n - AGH

Wykład IX
Całka oznaczona Riemanna
Niech f:[a,b] →R
I etap: tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]
-pierwszy podział
-drugi podział: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 = 𝑏
2  x2  x1
nty podział: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < . . . . < 𝑥2 = 𝑏
Definicja 9.1 (normalny ciąg podziałów przedziału [a,b])
Niech n=
max (xk+1 - xk) - średnica podziału n (długość najdłuższego przedziału)
k{0,…,n-1}
Powiemy, że ciąg podziałów
 n ) nN
jest normalny : <=>
lim n  0
n
II etap
f ( k )
Tworzymy sumę:
Dla n : w każdym z
przedziałów [xk,xk+1], k=0,1,.,(n-1)
wybieramy w sposób
dowolny punkt pośredni  k
- możemy utworzyć dla każdego podziału
- ciąg sum całkowych
III etap
Definicja 9.2 (całka Riemanna)
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] i dowolnego wyboru punktów
pośrednich
 k istnieje lim
lim
 n6𝑛
𝑛→∞
n 
która nie zależy od ciągu

podziałów przedziału [a,b] i wyboru punktów pośrednich k (tzn. wartość tej granicy jest
zawsze ta sama ) to nazywamy ją całką Riemanna i piszemy :
UWAGA:
b
Jeżeli istnieje
 f ( x)dx to powiemy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na
a
przedziale [a,b].
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
a=x0
Jeżeli
x[ a ,b ]
ξ1
x1
ξ2
ξ3
x2
b=x3
b
f(x)  0 i f -całkowalna, to:
 f ( x)dx  D
-pole obszaru D,
a
gdzie D={(x, y)  R2 : x [a, b] ^ y [0, f(x)]}, inaczej:
D={(x, y)  R2: a  x  b ^ 0  y  f(x)}
Uwaga!
b
Jeżeli f(x)  0 w [a, b] ^ f –całkowalna, to
 f ( x)dx   D , gdzie D obszar pomiędzy
a
wykresem y= f(x) i osią OX w przedziale [a, b]
Całka dolna, całka górna
n
Niech Mk = sup f(x) , x  [xk,xk+1]
mk = inf f(x) , x  [xk,xk+1]
k {0,1,…,(n-1)}
Niech (  n ) normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]
Uwaga:
Definicja 9.3 (całka górna, dolna)
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] istnieją granice lim sn oraz
n 
lim Sn i nie zależa od normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] to:
n 
Całka dolna
Całka górna
Twierdzenie 9.1 (o całkowalności)
f –całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a,b] 
Dowód:
k{0,1,...,( n1)} mk  f (k )  Mk | mnożymy xk i sumujemy
n 1
n 1
n 1
 m x   ( )x   M x
k 0
k
n
n  0
I=
k
k 0
k
k
k 0
k
k
n
n  0
n
n  0
I=
Twierdzenie 9.2 (o całkowalności)
Z: f  C[a,b] , [a,b]- domknięty i ograniczony
T: f- całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]
Definicja 9.4 (zbiór miary Riemanna 0)
R A - jest miary Riemanna 0
tzn. że zbiór A można pokryć skończoną liczbą przedziałów o łącznej długości nie przekraczającej
zadanej liczby

Przykład 9.1
 >0
x1
x2

4

4
x3

4
A={x1,x2,x3}



, x1+ ] => b1-a1=
6
6
4



[a2,b2]=[x2- , x2+ ] => b2-a2=
6
6
4



[a3,b3]=[x3- , x3+ ] => b3-a3=
6
6
4
[a1,b1]=[x1-
3
 (b  a )  4  
i
i
1) Każdy zbiór skończony tzn.
Riemanna 0
składający się ze skończonej ilości elementów ma miarę
Przykład 9.2
  0,5
1 
 
