Panta rhei?

strona 1/8
Panta rhei?
Robert Pełka
Od starożytności ludzie zastanawiali się nad otaczającymi ich zjawiskami. Jednym z zagadnień,
które rozważali, był problem ruchu. Zanim dwa tysiące lat później podano w pełni zadowalający opis
tego zagadnienia, wyrażony w postaci dobrze nam znanych trzech zasad dynamiki Newtona, pojawiło
się dużo koncepcji dotyczących natury ruchu. Wśród nich największą sławę zdobyły argumenty podane
przez Zenona z Elei, które miały na celu wykazanie niemożności istnienia ruchu. Z punktu widzenia
dzisiejszego stanu wiedzy, argumenty te mogą się wydawać nieco dziwaczne, niemniej jednak pouczające jest zapoznanie się z nimi. Zobaczymy, z jakimi problemami borykali się nasi przodkowie i jak
z ich rozwiązaniem poradziła sobie nowożytna nauka.
Zanim przedstawimy treść paradoksalnych rozumowań Zenona, zaprezentujmy pokrótce jego sylwetkę.
Zenon urodził się w greckim mieście leżącym na południu Półwyspu Apenińskiego pod koniec wieku VI
lub na początku wieku V p.n.e. Był uczniem Parmenidesa, założyciela elejskiej szkoły filozoficznej, i z pewnością jego następcą w szkole. Przedstawia się go jako człowieka bardzo odważnego. Oto jedna z wersji
opisu wydarzenia, które dobrze oddaje jego charakter, a dotyczy zachowania Zenona osadzonego w więzieniu po próbie obalenia tyrana: „Zenon był znakomity jako filozof, i jako mąż stanu, a pisma jego są pełne
mądrości. Gdy zorganizował spisek w celu obalenia tyrana Nearchosa – wedle innych tyrana Diomedonta
– został uwięziony, jak podaje Heraklides w Wyciągu z Satyrosa. Wypytywany o wspólników i o transport
broni do Lipary, wymienił wszystkich przyjaciół tyrana, aby mu dowieść, że wszyscy go opuścili. Następnie
mówiąc, że o niektórych chciałby mu coś powiedzieć na ucho, chwycił je zębami i nie puścił tak długo,
aż padł pod ciosami […]” (Diogenes Laertios, IX, 26). Inna wersja natomiast podaje, że zębami odgryzł
sobie język i plunął nim w twarz tyrana. Posiadał więc temperament zjadliwy, podobnie nieubłagana była
jego dialektyka. Napisał prawdopodobnie tylko jedno dzieło, jak można wnosić na podstawie Platońskiego
Parmenidesa, w którym jest powiedziane, że chodzi o utwór, który powstał w wieku młodzieńczym. Zenon
jest odkrywcą metody dowodzenia, która zamiast dowodzić danej tezy, wychodząc od określonych zasad,
usiłuje dowieść jej poprzez sprowadzenie do absurdu tezy z nią sprzecznej. Zenon posługiwał się tą metodą z tak wielką sprawnością, że wzbudzał podziw u starożytnych. Jeszcze Platon z niekłamanym podziwem, aczkolwiek także z domieszką właściwej mu ironii, mówi o Zenonie, że: „[…] tak artystycznie mówi,
że słuchający także głowy tracą i zdaje im się, że jedno i to samo jest równe i nierówne, że jest jedno i że
go jest wiele, albo że stoi, to znów, że się rusza” (Platon, Fajdros, 261 d). Dialektyka Zenona przyczyniła
się w sposób znaczący do ukształtowania się różnych technik dowodzenia i do powstania logiki. Jego
metodę dowodzenia, którą nazywamy dzisiaj metodą per reductio ad absurdum (przez sprowadzenie do
niedorzeczności), z powodzeniem stosuje się w matematyce aż po dzień dzisiejszy.
Pierwszy argument przeciw ruchowi jest zwany dychotomią. Ruch jest absurdalny i niemożliwy,
ponieważ, aby jakieś ciało dotarło do celu, musiałoby najpierw osiągnąć połowę drogi, którą ma
przebyć. Zanim jednak osiągnie ową połowę, musiałoby osiągnąć połowę tej połowy, a jeszcze wcześniej połowę połowy tej połowy i tak w nieskończoność, ponieważ zawsze istnieje połowa połowy.
Oto najbardziej jasne spośród przedstawień tego argumentu, jakie przekazali starożytni:
Data utworzenia:
2009-11-10
strona 2/8
„Pierwszy argument jest taki: Jeżeli istnieje ruch, to jest konieczne, aby to, co się porusza, przebyło
nieskończenie wiele odcinków drogi w skończonym czasie; to jest jednak niemożliwe, a więc ruch nie
istnieje. Zenon dowodził tego zdania, stwierdzając, że to, co się porusza, musi przebyć pewną odległość. Skoro jednak każda odległość może się dzielić w nieskończoność, to, co się porusza, musi najpierw przebyć połowę odległości, którą przechodzi, a potem całą. Zanim jednak przejdzie całą połowę
odległości, musi przebyć połowę tej połowy i znowu połowę tej ostatniej. Jeżeli jednak tych połówek
jest nieskończenie wiele z tej racji, że można zawsze wziąć połowę każdego odcinka, to jest niemożliwe, aby w skończonym czasie przebyć nieskończenie wiele odcinków […]. A więc ze względu na to,
że każda wielkość dopuszcza podział w nieskończoność, nie jest możliwe, by w skończonym czasie
przebyć jakąkolwiek wielkość” (Simplikios, In Aristotelis De Physico, 1013, 4 nn.).
Według drugiego argumentu, nazywanego Achillesem, ruch jest do tego stopnia absurdalny, że
