potencjalna

1
Model przemieszczeniowy
S - brzeg ciała
Model
przemieszcz. Su - przemieszczeniowe warunki brzegowe
Sσ- naprężeniowe warunki brzegowe
V - objętość
 Zasady
wariacyjne




Jp - energia
potencjalna
Obliczamy energię
potencjalną dla
Jp – jednego
pojedynczego elementu.
elementu
Jp - całkowita
Energia potencjalna jest skalarem
Energia ciała sumą energii elementów.
2
Zasady wariacyjne
Podstawą budowy modeli MES są prawa mechaniki
zwana zasadami wariacyjnymi:

Model
przemieszcz.

Zasady
wariacyjne
1)
Twierdzenie o minimum energii potencjalnej,
Jp - energia
potencjalna
2)
Twierdzenie o minimum energii dopełniającej,

Jp – jednego
elementu
3)
Zasada Reissnera Hellingera

Jp - całkowita
4)
Inne…

3
Energia potencjalna w LTS

Model
przemieszcz.

Zasady
wariacyjne

Energia potencjalna to różnica energii wewnętrznej
(sprężystej) nagromadzonej w ciele i pracy obciążenia.
Energia wewnętrzna
Jp - energia
potencjalna
Praca obciążenia

Jp – jednego
elementu

Jp - całkowita
Ciało w równowadze, gdy energia
osiąga MINIMUM!!!
4
Energia potencjalna w LTS

Model
przemieszcz.
Funkcjonał energii potencjalnej:

Zasady
wariacyjne
Możemy zapisać

Jp - energia
potencjalna
i
i podstawić do funkcjonału

Jp – jednego
elementu

Jp - całkowita
Zauważmy, że teraz energia jest
zależna tylko od przemieszczeń!
5
Funkcjonał energii potencjalnej Jp

Model
przemieszcz.

Zasady
wariacyjne

Jp - energia
potencjalna

Jp – jednego
elementu

Jp - całkowita
Kiedy funkcjonał osiągnie minimum?
Wtedy, gdy zeruje się pierwsza wariacja energii
potencjalnej względem szukanego u.
W MES poszukujemy rozwiązania, które spełnia ten
warunek.
6
Pojedynczy element

Model
przemieszcz.

Zasady
wariacyjne

Jp - energia
potencjalna

Jp – jednego
elementu

Jp - całkowita
Będziemy aproksymować (przybliżać)
przemieszczenia.
Element połączony z innymi poprzez węzły.
W każdym węźle określone parametry węzłowe!
Przemieszczenia DOWOLNEGO punktu elementu możemy wyrazić
za pomocą tych parametrów.
Gdzie N( x, y) to macierz funkcji
aproksymujących!
7
Pojedynczy element

Model
przemieszcz.

Zasady
wariacyjne

Jp - energia
potencjalna

Możemy teraz wyrazić energię elementu skończonego
za pomocą wektora
skoro
to
Ale parametry węzłowe to nie funkcje! Mogą więc
Jp – jednego znaleźć się poza całką!
elementu

Jp - całkowita
8
Macierz Sztywności

Model
przemieszcz.

Zasady
wariacyjne

Jp - energia
potencjalna

Jp – jednego
elementu

Jp - całkowita
Wyrażenie pod całką nazywamy Macierzą Sztywności
elementu!
Funkcjonał zapiszemy zatem:
9
Całkowita energia potencjalna

Model
przemieszcz.
Skoro mamy energię potencjalną dla elementu, to
możemy obliczyć CAŁKOWITĄ energię potencjalną.

Zasady
wariacyjne
Ta całkowita energia zależy już od parametrów
węzłowych q.

Jp - energia
potencjalna
Pozostaje znalezienie odpowiedzi na pytanie:


Jp – jednego
elementu
Dla jakich parametrów q energia osiąga minimum?
Jp - całkowita
10
Całkowita energia potencjalna

Model
przemieszcz.
Jest to już problem czysto algebraiczny – układ równań
liniowych zależnych od parametrów q.

Zasady
wariacyjne
Znając parametry q możemy obliczyć

Jp - energia
potencjalna
przemieszczenia
odkształcenia


Jp – jednego
elementu
Jp - całkowita
naprężenia
W KAŻDYM PUNKCIE ELEMENTU!
11