A=
nN  n 
0,001 0,001 0,001
0
Dla n>200
0,001
1
3
1
2
1
1  1
1 
1  1
 
,
,
 

n  200 200   200 200 
Wniosek ostateczny
Każdy zbiór złożony ze skończonej ilości punktów skupienia jest zbiorem długości miary Riemanna
0.
Twierdzenie 9.3
Jeżeli {x  R : f(x)  g(x)} jest miary Riemanna 0 i f - całkowalna na [a,b], to g
również- całkowalna na [a,b] i
𝑏
𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Twierdzenie 9.4( własności całki oznaczonej)
Z: f - całkowalna na [a,b] , c(a,b)
T:
Twierdzenie 9.5 (własności całki oznaczonej c.d.)
Z: f,g - całkowalne na [a,b]
T:
1.
– całkowalna na [a,b]
b
b
b
a
a
a
  f ( x)   g ( x) dx    f ( x)dx    g ( x)dx
f∙g - całkowalne na [a,b] – brak wzoru
2.
| f | - całkowalna na [a,b] i |
3.
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥| ≤
𝑏
𝑎
|𝑓 𝑥 |𝑑𝑥
b
f  0 na [a,b], to
4.
 f ( x)dx  0
a
f  g na [a,b], to
5.
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx
1-3 bez dowodu
Dowód na pkt. 4
n 1
f  0 na [a,b], to
 f ( )x
k 0
k
k
n 1
 0  lim  f (k )xk  0
n 
 0 k  0

b
 f ( x)dx  0
a
Dowód na pkt.5
f  g  (g  f )  0
b
na [a,b]
 [ g ( x)  f ( x)]dx  0
a
b
b
a
a
 g ( x)dx   f ( x)dx  0  tezie
Twierdzenie 9.6(I twierdzenie o wartości średniej)
Z: f- całkowalna na [a,b]
T:
b
n 1
a
n 
 0 k  0
 mdx  lim mx
n
 m(b  a)
k m(k )  m
Na podstawie pkt 5 tw. 9.5
m  f(x)  M na [a,b]
to
b
b
b
a
a
a
 mdx   f ( x)dx   Mdx

b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
Wartość średnia
Z: fC[a,b]
f - jest ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a,b]
b
T:
1
c[ a ,b ]
f ( x)dx  f (c)
b  a a
Dowód:
fC[a,b] f - osiąga swoje kresy

sens geometryczny
Zauważmy:

Definicja 9.5 (funkcja górnej granicy całkowania)
f - całkowalna na [a,b]
x[ a ,b ]
x
( x) :  f (t )dt
a
𝜙 𝑥 = 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑔ó𝑟𝑛𝑒𝑗 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑐𝑦 𝑐𝑎ł𝑘𝑜𝑤𝑎𝑛𝑖𝑎.
Twierdzenie 9.7 (Własności funkcji górnej granicy całkowania)
1) f -całkowalna na [a,b] =>  - ciągła na [a,b]
 2) f
–ciągła
na
[a,b]
=>
różniczkowalna
x( a ,b )  '( x)  f ( x)
Twierdzenie 9.8 (Newtona-Leibniza)
Z:
f  C[ a ,b ]
f –ciągła; przedział domknięty i ograniczony
F-pierwotna do f na [a,b]
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
T:
a
Dowód:
Z tw.9.7 =>
=>
 -pierwotna do f
i F – z założenia pierwotna do f =>
CRx[ a,b]( x)  f ( x)  C
b
(a)   f ( x)dx  0
a
b
(b)   f ( x)dx
=>
a
b
 f ( x)dx  (b)  (a)  F (b)  C  ( F (a)  C)  F (b)  F (a)
a
na
[a,b]
i
Przykład 9.3
3
dx (*)
2 x2  1 
-3
-2
zał: x  1 i x  -1
-1
1
Funkcja spełnia założenia Newtona-Leibniza, będziemy więc szukali funkcji pierwotnej
Obliczenia pomocnicze:
dx
1
dx
1
dx
 ( x  1)( x  1)  2  x  1  2  x  1 
1
1
1 x 1
 ln x  1  ln x  1  C  ln
C
2
2
2 x 1
1
A
B


( x  1)( x  1) x  1 x  1
1
A
2
1
B
2