbioru Π, to będziemy opuszczać nawiasy klamrowe.
Nawiązuje to do uwagi 3.4 z części 7, gdzie wspomnieliśmy, iż w takich przypadkach możemy mówić,
że ze zdań π1 , . . . , πn wynika logicznie zdanie κ.
Przypomnijmy, że w uwadze 3.1(i) w części 7 napisano, że „pojęcie wynikania logicznego da się
określić także dla pustego zbioru zdań Π (czyli, gdy Π = ∅)”. Zatem również w takim przypadku możemy pisać, że ∅ |= κ. W takich przypadkach jednak pomija się nazwę zbioru pustego otrzymując: |= κ.
Pamiętamy jednak, że ze zbioru ∅ mają wynikać jedynie tzw. zdania logicznie prawdziwe. Zatem zapis
‘|= α’ będzie także mówić, że zdanie α jest logicznie prawdziwe. Podobnie zapis ‘|= σ będzie mówić, że
schemat zdaniowy σ jest tautologią logiczną (tj. przy każdym postawieniu otrzymamy z niego zdanie
prawdziwe).1
Jeśli ze zbioru Π nie wynika logicznie zdanie κ, to będziemy pisać ‘Π 6|= κ’. Jeśli przy tym będą
wymienione elementy π1 , . . . , πn zbioru Π, to będziemy pisać: π1 , . . . , πn 6|= κ. Podobnie, jeśli zdanie α
nie jest tautologią logiczną, to będziemy pisać: 6|= α.
c 2016 Prawa autorskie do całości materiałów do wykładu z „Logicznych podstaw kognitywistyki” ma wyłącznie autor.
Przykładowo  zgodnie z interpretacją zdań warunkowych  schemat zdaniowy ‘Jeżeli p, to p’ jest tautologią logiczną.
Istotnie, nie może się zdarzyć, aby jednocześnie poprzednik był zdaniem prawdziwym, a następnik nie był.Ten fakt zapiszemy
więc krótko: |= Jeżeli p, to p.
∗
1
104
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
105
2. Równoważność logiczna zdań
2.1. Określenie
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Równoważność logiczna zdań jest relacyjnym pojęciem, które definiujemy za pomocą relacyjnego
pojęcia wynikania logicznego. Mianowicie, równoważność logiczna zdań ma się sprowadzać do zachodzenia «dwustronnego wynikania logicznego». Zgodnie z przyjętym zwyczajem, będziemy rozpatrywać
równoważność logiczną jako binarną relację zachodzącą między dwoma zdaniami.
Skoro równoważność logiczna ma być «dwustronnym wynikaniem logicznym», więc nie tylko ma
zachodzić Π |= κ, lecz także ze zbioru {κ} ma wynikać jakiś wniosek. Tym wnioskiem musi być oczywiście
jakiś element zbioru Π. Jednakże, nie powinno to zależeć od wyboru elementu zbioru Π. A dzieje się
tak tylko wtedy, gdy zbiór Π ma dokładnie jeden element, czyli gdy Π = {π}, dla jakiegoś zdania π.
Zatem ma zachodzić również {κ} |= π. Reasumując, zgodnie z umową dotyczącą opuszczania nawiasów
klamrowych, mamy mieć dwa wynikania logiczne π |= κ oraz κ |= π.
Powyższe pokazuje, że w przypadku równoważności logicznej traci sens odróżnianie przesłanki od
wniosku, gdyż oba użyte zdania pełnią podwójną rolę. W związku z tym zmienimy również oznaczenia
dla zdań. Dla oznaczania zdań będziemy używać małych liter greckich ‘α’ i ‘β’.
Uwaga 2.1. (i) Małe litery greckie będą używane na poziomie metajęzykowym, do mówienia o zdaniach
w sensie logicznym. Są to tzw. zmienne metajęzykowe. Mówiąc zaś obrazowo, litery te są używane w
ogólnych rozważaniach, jako zastępcze metajęzykowe nazwy zdań. Pamiętamy, że metajęzykową nazwę
danego zdania możemy utworzyć np. poprzez ujęcie tego zdania w pojedyncze cudzysłowy («łapki»).
Dla odróżnienia, schematyczne litery zdaniowe ‘p’, ‘q’, ‘r’ i ‘s’ mają reprezentować zdania w sensie
logicznym, w tym sensie, że litery te występują zamiast zdań. A to znaczy, że za te litery podstawiamy
same zdania, a nie metajęzykowe nazwy zdań.
(ii) Ogólnie, użycie dwóch zmiennych, np. ‘x’ i ‘y’, nie wskazuje na mówienie o dwóch obiektach.
Przecież, aby zaznaczyć, że mówimy o różnych obiektach, musimy napisać: x , y. Podobnie, aby zaznaczyć, że  mimo użycia dwóch zmiennych  mówimy o tym samym obiekcie, piszemy: x = y.
Analogicznie jest z metajęzykowymi zmiennymi ‘α’, ‘β’, czy ‘κ’, więc pod dwiema takimi zmiennymi
może kryć się tylko jedno zdanie. Nawet jeśli przykładowo używamy zapisu ‘dla dowolnych zdań α i β’,
to nie ma to znaczyć, że muszą to być dwa (różne) zdania. Użyliśmy jedynie dwóch metajęzykowych
zmiennych ‘α’ i ‘β’. Dopuszczamy przypadek, gdy α = β; chociaż najbardziej nas interesuje przypadek,
gdy α , β. Stąd użycie w zapisie liczby mnogiej. Poza tym, nie ma innej możliwości naturalnego zapisu,
gdzie «mnogość» dotycząca zmiennych przenosi się na «mnogość» dotyczącą zdań.
⋄
Przyjmujemy więc, że równoważność logiczna będzie binarną relacją zachodzącą pomiędzy zdaniami.
Bierzemy więc zdania α i β. Przyjmujemy, że stwierdzenie, iż
zdanie α jest logicznie równoważne ze zdaniem β
ma znaczyć:
z jednoelementowego zbioru {α} wynika logicznie zdanie β oraz z jednoelementowego
zbioru {β} wynika logicznie zdanie α.
czyli w skrócie:
ze zdania α wynika logicznie zdanie β oraz ze zdania β wynika logicznie zdanie α.
Skoro równoważność logiczna ma być dwustronnym wynikaniem logicznym, a dla wyrażenia wynikania logicznego mamy używać symbolu ‘|=, więc dla wyrażenia równoważności logicznej użyjemy
symbolu ‘|==|’ powstałego z połączenia symbolu wynikania ‘|=’ z symbolem wynikania odwrotnego ‘=|’.
Zatem przyjmujemy, że dla dowolnych zdań α i β zapis:
α |==| β
ma znaczyć:
α |= β
oraz
β |= α .
