Zadanie 2.

Transkrypt

Zadanie 2.

Układ graficzny © CKE 2013
Arkusz zaw
wiera informaccje prawnie chhronione do momentu
m
rozpo
oczęcia egzam
minu.
WPIS
SUJE ZDA
AJĄCY
KOD
PESE
EL
Miejsce
nna naklejkę
z kodem
dyslekksja
EGZA
AMIN MATURAL
LNY
Z MATEM
MATYKII
POZIIOM POD
DSTAWO
OWY
M
MAJ 2014
1. Spraw
wdź, czy arkusz
a
egzaaminacyjny zawiera 19
1 stron
(zadannia 1–34). Ewentualny
E
brak zgłoś przewodnicczącemu
zespołłu nadzorująącego egzam
min.
2. Rozw
wiązania zaddań i odpow
wiedzi wpissuj w miejsccu na to
przeznnaczonym.
3. Odpow
wiedzi do zadań zaamkniętychh (1–25) przenieś
na karrtę odpowiiedzi, zaznnaczając jee w częścci karty
przeznnaczonej dla zdająceggo. Zamaluuj
pola do tego
przeznnaczone. Błędne
B
zaznaczenie otocz
o
kółkiiem
i zaznnacz właściw
we.
4. Pamięętaj, że pominięcie
p
argumentaacji lub istotnych
obliczzeń w rozw
wiązaniu zaddania otwarrtego (26–34) może
spowoodować, że za to rozw
wiązanie nie otrzymassz pełnej
liczbyy punktów.
5. Pisz czytelnie i używaj tylko dłuugopisu lub
b pióra
m lub atram
mentem.
z czarrnym tuszem
6. Nie użżywaj korekktora, a błęddne zapisy wyraźnie
w
prrzekreśl.
7. Pamięętaj, że zapiisy w brudnopisie nie będą
b
ocenian
ne.
8. Możesz korzystaać z zestaw
wu wzorów
w matematy
ycznych,
cyrklaa i linijki oraz kalkulatoora.
9. Na teej stronie oraz
o
na kaarcie odpow
wiedzi wpiisz swój
numerr PESEL i przyklej
p
nakklejkę z koddem.
10. Nie wpisuj
w
żaddnych znakków w częęści przezn
naczonej
dla eggzaminatoraa.
Czzas pracy
y:
170 minut
Liczzba punkttów
do uzzyskania:: 50
MM
MA-P1_1P-142
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
2
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów
równań.
4
y
3
2
1
-2
-1
0
-1
1
2
3 x
Wskaż ten układ.
y  x 1
A. 
 y  2 x  4
B.
 y  x 1

 y  2x  4
y  x 1
C. 
 y  2 x  4
y  x 1
D. 
 y  2x  4
Zadanie 2. (1 pkt)
Jeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to
A. c  60
B. c  52
C. c  48
D. c  39
C. 2
D. 2 3
C. log817
D.
Zadanie 3. (1 pkt)
Wartość wyrażenia
A. 2
2
2
jest równa

3 1
3 1
B. 2 3
Zadanie 4.(1 pkt)
Suma log816  1 jest równa
A. 3
B.
3
2
Zadanie 5. (1 pkt)
Wspólnym pierwiastkiem równań (x2  1)(x  10)(x  5)  0 oraz
A. 1
B. 1
C. 5
7
3
2 x  10
 0 jest liczba
x 1
D. 10
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
3
Poziom podstawowy
4
Zadanie 6. (1 pkt)
Funkcja liniowa f (x) = (m 2  4) x  2 jest malejąca, gdy
A. m  2, 2
B.
m   2, 2 
C. m   ,  2 
D. m   2,   
Zadanie 7. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.
3
y
2
1
-3 -2 -1
0
-1
x
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
-5
Funkcja f jest określona wzorem
A.
C.
1
f ( x)  ( x  3)( x  1)
2
1
f ( x)   ( x  3)( x  1)
2
B.
D.
1
f ( x)  ( x  3)( x  1)
2
1
f ( x)   (x  3)(x  1)
2
Zadanie 8. (1 pkt)
Punkt C  (0, 2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta
w prostej o równaniu y  2 x  4 . Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.
1
1
A. y  x  2
B. y  2 x  2
C. y   x  2
D. y  2 x  2
2
2
Zadanie 9. (1 pkt)
Dla każdej liczby x , spełniającej warunek  3  x  0 , wyrażenie
A. 2
B. 3
C. 
6
x
x3  x3
x
jest równe
D.
6
x
D.
1 1 1
 
x1 x2 2
Zadanie 10. (1 pkt)
Pierwiastki x1 , x2 równania 2(x  2)(x  2)  0 spełniają warunek
A.
1 1
  1
x1 x2
B.
1
1

