Naprężenia wewnętrzne

© Krzysztof Wierzbanowski
6. Dyfrakcyjne wyznaczanie napręŜeń wewnętrznych
W świecie współczesnej technologii wytrzymałość i niezawodność wielu części
mechanicznych mają podstawowe znaczenie. Wspomnijmy tylko o częściach silników
lotniczych, skrzydeł samolotów, rozmaitych częściach promów kosmicznych czy
chociaŜby statków lub mostów. Jedną z najwaŜniejszych charakterystyk materiału uŜytego
do takich konstrukcji jest stan jego napręŜeń wewnętrznych. NapręŜenia te moŜemy
określić najkrócej jako odkształcenia spręŜyste, które pozostały w materiale po
zakończeniu obróbki technologicznej materiału. NapręŜenia wewnętrzne mogą pozostać w
materiale po zwolnieniu sił zewnętrznych, przyłoŜonych wcześniej do materiału (np. w
trakcie obróbki plastycznej); pozostają one w materiale, gdy, na przykład, powierzchnia
uległa nieco innej deformacji plastycznej (a więc trwałej) niŜ wnętrze próbki. Mogą teŜ
powstać w materiale dwufazowym (np. w kompozycie) wskutek róŜnych współczynników
rozszerzalności termicznej obu faz materiału. Inną, często dziś badaną przyczyną
powstania napręŜeń wewnętrznych, jest obróbka powierzchni materiału wiązką laserową.
W zaleŜności od szybkości zmian (w funkcji odległości w próbce) napręŜeń
wewnętrznych, wyróŜniamy trzy ich składowe:
σij = σij + σ ij + σij
I
II
III
(6.1)
Człony po prawej stronie noszą nazwy odpowiednio napręŜeń I, II i III rzędu. NapręŜenia
I rzędu reprezentują człon stały w badanej, duŜej części próbki, a często w całej próbce
(ich wartość nie zaleŜy od połoŜenia). NapręŜenia II rzędu to człon zmieniający się od
ziarna do ziarna, natomiast napręŜenia III rzędu to człon zmieniający się wewnątrz
poszczególnych ziaren.
NapręŜenia wewnętrzne I rzędu występują na przykład w próbkach po walcowaniu;
utrzymują się w nich na ogół składowe normalne napręŜeń w kierunku walcowania i w
kierunku poprzecznym (kierunki te są zgodne z osiami symetrii próbki).
NapręŜenia wewnętrzne II rzędu takŜe występują, przykładowo, w walcowanych
próbkach; są to zmienne (od ziarna do ziarna) napręŜenia pochodzące od nieco róŜnych
deformacji plastycznych poszczególnych ziaren. Ich średnia po objętości próbki wynosi
zero.
NapręŜenia wewnętrzne III rzędu to bardzo szybkozmienny człon napręŜeń wewnętrznych
w obrębie pojedynczego ziarna; charakteryzuje on pola napręŜeń od spiętrzeń dyslokacji,
granic podziaren czy od struktury mozaikowej. Średnia po objętości ziarna tych napręŜeń
wynosi zero.
1
Rys. 6.1. Definicja makro i mikro napręŜeń:
NapręŜenia I rzędu są średnią w pewnej makroskopowej objętości próbki (np. w
objętości do której dociera promieniowanie uŜyte w dyfrakcji),
NapręŜenia II rzędu charakteryzują średnią w objętości ziarna polikryształu (ich
średnia po objętości próbki wynosi zero),
NapręŜenia III rzędu opisują bardzo lokalną średnią na poziomie podziarna czy
małego fragmentu ziarna (np. wskutek spiętrzeń dyslokacji); ich średnia po
objętości ziarna wynosi zero.
2
Omówione powyŜej typy napręŜeń wewnętrznych przedstawiono schematycznie na Rys.
6.1.
Średnia z całkowitych napręŜeń wewnętrznych po duŜym obszarze próbki daje napręŜenia
I rzędu:
~~~
σ ij = σ ij
I
(6.2)
Natomiast średnia po całej próbce z całkowitych napręŜeń daje oczywiście zero:
σ ij = 0
(6.2a)
Najczęściej stosowaną obecnie metodą pomiaru napręŜeń wewnętrznych jest technika
dyfrakcji (rentgenowskiej, neutronowej czy elektronowej). Trzeba tu nadmienić, Ŝe
istnieje kilka innych metod wyznaczania napręŜeń wewnętrznych, jak np.: mechaniczna,
magnetyczna, ultradźwiękowa czy teŜ oparta na rozpraszaniu Ramanna. Niemniej, w
powszechnym przekonaniu, to właśnie metody dyfrakcyjne zapewniają najpełniejszy i
najbardziej precyzyjny pomiar napręŜeń wewnętrznych. Istnieje bardzo obszerna literatura
poświęcona tematyce dyfrakcyjnego badania napręŜeń wewnętrznych. Wymieńmy
przykładowo dwie prace przeglądowe: Dolle (1979) oraz Noyan, Cohen (1987).
6.1. Istota dyfrakcyjnego pomiaru napręŜeń wewnętrznych
W materiale, który poddany jest deformacji plastycznej, zachodzi zdecydowana zmiana
mikrostruktury wewnętrznej. Wskutek uruchomienia mechanizmów poślizgu, ziarna
doznają deformacji plastycznej. Na ogół jest ona nieco róŜna dla sąsiednich ziaren, co
prowadzi do ściśnięcia lub rozciągnięcia pojedynczych ziaren; mechanizm ten jest
podstawowym źródłem napręŜeń wewnętrznych II rzędu. Ponadto, podczas deformacji
plastycznej generowane są duŜe ilości defektów punktowych oraz sieci dyslokacji. Te
ostatnie wytwarzają pola napręŜeń wewnętrznych. Spiętrzenia dyslokacji wewnątrz ziaren
wytwarzają napręŜenia III rzędu. NapręŜenia wewnętrzne pozostają w materiale po
odjęciu sił zewnętrznych.
