macierze i wyznaczniki

MACIERZE I WYZNACZNIKI
Definicja 1
Macierzą o współczynnikach rzeczywistych (zespolonych) i wymiarze
m x n nazywamy przyporządkowanie każdej parze liczb naturalnych
(i,k), i = 1,2,..., m, k = 1,2,..., n, dokładnie jednej liczby rzeczywistej
(zespolonej) aik . Macierz oznaczamy symbolem aik mxn lub
symbolem A i zapisujemy w postaci tablicy
[ ]
a11 a12
a a
 21 22
. . .
=
.
.

am1 am 2
.
A = [aik ]mxn
a1n 

. . . a2 n 
. . . . 




. . . amn 
. . .
Liczby aik nazywamy elementami macierzy
Definicja 2
Elementy
[ai1 ai 2 . . .
ain ], i = 1,2,..., m,
nazywamy i-tym wierszem macierzy A, natomiast elementy
a1k 
a 
 2k 
. 
 , k = 1,2,..., n
. 
. 
 
amk 
nazywamy k-tą kolumną macierzy A.
Przy tych definicjach liczba m jest liczbą wierszy, natomiast
liczba n jest liczbą kolumn macierzy A.
Definicja 3
Macierz A nazywamy kwadratową gdy liczba jej wierszy
jest równa liczbie jej kolumn, tzn. gdy m = n.
W przeciwnym przypadku macierz A nazywamy prostokątną.
Definicja 4
Macierz kwadratową
a11 a12

a 21 a 22
. . .
A=
.
.

a n1 a n 2
a1n 

. . . a2n 
. . . . 