0
x1 x 2
C.
1
1
1


x1 x 2 4
Zadanie 11. (1 pkt)
Liczby 2,  1,  4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an ) ,
określonego dla liczb naturalnych n  1 . Wzór ogólny tego ciągu ma postać
A. an  3n  5
C. an  n  3
D. an  3n  5
B. a n  n  3
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
5
Poziom podstawowy
6
Zadanie 12. (1 pkt)
Jeżeli trójkąty ABC i A' B' C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2
A' B'
jest równa
i 50 cm2, to skala podobieństwa
AB
2
1
A. 2
B.
C.
2
D.
2
2
Zadanie 13. (1 pkt)
Liczby: x  2, 6, 12 , w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego. Liczba x jest równa
A. 0
B. 2
Zadanie 14. (1 pkt)
Jeżeli  jest kątem ostrym oraz tg 
A. 
11
23
B.
C. 3
D. 5
2
3cos   2sin 
, to wartość wyrażenia
jest równa
5
sin   5cos 
24
5
C. 
23
11
D.
5
24
Zadanie 15. (1 pkt)
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu ( x  2) 2  ( y  3) 2  4 z osiami układu
współrzędnych jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie 16. (1 pkt)
Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 i ramieniu długości 2 3 jest równa
A.
3
B. 3
D. 2
C. 2 3
Zadanie 17. (1 pkt)
Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa
A. 160
B. 80
4
długości okręgu, ma miarę
9
C. 40
D. 20
Zadanie 18. (1 pkt)
O funkcji liniowej f wiadomo, że f 1  2 . Do wykresu tej funkcji należy punkt P  (2,3) .
Wzór funkcji f to
1
7
A. f  x    x 
3
3
1
B. f  x    x  2
2
C. f  x   3 x  7
D. f  x   2 x  4
Zadanie 19. (1 pkt)
Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
7
Poziom podstawowy
8
Zadanie 20. (1 pkt)
Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy
tworząca stożka jest
A. sześć razy dłuższa od wysokości walca.
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.
Zadanie 21. (1 pkt)

