Macierze - E-SGH

Macierze
Justyna Winnicka
Na podstawie podr¦cznika Matematyka. e-book
M. D¦dys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kªopotowskiego.
rok akademicki 2016/2017
Denicja
Podwójnie indeksowany ci¡g (aij ) liczb rzeczywistych, gdzie i = 1, 2, . . . , m oraz
j = 1, 2, . . . , n, zapisany w postaci prostok¡tnej tablicy

a11
 a21

...
am 1
a12
a22
...
am 2
...
...
...
...

a1n
a2n 
,
...
amn
nazywamy macierz¡ o wymiarach m × n.
Liczby aij ∈ R nazywamy elementami macierzy.
Wektor poziomy [ai 1 ai 2 . . . ain ] nazywamy i -tym

a1j
 a2j 

wektor pionowy 
 .  nazywamy j -t¡
 .. 
wierszem
macierzy,

kolumn¡
macierzy.
amj
Element aij stoi zatem w i -tym wierszu i j -tej kolumnie. Wymiary macierzy to liczba
wierszy × liczba kolumn.
Macierze o wymiarach m × n oznaczamy du»ymi pogrubionymi literami
Am×n , Bm×n , Cm×n itd. lub A, B, C, pomijaj¡c wymiary tych macierzy. Je±li
macierz jest utworzona z elementów aij , to piszemy tak»e A = [aij ].
Przykªad
2 3 0
Dana jest macierz A =  1 1 1 1  .
0 −2 5 3
Wymiary macierzy A to 3 × 4.
Drugi wiersz macierzy A to [1 1 1 1],
 
3
trzecia kolumna to  1  .
5

Obliczymy sumy a)
3
X
i=1
−1
ai 4 , b)

2 X
3
X
i=1 j=1
aij .
Denicja
Je±li liczba wierszy macierzy A = [aij ] jest równa liczbie kolumn i wynosi n, to macierz
A nazywamy macierz¡ kwadratow¡ stopnia n.
Ci¡g elementów a11 , a22 , . . . , ann nazywamy gªówn¡ przek¡tn¡ lub diagonal¡
macierzy A.
Przykªad
1 2 3 −1
 4 5 6 −4 

Macierz A = 
 7 8 9 −3  jest macierz¡ kwadratow¡ stopnia 4.
10 11 12 −10
Gªówna przek¡tna tej macierzy to 1, 5, 9, -10.


Denicja
Macierz kwadratow¡
A
= [aij ] nazywamy
macierz¡ diagonaln¡,
je±li
aij = 0 dla i 6= j,
tzn. wszystkie elemety poza gªówn¡ przek¡tn¡ s¡ równe zeru.
Macierz diagonaln¡ tak¡, »e aii = 1 dla i = 1, 2, . . . , n nazywamy macierz¡
jednostkow¡ i oznaczamy symbolem I lub In , gdzie n oznacza stopie« macierzy.
Przykªad
I 1 = [1],
I2 =
1 0
,
0 1
1 0 0
I3 =  0 1 0 ,
0 0 1



1 0 0 0

0 1 0 0

I4 = 
 0 0 1 0 ,···
0 0 0 1
Denicja
Macierz kwadratow¡
A
= [aij ] nazywamy
macierz¡ trójk¡tn¡ górn¡,
je±li
aij = 0 dla i > j,
tzn. wszystkie elemety poni»ej gªównej przek¡tnej s¡ równe zeru.
Macierz kwadratow¡
A
= [aij ] nazywamy
macierz¡ trójk¡tn¡ doln¡,
je±li
aij = 0 dla i < j,
tzn. wszystkie elemety powy»ej gªównej przek¡tnej s¡ równe zeru.
Przykªad