. . . a nn 
. . .
o wymiarze n x n nazywamy macierzą stopnia n, a liczbę n
stopniem tej macierzy.
Definicja 5
Elementy
a11 , a22 , ..., ann
macierzy kwadratowej A nazywamy jej przekątną główną.
Definicja 6
Dwie macierze
A = [ a ik ] mxn i B = [bik ] mxn
tego samego wymiaru m x n nazywamy równymi, jeśli
wszystkie ich elementy położone na tych samych miejscach
są sobie równe, tzn. jeśli
∀ i = 1,2,...m, k = 1,2,..., n, aik = bik
Wniosek
Relacja równości macierzy jest zwrotna, symetryczna i
przechodnia
Definicja 6
Dwie macierze
A = [ a ik ] mxn i B = [bik ] mxn
tego samego wymiaru m x n nazywamy równymi, jeśli
wszystkie ich elementy położone na tych samych miejscach
są sobie równe, tzn. jeśli
∀ i = 1,2,...m, k = 1,2,..., n, aik = bik
Wniosek
Relacja równości macierzy jest zwrotna, symetryczna i
przechodnia
Definicja 7
Macierzą transponowaną macierzy A = [ aik ]mxn wymiaru m x n
nazywamy macierz AT = [bik ]nxm wymiaru n x m utworzoną z
macierzy A poprzez zamianę jej wierszy na kolumny (lub
kolumn na wiersze) z zachowaniem ich kolejności, tzn. :
∀ i = 1,2,..., m, k = 1,2,..., n, bik = aki .
Definicja 8
Macierzą zerową nazywamy macierz, której wszystkie elementy
są równe zero. Macierz zerową rzędu m x n oznaczamy
symbolem Omxn lub O.
Definicja 8
Macierzą zerową nazywamy macierz, której wszystkie elementy
są równe zero. Macierz zerową rzędu m x n oznaczamy
symbolem Omxn lub O.
Definicja 9
Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową A = [ aik ]nxn ,
której elementy położone symetrycznie względem przekątnej
głównej są równe, tzn. jeśli aij = a ji
In
Definicja 8
Macierzą zerową nazywamy macierz, której wszystkie elementy
są równe zero. Macierz zerową rzędu m x n oznaczamy
symbolem Omxn lub O.
Definicja 9
Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową A = [ aik ]nxn ,
której elementy położone symetrycznie względem przekątnej
głównej są równe, tzn. jeśli aij = a ji
Definicja 10
Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową A = [ aik ]nxn ,
której elementy położone poza przekątną główną są równe zero,
tzn. jeśli ∀ i ≠ k , aik = 0, i = 1,2,..., n, k = 1,2,..., n
Definicja 8
Macierzą zerową nazywamy macierz, której wszystkie elementy
są równe zero. Macierz zerową rzędu m x n oznaczamy
symbolem Omxn lub O.
Definicja 9
Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową A = [ aik ]nxn ,
której elementy położone symetrycznie względem przekątnej
głównej są równe, tzn. jeśli aij = a ji
Definicja 10
Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową A = [ aik ]nxn ,
której elementy położone poza przekątną główną są równe zero,
tzn. jeśli ∀ i ≠ k , aik = 0, i = 1,2,..., n, k = 1,2,..., n
Definicja 11
Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną taką, że
aii = 1, i = 1,2,..., n
Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy symbolem I n lub I.
Definicja 12
Sumą (różnicą) dwóch macierzy A = [ aik ]mxn i B = [bik ]mxn
tego samego wymiaru m x n nazywamy macierz tego samego
wymiaru
A + B = C = [cik ]mxn ( A − B = C = [cik ]mxn )
której elementami są
cik = aik + bik , i = 1,2,..., m, k = 1,2,..., n
(cik = aik − bik , i = 1,2,..., m, k = 1,2,..., n )
Powyższa definicja oznacza, że dodawanie (odejmowanie)
macierzy polega na dodawaniu (odejmowaniu) ich elementów
położonych w tych samych miejscach.
Definicja 13
Iloczynem macierzy A = [aik ]mxn o wymiarze m x n przez liczbę λ
nazywamy macierz C = [cik ]mxn tego samego wymiaru,
której elementami są
cik = λaik , i = 1,2,..., m, k = 1,2,..., n
Piszemy wtedy C = λA.
Powyższa definicja oznacza, że mnożenie macierzy przez liczbę λ
polega na pomnożeniu przez tę liczbę każdego elementu tej
macierzy.
Wniosek
Mnożenie macierzy przez liczbę jest przemienne, tzn. λA = Aλ.
Definicja 14
Iloczynem macierzy A = [aij ]mxr o wymiarze m x r i macierzy
B = [b jk ]rxn o wymiarze r x n nazywamy macierz
C = AB = [cik ]mxn
o wymiarze m x n, której elementami są
cik = ai1b1k + ai 2b2 k + ... + air brk , i = 1,2,..., m, k = 1,2,..., n.
Powyższa definicja oznacza, że wyraz cik położony w i-tym
wierszu i k-tej kolumnie macierzy C jest sumą iloczynów
odpowiadających sobie elementów i-tego wiersza macierzy A
i k-tej kolumny macierzy B, tzn. jest iloczynem skalarnym wektora
[ ai1 , ai 2 ,..., a ir ] i wektora [b1k , b2 k ,...,b rk ]
Uwaga
Mnożenie macierzy przez macierz jest określone tylko dla
macierzy z których pierwsza ma liczbę kolumn równą liczbie
wierszy drugiej z nich. Oznacza to, że mnożenie macierzy
nie jest przemienne, tzn. jeśli mnożenie AB jest wykonalne to
nie zawsze jest wykonalne mnożenie BA
i nie zawsze zachodzi równość AB=BA.
Wniosek
Jeśli mnożenie macierzy jest wykonalne, to
AI = A, IA = A
AO = O, OA = O
( AB)C = A( BC ) (łączność)
( A ± B)C = AC ± BC (rozdzielność)
Uwaga
Macierze jednostkowa I oraz zerowa O podczas mnożenia
macierzy pełnią taką samą rolę jak liczby 1 i 0 w mnożeniu liczb.
Macierzy kwadratowej A wymiaru nxn przyporządkowana jest
liczba zwana jej wyznacznikiem. Wyznacznik macierzy A
oznaczamy symbolem
a11 a12
. . . a1n
a 21 a 22
. . . a 2n
.
. . . . .
.
.
.
a n1 a n 2
. . . a nn
lub krótko symbolami W , A , det A
Definicja 15
Minorem macierzy lub wyznacznika nazywamy każdy
wyznacznik powstały z danej macierzy lub wyznacznika
poprzez skreślenie odpowiedniej liczby wierszy i kolumn tej
macierzy lub wyznacznika.
Przykład
1 2 4 5 − 1 
A = 2 2 4 5
8