Liczba 



1
A.
225
2


1
 jest równa
0 
3
729  4 256  2 

1
B.
15

C. 1
D. 15
Zadanie 22. (1 pkt)
Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y  2 x  2 , należy
punkt
 1
A. A  (1, 2)
B. B  (2, 1)
C. C  1, 
D. D  (4, 4)
 2
Zadanie 23. (1 pkt)
Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A '  zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz
zachodzi równość P( A)  2  P( A ') , to
2
1
1
1
A. P( A) 
B. P( A) 
C. P( A) 
D. P( A) 
3
2
3
6
Zadanie 24. (1 pkt)
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
A. 100
B. 90
C. 45
D. 20
Zadanie 25. (1 pkt)
Mediana zestawu danych 2, 12, a, 10, 5, 3 jest równa 7. Wówczas
A. a  4
B. a  6
C. a  7
D. a  9
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
9
Poziom podstawowy
10
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać
w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.
Zadanie 26. (2 pkt)
Wykresem funkcji kwadratowej f  x   2 x 2  bx  c jest parabola, której wierzchołkiem jest
punkt W   4,0  . Oblicz wartości współczynników b i c.
Odpowiedź: ................................................................................................................................ .
Poziom podstawowy
11
Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie 9 x3  18 x 2  4 x  8  0 .
Odpowiedź: ................................................................................................................................. .
Nr zadania
Wypełnia Maks. liczba pkt
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
26.
2
27.
2
12
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (2 pkt)
Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę
własność, że reszta z dzielenia liczby 3k 2 przez 7 jest równa 5.
Poziom podstawowy
13
Zadanie 29. (2 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia
1
wykresu funkcji określonej wzorem y  dla każdej liczby rzeczywistej x  0 .
x
y
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
-2
-3
-4
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości
funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g ( x)  f  x  3 .
Odpowiedź: a) ............................................................................................................................. .
b) ............................................................................................................................ .
Nr zadania
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
28.
2
29.
2
14
Poziom podstawowy
Zadanie 30. (2 pkt)
Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których
pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.
Odpowiedź: ................................................................................................................................. .
Poziom podstawowy
15
Zadanie 31. (2 pkt)
Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży
wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
C
S
A
B
Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta
wypukłego SBC.
Nr zadania
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
30.
2
31.
2
16
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (4 pkt)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi
prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3 .
Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Odpowiedź: ................................................................................................................................. .
Poziom podstawowy
17
Zadanie 33. (5 pkt)
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość
2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu
poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią
km
prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1
mniejsza od średniej
h
prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Odpowiedź: ................................................................................................................................. .
Nr zadania
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
32.
4
33.
5
Poziom podstawowy
18
Zadanie 34. (4 pkt)
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30 . Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten
trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
B
F
E
G
30
C
D
A
Odpowiedź: ................................................................................................................................. .
Nr zadania
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
34.
4
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
19
ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA
Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy
Zadanie 1. (0–1)
Obszar standardów
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Opis wymagań
Interpretacja geometryczna
układu dwóch równań
liniowych z dwiema
niewiadomymi (II.8.d)
Poprawna odpowiedź
(1 pkt)
Wersja
Wersja
arkusza
arkusza
A
B
A
C
Stosowanie pojęcia procentu
w obliczeniach (II.1.d)
B
C
Posługiwanie się wzorami
skróconego mnożenia (II.2.a)
C
A
Znajomość definicji
logarytmu (II.1.h)
D
C
Rozwiązywanie prostych
równań wymiernych (II.3.e)
C
B
Wykorzystanie interpretacji
współczynników we wzorze
funkcji liniowej (II.4.g)
B
D
Rozwiązywanie zadań
prowadzących do badania
funkcji kwadratowej (II.4.l)
D
A
Zadanie 2. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zadanie 3. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zadanie 4. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zadanie 5. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zadanie 6. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zadanie 7. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
3
Zadanie 8. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Badanie równoległości
prostych na podstawie ich
równań kierunkowych
(II.8.c)
D
A
Wykorzystanie pojęcia
wartości bezwzględnej
(IV.1.f)
D
B
Wyznaczanie miejsca
zerowego funkcji
kwadratowej (I.4.j)
B
D
Wyznaczanie wyrazów ciągu
określonego wzorem
ogólnym (II.5.a)
A
D
Wykorzystuje własności
figur podobnych w zadaniach
(II.7.b)
C
B
D
A
Stosowanie prostych
związków między funkcjami
trygonometrycznymi kąta
ostrego (I.6.c)
A
B
Posługiwanie się równaniem
okręgu
( x  a)2  ( y  b)2  r 2 (II.8.g)
B
C
Zadanie 9. (0–1)
Użycie i tworzenie strategii
Zadanie 10. (0–1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Zadanie 11. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zadanie 12. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zadanie 13. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Badanie, czy dany ciąg jest
geometryczny (II.5.b)
Zadanie 14. (0–1)
informacji
Zadanie 15. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
4
Zadanie 16. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Znajdowanie związków
miarowych w figurach
płaskich, w tym
z zastosowaniem
trygonometrii (II.7.c)
B
C
Znajdowanie związków
miarowych w figurach
płaskich (IV.7.c)
A
D
Obliczanie wartości
liczbowej wyrażenia
wymiernego dla danej
wartości zmiennej (II.2.e)
A
B
Wyznaczanie związków
miarowych w wielościanach
(III.9.b)
A
D
Wyznaczanie związków
miarowych w bryłach
obrotowych (III.9.b)
C
B
Obliczanie potęgi
o wykładniku wymiernym
oraz stosowanie praw działań
na potęgach o wykładnikach
wymiernych (II.1.g)
C
B
Obliczanie potęgi
o wykładniku wymiernym
(II.1.g)
B
A
Zadanie 17. (0–1)
Zadanie 18. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zadanie 19. (0–1)
Modelowanie matematyczne
Zadanie 20. (0–1)
Zadanie 21. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zadanie 22. (0–1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
5
Zadanie 23. (0–1)
Rozumowanie i argumentacja
Wykorzystanie sumy,
iloczynu i różnicy zdarzeń do
obliczania
prawdopodobieństw zdarzeń
(V.10.c)
A
D
Zliczanie obiektów
w prostych sytuacjach
kombinatorycznych
(IV.10.b)
C
C
Obliczanie mediany danych
(III.2.e)
D
A
Zadanie 24. (0–1)
Zadanie 25. (0–1)
6
Schemat oceniania zadań otwartych
Zadanie 26. (0–2)
Wykresem funkcji kwadratowej f  x   2 x 2  bx  c jest parabola, której wierzchołkiem jest
punkt W   4, 0  . Oblicz wartości współczynników b i c.
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i)
Rozwiązanie (I sposób)
b

Ze wzorów xw   , yw  
na współrzędne wierzchołka paraboli otrzymujemy:
2a
4a
b


4 i 
 0 , więc b  16 i   0 .
22
42
2
Stąd  16   4  2  c  0 , czyli c  32 .
Rozwiązanie (II sposób)
Wzór funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej
2

b 
b
b2 
b2
b
b2


f  x   2  x2  x   c  2  x2  2  x    c   2  x    c  .
2 
4
16 
8
4
8



 b
b2 
Wierzchołek wykresu funkcji f ma zatem współrzędne   , c   . Otrzymujemy układ
8
 4
równań
b2
b
  4 i c   0.
4
8
2
2
b 16
Stąd b  16 i c 