1 −2 9
1 −6  to macierz trójk¡tna górna stopnia 3.
0 0 1

Macierz A =  0

2
0 0 0

 5 −3 0 0 

Macierz A = 
 −4 1 0 0  to macierz trójk¡tna dolna stopnia 4.
1 −2 9 4


Macierz
0 0 0
A
=  0 0 0  to macierz stopnia 3, która jest jednocze±nie macierz¡
0 0 0
trójk¡tn¡ górn¡ i trójk¡tn¡ doln¡ (jak ka»da macierz diagonalna).
Denicja
Dwie macierze A = [aij ], B = [bij ], gdzie aij , bij ∈ R nazywamy równymi wtedy i tylko
wtedy, gdy macierze A, B maj¡ jednakowe wymiary m × n oraz aij = bij dla
i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n.
Piszemy wówczas A = B.
Denicja (dziaªania na macierzach)
Sum¡ macierzy A
macierz
= [aij ],
B
= [bij ] o jednakowych wymiarach m × n nazywamy
A
Iloczynem macierzy A
+ B = [aij + bij ].
= [aij ] przez liczb¦ α ∈ R nazywamy macierz
αA = [αaij ].
Przykªad
Sum¡ macierzy
A
=
2 −3 1 −2
5 −3 1 1
i
B
=
2 0 −2 0
−5 3 0 4
jest macierz
A
+B=
2+2
−3 + 0 1 + (−2) −2 + 0
=
5 + (−5) −3 + 3
1+0
1+4
Iloczynem macierzy
A
=
2 −3 1 −2
5 −3 1 1
4 −3 −1 −2
.
0 0 1 5
przez liczb¦ 4
jest macierz
4A =
4 · 2 4 · (−3) 4 · 1 4 · (−2)
=
4 · 5 4 · (−3) 4 · 1
4·1
8 −12 4 −8
.
20 −12 4 4
Denicja
Macierz¡ transponowan¡ macierzy A = [aij ]
AT = [tji ] o wymiarach n × m, »e
macierz
o wymiarach m × n nazywamy tak¡
tji = aij
dla i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n.
Przeksztaªcenie macierzy
A
na macierz
AT
nazywamy
transpozycj¡
macierzy A.
Macierz transponowana powstaje przez zamian¦ i -tego wiersza macierzy
kolumn¦ macierzy AT .
Przykªad
4
 −3
= 
 −1
−2

Je±li
A
=
4 −3 −1 −2
, to macierz
0 0 1 5
AT
0
0
.
1
5

Denicja
Mówimy, »e macierz
A
jest
symetryczna,
je±li
AT
= A.
Przykªad
1 −2
9
Macierz A =  −2 0 −6  jest symetryczna.
9 −6 −11

Macierze
B
=

1 −2 9
,
−2 0 −6
C
=
1 −2
0 −6
nie s¡ symetryczne.
A
na i -t¡
Denicja (iloczyn macierzy)
Iloczynem macierzy Am×n = [aij ] i Bn×k
C = AB = [cih ] o wymiarach m × k, »e
= [bjh ] nazywamy tak¡ macierz
cih = ai 1 b1h + ai 2 b2h + · · · + ain bnh =
n
X
aij bjh .
j=1
Iloczyn AB dwóch macierzy jest okre±lony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn
macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.
Liczba wierszy macierzy AB jest równa liczbie wierszy macierzy A, a liczba kolumn
AB jest równa liczbie kolumn macierzy B. Mo»na to zapisa¢ symbolicznie
Am×n Bn×k
= (AB)m×k .
Przykªad
4 −3 −1 −2
Dla macierzy A =  −1 0 1 5  ,
1 1 1 1


1
 2 −3 

B=
 0 1
1 0

−1

obliczymy iloczyny
AB,
IA,
AI,
gdzie stopie« macierzy I jest odpowiednio dobrany.
Uwaga!
Mno»enie macierzy nie jest przemienne.
Przykªad
a) Iloczyn
macierzy z poprzedniego przykªadu nie istnieje.
4 −3
−1 1
b) Dla macierzy A =
,B=
−1 0
2 −3
obliczymy AB i BA.
BA
Denicja
Je±li macierze A, B speªniaj¡ warunek
AB
= BA, to mówimy, »e s¡
przemienne.
Twierdzenie (wªasno±ci dziaªa« na macierzach)
Je±li wymiary macierzy A, B, C, I s¡ tak dobrane, »e wykonalne s¡ poni»sze dziaªania,
to
A
+ B = B + A,
A(B
+ C) = AB + AC,
(A + B) + C = A + (B + C),
(A + B)C = AC + BC,
(AT )T = A,
(AB)C = A(BC),
(A +
B)T
(αA)T
A αB
=
=
AT
+
BT ,
αA T ,
= αAB,
(AB)T = BT AT
IA
= A,
AI
= A.
Twierdzenie
Wzory skróconego mno»enia dla macierzy, np.
A2
− B2 = (A − B)(A + B)
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ,
gdzie A
2 = A · A,
zachodz¡ wtedy i tylko wtedy, gdy macierze A, B s¡ przemienne.
(!),
Denicja
nazywamy maksymaln¡ liczb¦ liniowo niezale»nych kolumn tej
macierzy. Rz¡d macierzy A oznaczamy symbolem rzA.
Rz¦dem macierzy A
Przykªad
Wyznaczymy rz¦dy macierzy
4 −3 −1
a) A =
,
−1 0 11
b) B = I 4 .
Twierdzenie (wªasno±ci rz¦du macierzy)
Dla dowolnych macierzy Am×n i Bn×k speªnione s¡ warunki:
T,
a) rz A= rzA
b) rzA= rz(A
c) rz AB
T A)=rz(AAT ),
≤ min(rz A, rz B).
Denicja
Macierz kwadratow¡ A stopnia n nazywamy nieosobliw¡ wtedy i tylko wtedy, gdy
rz A = n.
W przeciwnym przypadku A nazywamy osobliw¡.
Przykªad
Macierz I 4 jest nieosobliwa.
Przykªad
4 −3 −1
Wyka»emy, »e macierz A =  −1 0 1  jest osobliwa.
1 1 −2

