Rozdział 4 Operatory różniczkowe

Rozdział 4
Operatory różniczkowe
4.1
Gradient
Rozważmy rzeczywistą funkcję skalarną w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej,
φ = φ(x1 , x2 , x3 ) ,
(4.1)
gdzie (xi ) to współrzędne wektora wodzącego ~r w ortonormalnej bazie wektorów {~i1 ,~i2 ,~i3 },
~r = x1 ~i1 + x2 ~i2 + x3 ~i3 .
(4.2)
Gradient funkcji φ to funkcja wektorowa
∂φ
∂φ
∂φ
gradφ = ~i1 1 + ~i2 2 + ~i3 3
∂x
∂x
∂x
(4.3)
Jeżeli zdefiniujemy wektorowy operator różniczkowy nabla
∂
∂
∂
∇ = ~i1 1 + ~i2 2 + ~i3 3 ,
∂x
∂x
∂x
(4.4)
to gradient można zapisać jako wynik działania tego operatora na funkcję φ,
gradφ = ∇φ
(4.5)
Rozważmy różniczkę funkcji φ
dφ =
∂φ 1 ∂φ 2 ∂φ 3
dx + 2 dx + 3 dx .
∂x1
∂x
∂x
(4.6)
Można ją zapisać w formie iloczynu skalarnego
−→
−→
dφ = ∇φ · dr = |∇φ|| dr | cos α ,
1
(4.7)
−→
gdzie dr = (dx1 , dx2 , dx3 ). Zmieniając kierunek wektora przyrostu argumen−→
tów dr przy ustalonej jego długości otrzymujemy największą wartość przyro−→
stu funkcji dφ dla dr ||∇φ (α = 0). Stąd - gradient funkcji wskazuje kierunek
jej największego wzrostu w przestrzeni argumentów funkcji.
4.2
Dywergencja
Rozważmy funkcję wektorowa w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej
~ = A1 ~i1 + A2 ~i2 + A3 ~i3 ,
A
(4.8)
gdzie każda ze składowych zależy od składowych wektora ~r,
Ai = Ai (x1 , x2 , x3 ) ,
i = 1, 2, 3 .
(4.9)
~ funkcję skaOperator dywergencji przyporządkowuje funkcji wektorowej A
larną
~ = ∇·A
~ = ∂A1 + ∂A2 + ∂A3
divA
(4.10)
∂x1 ∂x2 ∂x3
Policzmy dywergencję z gradientu funkcji skalarnej
div(gradφ) = ∇ · ∇φ =
∂2 φ
∂2 φ
∂2 φ
+
+
.
(∂x1 )2 (∂x2 )2 (∂x3 )2
(4.11)
Operator działający na funkcję skalarną po prawej stronie nazywa się operatorem Laplace’a lub laplasjanem i oznacza się go symbolem
∆ ≡ ∇ · ∇ = div grad ,
(4.12)
który przyjmuje następujacą postać we współrzędnych kartezjańskich
∆=
4.3
∂2
∂2
∂2
+
+
(∂x1 )2 (∂x2 )2 (∂x3 )2
(4.13)
Rotacja
Operator rotacji przyporządkowuje funkcji
torową
~i1
~
~
rot A = ∇ × A = ∂1
A1
2
~ nową funkcję wekwektorowe A
~i2 ~i3 ∂2 ∂3 A2 A3 (4.14)
co po rozwinięciu daje
~ = ~i1 (∂2 A3 − ∂3 A2 ) + ~i2 (∂3 A1 − ∂1 A3 ) + ~i3 (∂1 A2 − ∂2 A1 )
rot A
(4.15)
gdzie wprowadziliśmy oznaczenie
∂i =
∂
,
∂xi
i = 1, 2, 3 .
(4.16)
~ dla którego rotA
~ , ~0 nazywamy polem wirowym.
Pole A
Łatwo udowodnić tożsamość
~ = ∇ · (∇ × A)
~ =0
div(rot A)
(4.17)
Mamy bowiem
~ = ∂1 (∂2 A3 − ∂3 A2 ) + ∂2 (∂3 A1 − ∂1 A3 ) + ∂3 (∂1 A2 − ∂2 A1 )
∇ · (∇ × A)
= (∂1 ∂2 − ∂2 ∂1 )A3 + (∂2 ∂3 − ∂3 ∂2 )A1 + (∂3 ∂1 − ∂1 ∂3 )A2 = 0
o ile pochodne cząstkowe są przemienne, co oznacza, że składowe Ai muszą
być ciągłe aż do drugich pochodnych. Funkcje (pola) wektorowe, dla których
dywergencja znika nazywamy polami beźródłowymi. Tak więc pole
~
~ = rot A
B
(4.18)
jest pole beźródłowym.
Podobnie można udowodnić tożsamość
rot(grad φ) = ∇ × (∇φ) = ~0
(4.19)
mamy bowiem dla funkcji φ jest ciągłej aż do drugich pochodnych
∇ × (∇φ) = ~i1 (∂2 ∂3 φ − ∂3 ∂2 φ)
+ ~i2 (∂3 ∂1 φ − ∂1 ∂3 φ) + ~i3 (∂1 ∂2 φ − ∂2 ∂1 φ) = ~0 .
(4.20)
Pola dla których rotacja znika nazywamy polami bezwirowymi lub potencjalnymi. Tak więc pole
~ = −grad φ
E
(4.21)
jest polem potencjalnym.
3
4.4
Zapis tensorowy
Operacje różniczkowe można zapisać przy w formie tensorowej pomocy składowych kartezjańskich
(∇ φ)i = ∂i φ
~ = ∂i Ai
(∇ · A)
~ i = ijk ∂j Ak
(∇ × A)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
gdzie sumujemy po powtarzających się wskaźnikach i, j, k = 1, 2, 3, a ijk jest
kompletnie antysymetrycznym tensorem Leviego-Civity,


