prędkość fazowa i grupowa dla modów falowodowych

napisał Michał Wierzbicki
Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej
w falowodzie
Prędkość grupowa paczki falowej
Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Z∞
f (z, t) =
F(ω) ei(ωt−kz) dω
(1)
−∞
gdzie f (z, t) jest amplitudą fali w punkcie o współrzędnej z i w chwili t, F(ω) jest amplitudą fali składowej o częstości ω. Nie interesuje nas w tej chwili zależność amplitudy
fali od współrzędnych x, y w kierunku prostopadłym do osi propagacji. Paczka falowa
zadana równaniem (1) jest rozwiązaniem jednowymiarowego równania falowego:
∂2 f
1 ∂2 f
−
=0
∂x 2 v2f ∂t 2
(2)
gdzie
ω
(3)
k
jest prędkością fazową, to znaczy prędkością z jaką przesuwa się wzdłuż osi z punkt o
stałej fazie ϕ = ωt − kz. Łatwo sprawdzić, że pojedyncza fala składowa f (z, t) = F0 eiϕ
rzeczywiście jest rozwiązaniem równania (2). Ponieważ równanie (2) jest liniowe, więc
dopuszcza zasadę superpozycji. Suma jego rozwiązań też jest rozwiązaniem, a więc także uogólniona suma w postaci całki po ω. Granice całkowania od −∞ do +∞ oznaczają,
że bierzemy fale składowe biegnące zarówno w kierunku osi z, jak i w przeciwną stronę.
Należy pamiętać, że w całce (1) wektor falowy k zależy od częstości ω poprzez relację
dyspersji (3). Jeśli fala propaguje się w ośrodku materialnym to zazwyczaj jej prędkość
fazowa v f zależy od częstości ω i zależność k(ω) staje się nieliniowa1 .
Załóżmy, że do zbudowania paczki falowej wzięliśmy grupę fal o częstości zbliżonej
do częstości średniej ω0 , to znaczy:
(
F0 dla ω0 − ∆ω /2 6 ω 6 ω0 + ∆ω /2
F(ω) =
(4)
0 dla pozostałych ω
vf =
Dla fali de Broglie’a ω = h̄k 2 /(2m), gdzie m jest masą cząstki. Dla fali elektromagnetycznej w ośrodku
dielektrycznym ω /k = c/n, gdzie n(ω) jest współczynnikiem załamania ośrodka.
1
1
gdzie ∆ω jest szerokością zakresu częstotliwości fal wchodzących do superpozycji.
F0
∆ω
ω0
Zakładając, że zakres ten jest bardzo mały: ∆ω ω0 , możemy nieliniową zależność
k(ω) rozwinąć w szereg Taylora wokół punktu ω0 :
dk 1
= k0 + (ω − ω0 )
(5)
k(ω) ≈ k(ω0 ) + (ω − ω0 )
dω ω0
vg
gdzie
dω vg =
dk ω0
(6)
jest wielkością o wymiarze prędkości. Dla amplitud fal składowych zadanych zależnością (4), przy wykorzystaniu przybliżenia (5), całka (1) przyjmuje postać:
f (z, t) = F0 e
ω0 −∆ω /2
"
!
#
z
exp i(ω − ω0 ) t −
dω
vg
ω0Z
+∆ω /2
i(ω0 t−k0 z)
(7)
Wprowadzając nową zmienną całkowania η = ω − ω0 otrzymujemy:
I=
ω0 −∆ω /2
"
!
# −∆ω
"
!#
Z /2
z
z
exp i(ω − ω0 ) t −
dω =
exp iη t −
dη
vg
vg
ω0Z
+∆ω /2
(8)
−∆ω /2
Powyższą całką można obliczyć w elementarny sposób
ω0 +∆ω /2
i
−i h i∆ω(t−z/vg)/2
1
iη(t−z/v g ) −i∆ω(t−z/v g )/2
I=
e
=
e
−
e
=