 32 .
8
8
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy :
 obliczy współczynnik b: b  16 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy
albo
b2
b
 zapisze układ dwóch równań z niewiadomymi b i c, np.:   4 i c   0 ,
4
8
i nie rozwiąże go lub rozwiąże go z błędem.
gdy obliczy współczynniki b i c: b  16 , c  32 .
Rozwiązanie (III sposób)
Ponieważ xw  4 oraz yw  0 , więc parabola ma z osią Ox dokładnie jeden punkt wspólny,
zatem wzór funkcji można zapisać w postaci kanonicznej f  x   2  x  4  .
2
Stąd f  x   2 x 2  16 x  32 , zatem b  16 i c  32 .
7
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
2
gdy zapisze, że f  x   2  x  4  .
gdy obliczy współczynniki b i c: b  16 , c  32 .
Zadanie 27. (0–2)
Rozwiąż równanie 9 x3  18x2  4 x  8  0 .
informacji
Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu
na czynniki (I.3.d)
Rozwiązanie (I sposób – metoda grupowania)
Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu, stosując metodę grupowania
wyrazów 9 x2  x  2   4  x  2   0 lub x  9 x2  4   2  9 x 2  4   0 , stąd
 x  2 9 x2  4  0 .
Zatem x  2 lub x  
2
2
lub x  .
3
3
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt


gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.:  x  2  9 x 2  4 , i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błąd.
2
2
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x  2 lub x   lub x  .
3
3
Rozwiązanie (II sposób – metoda dzielenia)
Stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu 9 x3  18x2  4 x  8 . Dzielimy
ten wielomian przez dwumian  x  2  i otrzymujemy iloraz (9 x 2  4) . Obliczamy
pierwiastki trójmianu (9 x 2  4) : x1  
2
2
2
2
oraz x2  . Zatem x  2 lub x   lub x  .
3
3
3
3
albo
2
jest pierwiastkiem wielomianu 9 x3  18x2  4 x  8 . Dzielimy
3
2

ten wielomian przez dwumian  x   i otrzymujemy iloraz (9 x2  12 x  12) . Obliczamy
3

Stwierdzamy, że liczba 
wyróżnik trójmianu (9 x2  12 x  12) :   122  4  9   12  576 . Stąd pierwiastkami
8
trójmianu są liczby x1 
lub x 
12  24
12  24 2
2
 2 oraz x2 
 . Zatem x  2 lub x  
18
18
3
3
2
.
3
albo
2
jest pierwiastkiem wielomianu 9 x3  18x2  4 x  8 . Dzielimy
3
2

ten wielomian przez dwumian  x   i otrzymujemy iloraz (9 x2  24 x  12) . Obliczamy
3

Stwierdzamy, że liczba
wyróżnik trójmianu:   242  4  9 12  144 . Stąd pierwiastkami trójmianu są liczby
24  12
24  12
2
2
2
x1 
 2 oraz x2 
  . Zatem x  2 lub x   lub x  .
18
18
3
3
3
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
gdy:
 podzieli wielomian 9 x3  18x2  4 x  8 przez dwumian  x  2  , otrzyma iloraz
(9 x 2  4) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
2

 podzieli wielomian 9 x3  18x2  4 x  8 przez dwumian  x   , otrzyma iloraz
3

(9 x2  24 x  12) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
2

 podzieli wielomian 9 x3  18x2  4 x  8 przez dwumian  x   , otrzyma iloraz
3

(9 x2  12 x  12) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
 podzieli wielomian 8x3  12 x2  2 x  3 przez trójmian kwadratowy, np. (9 x 2  4) ,
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.
2 2
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: 2,  , .
3 3
Uwaga
Jeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może
otrzymać co najwyżej 1 punkt.
9
Zadanie 28. (0–2)
Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę
własność, że reszta z dzielenia liczby 3k 2 przez 7 jest równa 5.
Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem
wzorów skróconego mnożenia (V.2.a)
I sposób rozwiązania
Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc k  7m  2 ,
gdzie m jest liczbą całkowitą. Wtedy
3k 2  3  7m  2   3  49m2  28m  4   3  49m2  3  28m  12  7 3  7m2  3  4m  1  5 .
2
Dwa pierwsze składniki tej sumy są podzielne przez 7, natomiast 12  7  5 . To oznacza, że
reszta z dzielenia liczby 3k 2 przez 7 jest równa 5. To kończy dowód.
Schemat oceniania
2
gdy zapisze wyrażenie w postaci: 37m  2 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,
które nie przekreślają poprawności rozumowania.
gdy uzasadni tezę, np. zapisze wyrażenie w postaci 7 3  7m 2  3  4m  1  5 .


