Lab. Estymacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa i autokorelacji

Wstęp do cyfrowego przetwarzania sygnałów – laboratorium
Temat: Estymacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa i autokorelacji
Imię i nazwisko:
Data ćwiczenia:
Data oddania sprawozdania:
Ocena:
Ćwiczenie jako cel miało zilustrowanie procesu estymacji funkcji gęstości prawdopodobieństwa oraz funkcji
autokorelacji. Procesy te mają duże znaczenie w dziedzinie analizy sygnałów losowych znajdywania
okresowości w zaszumionym przebiegu.
Pierwsza symulacja demonstrowała powstawanie histogramu dla wybranego przebiegu. Histogram jest
stosunkowo dobrym przybliżeniem funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Powstaje on w trakcie analizy
rzeczywistego sygnału losowego, zatem nie bez znaczenia jest czas obserwacji, ilość próbek badanego sygnału
oraz ilość poziomów kwantowania. Im więcej przedziałów zawiera histogram, tym lepiej jest przybliżana
funkcja gęstości prawdopodobieństwa.
W celu zbadania rozkładu gęstości prawdopodobieństwa podano na wejście układu szum gaussowski.
Rys. 1
Rys. 2
Rysunek pierwszy pokazuje histogram otrzymany dla szumu gaussowskiego o wariancji równej 1. Łatwo
zaobserwować, iż obwiednia słupków kształtem bardzo przypomina kształt funkcji gęstości
prawdopodobieństwa dla rozkładu gaussowskiego. Kształt ten jest jeszcze wyraźniej zauważalny na drugim
rysunku, gdzie pokazano histogram otrzymany dla szumu gaussowskiego o wariancji równej 2. Teoretycznie
skutkiem zwiększenia wariancji powinno być „rozmycie” się obwiedni rozkładu. Tak też się stało. Na drugim
wykresie widać wyraźnie mniejszą amplitudę słupków i szerszy rozkład.
Kolejny rysunek przedstawia histogram dla
przebiegu sinusoidalnego. Obwiednia słupków
również i w tym przypadku przypomina kształtem
kształt funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla
przebiegu sinusoidalnego, aczkolwiek nie jest to
aż tak wyraźnie widoczne, jak w przypadku
poprzednich dwóch rysunków.
Jak widać, histogram jest dobrym przybliżeniem
funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Jako, że
powstaje on w wyniku „obserwacji” sygnału
w czasie, należy pamiętać o dobraniu
odpowiedniego czasu obserwacji, tak aby
dokładność histogramu była zadawalająca.
Rys. 3
Druga część symulacji pozwoliła na zobrazowanie procesu estymacji funkcji autokorelacji dla różnych
przebiegów. Zadanie polegało na podaniu na wejście układu przebiegu sinusoidalnego z addytywnym szumem
gaussowskim (de facto zasymulowano kanał typu AGWN) i obserwowaniu estymatorów w celu wykrycia
(C) 2004 STUDENT.NET.PL :: Wszelkie prawa zastrzeżone
okresowego przebiegu sinusoidalnego. Należało także zbadać jakość estymacji w zależności od parametrów
sygnałów oraz ilości próbek badanych przebiegów.
Rys. 4 – szum gaussowski
Rys. 5 – przebieg sinusoidalny
W pierwszej kolejności podano przebieg składający się z 200 próbek o następujących parametrach:
– aplituda sinusa = 5
– częstotliwość sinusa = 100 Hz
– wariancja szumu = 100
Dla powyższych parametrów przebieg funkcji autokorelacji przedstawia się następująco:
Na otrzymanym wykresie można z pewnym
trudem rozpoznać okresowy przebieg
sinusoidalny. Wykres zawiera więcej niż
jeden estymator, ale są one bardzo zbliżone
kształtem, co w pewnym stopniu ułatwia
analizę.
Kolejne rysunki przedstawiają wykresy
funkcji
autokorelacji
dla
sygnału
sinusoidalnego z addytywnym szumem
gaussowskim z inną ilością próbek.