Obecność napręŜeń wewnętrznych w materiale objawia się na ogół systematycznymi
zmianami wartości stałych sieciowych w poszczególnych ziarnach. Z prawa Bragg’ów:
3
2d hkl sin Θ = nλ
(6.3)
wynika, Ŝe np. przy zwiększeniu odległości międzypłaszczyznowej dhkl zmaleje kąt Θ
(przy tym samym rzędzie ugięcia n). W typowych przypadkach to przesunięcie pików
dyfrakcyjnych jest od kilku tysięcznych do jednej setnej stopnia. Wydaje się to małą
wartością, niemniej dobre procedury dopasowania piku dyfrakcyjnego, np. funkcjami
Gaussa lub Lorentza, umoŜliwiają precyzyjne uchwycenie tego efektu. Wskutek obecności
napręŜeń wewnętrznych pik dyfrakcyjny ulega nie tylko przesunięciu
( ∆(2θ)= 2θ - 2θ0 ), ale równieŜ rozmyciu (poszerzeniu i zmniejszeniu wysokości) –
Rys. 6.2.
d0hkl
<dhkl>
2θ0
I
2θ
2θ
2θ0
Rys. 6.2. Zmiana połoŜenia i kształtu piku dyfrakcyjnego wskutek zmiany odległości
międzypłaszczyznowej, spowodowanej napręŜeniami wewnętrznymi. Na ogół
napręŜenia wewnętrzne w próbce nie są jednorodne, a zatem zmieniona odległość
międzypłaszczyznowa przedstawiona jest jako wartość średnia <d>. Stałą sieci dla
materiału bez napręŜeń oznaczono jako d0.
Opiszmy teraz geometrię pomiaru, stosowaną przy wyznaczaniu napręŜeń wewnętrznych.
Podobnie, jak przy pomiarze tekstury krystalograficznej, eksperyment dyfrakcyjny
prowadzony jest w ten sposób, Ŝe przy ustalonym kącie 2Θ próbka obracana jest
względem wektora rozpraszania S. RozwaŜmy dwa układy współrzędnych: układ próbki
(P) oraz układ związany z pomiarem (L). Definicja tych układów przedstawiona jest na
4
Rys. 6.3. Oś L3 ma podstawowe znaczenie, gdyŜ jej kierunek pokrywa się z kierunkiem
wektora rozpraszania S. Wskutek obracania próbką, wektor L3=S będzie przyjmował
róŜne orientacje względem układu P, określone kątami ϕ i ψ.
Rys. 6.3. Układy odniesienia P i L.
Osie układu P są równoległe do osi symetrii próbki (w przypadku próbki
Walcowanej są to: kierunek walcowania KW, kierunek poprzeczny KP oraz
kierunek normalny KN).
Układ L zdefiniowany jest następujaco: oś L3 jest równoległa do wektora
rozpraszania S, zaś oś L2 ( będąc prostopadła do L3 ) leŜy w płaszczyźnie P1 P2.
Prawo Bragg’ów umoŜliwia nam pomiar aktualnej wartości stałej sieciowej (d=dhkl).
Zatem dla kaŜdej orientacji wektora L3=S wyznaczyć moŜna (np. dla monokryształu),
wartość odległości międzypłaszczyznowej d(ψ,ϕ)hkl dla płaszczyzn krystalograficznych
{hkl} prostopadłych do wektora S.
Przyjmijmy konwencję, Ŝe wszystkie wielkości wyraŜane w układzie L będą oznaczane
przez prim (‘); natomiast te same wielkości wyraŜone w układzie P nie mają dodatkowego
oznaczenia. A zatem składowa deformacji ε 33 ' jest względnym odkształceniem odcinka
równoległego do L3. Badając próbkę polikrystaliczną wyznaczamy wartość
średnią < ε 33 ' > ; średnia <...> dotyczy tylko grupy ziaren „dyfraktujących” (tzn.
spełniających prawo Bragg’ów dla danej orientacji wektora S). Jest ona funkcją ψ i ϕ :
5
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl =
0
< d (ψ, ϕ) > hkl −d hkl
(6.4)
0
d hkl
Omawianą składową deformacji oznaczyliśmy jako < ε 33 ' (ψ,ϕ)>hkl, aby unaocznić, Ŝe
pomiar odbywa się przez odbicie na płaszczyznach {hkl}.
6.2. Wyprowadzenie wyraŜenia na mierzoną wielkość (< ε 33 ' (ψ,ϕ)>hkl oraz
<d(ψ,ϕ)>hkl)
Wyliczmy < ε 33 ' (ψ,ϕ)>hkl, które mierzymy. Przetransformujemy tensor napręŜeń σ ij
panujących w próbce (i wyraŜonych w układzie P) do układu L. Macierz orientacji, czyli
macierz zawierająca kosinusy kierunkowe, łącząca układy L i P ma postać:
cos ϕ cos ψ sin ϕ cos ψ − sin ψ 
a ij =  − sin ϕ
cos ϕ
0 
 cos ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ cos ψ 
(6.5)
W powyŜszych kosinusach kierunkowych aij pierwszy wskaźnik (i) dotyczy układu L, zaś
drugi (j) – układu P. Interesująca nas transformacja ma zatem postać:
σij ' = a ik a jl σ kl
(6.6)
(jak pamiętamy, wielkości wyraŜone w układzie L oznaczamy primem).