2 4 6 8 10
Przykładowe minory:
1 2 5
2 2 5
otrzymany w wyniku skreślenia
3-ciej i 5-tej kolumny macierzy A
2 4 8
2 4
2 6
otrzymany w wyniku skreślenia 1-go wiersza
oraz 2-giej, 4-tej i 5-tej kolumny macierzy A
Definicja 16
Minorem odpowiadającym elementowi aik macierzy kwadratowej
lub wyznacznika nazywamy wyznacznik M ik powstały z danej
macierzy lub wyznacznika poprzez skreślenie i-tego wiersza oraz
k-tej kolumny tej macierzy lub wyznacznika.
Przykład
1
2
A=
2
5

2
2
4
0
4
4
6
0
5
5

8
2 
Minorem odpowiadającym elementowi a32 = 4 jest wyznacznik
1 4 5
M 32 = 2 4 5
5 0 2
otrzymany w wyniku skreślenia 3-go
wiersza i 2-giej kolumny.
Definicja 17
Dopełnieniem algebraicznym elementu aik macierzy
kwadratowej A nazywamy liczbę Aik = (−1)i + k M ik
Definicja 18
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a11 ] stopnia
pierwszego nazywamy liczbę a11 = a11 .
Definicja 19 (rozwinięcie Laplace’a [wg 1-szego wiersza])
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n, n ≥ 2,
nazywamy liczbę
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2 n
det A = A =
.
. . . . .
.
ai1 ai 2 . . . ain
.
. . . . . .
an1 a n 2 . . . ann
= a11 A11 + a12 A12 +
+ . . . + a1n A1n
Własność 1 (rozwinięcie Laplace’a
[wg i-tego wiersza])
Wyznacznik macierzy kwadratowej A stopnia n, n ≥ 2,
jest równy:
det A = A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + . . . + ain Ain
Własność 2 (rozwinięcie Laplace’a [wg k-tej kolumny])
Wyznacznik macierzy kwadratowej A stopnia n, n ≥ 2,
jest równy:
det A = A = a1k A1k + a2 k A2 k + . . . + ank Ank
Własności 1 i 2 oznaczają, że wyznacznik A jest sumą
iloczynów elementów dowolnego jego wiersza lub kolumny
przez ich dopełnienia algebraiczne.
Przykład
Obliczyć wyznacznik trzeciego stopnia
1 4 5
A= 2 4 5
5 0 2
Rozwiązanie: Stosując rozwinięcie według trzeciego wiersza
otrzymujemy
1 4 5
A = 2 4 5 = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 =
5 0 2
= 5 ⋅ (−1)
3+1 4
5
4 5
+ 0 ⋅ (−1)
3+ 2 1
5
2 5
+ 2 ⋅ (−1)
3+ 3 1
= 5(4 ⋅ 5 − 4 ⋅ 5) − 0(1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 5) + 2(1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 4) =
= 5 ⋅ 0 − 0 ⋅ (−5) + 2 ⋅ (−4) = −8
4
2 4
=
Twierdzenie 1 (własności wyznaczników)
1.
2.
3.
4.
5.
wyznacznik posiadający wiersz lub kolumnę złożoną z
samych zer jest równy zero
wyznacznik posiadający dwa takie same wiersze lub dwie
takie same kolumny jest równy zero
wyznacznik posiadający wiersz lub kolumnę będącą
iloczynem innego wiersza lub odpowiednio kolumny oraz
liczby jest równy zero
wyznacznik posiadający wiersz lub kolumnę będącą