Rys. 6
Rys. 7 – wykres dla sygnału złożonego z 50 próbek
Rys. 8 – wykres dla sygnału złożonego z 400 próbek
Jak widać ilość próbek sygnału ma znaczący wpływ na jakość estymacji. Co prawda na wykresie, który powstał
dla sygnału złożonego z 50 próbek można rozpoznać okresowość, ale ciężko wywnioskować, z jakim typem
przebiegu mamy do czynienia. Kształt może pasować zarówno do sinusa, jak i przebiegu trójkątnego,
w zależności od subiektywnej oceny obserwatora. Natomiast wykres dla sygnału złożonego z 400 próbek nie
pozostawia żadnych wątpliwości zarówno jeśli chodzi o okresowość przebiegu, jaki i o kształt.
Nie bez znaczenia pozostaje również to, z jak mocnym szumem mamy do czynienia.
(C) 2004 STUDENT.NET.PL :: Wszelkie prawa zastrzeżone
Rys. 8
Rys. 9
Rys. 10
Rys. 11
Rysunek 8 i 9 przedstawia wykres funkcji autokorelacji dla przebiegu sinusoidalnego z addytywnym szumem
gaussowskim, którego wariancję ustalono na 500. Wykres na rysunku 8 powstał na podstawie 200 próbek
sygnału, a wykres na rysunku 9 dla 400 próbek. Jak widać, z wykresu na rys. 8 ciężko cokolwiek
wywnioskować, chociaż okresowość z dużą dozą niepewności można stwierdzić. Podobnie na rys. 9.Jednakże
okresowość ta nie jest już tak jednoznacznie widoczna jak na poprzednich rysunkach, gdzie wariancja szumu
była mniejsza. Co prawda zwiększenie ilości próbek sygnału polepsza jakość estymacji, lecz nie jest ona
dostatecznie zadawalająca. Aby jeszcze bardziej poprawić jakość estymaty należałoby jeszcze bardziej
zwiększyć ilość próbek badanego sygnału.
Rysunki 10 i 11 przedstawiają wykresy funkcji autokorelacji dla sygnału, w którym wariancja szumu została
ustalona na 250. O ile estymata na rys. 10, która powstała na podstawie 200 próbek sygnału, nie jest zbyt
dokładna, tak zwiększenie dwukrotne ilości próbek sygnału pozwoliło na uzyskanie stosunkowo dobrej
estymacji, widocznej na rys. 11.
Mając na uwadze wszystkie powyższe rozważania można wywnioskować, iż estymacja funkcji autokorelacji
spełnia swoje zadanie. Pozwala na wykrycie okresowości w zaszumionym przebiegu. Należy przy tym pamiętać,
iż poziom szumu ma istotny wpływ na jakość estymacji. Jeżeli jakość ta jest niezadawalająca, należy
podwyższyć ilość próbek analizowanego sygnału.
Natomiast na jakość otrzymywanego histogramu bezpośredni wpływ ma czas „obserwacji” badanego sygnału.
Zależność ta jest jak najbardziej zrozumiała, ponieważ każde badanie statystyczne, a histogram bez wątpienia
do takiego należy, staje się tym dokładniejsze, im większa jest badana próba. Jednakże nie oznacza to,
że zwiększając do nieskończoności czas obserwacji otrzymamy nieskończenie dokładny histogram, gdyż
zależność dokładności od czasu obserwacji jest logarytmiczna, i w miarę zwiększania czasu obserwacji do
nieskończoności
przyrosty dokładności będą malały asymptotycznie do 0 (sama dokładność dąży
asymptotycznie do pewnej ustalonej wartości). Należy więc mieć to na uwadze podczas wyznaczania rozkładu
gęstości prawdopodobieństwa dla danego przebiegu przy użyciu histogramu.
(C) 2004 STUDENT.NET.PL :: Wszelkie prawa zastrzeżone