1 (ijk) permutacja parzysta



−1 (ijk) permutacja nieparzysta
ijk = 
(4.25)


 0 i=j lub j=k lub i=k
Udowodnijmy raz jeszcze tożsamości (4.17) i (4.19):
~ = ∂i (ijk ∂j Ak ) = (ijk ∂i ∂j )Ak = 0 ,
∇ · (∇ × A)
(4.26)
(∇ × (∇φ))i = ijk ∂j (∂k φ) = (ijk ∂j ∂k )φ = ~0i .
(4.27)
W dowodzie wykorzystaliśmy własność mówiącą, że suma po składowych iloczynu tensorów symetrycznego i antysymetrycznego daje zero
X (sym) (asym)
X (sym) (asym) X (sym) (asym)
Aij Bij
=
Aij Bij
+
Aij Bij
(i,j)
(i<j)
=
X
(i>j)
(sym)
Aij
(asym)
Bij
−
(i<j)
=
X
X
(sym)
Aji
(asym)
Bji
(j<i)
(sym)
Aij
(asym)
Bij
(i<j)
−
X
(sym)
Aij
(asym)
Bij
= 0.
(4.28)
(i<j)
gdzie przy zmianie kolejności wskaźników
(sym)
Aji
(sym)
= Aij
(asym)
,
Bji
(asym)
= −Bij
.
(4.29)
Ćwiczenie - Stosując zapis tensorowy udowodnić następującą tożsamość
~ = ∇(∇ · A)
~ − ∆A
~.
∇ × (∇ × A)
4
(4.30)
4.5
4.5.1
Operatory we współrzędnych krzywoliniowych
Gradient
Po zamianie współrzędnych kartezjańskich na ortogonalne współrzędne krzywoliniowe, xi = xi (qα ), operacje różniczkowania przyjmują nową postać. Dla
gradientu otrzymujemy
∇φ =
1 ∂φ
1 ∂φ
1 ∂φ
ê
+
ê
+
ê
1
2
h1 ∂q1
h2 ∂q2
h3 ∂q3 3
(4.31)
gdzie hα to współczynniki Lamego, a wektory {ê1 , ê2 , ê3 } to unormowane do jedynki ortogonalne wektory bazowe dla współrzędnych krzywoliniowych
êα =
1 ∂~r
1
~eα =
.
hα
hα ∂qα
(4.32)
Mamy bowiem
∇φ ≡
!
3
X
α ∂qβ
∂φ
∂q
~ii =
~e ,
∂qα ∂xi ∂xi β
∂xi
3
X
∂φ
i=1
(4.33)
i=1
gdzie wykorzystaliśmy wzór na pochodną funkcji złożonej oraz odwróconą
relację dla wektorów bazowych (wektory ~eβ nie są unormowane do jedynki),
β
~ii = ∂q ~eβ .
∂xi
(4.34)
Z definicji tensora kontrawiariantnego tensora metrycznego, otrzymujemy
 3