Z uogólnionego prawa Hooke’a wyliczmy składową ε 33 ' (ψ,ϕ)hkl odkształcenia krystalitu
spełniającego prawo Bragg’ów dla jednej z płaszczyzn {hkl} (wyraŜamy ją w układzie L):
ε 33 ' (ψ, ϕ) hkl = s 33ij ' (ψ, ϕ)σ ij '
(6.7)
gdzie s’33ij jest odpowiednią składową tensora podatności spręŜystej pojedynczego
krystalitu (monokryształu).
Zwróćmy uwagę na podstawową cechę pomiaru napręŜeń wewnętrznych metodą
dyfrakcyjną. Przy ustalonej orientacji wektora rozpraszania (S) oraz przy ustalonym kącie
Bragg’ów (2θ) w sygnale dyfrakcyjnym partycypują wyłącznie te krystality, których jedna
z płaszczyzn {hkl} jest prostopadła do S=L3. Tą grupę krystalitów nazywamy grupą
dyfraktującą. Ta właśnie grupa ziaren jest w danej chwili „sondą” za pomocą której
badamy stan napręŜeń w próbce. Wraz ze zmianą kątów ψ i ϕ w skład grupy dyfraktującej
6
wchodzą coraz to inne krystality z próbki. Odkształcenie, które wyznaczamy metodą
dyfrakcyjną jest wartością średnią dla krystalitów biorących w danej chwili udział w
dyfrakcji, czyli dla krystalitów z grupy dyfraktującej; średnią tą oznaczamy jako <...>:
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl =< s 33ij ' (ψ, ϕ)σ ij ' >
(6.8)
Postulujemy, Ŝe istnieje efektywny tensor Sijkl’ dla grupy dyfraktującej, taki Ŝe powyŜsze
równanie przyjmie postać:
< ε 33 ' ( ψ , ϕ ) > hkl = S 33 ij ' ( ψ , ϕ ) σ ij '
(6.9)
Współczynnik S33ij’ podatności spręŜystej grupy dyfraktującej oznaczamy dla prostoty
jako Rij’ i powyŜsze równanie moŜemy przepisać jako:
gdzie:
< ε33 ' (ψ, ϕ) > hkl = Rij ' (ψ, ϕ)σij '
(6.10)
Rij ' = S 33ij '
(6.10a)
Stałe Rij’ nazywamy dyfrakcyjnymi stałymi spręŜystymi; zaleŜą one nie tylko od kątów ψ
i ϕ, ale równieŜ od wskaźników płaszczyzny dyfraktującej hkl (gdyŜ spełnienie warunku
Bragga definiuje juŜ częściowo orientacje krystalitów). Są to bardzo waŜne stałe, których
znajomość jest niezbędna przy interpretacji dyfrakcyjnych pomiarów napręŜeń
wewnętrznych. Stałe te moŜna wyliczyć (Baczmański et al., 1993), moŜna je równieŜ
wyznaczyć dla danej próbki doświadczalnie.
Wspomnijmy tu tylko, Ŝe wyjątkowo prosty wynik na S33ij’=Rij’ moŜna uzyskać przy
załoŜeniu, Ŝe σij i σij’ są takie same we wszystkich ziarnach (σij=const i σij’=const), co
odpowiada załoŜeniu o jednorodności napręŜeń w próbce i jest zgodne z tzw. modelem
Reussa - patrz paragraf 6.3. Wtedy σ’ij moŜna wyłączyć za znak średniowania w Równ.
6.8:
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl =< s 33ij ' (ψ, ϕ) > σ ij ' = S33ij ' σ ij '
(6.11)
a zatem wtedy:
7
R ij ' = S33ij ' =< s 33ij ' >
(6.12)
czyli Rij’ jest średnią wartością stałej spręŜystej s33ij’ dla grupy ziaren dyfraktujacych.
Ciało quasi-izotropowe i płaski stan napręŜeń
Szczególnie prosty w rozwaŜaniach jest przypadek ciała izotropowego. Omawiana
technika badań moŜe być stosowana wyłącznie do materiałów krystalicznych, a w tej
kategorii najlepszym przybliŜeniem ciała izotropowego jest albo próbka proszkowa albo
teŜ polikryształ bez tekstury (z przypadkowym rozkładem orientacji ziaren). RozwaŜymy
tutaj oczywiście ten drugi przypadek. ZauwaŜmy, Ŝe polikryształ bez tekstury posiada
izotropię własności fizycznych wyłącznie w skali makroskopowej; natomiast wewnątrz
kaŜdego ziarna (czy teŜ dla wybranej grupy ziaren) zaobserwujemy juŜ anizotropię. Ciało
o takich własnościach nazywamy ciałem quasi-izotropowym.
ChociaŜ próbka jako całość ma własności ciała quasi-izotropowego, to grupa dyfraktująca
ma niŜszą symetrię. Orientacje krystalitów spełniających w danej chwili warunek
dyfrakcji róŜnią się tylko obrotem γ wokół L3 =S = Nhkl – Rys. 6.4. Spodziewamy się, Ŝe
dla ciała quasi-izotropowego, rozkład orientacji ziaren ze względu na kąt γ będzie
izotropowy w grupie dyfraktującej. Tak więc uśredniona macierz stałych spręŜystych Smn
dla grupy dyfraktującej będzie miała strukturę typową dla ciała o symetrii cylindrycznej
(osiowej). MoŜna wykazać (patrz np., Reid, 1974), Ŝe macierz tą moŜna zbudować tylko z
pięciu niezaleŜnych parametrów i jest ona następująca:
S'11 S'12 S'13
S'
 12 S'11 S'13
S'
S'13 S'33
S mn ' =  13

0



0
S'44
S' 44







S'66 
(6.13)
Oczywiście osią symetrii dla grupy ziaren dyfraktujących jest S=L3. Rozpiszmy Równ.