II sposób rozwiązania
Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc k  2  mod 7  .
Stąd wynika, że k 2  4  mod 7  . Ponadto 3  3  mod 7  , więc z własności kongruencji
3k 2  3  4  mod 7   12  mod 7   5 . To kończy dowód.
Schemat oceniania
gdy zapisze że k 2  4  mod 7  .
Uwaga
Zdający nie musi używać formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeśli
liczba k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje
resztę 4.
gdy zapisze 3k 2  3  4  mod 7   12  mod 7   5 .
10
Zadanie 29. (0–2)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia
1
wykresu funkcji określonej wzorem y  dla każdej liczby rzeczywistej x  0 .
x
y
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
-2
-3
-4
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości
funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g ( x)  f  x  3 .
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Odczytywanie z wykresu funkcji jej własności; szkicowanie
na podstawie wykresu funkcji y  f ( x) wykresów funkcji
y  f ( x  a) , y  f ( x  a) , y  f ( x)  a , y  f ( x)  a (IV.4.b,d)
Rozwiązanie
a) Zapisujemy zbiór wszystkich argumentów, dla których f ( x)  0 :  2, 3 .
b) Z rysunku wynika, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba 3. Zatem miejscem
zerowym funkcji g jest liczba 3  3  6 , ponieważ wykres funkcji g otrzymujemy przesuwając
wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo.
Schemat oceniania
gdy:
 zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których f ( x)  0 :  2, 3 lub 2  x  3 i na
tym poprzestanie lub błędnie zapisze miejsce zerowe funkcji g
albo
 poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g: x  6 i na tym poprzestanie lub błędnie
zapisze zbiór argumentów, dla których f ( x)  0 .
gdy zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których f ( x)  0 :  2, 3 i zapisze miejsce
zerowe funkcji g: x  6 .
11
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
W rozwiązaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy:  3, 2  , x   3, 2  .
Zadanie 30. (0–2)
Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których
pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.
Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach
kombinatorycznych; stosowanie twierdzenia znanego jako
klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania
prawdopodobieństw zdarzeń (III.10.b,d)
Rozwiązanie I sposób „metoda klasyczna”
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary  a , b  liczb z podanego zbioru. Jest to model
klasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:   8  8  64 . Wypisujemy
zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A , polegającego na wylosowaniu dwóch
liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je:
A    5, 1 ,  6, 2  ,  7, 1 ,  7, 3 , 8, 2  , 8, 4 
Zatem A  6 .
Zapisujemy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: P( A) 
6
3
 .
64 32
Rozwiązanie II sposób „metoda tabeli”
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary  a , b  liczb z podanego zbioru. Jest to model
klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.
2.
1.
1
2
3
4
1
2
3
4
5
X
X
6
7
8
X
X
X
X
5
6
7
8
12
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:   8  8  64 . Zliczamy, oznaczone
krzyżykami, zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A , polegającego na
wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6: A  6 .
Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: P( A) 
6
3
 .
64 32
Zdający otrzymuje .......................................................................................................... 1 pkt
gdy
 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:   8  8  64
albo
 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A ,
polegającemu na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od
drugiej o 4 lub 6: A  6 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
3
gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe P( A) 
.
32
III sposób rozwiązania „metoda drzewka”
Rysujemy drzewo, z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji
sprzyjającej zdarzeniu A.
4
8
1
8
1, 2, 3, 4
5
1
8
1
8
6
1
8
7
8
1
131
nie
1
8
7
8
2
nie
132
2
Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:
1 1 1 1 1 2 1 2 6
3
P( A)         
 .
8 8 8 8 8 8 8 8 64 32
1
8
2
2
7 13
2
8
8
6
8
2
8
32i nie 1
3 lub 1 nie 13
6
8
2
nie13
2 i nie 4
2 lub 4
gdy narysuje drzewko uwzględniające wszystkie gałęzie, prowadzące do sytuacji
sprzyjających zdarzeniu A i przynajmniej przy jednej gałęzi zapisze poprawne
prawdopodobieństwo.
6
3
gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe P( A) 
 .
64 32
13
Uwagi
1. Akceptujemy przybliżenia dziesiętne otrzymanego wyniku, o ile są wykonane
poprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,375%.
2. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większą od 1, to zdający otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia  i A , to
otrzymuje 0 punktów.
4. Akceptujemy sytuację, gdy zdający zapisuje liczby z losowania w odwrotnej
kolejności konsekwentnie w całym swoim rozwiązaniu. Wtedy za całe rozwiązanie
może otrzymać 2 punkty.
6
5. Jeżeli zdający zapisze tylko odpowiedź P( A) 
, to otrzymuje 2 punkty, jeśli
64
3
natomiast zapisze tylko odpowiedź P( A) 
, to otrzymuje 1 punkt.
32
14
Zadanie 31. (0–2)
Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży
wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
C
S
B
A
Wykaż, że miara kąta
kąta wypukłego SBC.
wypukłego
ASB
jest
cztery
razy
większa
od
miary
Przeprowadzenie dowodu geometrycznego,
z wykorzystaniem związków miarowych w figurach płaskich
(V.7.c)
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i poprowadźmy promień SC okręgu.
C
S