W uwadze 2.1 podkreśliliśmy, że dwie metajęzykowe zmienne mogą odnosić się do tego samego
zdania, a zatem zdane α nie musi być różne od zdania β. Dopuszczamy więc sytuacją, gdy α = β. W takiej
sytuacji otrzymujemy jednak, że zdanie α jest logicznie równoważne z sobą samym, czyli:
α |==| α .
(z|==|)
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
106
A to  ze względu na dowolność zdania α  głosi, że każde zdanie jest logicznie równoważne z sobą
samym, czyli że relacja logicznej równoważności |==| jest zwrotna.
Powyższy fakt otrzymujemy jako trywialny wniosek z tego, że każde zdanie wynika z samego siebie,
czyli że dla dowolnego zdania mamy trywialne wynikanie logiczne:
α |= α .
(z|=)
Istotnie, mając α zarazem jako przesłankę i wniosek użyjemy następującego niezawodnego schematu
wnioskowania:
p
x
p
Istotnie, jest on niezawodny w sposób trywialny, gdyż nie ma takiego podstawienia, przy którym jednocześnie przesłanka będzie prawdziwa, a wniosek okaże się nieprawdziwy. Oczywiście, ten trywialny
schemat wnioskowania tak oraz trywialne wynikanie logiczne nie będzie miały żadnych praktycznych
zastosowań. Jednakże mogą one nam się przydać w teoretycznych rozważaniach.
Otrzymujemy zatem: α |==| α, skoro stwierdzenie to znaczy dosłownie to samo, co: α |= α oraz α |= α,
a to ostatnie sprowadza się do: α |= α.
Ponadto, ze względu na to, że użyty w określeniu relacji równoważności spójnik ‘oraz’ jest przemienny (symetryczny), więc relacja równoważności logicznej |==| jest symetryczna, tzn. że przy jej zapisie
nie jest istotna kolejność występowania zdań. Mianowicie, dla dowolnych α i β mamy:
(s|==|)
,2
01
6/2
01
7
α |==| β wtedy i tylko wtedy, gdy β |==| α
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
W związku z tym zamiast mówić, że zdanie α jest logicznie równoważne ze zdaniem β będziemy mówić,
że zdania α i β są logicznie równoważne.2
Uwaga 2.2. Tak z reguły mówimy, gdy mamy do czynienia z relacjami symetrycznymi. Np. relacja bycia
bratem jest symetryczna w zbiorze wszystkich mężczyzn. Zatem zamiast mówić ‘Jan jest bratem Piotra’
bądź ‘Piotr jest bratem Jana’ powiemy ‘Jan i Piotr są braćmi’ bądź ‘Piotr i Jan są braćmi’.
⋄
Zachodzi więc pytanie, czy relacja równoważności logicznej |==| zachowuje się tak wobec zdań, jak
logiczny symbol identyczności ‘=’ wobec obiektów? Aby dać pozytywną odpowiedź na to pytanie, musimy pokazać, że  tak jak dla identyczność  relacja |==| jest przechodnia (zobacz wniosek 2.1), tj. dla
dowolnych zdań α, β i γ:
jeśli α |==| β i β |==| γ, to α |==| γ .
(p|==|)
Tak jest w istocie, gdyż wynika to z przyjętego określenia relacji |==| oraz z przechodniości relacji |=.3
Mianowicie otrzymujemy:
Twierdzenie 2.1. Dla dowolnych zdań α, β i γ:
jeśli α |= β i β |= γ, to α |= γ .
(p|=)
Dowód. Na początek zauważmy, że dla dowolnych schematów zdaniowych σ1 , σ2 i σ3 prawdziwe jest
następujące stwierdzenie:
σ1
σ2
σ1
Jeśli
x i
x, to Jeśli
x
(∗)
σ2
σ3
σ3
czyli jeśli dwa pierwsze schematy wnioskowania są niezawodne, to także niezawodny jest trzeci schemat
wnioskowania. Istotnie, załóżmy, że dwa pierwsze schematy wnioskowania są niezawodne. Mamy pokazać, że niezawodny jest trzeci ze schematów. W tym celu weźmy dowolne podstawienie, przy którym
z σ1 otrzymamy zdanie prawdziwe. Wówczas  na mocy niezawodności pierwszego schematu  przy
tym podstawieniu prawdziwe jest też zdanie uzyskane z σ2 . Stąd zaś  na mocy niezawodności drugiego
schematu wnioskowania  prawdziwe przy tym podstawieniu jest także zdanie uzyskane z σ3 . W sumie
2
Oczywiście, pojęcie symetryczności nie odnosi się do relacji wynikania logicznego |=, nawet wówczas, gdy mamy doczynienia z jedną przesłanką. Przykładowo, jak pamiętamy, p ∧ q |= p, lecz p 6|= p ∧ q, czyli z koniunkcji dwóch zdań wynika jej
składnik, lecz z jednego składnika nie wynika cała koniunkcja. Innymi słowy, to, że p jest prawdziwe nie znaczy, że koniunkcja
‘p ∧ q musi też być prawdziwa (gdyż do tego potrzeba prawdziwości obu jej składników).
3
Pisząc w poprzedniej części o relacji wynikania logicznego nie poruszaliśmy kwestii ani jej zwrotności, ani przechodniości. Kwestia zwrotności okazała się być trywialna. Co zaś do przechodniości to jest to szczególny przypadek innej, ogólniejszej,
własności relacji wynikania logicznego jaką jest tzw. cięcie. Mówiąc obrazowo, cięcie relacji wynikania logicznego związane
jest z tym, że dedukcje możemy zobrazować w postaci drzew. Z części przesłanek wyjściowych wyciągamy różne wnioski
pośrednie, które z kolei w kolejnych rozumowaniach mogą być przesłankami razem z innymi przesłankami wyjściowymi itd.
Przechodniość wynikania logicznego (α → β → γ) ma raczej charakter liniowy, a nie drzewiasty. Własnością cięcia zajmiemy
się w dalszej części wykładów.
107
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
otrzymujemy, że przy dowolnym podstawieniu, przy którym z σ1 otrzymujemy zdanie prawdziwe, także
z σ3 otrzymujemy zdanie prawdziwe. A to pokazuje, że końcowy schemat wnioskowania jest niezawodny.
Niech α |= β oraz β |= γ. A to ma znaczyć, że każdy z układów α/β i β/γ złożonych ze zdań podpada
pod odpowiedni niezawodny schemat wnioskowania, tj. mamy:
s1 (α)
s1 (β)
x
s2 (β)
s2 (γ)
x
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
gdzie s1 (α), s1 (β), s2 (β) i s2 (γ) są schematami wskazanych zdań. Ponieważ oba wnioskowania α/β i β/γ
są od siebie niezależne, więc w w powyżej podanych ich schematach mogą występować różne schematy
zdaniowe dla zdania β. Innymi słowy, nie wykluczamy tego, że schematy zdaniowe s1 (β) i s2 (β) są różne.4
Zatem nie możemy bezpośrednio skorzystać z zależności (∗). Rozważmy zatem różne przypadki, które
będziemy sprawdzać do sytuacji, w której wolno nam będzie skorzystać z zależności (∗).