6.9, uŜywając zapisu macierzowego tensorów:
< ε 3 ' (ψ, ϕ) > hkl = S31 ' σ1 '+S32 ' σ 2 '+S33 ' σ3 '
(6.14)
Po prawej stronie wystąpiły tylko trzy składniki, gdyŜ S’34=S’35=S’36=0 (por. Równ. 6.13).
8
Rys. 6.4. Orientacje ziaren z grupy dyfraktującej róŜnią się między sobą obrotem o kąt
γ wokół wektora L3=S=N{hkl}
Ponadto, korzystając z postaci macierzy S’mn (Równ. 6.13), równanie powyŜsze moŜna
przepisać:
< ε 3 ' (ψ, ϕ) > hkl = S13 ' σ1 '+S13 ' σ 2 '+S33 ' σ 3 '
(6.15)
Przepiszmy powyŜsze równanie uŜywając skróconego zapisu tylko w odniesieniu do S’ijkl,
a zachowując pełny zapis dla σ’ij i ε’ij :
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = S13 ' σ11 '+S13 ' σ 22 '+S33 ' σ 33 '
(6.16)
O wartości < ε 33 ' (ψ,ϕ)>hkl decydują tylko składowe główne z układu L: σ11’, σ22’ i σ33’.
Trzeba jednak pamiętać, Ŝe kaŜda z wymienionych składowych w układzie L zaleŜy na
ogół od wszystkich składowych tensora σij wyraŜonego w układzie P. DuŜe uproszczenie
w prowadzonych obliczeniach uzyskamy, gdy załoŜymy, Ŝe w próbce istnieje na
płaszczyźnie x1x2 tzw. płaski stan napręŜeń i ponadto występują tylko składowe normalne:
σ11 ≠ 0,
σ 22 ≠ 0,
σ 33 = σ12 = σ13 = σ 23 = 0
(6.17)
Sytuacja taka występuje przy powierzchni w próbkach walcowanych. Próbki takie
posiadają symetrię rombową, a zatem powinny wystąpić w nich tylko składowe główne
napręŜeń σii (osie symetrii wyznaczone są przez krawędzie próbki). Ponadto, warunek
równowagi statycznej narzuca na powierzchni: σ33=0. ZauwaŜmy, Ŝe tylko cienka
9
warstwa przypowierzchniowa jest badana w dyfrakcji rentgenowskiej, a więc
występowanie płaskiego stanu napręŜeń jest bardzo realistycznym załoŜeniem przy uŜyciu
tej techniki.
Wyliczmy trzy główne składowe σii’ tensora napręŜeń w układzie L dla płaskiego stanu
napręŜeń w próbce, korzystając z równania transformacyjnego (Równ. 6.6) oraz z
macierzy kosinusów kierunkowych (Równ. 6.5):
σ11 ' = σ11 cos 2 ϕ cos 2 ψ +σ 22 sin 2 ϕ cos 2 ψ
σ 22 ' = σ11 sin 2 ϕ +σ 22 cos 2 ϕ
(6.18)
σ 33 ' = σ11 cos 2 ϕ sin 2 ψ +σ 22 sin 2 ϕ sin 2 ψ
A zatem:
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = S13 ' (σ11 cos 2 ϕ cos 2 ψ + σ 22 sin 2 ϕ cos 2 ψ +
(6.19)
+ σ11 sin 2 ϕ + σ 22 cos 2 ϕ) +
+ S33 ' (σ11 cos 2 ϕ sin 2 ψ + σ 22 sin 2 ϕ sin 2 ψ )
Stosując toŜsamość: cos 2 ψ = 1 − sin 2 ψ oraz grupując odpowiednie wyrazy zawierające
„jedynkę trygonometryczną” ze względu na ϕ otrzymujemy:
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = S13 ' (σ11 + σ 22 − σ11 cos 2 ϕ sin 2 ψ +
(6.20)
− σ 22 sin 2 ϕ sin 2 ψ ) +
+ S33 ' (σ11 cos 2 ϕ sin 2 ψ + σ 22 sin 2 ϕ sin 2 ψ )
Grupując wyrazy zawierające sin 2 ψ otrzymamy:
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = (S33 '−S13 ' )(σ11 cos 2 ϕ + σ 22 sin 2 ϕ) sin 2 ψ +
+ S13 ' (σ11 + σ 22 )
(6.21)
Wprowadzając powszechnie przyjęte w literaturze przedmiotu oznaczenia:
1
s2 = ( S '33 − S '13 ),
2
s1 = S '13
(6.22)
przepiszmy nasz rezultat dla ciała quasi-izotropowego w ostatecznej postaci:
10
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl =
1
s 2 (σ11 cos 2 ϕ + σ 22 sin 2 ϕ) sin 2 ψ + s1 (σ11 + σ 22 )
2
(6.23)
Korzystając z Równ. 6.4, powyŜszy wynik moŜemy równieŜ zapisać następująco:
1
 0
0
< d (ψ, ϕ) > hkl =  s 2 (σ11 cos 2 ϕ + σ 22 sin 2 ϕ) sin 2 ψ + s1 (σ11 + σ 22 ) d hkl
+ d hkl
2

(6.24)
w funkcji orientacji
Ostatnie równanie wyraŜa bezpośrednio mierzoną stałą sieciową dhkl
wektora S=L3, czyli w funkcji ψ i ϕ.