∂φ X ∂qα ∂qβ 
∂φ αβ

 ~eβ =
∇φ =
g ~eβ .
(4.35)
α


i
i
∂q
∂qα
∂x ∂x
i=1
Dla współrzędnych ortogonalnych g αβ = δαβ /h2α i stąd wzór (4.31),
∇φ =
3
X
1 ∂φ
ê ,
hα ∂qα α
(4.36)
α=1
gdzie wektory êα są już unormowane do jedynki.
Ćwiczenie - Znaleźć operator gradientu dla układów współrzędnych z tabelki
w poprzednim rozdziale.
5
4.5.2
Dywergencja
Dla dywergencji otrzymujemy
(
)
∂
1
∂
∂
~
divA =
(A h h ) + 2 (A2 h3 h1 ) + 3 (A3 h1 h2 )
h1 h2 h3 ∂q1 1 2 3
∂q
∂q
(4.37)
~ w bazie ortonormalnych wektorów êα ,
gdzie Aα to składowe wektora A
~=
A
3
X
Aα êα
(4.38)
α=1
Ćwiczenie - Znaleźć dywergencję we współrzędnych z tabelki.
4.5.3
Rotacja
Podobnie dla rotacji znajdujemy
ê1 h1 ê2 h2 ê3 h3
∂
1
∂
∂
~=
rot A
1
∂q2
∂q3
h1 h2 h3 ∂q
h1 A1 h2 A2 h3 A3
(4.39)
co po rozwinięciu daje
!
∂(h
A
)
∂(h
A
)
1
3
3
2
2
~ =
ê1
(4.40)
rot A
−
h2 h3
∂q2
∂q3
!
!
1 ∂(h1 A1 ) ∂(h3 A3 )
1 ∂(h2 A2 ) ∂(h1 A1 )
+
−
ê2 +
−
ê3 .
h1 h3
h1 h2
∂q3
∂q1
∂q1
∂q2
Ćwiczenie - Znaleźć rotację we współrzędnych z tabelki.
4.5.4
Laplasjan
Znajdźmy jeszcze operator Laplace’a,
∆ = div grad ,
(4.41)
we współrzędnych krzywoliniowych. Ze wzorów (4.31) i (4.37), otrzymujemy
(
!
!
!)
1
∂ h2 h3 ∂φ
∂ h3 h1 ∂φ
∂ h1 h2 ∂φ
∆φ =
+ 2
+ 3
(4.42)
h1 h2 h3 ∂q1 h1 ∂q1
h2 ∂q2
h3 ∂q3
∂q
∂q
Ćwiczenie - Znaleźć laplasjan we współrzędnych z tabelki.
6
4.5.5
Laplasjan dla dowolnych współrzędnych
Wykorzystując rozróżnienie składowych ko- i kontrawariantnych oraz relację
q
det(gµν ) = h1 h2 h3
(4.43)
dla współrzędnych ortogonalnych, zapiszemy powyższy laplasjan w postaci
prawdziwej dla dowolnego układu współrzędnych
1
q
α
∂α det(gµν ) ∂ φ
(4.44)
∂
,
∂qα
∂α = g αβ ∂β .
(4.45)
∆φ = q
det(gµν )
gdzie
∂α =
Dla współrzędnych ortogonalnych
∂α =
4.6
1 ∂
.
h2α ∂qα
(4.46)
Dodatek
Laplasjan w kilku wybranych współrzędnych krzywoliniowych.
Współrzędne biegunowe
∆=
Współrzędne walcowe
Współrzędne sferyczne
∆=
∆=
1 ∂
r 2 ∂r
1 ∂
ρ ∂ρ
1 ∂
ρ ∂ρ
∂
ρ ∂ρ
2
∂
+ ρ12 ∂φ
2
∂
∂2
∂2
ρ ∂ρ
+ ρ12 ∂φ
2 + ∂z2
∂
1
∂
1
∂2
1 ∂
2
r ∂r + r 2 sin θ ∂θ sin θ ∂θ + sin2 θ ∂φ2
7