Pierwszy, najprostszy przypadek, gdy s1 (β) = s2 (β). Wówczas korzystamy z zależności (∗) biorąc
σ1 ≔ s1 (α), σ2 ≔ s1 (β) oraz σ3 ≔ s2 (γ). Otrzymujemy więc s1 (α) |= s2 (γ).
Trudniejszy do rozważenia jest przypadek, gdy s1 (β) , s2 (β). Jeśli oba schematy mają ten sam poziom ogólności, czyli żaden z nich nie jest bardziej ogólny od drugiego, to różnią się one tylko użyciem
różnych liter schematycznych. Wtedy możemy tak wymienić te litery, że po takiej wymianie ze schematu
s2 (β) otrzymamy schemat s1 (β). Oczywiście, musimy także odpowiednio wymienić litery w schemacie
s2 (γ). Otrzymamy schemat s′2 (γ), który jest także schematem zdania γ. Jednakże po takiej wymianie liter
schematycznych zostaje zachowana niezawodność schematu wnioskowania. Zatem także s1 (β) |= s′2 (γ).
Stosujemy więc zależność (∗) do przypadku σ1 ≔ s1 (α), σ2 ≔ s1 (β) oraz σ3 ≔ s′2 (γ). Otrzymujemy:
s1 (α) |= s′2 (γ).
Teraz przyjmijmy, że schemat s2 (β) jest bardziej ogólny od schematu s1 (β). Wtedy możemy tak uszczegółowić schematy s2 (β) i s2 (γ), że s2 (β) sprowadza do s1 (β), a z s2 (γ) otrzymujemy s′′
2 (γ). Jednakże każde
uszczegółowienie danego schematu niezawodnego daje schemat niezawodny. Mamy więc: s1 (α) |= s1 (β)
′′
i s1 (β) |= s′′
2 (γ). A to, na mocy (∗), daje s1 (α) |= s2 (γ).
Podobnie postępujemy, gdy schemat zdaniowy s1 (β) jest bardziej ogólny od schematu zdaniowego
s2 (β). W sumie otrzymujemy, że w każdym przypadku układ α/γ podpada pod jakiś niezawodny schemat
wnioskowania. A stąd mamy α |= γ.
CND
M
a te
Skoro relacja |= jest przechodnia w zbiorze zdań, wiec zachowuje się dla zdań tak, jak relacja większe-lub-równe > w zbiorze liczb naturalnych (relacja > także jest zwrotna i przechodnia). Możemy więc
stosować zapis postaci: α1 |= α2 |= · · · |= αn . Znaczyć on będzie, że z α1 wynikają logicznie po kolei α2 ,
. . . , αn , czyli w sumie dostajemy: α1 |= αn .
Mając przechodniość relacji |= dostajemy przechodniość relacji |==|.
Wniosek 2.1. Relacja |==| jest przechodnia, tj. dla dowolnych zdań α, β i γ:
jeśli α |==| β i β |==| γ, to α |==| γ .
(p|=)
Dowód. Załóżmy, że α |==| β i β |==| γ. A to  «po rozwinięciu» określenia relacji |==|  znaczy, że α |= β,
β |= α, β |= γ i γ |= β. Stąd, korzystając z twierdzenia 2.1, mamy α |= γ i γ |= α. A to  «po zwinięciu»
określenia relacji |==|  znaczy, że α |==| γ.
CND
Skoro relacja |==| jest przechodnia w zbiorze zdań, wiec zachowuje się dla zdań tak, jak identyczność
dla liczb. Możemy więc stosować zapis postaci: α1 |==| α2 |==| · · · |==| αn . Znaczyć on będzie, że α1
jest logicznie równoważne z wszystkimi pozostałymi α2 , . . . , αn , czyli w sumie dostajemy α1 |==| αn .
Skoro relacja |==| jest symetryczna i przechodnia, więc z tego, że zdania α i β są logicznie równoważne ze zdaniem γ otrzymujemy, że także zdania α i β są logicznie równoważne. Istotnie, przyjęte
założenie głosi, że α |==| γ i β |==| γ. Zatem γ |==| β, na mocy symetrii. Stąd α |==| β, na
mocy przechodniości. W związku z powyższym możemy mówić, że wszystkie zdania w danym zbiorze
są parami logicznie równoważne. Z reguły pomijamy słowo ‘parami’ mówiąc, że dany zbiór składa się ze
zdań logicznie równoważnych.
4
Popełnimy błąd, jeśli z góry przyjmiemy, że w obu schematach wnioskowania mamy ten sam schemat dla zdania β.
Ta komplikacja bierze się stąd, iż nasze określenie relacji wynikania logicznego oparliśmy na pojęciu niezawodnego schematu wnioskowania. Często ta relacja oparta jest na pojęciu modelu logicznego. W takim przypadku nie mielibyśmy takich
komplikacji. Jednakże samo pojęcie modelu logicznego jest skomplikowanym pojęciem matematycznym. Ponadto, stosując
modele musielibyśmy przyjąć, że znamy już logikę, a w tym pojęcie wynikania logicznego.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
108
Uwaga 2.3. W nawiązaniu do uwagi 2.2, przypomnijmy, że zbiorze wszystkich mężczyzn relacja bycia
bratem jest symetryczna. Nie jest ona jednak przechodnia, gdyż możemy mieć do czynienia z tzw. braćmi
przyrodnimi, czyli takim, którzy mają tylko jednego wspólnego rodzica. Zatem może się zdarzyć, że Jan
i Paweł są braćmi Piotra, lecz Jan i Paweł nie są braćmi.
⋄
A co to znaczy, że zdania α i β nie są logicznie równoważne? Skoro równoważność logiczna to zachodzenie dwóch logicznych wynikań, więc brak równoważności to brak co najmniej jednego z tych
wynikań. Zatem fraza zdaniowa:
zdania α i β nie są logicznie równoważne
znaczy:
z α nie wynika logicznie β i/lub z β nie wynika logicznie α.
Dopuszczamy przypadek, że nie ma obu wynikań logicznych, jednak tego nie stwierdzamy. Zapis ‘i/lub’
mówi, że o takim użyciu ‘lub’, które nie wyklucza zajścia obu przypadków.
W zapisie symbolicznym brak równoważności logicznej zaznaczamy przez ‘ |=6 =| ’. Zatem zapis:
α |=6 =| β
ma znaczyć:
α 6|= β i/lub
β 6|= α.
,2
01
6/2
01
7
2.2. Podstawowe właściwości relacji logicznej równoważności
Na mocy twierdzenia 3.1 z części 7, które dotyczyło wynikania logicznego, dostajemy:
yk
ła d
uL
PK
Twierdzenie 2.2. Jeżeli dwa zdania są logicznie równoważne, to nie może się zdarzyć, aby jednocześnie
jedno z nich było prawdziwe, a drugie nie było prawdziwe.