gdybyśmy się nań hipotetycznie zgodzili i przyjęli, że szybkonogi Achilles goni żółwia, to wyszłoby na
to, że Achilles nigdy nie zdołałby żółwia dogonić, ponieważ te same trudności, które napotkaliśmy
w poprzednim argumencie, pojawiłyby się na nowo w innej postaci: Achilles musiałby najpierw dotrzeć
do punktu, w którym żółw się znajdował w chwili startu, następnie do punktu, w którym żółw się znajdował, kiedy Achilles osiągnął punkt startu żółwia, a jeszcze później do tego trzeciego punktu, w którym żółw się znajdował, gdy Achilles dotarł do punktu drugiego i tak dalej, w nieskończoność. Oto jak
Arystoteles referuje argumentację:
„Drugi argument, tzw. «Achilles», sprowadza się do tego, że w wyścigu najszybszy biegacz nie
może nigdy prześcignąć najpowolniejszego, bo ścigający musi najpierw osiągnąć punkt, z którego
ścigany już wyruszył, tak że powolniejszy ma zawsze pewne wyprzedzenie. Argument w gruncie rzeczy ten sam co i poprzedni dotyczący dychotomii, z tą tylko różnicą, że kolejno dodawane odcinki
przestrzeni nie są dzielone na połowę. Wniosek wynikający z tego rozumowania jest taki, że powolniejszy biegacz nie może być prześcignięty, i jest podobny do tego z dychotomii, tak że i rozwiązanie
musi być to samo” (Arystoteles, Fizyka, Z 9, 239 b 14 nn.).
Trzeci argument nazwany jest strzałą, a dowodzi, że strzała, o której istnieje opinia, że się porusza,
w rzeczywistości jest nieruchoma. W każdej bowiem chwili, na jaką można podzielić czas lotu, strzała
zajmuje to samo miejsce. To jednak, co zajmuje identyczne miejsce, znajduje się w stanie spoczynku;
tak więc strzała, będąc w stanie spoczynku w każdej z chwil, jest także w spoczynku w ich całości.
„Wydaje się, że argument Zenona, wychodząc z założenia, że to wszystko, co zajmuje przestrzeń
równą sobie, albo jest w ruchu, albo jest w stanie spoczynku, że nic nie porusza się w jednej chwili i że
to, co się porusza, zajmuje zawsze w każdej chwili przestrzeń równą sobie, przebiega w ten sposób:
Lecąca strzała w każdej chwili zajmuje przestrzeń równą sobie i tak jest przez cały czas jej lotu. To
jednak, co w jakiejś chwili zajmuje przestrzeń równą sobie, nie porusza się, ponieważ nic nie porusza
się w jednej chwili. A więc lecąca strzała, jak długo jest w ruchu, nie porusza się przez cały czas swego
lotu” (Simplikios, In Aristotelis De Physico, 1015, 19 nn.).
Czwarty argument zwany stadionem, dowodzi natomiast, że względna jest prędkość, a więc względny jest sam ruch, którego prędkość jest istotną właściwością. Dowód względności wyklucza obiektywność, a więc i realność ruchu. Wyobraźmy sobie wyścig rydwanów. Szybkość, z jaką rydwany poruszają się, jest jednocześnie taka i inna, mniejsza i większa, w zależności od tego względem jakich
Data utworzenia:
2009-11-10
strona 3/8
przedmiotów (rydwanów) jest rozważana. Jeśli zaś ruch dokonuje się z szybkością, która jest jednocześnie „taka i nie taka”, to jest sprzeczny i nie może istnieć.
Przedstawione argumenty, przede wszystkim dwa pierwsze, pokazują, że nasi starożytni przodkowie
mieli trudność ze zrozumieniem czasu i przestrzeni jako wielkości ciągłych, które wobec tego można
dzielić w nieskończoność. Niewyobrażalne było między innymi to, że skończony odcinek w przestrzeni
można przedstawić jako sumę nieskończonej liczby odcinków o malejących długościach. Te kłopoty
z nieskończonością usunęła dopiero nauka nowożytna, a przede wszystkim matematyka, w ramach
której rozważa się sumy nieskończonej liczby składników zwane szeregami. Aby lepiej zrozumieć to
zagadnienie, przeanalizujmy dokładniej paradoks drugi, mówiący o wyścigu Achillesa z żółwiem.
Zenon twierdził, że jeżeli żółw znajduje się początkowo w punkcie P1, a Achilles w punkcie P0, w pewnej odległości za żółwiem, to zanim dobiegnie do punktu P1, co zajmie mu jakiś czas, żółw – choć
porusza się znacznie wolniej – będzie już w nowym punkcie P2. Gdy Achilles osiągnie z kolei punkt P2,
żółwia już tam nie zastanie, bo będzie on w kolejnym punkcie P3 i tak dalej w nieskończoność. W ten
sposób biegacz miał żółwia nigdy nie dogonić. Zenon był jednak w błędzie, bo założył, że dodawanie
nieskończonej liczby składników musi dawać nieskończone sumy. A przecież droga przebyta przez
Achillesa do miejsca spotkania z żółwiem, chociaż można ją podzielić na nieskończenie wiele etapów
(P0P1, P1P2, P2P3 itd.), ma długość skończoną. Możemy ją w prosty sposób obliczyć.
Oznaczmy początkową odległość |P0P1| między Achillesem i żółwiem przez d, szybkość Achillesa przez u,
natomiast szybkość żółwia przez u. Dotarcie do punktu P1 zajmie Achillesowi odstęp czasu Δt1 równy
t1 
P0 P1
u