A

B
Z założenia wynika, że kąt wpisany ACB oraz kąt środkowy ASB leżą po tej samej stronie
cięciwy AB.
Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku wynika, że
1
ACB   . Trójkąt ABC jest równoramienny (ramionami są AC i BC), więc prosta CS
2
1
11  1
zawiera dwusieczną kąta ACB, zatem SCB 
ACB       . Odcinki SC i SB
2
22  4
to promienie okręgu, więc trójkąt BCS jest równoramienny. Stąd wynika, że
1
  SBC  SCB   , co kończy dowód.
4
15
Schemat oceniania
gdy
 wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz wykorzysta równość
kątów SBC i SCB lub równość kątów SCA i SAC i nie uzasadni tezy
albo
 wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz uzasadni równość kątów
SBC i SAC, korzystając z równoramienności trójkątów ABC i ABS, i nie uzasadni tezy.
gdy uzasadni, że kąt ASB jest cztery razy większy od kąta SBC.
Uwaga
Jeżeli zdający w przedstawionym rozumowaniu rozważy wyłącznie szczególny przypadek,
np. trójkąt równoboczny, to otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 32. (0–4)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi
prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3 .
Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach
(IV.9.b)
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Pole Pc powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe Pc  2 xy  2 xz  2 yz . Możemy
przyjąć, że x : y : z  1 : 2 : 3 . Wtedy y  2 x oraz z  3x . Zatem
Pc  x   2  x  2 x  2  x  3x  2  2 x  3x  4 x 2  6 x 2  12 x 2  22x 2 .
Ponieważ Pc  198 , więc otrzymujemy równanie
22 x2  198 .
Stąd x 2  9 , więc x  3 .
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów ABD i BDH otrzymujemy
p 2  x 2  y 2 oraz d 2  p 2  z 2 .
16
Stąd
d 2  x2  y 2  z 2 .
Zatem
d  x 2  y 2  z 2  x 2   2 x    3x   14 x 2  x 14  3 14 .
2
2
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania .........................................................................................................................1 pkt
Zdający
 zapisze długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka
w zależności od jednej zmiennej, np.: x, 2x , 3x
albo
 zapisze długość przekątnej prostopadłościanu w zależności od długości jego krawędzi:
d  x2  y 2  z 2 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ......................................................................2 pkt
Zdający
 zapisze pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej,
np.: Pc  x   2  x  2 x  2  x  3x  2  2 x  3x
albo
 zapisze długość przekątnej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, np.:
d  x 2   2 x    3x  .
2
2
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .....................................................................3 pkt
Zdający obliczy długość jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.: x  3 .
Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt
Zdający obliczy długość przekątnej prostopadłościanu: d  3 14 .
Uwagi
1. Jeżeli zdający odgadnie długość jednej z krawędzi prostopadłościanu i obliczy długość
przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie 2 punkty.
2. Jeżeli zdający błędnie uzależni długości krawędzi od jednej zmiennej, przyjmując: x,
1
x,
2
1
x , i konsekwentnie oblicza długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje
3
maksymalnie 3 punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunków długości krawędzi,
stanowią podstawę do przyznania za rozwiązanie 0 punktów.
17
Zadanie 33. (0–5)
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość
2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu
poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią
prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od
średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym
prowadzących do równań kwadratowych (III.3.b)
Rozwiązanie (I sposób)
Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza,
a t czas wyrażony w godzinach, w jakim zszedł ze wzgórza. Wówczas zależność między tą
prędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci
v  t  2,1 .
Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze, jest zatem równa v  1 , natomiast czas,
4
1
w jakim wszedł, jest równy 1  t  1  t . Możemy więc zapisać drugie równanie
60
15
16
 v  1    t   2,1 .
 15 
Stąd otrzymujemy
16
16
21
v  v t   t  .
15
15
10
Po podstawieniu v  t 
21
10
otrzymujemy
16
21 16
21
v  t  ,
15 10 15
10
79 16
t
 v.
15 15
79 16
21
Podstawiając t 
 v w równaniu v  t  , otrzymujemy równanie kwadratowe
15 15
10
z niewiadomą v
 79 16  21
v  v  ,
 15 15  10
16 2 79
21
v  v 0,
15
15
10
2
32v 158v  63  0 ,
2
   158  4  32  63  16900 ,   16900  130
158  130
28
7
158  130 288 9

 , v2 

 .
2  32
2  32 16
2  32
2  32 2
Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką
turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna, a to niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia
warunki zadania, gdyż wtedy v 1  4,5  1  3,5 .
Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaka turysta wchodził na wzgórze jest równa 3,5 km/h.
v1 
18
Rozwiązanie (II sposób)
Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza.
2,1
Wówczas czas, w jakim zszedł ze wzgórza, wyrażony w godzinach jest równy
. Ponieważ
v
4
1 16
łączny czas wejścia i zejścia był równy 1 godzinę i 4 minuty, czyli 1  1 
godziny,
60 15 15
16 2,1
więc czas, w jakim wchodził, był równy
godziny. Stąd z kolei wynika, że średnia

15 v
2,1
prędkość, z jaką wchodził, była równa
km/h. Otrzymujemy w ten sposób równanie
16 2,1

15 v
z niewiadomą v
2,1
 v 1,
16 2,1

15 v
21 30v

 v 1,
10 32v  63
63v
 v  1,
32v  63
63v   v  1 32v  63 ,
63v  32v2  95v  63 ,
32v2 158v  63  0 ,
   158  4  32  63  16900 ,
2
  16900  130
158  130
28
7
158  130 288 9