ły
do
w
Dowód. Załóżmy, że α |==| β. Wtedy, na mocy określenia, mamy α |= β oraz β |= α. Stąd, na mocy twierdzenia 3.1 z części 7, nie może się zdarzyć, aby jednocześnie α było prawdziwe, a β nie było prawdziwe,
a ponadto nie może się też zdarzyć, aby jednocześnie β było prawdziwe, a α nie było prawdziwe. CND
M
a te
r ia
Powyższe twierdzenie głosi więc, że dwa zdania logicznie równoważne albo razem są prawdziwe, albo
razem nie są prawdziwe. Nie znaczy to jednak, że każde dwa zdania prawdziwe są logicznie równoważne,
albo że każde dwa zdania nieprawdziwe są logicznie równoważne.
Tak jak z twierdzenia 3.1 z części 7 otrzymaliśmy pewne wnioski dotyczące relacji |=, tak analogiczne
wnioski dotyczące relacji |==| otrzymamy teraz z twierdzenia 2.2. Poszczególne z poniższych wniosków
otrzymamy również z określenia relacji |==| oraz kolejno z wniosków 3.1–3.3 z części 7.
Wniosek 2.2. Jeżeli zdanie α jest prawdziwe, a zdanie β nie jest prawdziwe, to α |=6 =| β.
Jeżeli zdanie β jest prawdziwe, a zdanie α nie jest prawdziwe, to α |=6 =| β.
Zatem jeżeli jedno ze zdań jest prawdziwe, a drugie nie jest, to nie są one logicznie równoważne.
Dowód. Załóżmy, że jednocześnie zdanie α jest prawdziwe, a zdanie β nie jest prawdziwe. Zatem tak
się zdarzyło. A wiemy z twierdzenia 2.2, że to nie może to się zdarzyć, gdy α |==| β. Analogiczne
uzasadnienie stosujemy w drugim przypadku.
CND
Wniosek 2.3. Jeżeli α |==| β oraz α jest prawdziwe, to prawdziwy jest też β.
Jeżeli α |==| β oraz β jest prawdziwe, to prawdziwy jest też α.
Zatem jeżeli dwa zdania są logicznie równoważne oraz jedno z nich jest prawdziwe, to drugie także jest
prawdziwe.
Dowód. Załóżmy, że α |==| β oraz α jest prawdziwe. Gdyby wówczas β nie było prawdziwe, to na mocy
wniosku 2.2 nie zachodziłaby równoważność logiczna. Analogiczne uzasadnienie stosujemy w drugim
przypadku.
CND
Wniosek 2.4. Jeżeli α |==| β oraz zdanie α nie jest prawdziwe, to zdanie β także nie jest prawdziwe.
Jeżeli α |==| β oraz zdanie β nie jest prawdziwe, to zdanie α także nie jest prawdziwe.
Zatem jeżeli dwa zdania są logicznie równoważne oraz jedno z nich nie jest prawdziwe, to drugie także
nie jest prawdziwe.
Dowód. Załóżmy, że α |==| β oraz zdanie α nie jest prawdziwe. Stąd β także nie jest prawdziwe, na
CND
mocy wniosku 2.3. Analogiczne uzasadnienie stosujemy w drugim przypadku.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
109
2.3. Równoważność logiczna a równoważność w sensie potocznym. Równoważność pozalogiczna
Twierdzenie 2.2 gwarantuje nam, że każda równoważność logiczna jest równoważnością w potocznym tego słowa znaczeniu (nie jest jednak odwrotnie; zob. dalej). Ta druga równoważność  tak jak
pierwsza  ma być symetryczną binarną relacją zachodzącą pomiędzy zdaniami. Równoważność w sensie potocznym ma także być dwustronnym wynikaniem, lecz tym razem branym w sensie potoczny (zob.
podpunkt 3.3 w części 7). Dalej będziemy opuszczać frazę ‘w sensie potocznym’. Zatem jeśli nie dodamy przymiotnika ‘logiczne’ bądź ‘logiczna’, to chodzić nam będzie o wynikanie bądź równoważność
rozumiane w sensie potocznym.
Zatem przyjmujemy, że dla zdań α i β stwierdzenie, iż
zdanie α jest równoważne ze zdaniem β
ma znaczyć:
ze zdania α wynika zdanie β oraz ze zdania β wynika zdanie α.
Ze względu na to, że użyty w powyższym określeniu spójnik ‘oraz’ jest przemienny (symetryczny),
więc relacja równoważności jest symetryczna, tzn. że przy jej zapisie nie jest istotna kolejność występowania zdań. Mianowicie, dla dowolnych zdań α i β mamy:
α jest równoważne z β wtedy i tylko wtedy, gdy β jest równoważne z α.
,2
01
6/2
01
7
W związku z tym zamiast mówić, że zdanie α jest równoważne ze zdaniem β będziemy mówić, że zdania
α i β są równoważne.5
Pamiętamy, że każde logiczne wynikanie jest także wynikaniem w sensie potocznym (zob. s. 98–99
w z części 7, a w tym twierdzenie 3.2). Zatem otrzymujemy:
yk
ła d
uL
PK
Twierdzenie 2.3. Każda przypadek równoważności logicznej przedstawia równoważność w sensie potocznym.
ły
do
w
Dowód. Załóżmy, że α |==| β, co znaczy, że α |= β oraz β |= α. Wtedy  na mocy twierdzenia 3.2 z
części 7  otrzymujemy, że również w sensie potocznym z α wynika β oraz β wynika α. A to zaś znaczy,
że α i β są równoważne (w sensie potocznym).
CND
M
a te
r ia
W podanym określeniu relacji równoważności nie wykluczamy tego, że co najmniej jedno z wynikań
będzie wynikaniem logicznym. Jeśli oba z występujących tam wynikań będą wynikaniami logicznymi,
to po prostu będziemy mieć do czynienia z równoważnością logiczną, co wynika z określenia oraz jest
zgodne z twierdzeniem 2.3. Jeżeli zaś co najmniej jedno z wynikań będzie pozalogiczne (tj. nie będzie
wynikaniem logicznym), to będziemy mieć do czynienia z równoważnością pozalogiczną.
Biorąc pod uwagę znaczenie użytego w sensie potocznym terminu ‘wynika’ (por. podpunkt 3.3 w
części 7) otrzymujemy, że potoczne rozumienie stwierdzenie, iż
dwa zdania są równoważne
ma sprowadza się do następującego znaczenia:
nie może się zdarzyć, aby jednocześnie jedno z tych zdań było prawdziwe, a drugie nie
było prawdziwe.
To zaś, w oparciu o twierdzenie 2.2, również jest uzasadnieniem twierdzenia 2.3.
Twierdzenie 2.3 nie jest odwracalne, czyli niektóre z równoważności w sensie potocznym są pozalogiczne. Pokazuje to poniższy przykład.