i(t − z/v g)
t − z/vg
ω0 −∆ω /2
=
2
∆ω sin
t − z/v g
t − z/v g
2
(9)
Ostatecznie wzór na paczkę falową przyjmuje postać:
f (z, t) = F0 ∆ω ei(ω0 t−k0 z) A(ξ)
gdzie
2
(10)
sin ξ
,
A(ξ) =
ξ
∆ω
z
ξ=
t−
2
vg
!
(11)
Łatwo zauważyć, że równanie (10) opisuje zaburzenie falowe o fazie odpowiadającej
średniej wartości częstości ω0 i wektora falowego k0 oraz o amplitudzie mającej postać
sin ξ
wykresu funkcji
.
ξ
ξ=const
vg
z
Prędkość z jaką przesuwa się wzdłuż osi z ustalony punkt ξ = const wykresu tej funkcji
wynosi dz /dt = v g. Jest to prędkość grupowa paczki falowej.
Prędkości fazowa i grupa modów w falowodzie
Własności modów falowodowych są określone przez ich składowe podłużne: Ez dla modu TM lub Bz dla modu TE. Spełniają one równanie Helmholtza:
∂2 f ∂2 f
+
= −α2 f = 0
∂x 2 ∂y2
(12)
gdzie f = Ez , Bz oraz
ω2
− kz2
(13)
c2
Przy spełnieniu odpowiednich warunków brzegowych na powierzchni falowodu równanie (12) jest równaniem na wartości własne −α2 . Funkcje własne tego równania nazywamy modami falowodowymi. Relacja dyspersji dla modu falowodowego wynosi
r
p
ω2 − ω2α
ω2
2 =
−
α
(14)
kz =
c2
c
gdzie ωα = cα jest tak zwaną częstością obcięcia modu. Łatwo sprawdzić, że prędkość
fazowa modu jest większa lub równa prędkości światła
α2 =
vf =
c
ω
=p
>c
kz
1 − (ω/ωα )2
3
(15)
Nie stoi to w sprzeczności z postulatami szczególnej teorii względności, gdyż faza fali nie jest obiektem materialnym. Prędkość grupowa modu natomiast jest mniejsza lub
równa prędkości światła2 :
vg =
p
dω
dkz
= 1/
= c 1 − (ω/ωα )2 6 c
dkz
dω
(16)
Iloczyn obu prędkości wynosi
v f · v g = c2
(17)
Podane wyżej wzory nie zależą od kształu przekroju poprzecznego falowodu.
Prędkość przenoszenia energii w falowodzie
Prędkość przenoszenia energii w falowodzie definujemy jako
v=
Pz
Wz
(18)
gdzie Pz jest średnią w czasie mocą przenoszoną przez mod w przekroju poprzecznym
falowodu, a Wz jest energią zgromadzoną w polu elektromagnetycznym modu, liczoną na
jednostkę długości falowodu. Wielkość Pz obliczamy całkując po powierzchni przekroju
poprzecznego A falowodu średnią po czasie z-owej składowej wektora Poyntinga hSz i:
Z
Pz =
hSz i d A
(19)
A
Podobnie obliczamy Wz , całkując po powierzchni przekroju poprzecznego falowodu średnią po czasie gęstość energii pola elektromagnetycznego hwi:
Z
Wz =
hwi d A
(20)
A
Średnia po czasie Sz wynosi
hSz i =
1
Re (E x By∗ − E y Bz∗ )
2µ0
(21)
Dla modu TM, korzystając z praw Ampera i Faradaya, składowe poprzeczne pól można
wyrazić przez pochodne składowej podłużnej Ez . W ten sposób dochodzi się do wzoru:
Równości nie da się osiągnąć w praktyce, gdyż dla ω = ωα jest kz = 0, to znaczy mod nie przesuwa
się wzdłuż falowodu.
2
4