d
u
W tym jednak czasie żółw przemieści się do punktu P2 odległego od P1 o
u
P1 P2  u 
t1   d
u
W drugim etapie Achilles dobiega do punktu P2 w odstępie czasu Δt2 równym
t 2 
P1 P2
u d
  u
u u
W tym czasie żółw dotrze do punktu P3 takiego, że
 u 2
P2 P3 = u ⋅∆t2 =  ⋅ d
 υ
Dotarcie do punktu P3 zajmie Achillesowi w kolejnym, trzecim etapie czas Δt3 równy
t 3 
 u 2 d
    u u
u
P2 P3
i tak dalej. Na podstawie powyższych wzorów łatwo wydedukować, że w n -tym etapie Achilles pokonuje
dystans |Pn-1Pn| w odstępie czasu Δtn równym
∆tn =
Pn−1 Pn
υ
 u n−1 d
=  ⋅
 υ
υ
Natomiast żółw na końcu tego etapu znajdzie się w punkcie Pn+1 takim, że
Data utworzenia:
2009-11-10
strona 4/8
 u n
Pn Pn+1 = u ⋅∆tn =  ⋅d
 υ
Całkowity czas pościgu T jest sumą nieskończenie wielu przedziałów czasowych
T = ∆t1 +∆t1 +∆t1 + …
i wynosi
2
2

d u d u  d
d 
u u 
T         
1    
u u u  u u
u
u  u

Podobnie droga przebyta w tym czasie przez Achillesa jest dana przez sumę nieskończenie wielu
odcinków
2


 u 2
u
u u 
s  P0 P1  P1 P2  P2 P3   d   d    d   d 
1    
 u
u
u  u


W powyższych wzorach na T i s w nawiasie kwadratowym występuje nieskończona suma kolejnych
potęg stosunku szybkości żółwia do szybkości Achillesa u/u. Oznaczmy ten stosunek przez q, oczywiście q < 1. Potrzebujemy więc zsumować tak zwany szereg geometryczny postaci
2
3
X = d ⋅
1 + q + q + q +…