Przykład 2.1. Przyjmijmy, że użyte dalej imiona odnoszą się do mężczyzn. Skoro relacja bycia bratem
jest symetryczna w zbiorze mężczyzn (por. uwagę 2.2), więc zdania ‘Jan jest bratem Piotra’ i ‘Piotr jest
bratem Piotra’ muszą mieć tę samą wartość logiczną, czyli nie może się zdarzyć, aby jedno z nich było
prawdziwe, a drugie fałszywe. To jednocześnie pokazuje, że z każdego z tych zdań wynika drugie z nich.
Nie mamy przy tym wynikania logicznego, gdyż oba zdania jako przesłanka i wniosek podpadają pod
następujący zawodny schemat wnioskowania:
a jest R-em b
aRb
6x
6x
b jest R-em a
bRa
5
Oczywiście, pojęcie symetryczności nie odnosi się do relacji wynikania (w sensie potocznym). Mianowicie, z przypisu 2
wiemy, że nie jest symetryczna relacja wynikania logicznego |=, a przecież każde wynikanie logiczne przedstawia wynikanie w
sensie potocznym. (zob. twierdzenie 3.2 z części 7). Skoro nie jest symetryczna relacja |=, która jest zawarta w relacji wnikania,
więc i ta druga nie jest symetryczna.
110
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
Istotnie, wystarczy podstawić: a/2; R/większe od; b/1, aby otrzymać prawdziwą przesłankę ‘2 > 1’ i
fałszywy wniosek ‘1 > 2’.
Podany schemat wnioskowania jest najbardziej szczegółowym ze schematów, pod który podpadają analizowane przesłanka i wniosek. Zatem zawodny jest też każdy schemat wnioskowania, pod który
podpada para złożona z przesłanki i wniosku. Zatem z podanej przesłanki nie wynika logicznie podany
wniosek. Mamy więc dwa wynikania pozalogiczne: Zatem:
Jan jest bratem Piotra
Piotr jest bratem Jana
wynika pozalogicznie
Piotr jest bratem Jana
Jan jest bratem Piotra
wynika pozalogicznie
Zatem mamy również do czynienia z pozalogiczną równoważnością zdań ‘Jan jest bratem Piotra’ i ‘Piotr
jest bratem Piotra’.
⋄
,2
01
6/2
01
7
Zauważmy, że w związku z twierdzeniem 2.3, także pojęcie równoważności w sensie potocznym
spełnia trzy wnioski 2.2–2.4. Mianowicie, w dowodzie wniosku 2.2 istotne było tylko to, że nie może
się zdarzyć, aby jednocześnie jedno ze zdań było prawdziwe, a drugie nie było prawdziwe. Ponadto,
wniosek 2.3 otrzymano z wniosku 2.2, a wniosek 2.4 z wniosku 2.3. Zatem usuwając z wniosków 2.2–2.4
przymiotnik ‘logiczne’ także uzyskamy prawdziwe stwierdzenia:
— Jeżeli jedno ze zdań jest prawdziwe, a drugie nie jest, to nie są one równoważne.
— Jeżeli dwa zdania są równoważne oraz jedno z nich jest prawdziwe, to prawdziwe jest także drugie.
— Jeżeli dwa zdania są równoważne i jedno z nich nie jest prawdziwe, to drugie też nie jest prawdziwe.
Powyżej słowo ‘równoważne’ odnosi się zarówno do równoważności logicznej, jak i do pozalogicznej
(tj. równoważności w sensie potocznym nie będącej logiczną równoważnością).
yk
ła d
uL
PK
3. Inne rodzaje wynikania i równoważności
M
a te
r ia
ły
do
w
Mamy takie rozumowania, które nie podpadają pod żaden niezawodny schemat wnioskowania, a mimo to nie może się zdarzyć, aby wszystkie ich przesłanki były prawdziwe, a wniosek był nieprawdziwy.
Takie przypadki zaliczamy do wynikań w sensie potocznym. Mówimy wówczas, że zachodzi wynikanie
pozalogiczne (por. podpunkt 3.3 z części 7).
Przypomnijmy, że potoczne pojęcie wynikania można określić w następujący sposób. Dla dowolnego
niepustego zbioru zdań Π i dowolnego zdania κ przyjmujemy, że stwierdzenie, iż
ze zbioru zdań Π wynika zdanie κ
ma znaczyć:
nie może się zdarzyć, aby jednocześnie wszystkie zdania ze zbioru Π były
prawdziwe, a zdanie κ nie było prawdziwe.
Jak pamiętamy, każdy przypadek wynikania logicznego jest wynikaniem w sensie potocznym, czyli
przy wynikaniu logicznym nie może się zdarzyć, aby wszystkie przesłanki były prawdziwe, a wniosek był
nieprawdziwy. Jednakże, nie wszystkie wynikania w sensie potocznym zaliczymy do wynikań logicznych.
Te wynikania, które nie zaliczymy do wynikań logicznych, określamy mianem wynikań pozalogicznych6 ,
gdyż nie przedstawiają one wynikania opartego wyłącznie na logicznej strukturze przesłanek i wniosku.
Podane określenie wynikanie w sensie potocznym ma jednak tę wadę, że odwołujemy się w nim do
intuicyjnych pojęć zdarzenia oraz możliwości. Pokażemy, że pojęcie wynikania (w sensie potocznym)
można uściślić, przy czym koronną rolę będzie tu grać pojęcie wynikania logicznego.
3.1. Wynikanie entymematyczne
W podpunkcie 3.3 części 7 podaliśmy następujący przykład wynikania pozalogicznego:
Jan jest kawalerem
Jan nie jest żonaty
wynika pozalogicznie
To wynikanie można uzasadnić nie tylko poprzez odwołanie się do intuicyjnego pojęci możliwego zdarzenia (nie jest możliwe, aby jednocześnie Jan był kawalerem oraz był żonaty). Mianowicie zauważmy,
że przykład ten przedstawia tzw. wynikanie entymematyczne, czyli że oparte jest na jakiejś «ukrytej»
6
Przypomnijmy, że nie używamy tutaj zwrotu ‘nielogiczne’. W logice zwrot ‘nielogiczne’ pozostawiamy w potocznym
znaczeniu (czyli: sprzeczne, bez sensu itp.). Zatem nie ma nielogicznych wynikań.
111
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
prawdziwej przesłance. Mianowicie, słowo ‘kawaler’ znaczy ‘mężczyzna, który nigdy nie był żonaty’.
A stąd mamy zawsze prawdziwe zdanie:
Żaden kawaler nie jest żonaty.
Innym takim zawsze prawdziwym zdaniem jest np. poniższe zdanie warunkowe:
Jeżeli Jan jest kawalerem, to Jan nie jest żonaty.
