Traktat o wszystkim i o niczym, czyli jak poprawnie zabłądzić

Traktat o wszystkim i o niczym, czyli jak poprawnie zabłądzić
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam
Topologia czyli nauka o topolach:
Topologią nazywamy rodzinę τ podzbiorów zbioru X spełniającą
trzy warunki:
(i) ∅ i X ∈ τ
(ii) ∀Ui ∈tau,i∈I
S
Ui ∈ τ
(iii) Dla dowolnych zbiorów U1 , U2 ∈ τ, U1 ∩ U2 ∈ τ
Zbiory należące do topologii nazywamy zbiorami otwartymi
Parę {X , τ } nazywamy przestrzenią topologiczną
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam
Dalszy ciąg topolologii
Definicja (Najprostsza definicja przekształcenia ciągłego)
Przekształcenie f : (X , τX ) → (Y , τY ) nazywamy ciągłym jeśli dla
każdego zbioru U ∈ τY f −1 (U) ∈ τX
Definicja (To samo a jednak wygląda inaczej)
Przekształcenie f : (X , τX ) → (Y , τY ) nazywamy
homeomorfizmem jeżeli f jest ciągłe, różnowartościowe, ”na”, oraz
f −1 : (Y , τY ) → (X , τX ) jest ciągłe.
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam
Trochę o zbiorach wypukłych:
Definicja
Zbiorem wypukłym nazywamy zbiór X ⊂ Rn taki, że
∀t∈[0,1] ∀x,y ∈X ((1 − t)x + ty ) ∈ X
Definicja
Punktem (wektorem) ekstramalnym nazywamy x ∈ X , gdzie X jest
zbiorem wypukłym taki, że
¬∃y1 ,y2 ∈X x ∈ Int{(1 − t)y1 + ty2 t ∈ [0, 1]}
Definicja
Otoczką wypukła (uwypuklenie) zbioru X nazywamy zbiór
najmniejszy (w sensie inkluzji) zawierający X i oznaczamy go
convX
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam
Teraz coś ciekawszego, czyli o zbiorach gwiaździstych:
Definicja (Zbiór gwiaździsty(może się przydać))
Zbiorem gwiaździstym nazywamy dowolny zbiór X taki, że
∀x∈X ∃y ∈X , ∀t∈[0,1] ((1 − t)x + ty ) ∈ X
Lemat
Każdy zbiór wypukły jest gwiaździsty.
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam
Trochę o sympleksach: Sympleksy to uogólnienie trójkątów
Definicja
Dla afinicznie niezależnych punktów a0 , a1 , . . . , an ∈ Rm n wymiarowym sympleksem nazywamy najmniejszy zbiór wypukły
zawierający te punkty. Nazwijmy go na nasze potrzeby
V (a0 , a1 , . . . , an ).
Łatwo zauważyć, że dla tak określonego zbioru punktów sympleks
na nich rozwarty pokrywa się z otoczką wypukłą, tzn.
V = conv {a0 , a1 , . . . , an }.
Definicja
Dla dowolnego afinicznie niezależnego podzbioru {ai0 , ai1 , . . . , aik }
zbioru {a0 , a1 , . . . , an } sympleks V (ai0 , ai1 , . . . , aik ) nazywamy
k-wymiarową ścianą sympleksu V (a0 , a1 , . . . , an ).
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam
Wstępne informacje dotyczące teorii punktów stałych:
Poszukiwanie punktu stałego jakiegoś przekształcenia oznacza
znalezienie takiego punktu przestrzeni dla którego spełnione jest
równanie f (x) = x. Rozważamy metryczną teorię punktów stałych
(np. Tw. Banacha) oraz topologiczną teorię punktów stałych. Tą
drugą się zajmiemy.
Definicja
Mówimy, że jakiś podzbiór U przestrzeni topologicznej ma
Topologiczną Własność Punktu stałego jeśli dla dowolnego
ciągłego przekształcenia f : U → U istnieje punkt x ∈ U, taki że
f (x) = x.
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam
Twierdzenie (I. Brouwera o punkcie stałym dla zbiorów wypukłych)
Dowolny niepusty wypukły, domknięty i ograniczony podzbiór K
przestrzeni Rn posiada TWPS.
Twierdzenie (II. Brouwera o punkcie stałym dla kul)
Domknięta kula jednostkowa B n w przestrzeni Rn posiada TWPS.
Twierdzenie (III. Brouwera o punkcie stałym sympleksów)
Sympleksy dowolnego wymiaru posiadają TWPS.
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam
Czas na do wody.
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam
THE END
Kuczerski Maciej
Wstęp do czegoś tam