przegląd

Wykład 4, str. 1
Relacje
(w jęz. potocznym)
zależność = związek = relacja
DEFINICJA: relacja —
M
Niech X i Y będą zbiorami. Dowolny podzbiór R ⊆ X × Y nazywamy
relacją dwuargumentową (ew. relacją binarną) między X i Y .
Na ogół zamiast (x, y) ∈ R piszemy xRy.
R
Przykład: mniejszość
M
Niech X = Y = R. Relacja mniejszości to
zaznaczony na czerwono podzbiór iloczynu
kartezjańskiego R × R:
R
Wykład 4, str. 2
Relacje
Przykład: całkowita różnica —
M
Niech X = Y = R. Zaznaczona relacja:
def
xRy ⇐⇒
x−y ∈Z
(różnica między liczbami jest całkowita):
R2
1
−2
−1
0
1
R
2
1
Z
2
−1
−2
Przykład: część całkowita —
M
Niech X = Z i Y = R. Zaznaczona relacja:
def
nRx ⇐⇒
n = ⌊x⌋
(n jest częścią całkowitą x):
R2
1
−2
−1
0
−1
−2
Wykład 4, str. 3
Relacje
Przykład: graf —
M
a
Niech V będzie zbiorem
wierzchołków grafu
❘
✲
c
b✠
skierowanego; niech R
✻
będzie relacją określoną tak:
def
xRy ⇐⇒
❄
❄
ist. strzałka z x do y
e
d✛
e
d
c
b
a
a
b
c
e
d
Wykład 4, str. 4
Specjalne własności relacji
a
b✠
✻
❄
d✛
❘c
✲
❄
e
nt
y
}| zwr
ot
n
z n
ie
a
ni |
ez {z
w
ro }
tn
a
Ta relacja jest antyzwrotna, bo brakuje strzałek z
wierzchołków do siebie samych
........................
.
........................
❦
{
Fakt:
M
Relacja jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy
zawiera przekątną IdX zbioru X .
Relacja jest antyzwrotna wtedy i tylko wtedy,
gdy jest rozłączna z przekątną.
a
DEFINICJA: zwrotność i antyzwrotność —
def
M
Relacja R ⊆ X × X jest zwrotna ⇐⇒
xRx dla każdego x ∈ X .
def
Relacja R ⊆ X × X jest antyzwrotna ⇐⇒ ¬ xRx dla każdego x ∈ X .
Wykład 4, str. 5
Specjalne własności relacji
DEFINICJA:
def
M
Relacja R ⊆ X × X jest symetryczna ⇐⇒
z aRb wynika bRa dla dowolnych a, b ∈ X .
def
Relacja R ⊆ X × X jest antysymetryczna ⇐⇒
z aRb wynika ¬ bRa dla
dowolnych a, b ∈ X .
def
Relacja R ⊆ X × X jest słabo antysymetryczna ⇐⇒
z aRb i bRa wynika
a = b dla dowolnych a, b ∈ X .
Fakt:
M
W zbiorze niepustym relacja zwrotna nie może być antysymetryczna.
Zadanie (do samodzielnego przemyślenia):
Jakie cechy musi mieć rysunek relacji (zarówno jako iloczynu kartezjańskiego jak zespół strzałek w grafie), żeby relacja była
• symetryczna?
• antysymetryczna?
• słabo antysymetryczna?
Wykład 4, str. 6
Specjalne własności relacji
DEFINICJA:
def
M
Relacja R ⊆ X × X jest przechodnia ⇐⇒
z aRb oraz bRc wynika aRc
dla dowolnych a, b, c ∈ X .
Fakt:
M
Jeśli relacja R ⊆ X × X spełnia następujące warunki:
• jest symetryczna,
• jest przechodnia,
• dla każdego x ∈ X istnieje co najmniej jeden y ∈ X, taki że xRy,
to relacja R jest zwrotna.
Przykład:
M
Ta relacja nie jest przechodnia. Np. aRc i cRe,
a nie jest prawdą, jakoby aRe.
a
b✠
✻
❄
d✛
❘c
✲
❄
e
Wykład 4, str. 7
Porządki
DEFINICJA:
def
M
Relacja R ⊆ X × X jest porządkiem częściowym ⇐⇒
jest
• zwrotna,
• słabo antysymetryczna oraz
• przechodnia.