Takie zdania nazywamy analitycznie prawdziwymi, gdyż ich prawdziwość wypływa wyłącznie z analizy
znaczenia występujących w nich słów.7
Skoro powyższe zdania są zawsze prawdziwe, więc możemy dodać każde z nich jako «ujawnioną»
przesłankę do poprzednio analizowanego rozumowania. Otrzymamy:
Żaden kawaler nie jest żonaty
Jan jest kawalerem
Jan nie jest żonaty
Jeżeli Jan jest kawalerem, to Jan nie jest żonaty
Jan jest kawalerem
Jan nie jest żonaty
x
x
Teraz jednak zachodzi już wynikanie logiczne, gdyż całość podpada odpowiednio pod jeden z następujących niezawodnych schematów wnioskowania:
Jeżeli p, to q
p
q
x
,2
01
6/2
01
7
Żaden S nie jest P-em
a jest S -em
a nie jest P-em
x
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Dla wynikania logicznego nie jest istotne, czy druga przesłanka jest prawdziwa (czyli czy rzeczywiście Jan jest kawalerem). Pierwsza przesłanka jest zdaniem analitycznym, czyli musi być prawdziwa.
W praktyce zatem ukrywa się tę pierwszą przesłankę (‘Żaden kawaler nie jest żonaty’ lub ‘Jeżeli Jan jest
kawalerem, to Jan nie jest żonaty’) twierdząc, że ze zdania ‘Jan jest kawalerem’ wynika zdanie ‘Jan nie
jest żonaty’. To wynikanie zaliczamy do pozalogicznych.
Można zauważyć, że pozostawiliśmy jako jawną przesłankę wymagającą uzasadnienia, gdybyśmy
chcieli otrzymać uzasadnienie prawdziwości wniosku. Innymi słowy, w praktyce, jeśli tylko uzasadnimy
prawdziwość jawnej przesłanki (‘Jan jest kawalerem’), to także uzasadnimy prawdziwość wniosku (‘Jan
nie jest żonaty’).
Każde takiego typu wynikanie pozalogiczne nazywa się entymematycznym (nazwa pochodzi z greki i
znaczy miej więcej tyle, co ukrycie czegoś). Tego typu wynikania możemy określić w następujący sposób.
Dla dowolnego niepustego zbioru zdań Π i dowolnego zdania κ przyjmujemy, że stwierdzenie, iż
ze zbioru zdań Π wynika entymematycznie zdanie κ
ma znaczyć:
ze zbioru Π nie wynika logicznie zdanie κ, lecz mamy jakiś zbiór Ω zdań zawsze
prawdziwych taki, że dodając go do zbioru Π uzyskamy logiczne wynikanie
zdania κ ze zbioru zdań Π ∪ Ω.
Na przykładzie uzasadnimy dlaczego w definicji wynikania entymematycznego niezbędny jest warunek, że jako ukryte przesłanki można brać jedynie zdania pewne. Mianowicie, gdybyśmy nie żądali
spełnienia tego warunku, to z dowolnego zdania wynikałoby entymematycznego dowolne inne zdanie.
Przykład 3.1. Rozważmy poniższe niepoprawne rozumowanie:
Jan jest człowiekiem
Jan jest bogaty
nie ma wynikania
Nie ma tu wynikania nawet w sensie potocznym, gdyż możliwe jest, że Jan jest niebogatym człowiekiem.
Dodajmy fałszywą przesłankę ‘Każdy człowiek jest bogaty’. Otrzymujemy wynikanie logiczne:
Każdy człowiek jest bogaty
Jan jest człowiekiem
Jan jest bogaty
7
Ω
Π
κ
x
Zauważmy, że nie jest tutaj istotne to, co znaczą słowa ‘mężczyzna’ i ‘żonaty’. Ważne jest tylko to, że z definicji: kawaler
to mężczyzna, który nigdy nie był żonaty, zatem teraz także nie jest żonaty.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
112
gdyż podpada ono pod następujący schemat niezawodny:
Każdy S jest P-em
a jest S -em
a jest P-em
x
Oczywiście, po dodanie drugiej przesłanki mamy gwarancję, że gdyby obie przesłanki były prawdziwe, to
wniosek też byłby prawdziwy. Jednakże, przy samej wyjściowej przesłance (Π) nie mamy gwarancji, że
gdyby ona była prawdziwa, to prawdziwy byłby też wniosek. A dodana przesłanka po prostu jest fałszywa,
zatem nie wpłynie ona na uzasadnienie prawdziwości wniosku.
⋄
,2
01
6/2
01
7
Jest jeszcze jedno wytłumaczenie tego, że dodane przesłanki muszą byś zawsze prawdziwe. Po prostu
wystarczyłoby do zbioru Π dodać samo zdanie κ. Z rozszerzonej grupy Π ∪ {κ} już logicznie wynika
zdanie κ. Mianowicie, mamy «trywialny» schemat wnioskowania, w którym wnioskiem i zarazem jedną
z przesłanek jest litera zdaniowa ‘p’. Zastępuje ona zdanie κ, które jest zarazem przesłanką i wnioskiem:



q1




..
Π
.





qn
Π
p
κ x(«trywialnie»)
x
p
κ
yk
ła d
uL
PK
Taki «trywialny» schemat oczywiście jest niezawodny (jeśli prawdziwe jest p i pozostałe przesłanki, to
prawdziwe jest p). Widzimy jednak, że w ten sposób nie wykażemy prawdziwości zdania κ (o ile wcześniej
tego nie zrobiliśmy).
Teraz udowodnimy, że każde wynikanie entymematyczne jest wynikaniem w potocznym tego słowa
znaczeniu, czyli jest wynikaniem pozalogicznym. W tym celu pokażemy, że spełnia ono odpowiednik
twierdzenia 3.1 z części 7.
r ia
ły
do
w
Twierdzenie 3.1. Jeśli ze zbioru zdań Π wynika entymematycznie zdanie κ, to nie może się zdarzyć, aby
wszystkie zdania ze zbioru Π były prawdziwe, a zdanie κ nie było prawdziwe.
M
a te
Dowód. Przyjmijmy, że grupy zdań Π wynika entymematycznie zdanie κ. Wtedy istnieje taka niepusta
grupa zdań Ω, które są zawsze prawdziwe oraz takie, że ze zbioru Π ∪ Ω wynika logicznie zdanie κ. A to
zaś znaczy, że istnieje niezawodny schemat wnioskowania taki, że zdania ze zbioru Π ∪ Ω podpadają pod
przesłanki tego schematu, a zdanie κ pod jego wniosek.
Załóżmy teraz nie wprost, że jest taka możliwość, że wszystkie zdania ze zbioru Π są prawdziwe,
a zdanie κ nie jest prawdziwe. Wtedy, gdyby taka możliwość zaszła, to skoro wszystkie zdania ze zbioru
Ω zawsze są prawdziwe, to otrzymalibyśmy podstawienie znalezionego schematu, przy którym wszystkie
przesłanki byłyby prawdziwe, a wniosek byłby nieprawdziwy. Tego jednak nie da się zrobić dla niezawodnego schematu wnioskowania.
