Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne
April 11, 2010
Potrzebne wiadomości: znajomość de…nicji i w÷asności funkcji cyklometrycznych, podstawowe wartości funkcji trygonometrycznych, wzory na funkcje
trygonometryczne sumy i róz·nicy dwóch katów,
¾
wzory redukcyjne.
1. Wyznacz dziedziny podanych funkcji:
(a) f (x) = arcsin x1 ;
(b) f (x) = arccos 3x2 1 ;
(c) f (x) = arctg(x2
(d) f (x) = arctg(x +
2x);
1
x );
(e) f (x) = arccos(x2
(f) f (x) = arcsin
2x);
2x 1
3x ;
(g) f (x) = arcsin(1
p
x):
2. Oblicz dok÷
adne wartości podanych wyraz·eń:
(a) arcsin 0; arcsin( 1); arcsin(
arcsin 1;
(b) arctg0; arctg( 1); arctg(
1
2 );
p
arcsin
p
3
2 ;
arcsin(
p
2
2 );
arcsin(
p
3
2 );
p
3); arctg p13 ; arctg1; arctg 3;
p
p
(c) arccos 0; arccos 1; arccos( 1); arccos 22 ; arccos( 22 ); arccos( 21 );
p
arccos( 23 );
p
p
(d) arcctg0; arcctg( 1); arcctg(
3); arcctg p13 ; arcctg1; arcctg 3:
3. Oblicz:
23
27
(a) arcsin(sin 6 ); arcsin(sin 56 ); arcsin(sin 11
6 ) ; arcsin(sin 6 ) , arcsin(sin 6 );
p
p
p
(b) sin(arcsin 22 ); sin(arcsin( 23 ); cos(arcsin 22 ); cos(arcsin(
p
p
(c) sin(arctg 3); cos(arctg 3); sin(arctg1); cos(arctg( 1));
(d) tg(arctg( 15 ); arctg(tg( 83 ); sin(arcsin( 17 )); cos(arcsin( 73 )):
4. Rozwia¾z· nierówności:
1
p
3
2 );
sin(arccos( 12 );
(a) arcsin x <
0;
4;
arcsin 2x <
(b) arccos x <
0;
4;
arccos 2x <
(c) arctgx <
2) > 75 ;
4;
arctgx >
6;
4;
arcsin 3x >
4;
6;
arccos 3x >
2 arcsin 2x
6;
2 arccos 2x
arctg2x < 23 ; arctg(x
(d) arcctgx < 4 ; arcctgx >
arctcg(x + 2) > 75 :
6;
2
3;
arcctg2x <
, arcsin 3x >
, arccos 3x >
1) > 32 ; arctg(x +
arcctg(x
1) > 2;
5. Oblicz:
(a) sin(arcsin 25 + arcsin 35 )
(b) sin(arccos 32
arcsin 23 )
(c) cos(arccos 17 + arcsin 17 ); sin(arctg15 + arcctg15);
(d) cos(arccos 14
arccos 34 ):
6. Funkcja f określona na zbiorze Df jest funkcja¾malejac
¾ a.
¾ Rozwia¾z· nierówności:
(a) Df = <
(b) Df = <
10; 10 >;
3) > f ( x + 4);
2
5; 5 >;
(c) Df = (0; 1);
f (2x
f (x + x
f (x
(d) Df = <
10; 10 >;
(e) Df = <
5; 10 >;
1) < f (x + 2);
4) > f (2x + 6);
f (2x
3) < f (x + 2);
f (3x + 2) > f ( x
2
(f) Df = < 0; 1);
6);
2
f (2x + 2x + 1) < f (x
2x
4):
7. Funkcja f określona na zbiorze Df jest funkcja¾rosnac
¾ a.