Zanim jednak pokażemy, jak w prosty sposób wyliczyć X, przekonajmy się, że rzeczywiście taka
suma nieskończonej liczby składników jest wielkością skończoną. Posłuży nam do tego konstrukcja
geometryczna zilustrowana na poniższym rysunku.
Data utworzenia:
2009-11-10
strona 5/8
Na prostej odkładamy odcinek P0P1. Przez punkty P0 i P1 prowadzimy dwie dowolne proste przecinające się w punkcie O. Następnie na odcinku P0P1, zaczynając od punktu P1, odkładamy odcinek
QP1 o długości |QP1| = q · |P0P1| = q · d. Oczywiście QP1 ⊂ P0P1. Zauważmy ponadto, że długość tego
odcinka odpowiada drugiemu składnikowi nieskończonej sumy X. Z kolei przez punkt Q prowadzimy
prostą równoległą do prostej P1O. Przetnie ona prostą P0O w punkcie R1. Z punktu R1 prowadzimy prostą równoległą do P0P1 do przecięcia z prostą P1O. Punkt przecięcia oznaczamy przez S2 . Oczywiście
|R1S2| = |QP1| = q · d. Następnie przez punkt S2 prowadzimy prostą równoległą do P1R1 i w jej przecięciu
z prostą P0O znajdujemy punkt R2. Z kolei z punktu R2 prowadzimy prostą równoległą do P0P1 i jej punkt
przecięcia z prostą P1O oznaczamy S3 i tak dalej… Z twierdzenia Talesa wynika, że
q
R1 S2
P0 P1

R1 0
P0 0

S2 0
P1 0

R2 0
R1 0

R2 S3
R1 S2
a wobec równości |P2P3| = |R2S3| otrzymujemy
P2 P3 = q  R1 S2  q2  d
czyli drugi składnik sumy X. Analogicznie da się wykazać, że
PnPn1 = Rn Sn1  qn  d
A zatem kolejne składniki sumy X są długościami odcinków P0P1, P1P2, P2P3 itd. Z konstrukcji
wynika, że suma tych liczb jest skończona i równa długości odcinka P0O’. Jak tę długość obliczyć?
Pomnóżmy równanie
2
3
X = d ⋅
1 + q + q + q +…

obustronnie przez q. Otrzymamy wtedy
q  X  d 
q  q2  q3  q4 


Zauważmy teraz, że wielkość po prawej stronie równości to liczba X pomniejszona o d, zatem otrzymujemy związek q · X = X – d, skąd
X
d
1q
Zatem dla obu poszukiwanych wielkości fizycznych otrzymujemy skończone wartości
s
u
d
uu
T
d
uu
Załóżmy, że początkowa odległość między Achillesem i żółwiem wynosi d = 100 m, szybkość
Achillesa u = 10 m/s, natomiast szybkość żółwia u = 1 mm/s = 0,001 m/s. Z powyższych wzorów
wynika, że pościg będzie trwał przez około 10,001 s, a dystans, jaki przebiegnie Achilles do zakończenia pościgu, wyniesie około 100,01 m. Oznacza to, że żółw przemieści się podczas trwania
pościgu ledwie o 1 cm.
Data utworzenia:
2009-11-10
strona 6/8
Powyższe rozumowanie pokazuje wprost, że skończony odcinek drogi przebyty przez Achillesa podczas wyścigu z żółwiem można przedstawić jako sumę nieskończonej liczby odcinków o dostatecznie
szybko malejących długościach. W dzisiejszej nauce sumy takie, zwane szeregami, są dobrze znane
i zbadane. Pojawiają się często w problemach fizycznych. Czy jednak każdy taki szereg jest zbieżny,
to znaczy, czy suma nieskończonej liczby składników da zawsze wartość skończoną? Tak oczywiście
nie jest. Aby szereg był zbieżny, kolejne jego składniki muszą odpowiednio szybko maleć. Chcąc zilustrować to zagadnienie, przeanalizujmy inny zabawny wyścig, znany pod nazwą „robaczek na gumowej
taśmie”. Pojawia się w nim szereg rozbieżny.
Powolny, lecz wytrwały robaczek rozpoczyna wędrówkę od początku gumowej taśmy o długości
początkowej l0 i pełznie w kierunku jej końca, pokonując w każdej minucie odcinek o długości s0. Pod
koniec każdej minuty równie wytrwały właściciel taśmy, którego jedynym celem w życiu jest udaremnienie zamiarów robaczka, rozciąga taśmę równomiernie o długość l0. Zatem po pierwszej minucie pełznięcia robaczek jest odległy o s0 od początku taśmy i o l0 – s0 od jej końca. Podczas równomiernego
rozciągania taśmy robaczek zachowuje swoją względną pozycję i znajdzie się w nowej pozycji s1 równej
ułamkowi s0/l0 aktualnej długości taśmy l1 = 2l0, tzn.
s
gdzie l1 = 2 l0
s1  0 l1 l0
Zatem robaczek znajdzie się w odległości 2s0 od punktu wyjścia i 2l0 – 2s0 od celu. W drugiej
minucie pełznięcia robaczek osiąga odległość s1 + s0 od początku taśmy. Pod koniec drugiej minuty
właściciel taśmy rozciąga ją o l0 i odległość robaczka od początku taśmy s2 będzie wynosić
s2 
s1  s0
l2
l1
gdzie l2 = 3 l0
i tak dalej. Rozumując analogicznie, łatwo zauważyć, że po upływie n - tej minuty pozycja robaczka od
początku taśmy oraz długość taśmy będą równe
sn 
sn1  s0
ln
ln1
ln = (n + 1) l0
Otrzymaliśmy związek rekurencyjny dający pozycję robaczka pod koniec n - tej minuty w zależności
od jego położenia pod koniec minuty (n – 1). Stosując ten związek wielokrotnie, możemy zapisać
sn 
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
s 
s 
s 
s 
s  
s 
s 
s 
s 
s 
n 0
n n1
n 0 n 1 0 n 1 n2
n 0 n 1 0 n  2 0
2 0
2 1