kombinacją liniową innych wierszy lub odpowiednio
kolumn jest równy zero
przestawienie dwóch wierszy lub kolumn wyznacznika
zmienia jego znak na przeciwny
Twierdzenie 1 (własności wyznaczników)
1.
wyznacznik posiadający wiersz lub kolumnę złożoną z
samych zer jest równy zero
2.
wyznacznik posiadający dwa takie same wiersze lub dwie
takie same kolumny jest równy zero
3.
wyznacznik posiadający wiersz lub kolumnę będącą
iloczynem innego wiersza lub odpowiednio kolumny oraz
liczby jest równy zero
4.
wyznacznik posiadający wiersz lub kolumnę będącą
kombinacją liniową innych wierszy lub odpowiednio
kolumn jest równy zero
5.
przestawienie dwóch wierszy lub kolumn wyznacznika
zmienia jego znak na przeciwny
6.
dodanie do wiersza lub kolumny odpowiednio innego
wiersza lub kolumny którego elementy pomnożone
zostały przez pewną liczbę nie zmienia wartości
wyznacznika
dodanie lub odjęcie od wiersza lub kolumny odpowiednio
kombinacji liniowej innych wierszy lub kolumn nie zmienia
wartości wyznacznika
9. pomnożenie wszystkich elementów wiersza lub kolumny
wyznacznika przez liczbę oznacza pomnożenie wartości
wyznacznika przez tę liczbę
n
10. jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to αA = α A
11. jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi stopnia n, to
7.
A⋅ B = A ⋅ B
12. A = AT
13. jeżeli A jest diagonalna, to A = a11a22 ... ann
Przykład
Rozwiąż równanie
−1 z − 4 − 2 z −1
3
3
z
3
− 16 j = 0
2
z+2 1
2
z +1
4
2
1
Rozwiazanie
−1 z − 4 − 2 z −1
3
3
z
3 k1 − k 4
=
2
z+2 1
2
z +1
4
2
1
0
z
0
3
=
0 z+2
z
4
0
z
1
2
−z
0
0
z
z − 4 − 2 z −1
3
z
3 w1 + w4
=
z+2 1
2
4
2
1
z
z
0 z k −k
w
w
+
3 1
3 1 4
4 +1
= z ⋅ (− 1)
3
z 3 =
2
z+2 1 2
1
z
0
0
= −z ⋅ 3
z
0
z+2 1 −z
k3 − k1
= z4
z = 16 j = 16(cos
4
z0 = 2(cos
π
π
+ j sin )
8
8
5π
5π
z1 = 2(cos + j sin )
8
8
9π
9π
z2 = 2(cos
+ j sin )
8
8
13π
13π
z3 = 2(cos
+ j sin
)
8
8
π
π
+ j sin )
2
2
Definicja 20
Macierzą osobliwą nazywamy macierz kwadratową, której
wyznacznik jest równy zero.
Przykład
Macierzami osobliwymi są:
A = [0]
2
1 0 1 
0
B = 0 1 0  C = 


3
1 0 1 
5

2
0
3
6
2
0
4
5
5
0

4
6 
Definicja 21
Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której
wyznacznik jest różny od zera.
Macierzami nieosobliwymi są na przykład
1 0 0
− 5 2 
0 1 0 
A=
I
=



−
2
2


0 0 1
Definicja 22
Macierzą dołączoną macierzy kwadratowej Anxn nazywamy
macierz transponowaną macierzy dopełnień algebraicznych
macierzy A, tzn.
 A11
A
 21
D  . .
A =
 .
 .

 An1
gdzie
T
A12 . . . A1n 
 A11
A
A22 . . . A2 n 

 12
. . . . . . .
 . .
 = 

 .

 .