Pamiętając, Ŝe Rij’=S33ij’oraz biorąc pod uwagę strukturę macierzy Smn’ (Równ. 6.13)
współczynniki ½ s2 oraz s1 zdefiniowane w Równ. 6.22 moŜna wyrazić takŜe jako:
1
s 2 = R 33 '− R 11 '
2
oraz
s1 = R 11 '
(6.25)
Stałe R11’ i R33’ dla ciała quasi-izotropowego nie zaleŜą od kątów ψ i ϕ, zaleŜą natomiast
od refleksu hkl przy pomocy którego wyznaczamy ε33’ (ustawienie wszystkich podziaren
grupy dyfraktującej w ten sposób, Ŝe jedna z płaszczyzn {hkl} jest prostopadła do
wektora S determinuje anizotropię spręŜystą całej tej grupy).
Omówiony przypadek ciała quasi-izotropowego ma podstawowe znaczenie w dziedzinie
badań napręŜeń wewnętrznych. Jest to bowiem w pewnym sensie przypadek wzorcowy,
bowiem wiele ciał powszechnie występujących posiada izotropowe lub prawie izotropowe
własności. ZauwaŜmy, Ŝe jeśli wykreślimy zaleŜność <ε33’(ψ,ϕ)>hkl w funkcji sin2ψ, to
dla ciała quasi-izotropowego otrzymamy linię prostą - Rys. 6.5.
<ε33'(φ,ψ)>hkl
α
tgα ∼ σ11
sin2ψ
Rys. 6.5. ZaleŜność <ε33’> od sin2ψ dla ciała izotropowego. Jeśli wykres sporządzono
dla ϕ=0, to nachylenie prostej wynosi ½ s2 σ11.
11
Informacja o szukanych składowych napręŜeń zawarta jest w nachyleniu tej prostej
(Równ. 6.23). Przykładowo, z nachylenia prostej dla ϕ=00 moŜemy znaleźć wartość σ11.
Jeśli wyznaczymy równieŜ prostą dla ϕ=900, to z uzyskanych nachyleń moŜemy znaleźć
obie szukane składowe napręŜeń: σ11 i σ22.
Na ogół, w celu podniesienia precyzji wyznaczenia σ11 i σ22, wyznacza się doświadczalnie
kilka takich prostych dla róŜnych wartości kąta ϕ i uzyskane zbiory punktów
doświadczalnych dopasowuje się do prostych teoretycznych metodą regresji liniowej.
Ciało quasi-izotropowe i dowolny stan napręŜeń
Badając stan napręŜeń we wnętrzu próbki (np. przy uŜyciu dyfrakcji neutronów), nie
moŜemy juŜ załoŜyć istnienia płaskiego stanu napręŜeń. W takim przypadku, celem
naszym jest oczywiście wyznaczenie pełnego tensora napręŜeń wewnętrznych. Jeśli
badany materiał jest ciałem quasi-izotropowym, to wyraŜenie na <ε33’(ψ,ϕ)>hkl jest tylko
trochę bardziej rozbudowane niŜ w poprzednim paragrafie. Wyliczając σ’ij, musimy wziąć
teraz wszystkie składowe σkl z Równ. 6.6; po analogicznych przekształceniach jak
powyŜej, otrzymujemy:
1
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = s 2 (σ11 cos 2 ϕ + σ12 sin 2ϕ + σ 22 sin 2 ϕ) sin 2 ψ +
2
1
+ s 2 σ 33 cos 2 ψ + s1 (σ11 + σ 22 + σ 33 ) +
2
1
+ s 2 (σ13 cos ϕ + σ 23 sin ϕ) sin 2ψ
2
(6.26)
Odpowiadające powyŜszej relacji wyraŜenie na stałą sieciową przyjmie postać:
1
1
< d (ψ, ϕ) > hkl =  s 2 (σ11 cos 2 ϕ + σ12 sin 2ϕ + σ 22 sin 2 ϕ) sin 2 ψ + s 2 σ 33 cos 2 ψ +
2
2

1
+ s1 (σ11 + σ 22 + σ 33 ) + s 2 (σ13 cos ϕ + σ 23 sin ϕ) sin 2ψ 
2

0
0
d hkl
+ d hkl
(6.27)
W tym ogólniejszym przypadku, zaleŜności <ε33’(ψ,ϕ)>hkl oraz <d(ψ,ϕ)>hkl od sin2ψ nie
są juŜ liniowe (obecność sin2ψ). Procedura doświadczalnego wyznaczania składowych
tensora napręŜeń jest podobna jak wspomniano powyŜej. Wartości te znajduje się
dopasowując zbiór punktów doświadczalnych (<ε33’(ψ,ϕ)>hkl w funkcji sin2ψ przy
ustalonych wartościach ϕ) do zaleŜności teoretycznych. Z powyŜszego równania widać
niemniej, Ŝe jeśli tylko σ13=σ23=0, to uzyskujemy z powrotem zaleŜność liniową (taki
12
warunek spełniony jest na powierzchni, gdyŜ tam znikają siły prostopadłe do powierzchni:
σi3=0).
Ciało o dowolnej symetrii i dowolny stan napręŜeń
W tym przypadku musimy wrócić do ogólnej zaleŜności 6.10. A zatem:
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = Rij ' (ψ, ϕ)σ ij '
(Równ. 6.10)
Przypomnijmy, Ŝe Rij’ są dyfrakcyjnymi stałymi spręŜystymi; wiąŜą one mierzone
odkształcenie (czyli <ε33'(ψ,ϕ)>hkl) z szukanymi napręŜeniami (σij’) wyraŜonymi w
układzie L. Wyznaczenie lub wyliczenie dyfrakcyjnych stałych spręŜystych jest „kluczem
do sukcesu” całej rozwaŜanej analizy. Trzeba wyraźnie zaznaczyć, Ŝe w przypadku ciała
anizotropowego dyfrakcyjne stałe spręŜyste R’ij zaleŜą od kierunku pomiaru (L3 ) – czyli
od ψ i ϕ.