Częściowy porządek R jest porządkiem całkowitym jeśli dodatkowo jest
• liniowy: xRy ∨ yRx dla każdych x, y ∈ X .
def
jest
Relacja R ⊆ X × X jest ostrym porządkiem częściowym ⇐⇒
• antysymetryczna oraz
• przechodnia.
Przykład: mniejszość —
M
W R zwykła mniejszość-równość ¬ jest porządkiem całkowitym;
a mniejszość < jest ostrym porządkiem całkowitym.
Wykład 4, str. 8
Porządki
Przykład: podzielność —
M
W N r {0} relacja
def
n | k ⇐⇒
n jest dzielnikiem k
jest porządkiem częściowym, niecałkowitym.
11
8
12
10
4
6
9
14
5
2
3
7
13
1
Przykład: porządek leksykograficzny —
M
(L, ¬) — litery od a do z z porządkiem alfabetycznym
(L∗, 4) — słowa (czyli skończone ciągi liter) nad alfabetem L
def
a1 a2 . . . an 4 b1 b2 . . . bk ⇐⇒
n=0∨
(n > 0 ∧ k > 0 ∧ a1 6= b1 ∧ a1 ¬ b1 ) ∨
(n > 0 ∧ k > 0 ∧ a1 = b1 ∧ a2 . . . an 4 b2 . . . bk )
— porządek całkowity, inaczej: porządek alfabetyczny słów.
Wykład 4, str. 9
Porządki
Przykład:
maksymalny
✻
✲
✒✻
✻
❨
✒
❨
✲ ✒
✒
✻
maksymalny
✸✻
✻
✒
✒
najmniejszy
M PORZĄDEK CAŁKOWITY
PORZĄDEK CZĘŚCIOWY
DEFINICJA:
M
Załóżmy, że R ⊆ X × X jest porządkiem częściowym. Element x ∈ X nazywamy elementem
def
• najmniejszym [największym] ⇐⇒
xRy [yRx] dla wszystkich y ∈ X ;
def
• minimalnym [maksymalnym] ⇐⇒ dla każdego y ∈ X, z yRx [z xRy]
wynika y = x .
Wykład 4, str. 10
Porządki
Fakt:
M
Element najmniejszy [największy] może być najwyżej jeden.
Element najmniejszy [największy] jest minimalny [maksymalny].
W porządku liniowym element minimalny [maksymalny] jest najmniejszy [największy].
Zbiór skończony z porządkiem częściowym zawsze ma element minimalny [maksymalny].
Przykład: zbiór nieskończony bez el. maksymalnego —
M
(L∗, 4) — zbiór słow z porządkiem leksykograficznym.
Przykład: zbiór nieskończony bez el. minimalnego —
M
· ·✲
· ✲ ✲
✲
✲
✲
Wykład 4, str. 11
Równoważności
DEFINICJA:
def
M
Relacja R ⊆ X × X jest relacją równoważności ⇐⇒
jest
• zwrotna,
• symetryczna oraz
• przechodnia.
Przykład: równość —
M
(X, =) — równość jest relacją równoważności
Przykład: proste na płaszczyźnie —
def
M
(R2 , ≈) , (x1 , y1 ) ≈ (x2 , y2 ) ⇐⇒
x1 = x2
punkty są równoważne, jeśli leżą na tej samej prostej pionowej
Przykład: proste na płaszczyźnie —
def
M
(R2 , ≈) , (x1 , y1 ) ≈ (x2 , y2 ) ⇐⇒
x1 − y 1 = x2 − y 2
punkty są równoważne, jeśli leżą na tej samej prostej skośnej pod kątem
45◦ .
Wykład 4, str. 12
Równoważności
Relacja równoważności dzieli zbiór X na rozłączne klasy abstrakcji (lub
klasy rownoważności);
klasa
abstrakcji elementu x ∈ X to
o
n
[x]R def
= y ∈ X yRx
Wykład 4, str. 13
Równoważności
DEFINICJA:
M
Niech R ⊆ X × X będzie relacją równoważności w zbiorze X.