An 2 . . . Ann 
 A1n
A21 . . . An1 
A22 . . . An 2 

. . . . . . .




A2 n . . . Ann 
Aik = (−1)i + k M ik , i = 1,2,..., n, k = 1,2,..., n,
są dopełnieniami elementów aik macierzy A.
Definicja 23
Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej nieosobliwej
A = [ aik ]nxn nazywamy macierz A −1 spełniającą równość
AA −1 = A −1 A = I .
Przykład
Korzystając z definicji wyznaczyć macierz odwrotną macierzy
 2 0
A=

1
4


a następnie sprawdzić uzyskany wynik.
Rozwiązanie
A
−1
a b 
=

c d 
AA
−1
=I
2 0 a b  1 0
1 4  c d  = 0 1


 

A −1
 1

 2 0
=

− 1 1 
 8 4 
Twierdzenie 2
Jeśli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą, tzn.
A ≠ 0, to jej macierz odwrotna określona jest wzorem
A
Wniosek
A
−1
1
= .
A
−1
1 D
=
A ,
A
Przykład
2 0 1
Wyznaczyć macierz odwrotną macierzy A = 1 4 0


3 3 1
Rozwiązanie:
2 0 1
A = det 1 4 0 = 8 + 0 + 3 − 12 − 0 − 0 = −1 ≠ 0,


3 3 1
więc macierz jest nieosobliwa.
Przykład
2 0 1
Wyznaczyć macierz odwrotną macierzy A = 1 4 0


3 3 1
Rozwiązanie:
2 0 1
A = det 1 4 0 = 8 + 0 + 3 − 12 − 0 − 0 = −1 ≠ 0,


3 3 1
więc macierz jest nieosobliwa.
 4
AD =  3

− 4
a następnie
T
− 1 − 9
 4 3 −4
− 1 − 6  = − 1 − 1 1 



1 8 
− 9 − 6 8
 4 3 − 4  − 4 − 3 4 
1 D 1 
−1
A = A =
1 −1 
−1 −1
1 =  1
 

A
−1
6 − 8
− 9 − 6 8  9
Metoda Gaussa
Tworzymy następującą macierz:
 2 0 1 1 0 0
1 4 0 0 1 0


3 3 1 0 0 1
− 1 − 3 0 1 0 − 1
→ 1
4 00 1 0 


3 1 0 0 1 
 3
w1 − w3 
− ( w1 + 3w2 )
1
w3 + 6 w2 
→
w2 + w1
−1
w3 + 3w1 
→ 0

 0
0 0 −4 −3
0 1 0 1

0 0 1 9
1
6
−3 01 0
− 1
1 0 1 1 − 1

− 6 1 3 0 − 2
4
− 1

− 8
Macierz otrzymana po prawej stronie jest macierzą odwrotną macierzy
A.
Przykład
Rozwiązać równanie macierzowe
1
1
 2
 2 −2 2⋅ X


− 1 2 − 1
20 22
 − 1 − 2 

⋅
8
8
=
 

3
4


 0 0 
Definicja 24
Rzędem r ( A) macierzy niezerowej A = [aik ]mxn
nazywamy największy spośród stopni różnych od zera minorów
tej macierzy. Przyjmujemy r (0nxm ) = 0 .
Wniosek
Jeśli A jest macierzą wymiaru mxn, to r ( A) ≤ min(n, m)
Wniosek
• dodanie lub odjęcie od wiersza lub kolumny odpowiednio
kombinacji liniowej innych wierszy lub kolumn nie zmienia
wartości rzędu macierzy
• pomnożenie wszystkich elementów wiersza lub kolumny
macierzy przez liczbę różną od zera nie zmienia wartości
rzędu macierzy
• przestawienie dwóch wierszy lub kolumn macierzy nie
zmienia wartości rzędu macierzy
• pominięcie wiersza lub kolumny, których wszystkie elementy
są równe zero nie zmienia wartości rzędu macierzy