JednakŜe celem badań jest znalezienie napręŜeń wyraŜonych w układzie próbki P (σij), a
nie w układzie L (σij’). Transformując w równaniu powyŜszym napręŜenia z układu L do
układu P otrzymamy:
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = R mn ' (ψ, ϕ)a mi a nj σ ij
(gdzie aij są elementami macierzy transformacji) lub krócej:
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = Fij ( Rij , ψ, ϕ)σ ij
(6.28)
gdzie: Fij = R mn ' (ψ, ϕ)a mi a nj są ogólnymi stałymi dyfrakcyjnymi. Otrzymana zaleŜność
łączy mierzoną wielkość < ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl z poszukiwanymi napręŜeniami (σij) wyraŜonymi
w układzie próbki. Równ. 6.28 moŜemy (podobnie jak robiliśmy to wcześniej) przepisać
w równowaŜnej postaci, wyraŜając mierzoną stałą sieciową <d(ψ,ϕ)>hkl:
[
]
< d (ψ, ϕ) > hkl = Fij ( Rij , ψ, ϕ)σ ij d
0
hkl
+d
0
(6.29)
hkl
Przypomnijmy, Ŝe Równ. 6.28 tym się zasadniczo róŜni się od Równ. 6.10, Ŝe występują
w nim σij a nie σij’. Stałe Fij wyraŜają się przez Rij’ oraz przez ψ i ϕ.
Łatwo moŜna np. przeliczyć (por. Równ. 6.23), Ŝe dla ciała quasi-izotropowego:
1
F11 = s1 + s 2 cos 2 ϕ sin 2 ψ lub równowaŜnie: F11 = R 11 '+(R 33 '−R 11 ' ) cos 2 ϕ sin 2 ψ .
2
13
W materiałach anizotropowych (np. w polikryształach posiadających teksturę) stałe Rij’ i
Fij wyliczane są w oparciu o funkcję tekstury. ZaleŜą one równieŜ od wskaźników hkl
płaszczyzny krystalograficznej, uŜytej do pomiaru odkształcenia <ε33'(ψ,ϕ)>hkl.
Przykładem wyniku interpretacji danych doświadczalnych w ogólnym przypadku
materiału polikrystalicznego o silnej teksturze (Równ. 6.29) pokazuje Rys. 6.6.
1,1705
φ = 180
0
φ=0
0
Rys. 6.6. Stała sieciowa <d211> w funkcji sin2 ψ
dla walcowanej stali o silnej teksturze. Punkty
pomiarowe zestawiono z wynikiem obliczeń wg.
Równ. 6.29 (krzywa ciągła)
<d(Ψ,φ)>211
A
1,1700
1,1695
1,1690
1,1685
1,1705
φ = 270
0
φ = 90
0
<d(Ψ,φ)>211
A
1,1700
1,1695
1,1690
1,1685
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
sin2Ψ
6.3. Przykład wyliczania dyfrakcyjnych stałych spręŜystych Rij’
Przypomnijmy definicję dyfrakcyjnych stałych spręŜystych Rij’ (Równ. 6.10):
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = R ij ' (ψ , ϕ)σ ij ' .
Z drugiej strony z Równ. 6.8: < ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl =< s 33ij ' (ψ, ϕ)σ ij ' > . Mamy więc:
R ij ' (ψ, ϕ)σ ij ' =< s 33ij ' (ψ, ϕ)σ ij ' >
(6.30)
Tak więc, licząc Rij’ musimy dokonać przejścia ze średniej < s 33ij ' σ ij ' > do iloczynu
wielkości R ij ' (ψ, ϕ)σ ij ' . Na ogół nie da się znaleźć stałych R’ij(ψ,ϕ) w sposób w pełni
analityczny, gdyŜ zbyt skomplikowany jest charakter oddziaływań spręŜystych miedzy
ziarnami w próbce polikrystalicznej. Jak zawsze w takich sytuacjach, “podpieramy się”
modelami. Najprostszym modelem, który moŜe być do tego celu uŜyty – to model Reuss’a
(Reuss, 1929). Model ten wprowadza bardzo silne, upraszczające załoŜenie: σij=const
lub: σij’=const. Jest to równowaŜne załoŜeniu, Ŝe napręŜenia w próbce są jednorodne
(mają stałą wartość w kaŜdym punkcie próbki). Przy takim załoŜeniu σij’ moŜna wyłączyć
za znak średniej w ostatnim równaniu i w efekcie otrzymujemy:
14
R ij ' (ψ, ϕ) =< s 33ij ' (ψ, ϕ) > hkl
(6.31)
czyli: dyfrakcyjne stałe spręŜyste są średnimi ze stałych spręŜystych monkryształu s 33ij '
wyliczonymi dla zbioru ziaren dyfraktujących. Przypomnijmy, Ŝe jest to zbiór takich
krystalitów, dla których wektor rozpraszania S=L3 jest prostopadły do jednej z płaszczyzn
{hkl}. JuŜ z tego widać, Ŝe w ogólności Rij’ zaleŜą od hkl, a takŜe od ψ i ϕ.