Przez zbiór ilorazowy zbioru X przez równoważność R
rozumiemy zbiór klas abstrakcji
X R def
=
n
4.............
....
....
...
.....
..... .....
..... ...
.... ..
... .
...
.....
..... ........
....... ...
.......... ....
.
.
.
....
.
.
.
.
.......
..... ........
....... ...
.
.......... ....
.
.
.
.
...
.
.
.......
..... .........
........ ...
.
.......... ...
.
.
.
....
.
.
.
.
......
..... .........
........ ..
........... ....
.
.
.
.
....
.....
.......
.
.
.... ..
.... ....
.
.
.
.
..
.....
...
.
.
....
....
.
.
.
.....
3
2
o
[x]R x ∈ X
1
Przykład:
równoważność
modulo —
n
o
def
M
R = (n, k) ∈ Z × Z n mod 3 = k mod 3
0
ZR
−1
= {[0]R , [1]R , [2]R }
−2
o 
n

n ∈ Z n mod 3 = 0 ,




n
o 
=  n ∈ Z n mod 3 = 1 ,
o 
n




 n ∈ Z n mod 3 = 2
−3
−4
Wykład 4, str. 14
Liczbowe zbiory ilorazowe
Niech X = Z × (Z r {0}). Wprowadzamy relację
def
(ℓ1 , m1 ) ∼ (ℓ2 , m2 ) ⇐⇒
ℓ1 · m 2 = m 1 · ℓ2
Np. (2, 6) ∼ (3, 9).
To jest relacja równoważności. Na klasach wprowadzamy działania:
[(ℓ1 , m1 )]∼ + [(ℓ2 , m2 )]∼ def
= [(ℓ1 · m2 + m1 · ℓ2 , m1 · m2 )]∼
[(ℓ1 , m1 )]∼ · [(ℓ2 , m2 )]∼ def
= [(ℓ1 · ℓ2 , m1 · m2 )]∼
Żeby ta definicja była poprawna, należy udowodnić niezależność od wyboru reprezentantów klas abstrakcji:
Czy jeśli (ℓ1 , m1 ) ∼ (ℓ′1 , m′1 ), to
(ℓ1 · ℓ2 , m1 · m2 ) ∼ (ℓ′1 · ℓ2 , m′1 · m2 ) ?
W ten sposób zdefiniowaliśmy liczby wymierne:
Q = Z × (Z r {0})∼
Wykład 4, str. 15
Domykanie relacji
DEFINICJA:
M
Niech R ⊆ X × X będzie relacją w X. Przez zwrotne i przechodnie domknięcie R∗ relacji R rozumiemy najmniejszą (w sensie zawierania ⊆) relację zwrotną i przechodnią, zawierającą R.
Fakt:
M
Zwrotne i przechodnie domknięcie relacji R
można otrzymać przez
• dołączenienidentyczności:
o
′ def
R = R ∪ (x, x) x ∈ X ; oraz
• dla każdego ciągu elementów, takich że
...........
.... ....
❘.. ..
...........
.... ....
❘.. ..
✲
✒
❘ ✛
❘
.... ....
... ...
. .
.. ..
.............. ✒.............
.............. ✒.............
. .
. .
❘.... ...✛
❘.... ...✠
❘
x0 Rx1 , x1 Rx2 , . . . , xn−1 Rxn
✒
... ....
✒................
dołączenie pary (x0 , xn ).
Wykład 4, str. 16
Złożenie relacji
DEFINICJA: złożenie relacji —
M
Niech R ⊆ X × Y i S ⊆ Y × Z będą relacjami. Złożeniem relacji R i S
nazywamy relację
def
R; S =
o
(x, z) ∈ X × Z ∃y∈Y xRy ∧ ySz
n
Przykład:
M
Niech
R = {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (b, 3)}
S = {(2, x), (3, x), (3, y)}
wtedy
R; S = {(a, x), (b, x), (b, y)}
R; S
a
x
y
b
R
S
1
2
3