Zatem otrzymaliśmy sprzeczność. Musimy więc odrzucić przyjęte założenie nie wprost. Innymi słowy, nie ma takiej możliwości, aby wszystkie zdania ze zbioru Π były prawdziwe, a zdanie κ nie było
prawdziwe.
CND
Ukryte przesłanki mogą być z różnych względów zdaniami zawsze prawdziwymi. Mogą to być prawa
nauki bądź zdania wypływające z różnych konwencji (umów) występujących w nauce. Często są to też po
prostu zdania analitycznie prawdziwe (czyli takie, których prawdziwość wypływa ze znaczenia użytych
w nich słów).
Z punktu widzenia logiki nie jest istotny problem, czy każde wynikanie pozalogiczne jest wynikaniem entymematycznym. Zatem nie będziemy tu rozstrzygać, czy każde wynikanie pozalogiczne daje się
sprowadzić do wynikania logicznego poprzez dodanie odpowiednich zawsze prawdziwych przesłanek.
3.2. Równoważność entymematyczna
Relacja równoważności entymematycznej także ma być zachodzącą w zbiorze zdań symetryczną relacją binarną oraz ma być obustronnym wynikaniem. Jednakże oba wynikania nie muszą być entymematyczne. Jedno z nich może być wynikaniem logiczny.
Zatem zdania α i β są równoważnie entymematycznie w trzech przypadkach:
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
113
1. z α wynika entymematycznie β oraz z β wynika entymematycznie α;
2. z α wynika entymematycznie β oraz z β wynika logicznie α;
3. α wynika logicznie β oraz z β wynika entymematycznie α.
Oczywiście, jeśli oba wynikania są logiczne, to mamy do czynienia z równoważnością logiczną, a takiej
nie zaliczamy do równoważności entymematycznych (podobnie jak wynikania logiczne nie są entymematyczne).
Należy podkreślić, że w przypadku (1) w obu entymematycznych wynikaniach możemy dodawać
zupełnie różne zbiory entymematycznych («ukrytych») przesłanek. Tak może być tak, że Ω1 , α |= β oraz
Ω2 , β |= α, przy czym Ω1 , Ω2 . W każdym z przypadków (2) i (3) mamy tylko jeden zbiór ukrytych
przesłanek: (2) Ω1 , α |= β oraz β |= α; (3) α |= β oraz Ω2 , β |= α.
Także z punktu widzenia logiki nie jest istotny problem, czy każda równoważność pozalogiczna jest
równoważnością entymematyczną.
3.3. Ogólne pojęcie wynikania
Możemy teraz wprowadzić ogólne pojęcie wynikania, które zastąpi intuicyjnie pojmowane wynikanie
w sensie potocznym. Przyjmujemy, że dla dowolnego niepustego zbioru zdań Π i dowolnego zdania κ
stwierdzenie, iż
ze zbioru zdań Π wynika ogólnie zdanie κ
,2
01
6/2
01
7
ma znaczyć:
ze zbioru zdań Π wynika zdanie κ albo logicznie, albo entymematycznie.
Wprost z definicji oraz z twierdzenia 3.2 z części 7 i twierdzenia 3.1 otrzymujemy:
yk
ła d
uL
PK
Twierdzenie 3.2. Jeśli ze zbioru zdań Π wynika zdanie κ, to nie może się zdarzyć, aby wszystkie zdania
ze zbioru Π były prawdziwe, a zdanie κ nie było prawdziwe.
M
a te
r ia
ły
do
w
Pojęcie wynikania w sensie ogólnym jest przechodnie. Jednakże udowodnimy to dopiero wówczas,
gdy poznamy pewną ważną własność relacji wynikania logicznego, która będzie uogólnieniem przechodniości tej relacji. Będzie to tzw. własność cięcia.8
A co będzie znaczyć brak wynikania w sensie ogólnym? Stwierdzenie, że
ze zbioru zdań Π nie wynika zdanie κ
ma następujące znaczenie:
ze zbioru zdań Π nie wynika zdanie κ ani logicznie, ani entymematycznie.
3.4. Ogólne pojęcie równoważności
Relację równoważności (w sensie ogólnym) wprowadzamy podobnie, jak relację równoważności logicznej, czyli określimy je jako dwustronne wynikanie (w sensie ogólnym). Zatem dla dowolnych zdań α
i β fraza zdaniowa:
zdanie α jest równoważne w sensie ogólnym ze zdaniem β
ma znaczyć:
ze zdania α wynika zdanie β oraz ze zdania β wynika zdanie α.
Oczywiście, tak jak relacje równoważności logicznej i relacja równoważności w sensie potocznym,
także symetryczna jest relacja równoważności w sensie ogólnym, tzn. nie jest istotna kolejność występowania zdań α i β. Mianowicie,
zdanie α jest równoważne ze zdaniem β wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie β jest
równoważne ze zdaniem α.
Dlatego też wolno będziemy pisać: zdania α i β są równoważne.
8
Relacja wynikania entymematycznego nie jest jednak przechodnia. Może się zdarzyć, że z α wynika pozalogicznie β oraz
z β wynika pozalogicznie γ, a jednak z α |= γ, czyli mamy wynikanie logiczne, a nie pozalogiczne. W szczególnym przypadku
mamy zdania takie, że z α wynika pozalogicznie β, a z β wynika pozalogicznie α (zob. przykład 2.1). Jednak α |==| α, czyli
mamy też wynikanie logiczne, a nie pozalogiczne.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
114
Oczywiście, równoważność w sensie ogólnym jest także zwrotna, tzn. każde zdanie jest równoważne
z sobą samym. Otrzymujemy to z tego, że każde zdanie wynika logicznie z samego siebie (czyli też
wynika w sensie ogólnym).
Przypomnijmy, że w wynikanie w sensie ogólnym to albo wynikanie logiczne, albo wynikanie entymematyczne. W określeniu relacji równoważności, jako dwustronnego wynikanie, nie interesuje nas
jednak, który rodzaj wynikania zachodzi w daną stronę. Dopuszczamy następujące przypadki:
1. oba wynikania są entymematyczne;
2. tylko jedno z wynikań jest entymematyczne;
3. oba wynikania są logiczne.
W ostatnim przypadku mamy po prostu do czynienia z równoważnością logiczną. Skoro wprost z definicji
każde wynikanie logiczne jest wynikaniem w sensie ogólnym, więc otrzymujemy, że każda równoważność logiczna jest także równoważnością w sensie ogólnym.
Twierdzenie 3.3. Jeżeli zdania są logicznie równoważne, to są równoważne w sensie ogólnym.
Jeśli chociaż w jednym kierunku mamy wynikanie entymematyczne, to będziemy mieć do czynienia
z równoważnością entymematyczną. Zatem dwa zdania są równoważne entymematycznie wtedy i tylko
wtedy, gdy są równoważne, lecz co najmniej jedno z wynikań jest entymematyczne (por. podpunkt 3.2).