!2
!2 
1 kz ω2  ∂Ez
∂Ez 


hSz i =
+
2µ0 α4 c2 ∂x
∂y
(22)
Średnia po czasie gęstość energii pola elektromagnetycznego wynosi
0 2
1 2
|E x | + |E y |2 + |Ez |2 +
|Bx | + |By |2
(23)
4
4µ0
Wyrażając składowe poprzeczne pola przez pochodne składowej podłużnej Ez dochodzi
się do wzoru

!2
!2 
0 2 0 kz2 + ω2 /c2  ∂Ez
∂Ez 
hwi = Ez +
+
(24)


4
4
α4
∂x
∂y
hwi =
Stąd możemy napisać
1 kz ω2
0
0 kz2 + ω2 /c2
·
I
,
W
=
·
I
+
· I1
1
z
2
2µ0 α4 c2
4
4
α4
gdzie do obliczenia zostały dwie całki po przekroju poprzecznym falowodu
!
!2 
Z 
Z
 ∂Ez 2
∂Ez 
 d A , I2 =

+
I1 =
Ez2 d A
∂x
∂y
Pz =
A
(25)
(26)
A
Okazuje się, że obie całki są sobie do siebie proporcjonalne, niezależnie od powierzchni
całkowania.
***
Aby to pokazać należy skorzystać z pierwszego twierdzenia Greena dla dwóch funkcji
skalarnych u i v
Z
Z
I
∂v
(27)
∇u · ∇v dV +
u ∆v dV =
u dA
∂n
V
V
A
gdzie całkowanie dotyczy pewnej objętości V i zamkniętej powierzchni A obejmującej
tę objętość. Będzie nam potrzebna wersja dwuwymiarowa wzoru (27), to znaczy zamiast objętości V weźmiemy powierzchnię przekroju poprzecznego A falowodu, oraz
zamknięty kontur całkowania L będący jej brzegiem.
Z
Z
I
∂v
(28)
∇u · ∇v d A +
u ∆v d A =
u dl
∂n
A
A
L
Pochodne w gradiencie i laplasjanie w powyższym wzorze wykonujemy tylko po zmiennych x i y. Przyjmując u = v = Ez otrzymujemy następującą zależność:
5
!
!2 
Z 
Z
I
 ∂Ez 2
∂Ez 
∂Ez
 d A +

+
Ez ∆Ez d A =
Ez
dl
∂x
∂y
∂n
A
A
(29)
L
Zamnknięta całka krzywoliniowa w powyższym wzorze równa się zeru, gdyż na powierzchni falowodu spełniony jest warunek brzegowy3 Ez = 0. Korzystając z równania
Helmholtza (12) laplasjan ∆Ez możemy zastąpić przez −α2 Ez . Ostatecznie
!
!2 
Z
Z 
 ∂Ez 2
∂Ez 
2
 d A = α

(30)
Ez2 d A = α2 I2
I1 =
+
∂x
∂y
A
A
***
Wracając do wzoru na średnią moc i energię pola elektromagnetycznego w falowodzie,
możemy je zapisać w postaci:
!
1 kz ω
0
kz2 + ω2 /c2
0 ω2
Pz =
·
I
,
W
=
1
+
·
I
=
· I2
(31)
2
z
2
2µ0 α2 c2
4
α2
2 α 2 c2
Prędkość przenoszenia energii w falowodzie dla modu TM jest więc równa prędkości
grupowej
v=
kz
c2
Pz
=
=
= vg
Wz µ0 0 ω v f
(32)
Powyższy wynik nie zależy od kształtu przekroju poprzecznego falowodu. Mody TE
przenoszą energię z taką samą prędkością. Można to wykazać, wyrażając składowe poprzeczne pola przez pochodne składowej podłużnej Bz i wykonując analogiczny rachunek do przedstawionego powyżej.
3
Dla modu TE spełniony jest warunek brzegowy ∂Bz / ∂n = 0.
6