 , v2 

 .
2  32
2  32 16
2  32
2  32 2
Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką
turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania,
gdyż wtedy v 1  4,5  1  3,5 .
Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze jest równa 3,5 km/h.
v1 
rozwiązania .........................................................................................................................1 pkt
Zdający
 oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza oraz
czas wyrażony w godzinach, w jakim schodził ze wzgórza, i zapisze zależność między
średnią prędkością i czasem, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.:
v – średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza
t – czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza
16
 v  1    t   2,1
 15 
albo
19
 oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta wchodził na wzgórze oraz
czas wyrażony w godzinach, w jakim wchodził na wzgórze, i zapisze zależność między
średnią prędkością i czasem, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.:
v – średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze
t – czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze
16
 v  1    t   2,1
 15 
Uwaga
Zdający nie otrzymuje punktu, jeśli zapisze jedynie v  t  2,1 .
Zdający
 zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t – odpowiednio prędkość i czas
schodzenia turysty ze wzgórza, np.;

 16 
 v  1    t   2,1
 15 

v  t  2,1

albo
 zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t – odpowiednio prędkość i czas
wchodzenia turysty na wzgórze, np.;

 16 
 v  1    t   2,1
 15 

v  t  2,1

albo
 oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od
tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas,
w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.:
v  1 to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze
2,1
to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze
v 1
albo
 oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej
wielkości czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza, oraz czas, w jakim turysta
wchodził na wzgórze, np.:
2,1
to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza
v
16 2,1
to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze

15 v
albo
wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas,
w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.:
v  1 to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze
20
2,1
to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza.
v
Uwaga
Jeśli zdający wprowadza tylko jedną niewiadomą na oznaczenie jednej z czterech wielkości:
czas wchodzenia, czas schodzenia, prędkość wchodzenia, prędkość schodzenia, to 2 punkty
otrzymuje wtedy, gdy uzależni od wprowadzonej zmiennej dwie z pozostałych trzech
wielkości.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................3 pkt
Zdający
 zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t – odpowiednio prędkość i czas
schodzenia turysty ze wzgórza, np.;
 79 16 
v   v   2,1
 15 15 
albo
 zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t – odpowiednio prędkość i czas
wchodzenia turysty na wzgórze, np.;
47 
 16
v  v    2,1
15 
 15
albo
wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas,
w jakim turysta wchodził na wzgórze i zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:
2,1 2,1 16


v  1 v 15
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ....................................................... 4 pkt
Zdający
 rozwiąże równanie z niewiadomą inną niż średnia prędkość schodzenia bezbłędnie
i nie obliczy średniej prędkości schodzenia
albo
 rozwiąże równanie z niewiadomą v (średnia prędkość schodzenia) z błędem
rachunkowym.
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 5 pkt
Zdający obliczy średnią prędkość wchodzenia turysty na wzgórze: 3,5 km/h
Uwagi
1. Zdający może pominąć jednostki, o ile ustalił je w toku rozwiązania i stosuje je
konsekwentnie.
21
2. Jeżeli zdający oznaczy przez v prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze i zapisze,
że v – 1 oznacza prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza i konsekwentnie do
przyjętych oznaczeń rozwiąże zadanie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Przykład 1.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze
wzgórza i zapisze:
2,1
v 1 
16
t
15
v  t  2,1

16

 v  1 15  t  2,1
i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym
jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie
16
2,1
ujął wyrażenia
wskazuje na poprawną
 t w nawias. Zapis równania v  1 
16
15
t
15
interpretację zależności między wielkościami.
Przykład 2.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze
wzgórza i zapisze:
2,1

v  t
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1

,
1 
v 1 
1 
2,1

16
15
t
t
t
v  1  16
t
t
15
16
t

15

i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych
2,1
2,1
trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu
zdający
1 
15
t
t
16
16
przestawił liczby w liczniku i mianowniku ułamka
lub nawet pominął ten ułamek.
15
Przykład 3.
Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 32v2  158v  63  0 zamiast
równania 32v2 158v  63  0 (np. w wyniku złego przepisania znaku), konsekwentnie
jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci rozwiązanie niespełniające
22
warunków zadania i pozostawi wynik, który może być realną prędkością poruszania się
turysty, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy
5 punktów.
Zadanie 34. (0–4)
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30 . Pole kwadratu DEFG wpisanego w ten
trójkąt (zobacz rysunek) jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
B
F
E
G
30
C
A
D
Wykorzystanie własności figur podobnych w zadaniach
(IV.7.b)
I sposób rozwiązania
Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem a  2 .
Trójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD i wysokości AE, więc
AD 3 4 3
AD  2a  4 oraz AE 

2 3.
2
2
Trójkąt GBF to „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG i wysokości FG, więc
BG 3
BG  2 BF oraz FG 
.
2
BG 3
1
1 4
2
4
Zatem 2 
, więc BG 
oraz BF  BG  
.