¾ Rozwia¾z· nierówności:
(a) Df = (0; 1);
f (3x
(c) Df = (0; 1);
f ( 2xx 1 ) f (x);
f ( 2xx 1 ) f (x);
f ( x1 ) f (x);
f ( x1 ) f (x);
(b) Df = <
1; 10 >;
(d) Df = ( 1; 0);
(e) Df = (0; 1);
(f) Df = ( 1; 0);
(g) Df = <
10; 10 >;
7) < f ( x + 9);
f (x2 + x
f (6x
1) < f ( x
2);
12) > f (3x + 6):
8. Funkcje f oraz g sa klasy C 1 ; to znaczy maja¾ ciag÷
¾ e pochodne rzedu
¾ pierwszego. Zbiór wartości funkcji g jest zawarty w dziedzinie funkcji f: Co
moz·na powiedzieć o monotoniczności funkcji z÷oz·onej (f g)(x) = f (g(x));
jez·eli:
(a) f i g sa¾ rosnace,
¾
(b) f jest rosnaca,
¾ a g malejaca,
¾
2
(c) f jest malejaca,
¾ a g rosnaca,
¾
(d) f i g sa malejace?
¾
9. Wskaz· funkcje rosnace
¾ i funkcje malejace:
¾
p
p
(a) f (x) = x; g(x) = p1x ; h(x) = x 2; k(x) =
p1 ;
x+3
(b) f (x) = log 12 x; g(x) = log 13 x; h(x) = log x; k(x) = ln x;
(c) f (x) = arcsin x; g(x) = arcsin(x 1); h(x) = arccos(x + 3); k(x) =
arccos(2x); l(x) = arccos( x + 1);
(d) f (x) = arcctg x; g(x) = arcctg(2x); h(x) = arcsin(x
arctg(5x + ); l(x) = arctg(2x 3); m(x) = arctg( 2x
(e) f (x) = 10x ; g(x) = ex ; g(x) = ( 32 )x ; k(x) =
( 52 ) x :
1
10x ; l(x)
3); k(x) =
3);
=e
x
; m(x) =
Odpowiedzi:
1. a) x
1 lub x
1; b) x 2 < 13 ; 1 >; c) x 2 R; d) x 6= 0; e) x 2
p
p
<1
2; 1 + 2 >; f) x
1 lub x 15 ; g) 0 x 4:
2. a) 0;
5
6 ; d)
2;
2;
3
4
6; 3;
4;
3; 2;
; 56 ; 3 ; 4 ; 6 :
3. a) 16 ; 16 ; 16 ;
p
d) 15 ; 38 ; 17 ; 27 10:
4. a)
b)
1
p
2
2
x<
<x
p
d) x > 1; x <
p
8+3 21
;
25
6. a) x 2 <
2
2 ;
p
p1 ;
3
p
1
2
;
1
2
2
4
1;
c) x < 1; x >
5. a)
1
6
; b)
1
2;
2
1
2 tg 3 ;
3; 6; 3;
p
2
2 ;
p
3
2 ;
2 1
4 ; 6
<x
1
3
x
<x
x<
4;
p
p
x<
2 1
2 ; 2;
p
1
3,
>; b) x 2 <
p
c)
3
2 ;
2;
c)
0; ;
p
3 1
2 ; 2;
x = 12 ; 0 < x
3
6 ;
1
2
x > 1 + tg 32 ; x >
3; x > 12 ctg 23 ; x < 1 + ctg2, x <
b) 19 ; c) 0; 0; d)
7 7
2; 3
b) 0;
x < 0;
3
4; 4
;
p
2
2 ;
2
3
;
p
2
2 ;
1
3;
1
3
x < 31 ;
2 + tg 57
2 + ctg 57 :
p
3+ 105
:
16
5
2;
p
3); d) x 2 (5; 13
2 >; e) x 2 <
7
3;
7. a) x 2 ( 73 ; 9); b) x 2 ?; g) x 2 (6; 10 > :
8. a), d) rosnace,
¾ b), c) malejace.
¾
9. Funkcje rosnace
¾ to: a) f; h; b) h; k; c) f; g; l; d) h; k; l; e) f; g; m:
3
2):