WMiI - Algebra - Ćwiczenia Arkusz 4

WMiI - Algebra - Ćwiczenia
Arkusz 4 - HOMOMORFIZMY I IZOMORFIZMY GRUP
Zadanie 1. Udowodnij, że obraz homomorficzny grupy cyklicznej jest grupą cykliczną.
Zadanie 2. Udowodnij, że jeśli ϕ : G → F jest homomorfizmem grup oraz ϕ(a) = b i rza < ∞, to rzb | rza.
Zadanie 3. Sprawdź, czy dana funkcja ϕ jest homomorfizmem grup. Jeśli tak, to wyznacz jądro i obraz tego
homomorfizmu.
a) ϕ : C∗ → C∗
c)
e)
g)
ϕ
: GL(n, R) → R+
ϕ:R→R
ϕ
: R∗
→ R∗
ϕ(z) = |z|
b)
ϕ : R+ → R
ϕ(a) = loga
ϕ(A) = |detA|
d)
ϕ : GL(2, R) → R
ϕ(A) = trA
ϕ(a) = 5a
√
ϕ(a) = 3 a
: R∗
→ R∗
f)
ϕ
h)
ϕ : M(2, R) → R
ϕ(a) = 5a
ϕ(A) = detA.
Zadanie 4. Udowodnij, że funkcja ϕ : G → G określona wzorem ϕ(a) = a2 jest homomorfizmem grup wtedy
i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową.
Zadanie 5. Sprawdź, że funkcja ϕ : GL(n, R) → R∗ określona wzorem ϕ(A) = detA jest epimorfizmem grup.
Wyznacz kerϕ.
Zadanie 6. Niech G będzie grupą, a ϕ : G × G → G funkcją daną wzorem ϕ((a, b)) = ab. Udowodnij, że φ jest
homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową.
Zadanie 7. Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest epimorfizmem grup, to każda podgrupa H 0 grupy
G0 jest postaci ϕ(H), gdzie H jest odpowiednią podgrupą grupy G.
Zadanie 8. Niech funkcja ϕ : G → G0 będzie homomorfizmem grup. Udowodnij, że jeśli H 0 jest dzielnikiem normalnym grupy G0 , to ϕ −1 (H 0 ) jest dzielnikiem normalnym grupy G. Wywnioskuj stąd, że kerϕ jest
podgrupą grupy G.
Zadanie 9. Udowodnij, że funkcja ϕ : Z → Z określona wzorem ϕ(x) = x−5 jest izomorfizmem grupy (Z, +)
na grupę (Z, ⊕), gdzie x ⊕ y = x + y + 5 dla dowolnych x, y ∈ Z.
Zadanie 10. Udowodnij, że grupy M(2, R) i R4 są izomorficzne.
Zadanie 11. Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest izomorfizmem grup, to funkcja ϕ −1 : G0 → G jest
izomorfizmem grup.
Zadanie 12. Sprawdź, że dany zbiór M macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy. Wykaż, że
grupa ta jest izomorficzna z grupą Z.



 1 + a
a) M = 

 a




−a 
 : a ∈ Z
,



1−a 



4a
 1 − 2a
b) M = 

 −a
1 + 2a





 : a ∈ Z
.



Zadanie 13. Sprawdź, że funkcja ϕ : Z → M określona wzorem





a


a 
 (−1)
 : a ∈ Z
ϕ(a) = 






0
(−1)a


a

 (−1)
jest izomorfizmem grupy (Z, ⊕), gdzie a⊕b = (−1)a b+(−1)b a na grupę (M, ·), gdzie M = 


 0
Zadanie 14. Udowodnij, że dana grupa nie jest izomorficzna z grupą Q:
1





 : a ∈ Z
.




a

(−1)
a
WMiI - Algebra - Ćwiczenia
b) Q∗
a) Z
Zadanie 15. Korzystając z twierdzenia o izomorfizmie grup wykaż, że:
a) R∗ /{−1, 1} R+ ,
b)
R∗ /R+
{−1, 1},
c) C/R R,
d) C∗ /C1 R+ .
2