2
2
2 3
3
3
Trójkąt ACB jest „połową trójkąta równobocznego” o boku AB. Obliczamy
2
2
8
AB  AE  EF  BF  2 3  2 
 2 3 2
3
32.
3
3
3
Pole trójkąta ACB jest więc równe
2
PACB
2
1 AB 3
3 8
3  64 32

 19
 

3  4 
34.
 3  2 
 
2
4
8 3
8  3
3

 6
Uwaga
Podany sposób rozwiązania polega na rozwiązaniu trójkątów prostokątnych ADE i BGF. Tak
samo możemy postąpić rozwiązując inną parę trójkątów prostokątnych: ADE i DCG lub DCG
i BGF.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
rozwiązania .........................................................................................................................1 pkt
Zdający obliczy długość boku kwadratu: 2.
23
Zdający skorzysta z własności trójkąta 30, 60, 90 albo z funkcji trygonometrycznych
4
i poprawnie obliczy długość jednego z odcinków: AD  4 , AE  2 3 , BG 
,
3
2
, CD  3 , CG  1 .
BF 
3
Zdający poprawnie obliczy długość jednego z boków trójkąta ACB:
8
4
AB 
3  2 lub BC 
 1 lub AC  3  4 .
3
3
19
Zdający obliczy pole trójkąta ACB: PACB 
34.
6
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze wynik w innej, równoważnej postaci, to otrzymuje 4 punkty, np.:
2
 4 3
3 8
1

PACB 
.
 3  2  , PACB  4  3  1 
8 3
2
3 




II sposób rozwiązania
Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem a  2 .
Trójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD, więc AD  2a  4 . Zatem
pole tego trójkąta jest równe
2
1 AD 3 42 3
PADE  

2 3.
2
4
8
Trójkąt GBF to także „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG, więc BG  2 BF
Zatem 2 
BG 3
2
, więc BG 
4
. Pole trójkąta GBF jest więc równe
3
2
 4 
3
2
1 BG 3  3 
2
PGBF  


3.
2
4
8
3
Trójkąt DGC również jest „połową trójkąta równobocznego” o boku DG. Ponieważ
DG  a  2 , więc pole tego trójkąta jest równe
2
PDCG
1 DG 3 22 3
3
.
 


2
4
8
2
Obliczamy pole trójkąta ACB
PACB  PADE  PGBF  PDCG  PDEFG  2 3 
2
3
19
3
4
34.
3
2
6
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
rozwiązania .........................................................................................................................1 pkt
24
Zdający obliczy pole jednego z trójkątów ADE, GBF, DCG:
2
3
.
PADE  2 3 , PGBF 
3 , PDCG 
2
3
Zdający obliczy pole każdego z trójkątów ADE, GBF, DCG:
2
3
.
3 , PDCG 
2
3
19
Zdający obliczy pole trójkąta ACB: PACB 
34.
6
III sposób rozwiązania
Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem a  2 . Zauważmy, że trójkąt ACB jest
podobny do trójkąta DCG
B
F
N
E
G
M
30
A
C
D
Trójkąt DCG to „połowa trójkąta równobocznego” o boku DG długości 2, więc jego pole jest
równe
2
1 DG 3 22 3
3
.
PDCG  


2
4
8
2
Wysokość CM tego trójkąta obliczymy wykorzystując wzór na jego pole
1
1
PDCG   DG CM   2 CM  CM ,
2
2
3
więc CM 
. Zatem wysokość CN trójkąta ACB opuszczona na AB jest równa
2
3
CN  CM  MN 
2.
2
Skala podobieństwa trójkąta ACB do trójkąta DCG jest więc równa
3
2
CN
4
.
 2
 1
CM
3
3
2
Ponieważ stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali ich podobieństwa, więc
2
PACB 
4 
8 16 19 8
.
 1 
 1
  

PDCG 
3
3
3 3
3
25
Stąd i z obliczonego wcześniej pola trójkąta DCG otrzymujemy
 19 8 
 19 8  3 19
PACB   
PDCG   

34.


6
3
3 2
3
 3
rozwiązania .........................................................................................................................1 pkt
Zdający obliczy pole jednego z trójkątów ADE, GFB, DCG:
2
3
.
3 , PDCG 
2
3
Zdający obliczy skalę podobieństwa trójkąta ACB do jednego z trójkątów ADE, GFB, DCG
i wykorzysta twierdzenie o stosunku pól figur podobnych, np.:
2
CN
4 
4 PACB 
,
 1
 1 
 .
CM
3 PDCG 
3
19
Zdający obliczy pole trójkąta ACB: PABC 
34.
6

Zadanie 2.

Transkrypt

Podobne dokumenty

WYKAZ PRZYBORÓW NA EGZAMIN ZAWODOWY kalkulator prosty

Harmonogram egzaminu 11czerwca 2012

Egzamin B2 z języka hiszpańskiego

MATURA OD 2015 ROKU

Instrukcja dla osób korzystających z komputera podczas pisemnego

Założenia zmian w maturze – od 2015 r. Koniec z prezentacją

Klasa druga technik urządzeń sanitarnych