Przykładowe zadania maturalne

Przykładowe zadania maturalne
Zadanie 1. Rozwiąż nierówność x3 −x2 ¬ x2 −x i zaznacz jej zbiór rozwiązań
na osi liczbowej.
Rozwiązanie
Przekształcamy równoważnie nierówność x3 − x2 ¬ x2 − x:
x3 − x2 − x2 + x ¬ 0,
x3 − 2x2 + x ¬ 0,
x · x2 − 2x + 1 ¬ 0.
Wyrażenie w nawiasie zapisujemy jako kwadrat różnicy dwóch liczb:
x · (x − 1)2 ¬ 0.
Ponieważ (x − 1)2 ­ 0 dla każdej liczby rzeczywistej x, to nierówność
x · (x − 1)2 ¬ 0
zachodzi dla x ¬ 0.
Zaznaczamy zbiór rozwiązań nierówności x3 −x2 ¬ x2 −x na osi liczbowej.
b
−2
0
−1
1
2
√
Zadanie 2. Oblicz objętość sześcianu o przekątnej długości 2 3.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez a długość krawędzi tego sześcianu (zob. rys.).
√
a 3
a
√
a 2
a
a
1
√ Wówczas przekątna podstawy, która jest kwadratem o boku a, ma długość
a 2, a przekątna sześcianu, która√jest przeciwprostokątną
trójkąta prosto√
kątnego o √
przyprostokątnych
a i a 2, ma długość a 3. Wobec tego mamy
√
równość a 3 = 2 3, skąd a = 2. Z wzoru na objętość sześcianu o krawędzi
a (V = a3 ) otrzymujemy, że V = 23 = 8.
Zadanie 3. Oblicz średnią ocen końcowych z matematyki w pewnej klasie,
korzystając z danych przedstawionych na poniższym wykresie.
Oceny:
6
40%
5
30%
10%
4
20%
3
Rozwiązanie
Częstości (w %) występowania tych ocen w całym zestawie, przedstawione
na diagramie, odpowiadają wagom, z jakimi oceny te występują. Dlatego
poszukiwana średnia tych ocen wynosi:
40
30
20
10
4·6+3·5+2·4+1·3
50
·6+
·5+
·4+
·3=
=
= 5.
100
100
100
100
10
10
Na podstawie:
Henryk Pawłowski: Obowiązkowa matura z matematyki. Toruń, Oficyna
Wydawnicza „Tutor”, 2010, str. 29, 97, 116.
2