Ziarna z grupy dyfraktującej mają następującą podstawową cechę: orientacja dowolnego
ziarna tej grupy związana jest z orientacją kaŜdego innego przez obrót wokół wektora
S=L3. W konsekwencji średniowanie <...>hkl, które prowadzi do wyliczenia Rij’, trzeba
wykonać względem tego obrotu (po kącie γ, w zakresie od 0 do 2π):
2π
R ij ' (ψ, ϕ) =
∫ s 33ij ' (g)f (g)dγ
0
2π
(6.32)
∫ f ( g ) dγ
0
W równaniu tym f(g) jest funkcją rozkładu orientacji (funkcją tekstury), która spełnia rolę
funkcji wagowej; istnieje oczywiście związek między g i γ.
Do wyliczania dyfrakcyjnych stałych spręŜystych uŜywa się teŜ innych modeli, np.:
- modelu Voigt’a (Voigt, 1928; w modelu tym zakłada się jednorodność odkształcenia
spręŜystego w całej objętości próki),
- modelu Hill’a (Hill, 1952; “model” ten polega na wzięciu średniej arytmetycznej
wyników z modeli Reussa i Voigta),
- modelu Krönera (Kröner, 1958; w modelu tym bierze się pod uwagę oddziaływania
spręŜyste pomiędzy ziarnami).
Poprawność obliczeń stałych spręŜystych Fij (por. Równ. 6.28), które wyraŜają się przez
Rij’, moŜemy zweryfikować doświadczalnie. W tym celu przykładamy do próbki znany
zewnętrzny stan napręŜeń i dokonujemy dyfrakcyjnego pomiaru odkształcenia
<ε33’(ψ,ϕ)>hkl (w obecności przyłoŜonych sił). PoniewaŜ napręŜenia znamy, więc z Równ.
6.28 wyznaczamy dyfrakcyjne stałe spręŜyste Fij. Przykład takiej weryfikacji obliczeń z
pomiarem pokazany jest na poniŜszym rysunku.
15
Rys. 6.7. Dyfrakcyjne stałe spręŜyste Fij w funkcji sin2ψ dla walcowanej stali z silną
teksturą. Punkty doświadczalne pokazano na tle krzywych teoretycznych uzyskanych w
oparciu o modele: Reussa (____ ), Voigta (- - - -) i Hilla (-----). Przedstawiono wyniki
dla czterech wartości kąta ϕ: 00, 900, 300 i 600.
6.4. Przykładowe wyniki
Przeprowadzono następujący test poprawności dyfrakcyjnej metody wyznaczania
napręŜeń wewnętrznych (Baczmański et al., 1993). Do stalowej walcowanej próbki
przyłoŜono dwa kolejne stany (A i B) makroskopowych napręŜeń: σAij i σBij.
Następnie wyznaczono je metodą opisaną powyŜej. RozwaŜmy róŜnicę między nimi: ∆σij
= σAij - σBij. W ten sposób uniezaleŜniamy się od innych napręŜeń obecnych ewentualnie
od początku w próbce, których nie znamy. W poniŜszej tabeli przedstawiono porównanie
przyłoŜonych i wyznaczonych doświadczalnie wartości ∆σij. Jak widać, zgodność jest
znakomita.
16
Tabela 6.1. PrzyłoŜone i wyznaczone doświadczalnie wartości ∆σij. UŜyto walcowanej
próbki stalowej, o silnej teksturze oraz dyfrakcji rentgenowskiej.
Składowa napręŜeń
Wartość przyłoŜona
∆σ11 = σA11’’- σB11’
∆σ22 = σA22’’- σB22’
∆σ33 = σA33’’- σB33’
200
0
0
Wartość wyznaczona
metodą dyfrakcyjną
200.1 +/- 8.2
-3.5 +/- 8.0
3.2 +/- 5.3
∆σ11 = σA11’’- σB11’
∆σ22 = σA22’’- σB22’
∆σ33 = σA33’’- σB33’
300
0
0
294.9 +/- 9.8
-7.1 +/- 8.0
-1.1 +/- 5.2
χ2
0.49
0.79
Innym przykładem, tym razem uzyskanym przy uŜyciu dyfrakcji neutronowej, jest pomiar
zmienności napręŜeń wewnętrznych w funkcji połoŜenia w próbce (Rys. 6.8). Badany był
kompozyt Al/SiC o grubości 14 mm, który najpierw schłodzono z wysokiej temperatury, a
następnie zgięto. Łatwo sobie uzmysłowić, Ŝe Ŝadna inna metoda nie umoŜliwiłaby
precyzyjnego pomiaru napręŜeń wewnętrznych w głębi masywnej próbki i co więcej,
niezaleŜnie w kaŜdej z faz materiału.
(mm)
Rys. 6.8. ZaleŜność głównej składowej napręŜeń w funkcji odległości od powierzchni w
kompozycie Al/SiC po jego schłodzeniu i zgięciu. Metoda dyfrakcyjna umoŜliwia
niezaleŜny pomiar napręŜenia w kaŜdej z faz.