Na mocy twierdzenia dotyczącego wynikania w sensie ogólnym dostajemy:
,2
01
6/2
01
7
Twierdzenie 3.4. Jeżeli dwa zdania są równoważne, to nie może się zdarzyć, aby jednocześnie jedno z
nich było prawdziwe, a drugie nie było prawdziwe.
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Zatem dwa zdania równoważne albo razem są prawdziwe, albo razem nie są prawdziwe. Nie znaczy
to jednak, że każde dwa zdania prawdziwe są równoważne, albo że każde dwa zdania nieprawdziwe są
równoważne.
A co ma znaczyć stwierdzenie, że zdania α i β nie są równoważne? Skoro równoważność to zachodzenie dwóch wynikań, więc brak równoważności to brak co najmniej jednego z tych wynikań. Zatem
fraza zdaniowa:
zdania α i β nie są równoważne
r ia
znaczy:
M
a te
ze zdania α nie wynika β i/lub ze zdania β nie wynika α.
Zatem dopuszczamy, że nie ma obu wynikań, jednak tego nie stwierdzamy. Zapis ‘i/lub’ mówi o użyciu
tzw. ‘lub’ niewykluczającego zajścia obu sytuacji.
3.5. Wynikanie analityczne
W tym przypadku, gdy «ukryte» przesłanki są zdaniami analitycznymi, mamy do czynienia ze specjalnym rodzajem wynikania entymematycznego, jakim jest wynikanie analityczne. Jednakże z pewnych względów związanych z sensem przymiotnika ‘analityczne’ wynikania logiczne także zaliczymy do
analitycznych.
Mianowicie, wynikanie analityczne ma być takim, które otrzymujemy ze znaczeń użytych wyrażeń
językowych oraz ze struktury logicznej układu zdań. Ponieważ wszystkie stałe logiczne są wyrażeniami
językowymi, więc wszystkie wynikania logiczne zaliczymy do analitycznych. Innego rodzaju wynikaniami analitycznymi będą takie wynikania entymematyczne, w których «ukryte» przesłanki są zdaniami
analitycznie prawdziwymi.
Przyjmujemy, że dla dowolnego niepustego zbioru zdań Π i dowolnego zdania κ stwierdzenie, iż
ze zbioru zdań Π wynika analitycznie zdanie κ
ma znaczyć:
ze zbioru Π wynika zdanie κ albo logicznie, albo entymematycznie, przy czym w drugim
przypadku wszystkie ukryte przesłanki są zdaniami analitycznie prawdziwymi.
Zatem w zakres wynikania analitycznego wchodzą wszystkie wynikania logiczne oraz niektóre przypadki wynikania entymematycznego (czyli pozalogicznego); te przypadki, w których wszystkie ukryte
przesłanki są zdaniami analitycznymi.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
115
Oto rozważany już przykład pozalogicznego wynikania analitycznego:
Jan jest kawalerem
Jan nie jest żonaty
wynika analityczne
Oczywiście, w praktyce termin ‘wynikanie analityczne’ używamy tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z wynikaniem, które jest pozalogiczne, czyli jest entymematyczne, a jego wszystkie ukryte przesłanki
są zdaniami analitycznie prawdziwymi. Gdy mamy zaś do czynienie z wynikaniem logicznym, to nie
nazywamy go analitycznym, choć jest nim także (na mocy definicji).
Pojęcie wynikania analitycznego jest przechodnie, tak jak wynikanie w sensie ogólnym. Jednakże
udowodnimy to dopiero wówczas, gdy poznamy pewną ważną własność relacji wynikania logicznego,
która będzie uogólnieniem przechodniości tej relacji. Będzie to tzw. własność cięcia.
A co będzie znaczyć brak wynikania analitycznego? Stwierdzenie, że
ze zbioru zdań Π nie wynika analityczne zdanie κ
ma następujące znaczenie:
ze zbioru zdań Π nie wynika zdanie κ ani logicznie, ani entymematycznie
z analitycznnie prawdziwymi wszyskimi ukrytymi przesłankami.
3.6. Równoważność analityczna
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Wszystko to, co powiedzieliśmy o równoważności logicznej i równoważności w sensie ogólnej da się
przełożyć na równoważność analityczną. Określamy równoważność analityczną, jako obustronne wynikanie analityczne. Przyjmujemy, że dla dowolnych zdań α i β fraza:
zdanie α jest równoważne analitycznie ze zdaniem β
ma znaczyć:
ły
do
w
ze zdania α wynika analitycznie zdanie β oraz ze zdania β wynika analitycznie zdanie α.
M
a te
r ia
Widzimy, że relacja równoważności analitycznej jest symetryczna, tzn. nie jest istotna kolejność zdań
występowania zdań α i β. Mianowicie,
zdanie α jest analitycznie równoważne ze zdaniem β
znaczy to samo, co:
zdanie β jest analitycznie równoważne ze zdaniem α.
Dlatego też w takich przypadkach wolno mówić:
zdania α i β są analitycznie równoważne.
Oczywiście, równoważność analityczna jest także zwrotna, tzn. każde zdanie jest analitycznie równoważne z sobą samym, gdyż każde zdanie jest logicznie równoważne z samym sobą.
Przypomnijmy, że wynikanie analityczne to albo wynikanie logiczne, albo wynikanie entymematyczne oparte na «ukrytych» analitycznie prawdziwych przesłankach. W określeniu relacji równoważności
analitycznej, jako dwustronnego analitycznego wynikanie, nie interesuje nas jednak, który rodzaj wynikania zachodzi w daną stronę. Dopuszczamy następujące przypadki:
1. oba wynikania są pozalogiczne (lecz analityczne);
2. tylko jedno z wynikań jest pozalogiczne (lecz analityczne);
3. oba wynikania są logiczne.
W ostatnim przypadku  wprost z definicji  mamy do czynienia z równoważnością logiczną. Zatem
każda równoważność logiczna jest także równoważnością analityczną (skoro każde wynikanie logiczne
jest wynikaniem analitycznym). Ponadto, jeśli chociaż w jednym kierunku mamy pozalogiczne wynikanie
analityczne, to będziemy mieć do czynienia z pozalogiczną równoważnością analityczną.
Oczywiście, każda równoważność analityczna jest równoważnością w sensie ogólnym. Zatem z twierdzenia 3.4 dostajemy:
Twierdzenie 3.5. Jeżeli dwa zdania są analitycznie równoważne, to nie może się zdarzyć, aby jednocześnie jedno z nich było prawdziwe, a drugie nie było prawdziwe.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 8
116
Ponownie otrzymujemy, że fraza zdaniowa:
zdania α i β nie są analitycznie równoważne
znaczy:
z α nie wynika analitycznie β i/lub z β nie wynika analitycznie α.
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Zatem dopuszczamy, że nie ma obu wynikań, jednak tego nie stwierdzamy. Zapis ‘i/lub’ mówi o użyciu
tzw. ‘lub’ niewykluczającego (zajścia obu sytuacji).