17
6.5. Inne efekty
Interpretacja dyfrakcyjnych pomiarów napręŜeń wewnętrznych, która była omawiana do
tego miejsca, wynika wyłącznie z anizotropowych własności spręŜystych krystalitów oraz
z ich wzajemnego oddziaływania spręŜystego. Okazuje się jednak, Ŝe istnieją takŜe inne
przyczyny powstawania napręŜeń wewnętrznych. Jedną z nich jest róŜna rozszerzalność
termiczna składników ciała (np. w materiale dwufazowym); efekt ten generuje napręŜenia
pochodzenia termicznego. Drugim często spotykanym powodem powstawania napręŜeń
jest anizotropowa natura deformacji plastycznej. Jak pamiętamy, podstawowym
zjawiskiem elementarnym w plastyczności jest poślizg krystalograficzny, który odbywa
się na wybranej płaszczyźnie i w wybranym kierunku krystalograficznym. Co więcej, w
sąsiadujących ziarnach (o innych orientacjach sieci), aktywne są na ogół inne kombinacje
systemów poślizgu. Wszystko to razem prowadzi do róŜnych deformacji plastycznych w
róŜnych ziarnach. Ta niezgodność (ang.: incompatibility) deformacji plastycznej
pomiędzy sąsiednimi ziarnami jest właśnie źródłem dodatkowych napręŜeń, które
powstają w materiale. Całkowite odkształcenie spręŜyste, mierzona metodą dyfrakcyjną,
moŜe być w takim przypadku opisana jako:
NP
< ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl = Fij ( Rij , ψ, ϕ)σijI + < ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl
lub:
[
]
NP
< d (ψ, ϕ) > hkl = Fij ( Rij , ψ, ϕ)σijI + < ε33 ' (ψ, ϕ) > hkl
d
0
hkl
+d
(6.33)
0
(6.34)
hkl
gdzie: σ ij jest średnim stanem napręŜeń panującym w rozwaŜanym obszarze próbki
NP
jest dodatkowym odkształceniem spręŜystym
(napręŜenia I rzędu), zaś < ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl
spowodowanym niezgodnością odkształceń plastycznych w sąsiednich ziarnach; indeks
NP oznacza niezgodność plastyczną (Baczmański et. al., 1994). Wspomniany człon moŜe
być oszacowany przez modele odkształcenia spręŜysto-plastycznego i uŜyty do
interpretacji wyników doświadczalnych. Dodajmy jeszcze, Ŝe człon ten opisuje część
napręŜeń wewnętrznych zmieniających się od ziarna do ziarna, a więc napręŜenia II rzędu.
Zmierzoną zaleŜność odległości międzypłaszczyznowej <d211> od sin2ψ dla stalowej
walcowanej próbki pokazano na Rys. 6.9, przy ustalonych wartościach kąta ϕ = 00, 300,
600 i 900. Porównano tam takŜe wyniki obliczeń uzyskane przy uwzględnieniu tylko
NP
anizotropii spręŜystej (nieobecny człon < ε 33 ' (ψ, ϕ) > hkl
w Równ. 6.34) z wynikami
uzyskanymi przy uwzględnieniu zarówno anizotropii spręŜystej jak i niezgodności
odkształcenia plastycznego (obecne wszystkie człony Równ. 6.34) . Widać, Ŝe
uwzględnienie członu napręŜeń pochodzącego od niezgodności odkształcenia
plastycznego pomiędzy sąsiednimi ziarnami wybitnie poprawia zgodność wartości
wyliczonych ze zmierzonymi.
I
18
Rys. 6.9. ZaleŜność <d211> od sin2ψ (przy ϕ = 00, 300, 600 i 900) dla silnie
steksturowanej próbki stalowej po walcowaniu. Linią przerywaną pokazano zaleŜność
teoretyczną uzyskaną przy uwzględnieniu jedynie anizotropii spręŜystej; linia ciągła
pokazuje wyniki obliczeń przy uwzględnieniu zarówno anizotropii spręŜystej jak i
niezgodności odkształcenia plastycznego.
6.5 Podsumowanie
Dyfrakcyjna metoda pomiaru napręŜeń wewnętrznych jest praktyczną i precyzyjną
techniką badania napręŜeń wewnętrznych. UŜywając klasycznej metody rentgenowskiej
znajdujemy stan napręŜeń z okolic powierzchni próbki. Natomiast uŜywając
promieniowania synchrotronowego bądź dyfrakcji neutronów znajdujemy stan napręŜeń w
punktach leŜących wewnątrz próbki; moŜliwość ta wynika z bardzo duŜej penetracji
(wskutek niskiej absorpcji) wymienionych wiązek promieniowania.
Technika dyfrakcyjna jest jedyną, która umoŜliwia wyznaczenie pełnego tensora napręŜeń
(przypadek dyfrakcji neutronowej i promieniowania synchrotronowego). Poza tym jest
techniką nieniszczącą, stąd jej wielka popularność w tej dziedzinie. Bywając w ośrodkach
badań przy uŜyciu promieniowania synchrotronowego bądź neutronów, łatwo zauwaŜyć,
Ŝe duŜa część całkowitego czasu pomiarów dotyczy właśnie napręŜeń wewnętrznych.
19
LITERATURA:
Baczmański, A., Wierzbanowski, K., Haije, W.G., Helmholdt, R.B., Ekambaranathan, G.,
Pathiraj, B., Cryst. Res. & Technol., 28, 229 (1993)
Baczmański, A., Wierzbanowski, K., Lipiński, P., Helmholdt, R.B., Ekambaranathan, G.,
Pathiraj, B., Phil. Mag. A, 69, 437 (1994)
Dolle, H., J. Appl. Cryst., 12, 489 (1979)
Hill, R., Proc. Phys. Soc., A65, 349 (1952)
Kröner, E., Zeit. Phys., 151, 504 (1958)
Noyan, I.C., Cohen, J.B., Residual Stress – measurement by Diffraction and
Interpretation, Springer-Verlag, Berlin (1987)
Reid, C. N., Deformation Geometry for Material Scientists, Pergamon Press, Oxford
(1973)
Reuss, A., Z. Angew. Math. Mech., 9, 49 (1929)
Voigt, W., Lehrbuch der Kristallphysik, Teubner-Verlag, Leipzig-Berlin (1928)
20