1 1
1
1
 ( n 1 ) s01   



2 3
n 1 n 
W nawiasie kwadratowym otrzymaliśmy sumę odwrotności kolejnych liczb naturalnych. Suma ta
nazywa się n - tą liczbą harmoniczną i jest oznaczana przez symbol Hn, tj.
n
1 1
1
1
Hn  1     
2 3
n k1 k
Data utworzenia:
2009-11-10
strona 7/8
Liczby te pojawiają się często w analizie algorytmów numerycznych, a ich nazwa bierze się stąd,
że ton fali o długości 1/n jest nazywany n - tą harmoniczną tonu o długości fali 1. Za pomocą liczby
harmonicznej nasz wzór na sn możemy zapisać w postaci
sn = (n + 1) Hn so
Wytrwały robaczek osiągnie cel swojej wędrówki w n - tej minucie, pod warunkiem, że spełniona jest
nierówność
sn ≥ ln
Nierówność ta jest równoważna nierówności
Hn 
l0
s0
(*)
Powstaje teraz pytanie, czy ta nierówność ma rozwiązania dla dowolnego stosunku l0/s0>1. Odpowiedź jest twierdząca, ponieważ okazuje się, że szereg liczb harmonicznych Hn jest rozbieżny, tzn.
może przyjmować dowolnie duże wartości dla odpowiednio dużych n. Aby się o tym przekonać, pogrupujmy wyrazy tego szeregu w następujący sposób. W pierwszych dwóch grupach umieszczamy pierwsze dwa składniki, a liczebność kolejnych grup niech będzie równa kolejnym potęgom dwójki.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1           
2 34
6
7 8
10
16

 5
 9
Teraz, zastępując wszystkie mianowniki w każdej grupie mianownikiem największym w tej grupie,
zmniejszymy każdy składnik w grupie, a więc i całą sumę. Jest ona zatem większa od liczby
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1           
1
2
4
4
8
8
8
8
16
16
   6
czyli od sumy
1 1 1 1
1     
2 2 2 2
która może być oczywiście dowolnie dużą liczbą. Stąd wynika jasno rozbieżność wyjściowej sumy.
Dla małych stosunków l0/s0 wartość n spełniającą nierówność (*) można znaleźć metodą prób
i błędów, bezpośrednio sumując szereg Hn. Jednak znalezienie rozwiązania nastręcza poważnych
trudności rachunkowych, gdy ten stosunek jest duży, np. jeżeli l0/s0 = 100. W tym przypadku można
się oprzeć na przybliżonym, dowodzonym w matematyce wzorze
Hn  ln n+  +
n
1
1


2
2n 12n
120n4
0  n  1
gdzie liczba niewymierna  = 0,5772156649... jest nazywana stałą Eulera. Wzór ten pokazuje, że
chociaż szereg harmoniczny jest rozbieżny, to jego suma dąży do nieskończoności stosunkowo powoli,
bo logarytmicznie. Z powyższego przybliżenia wynika, że dla l0/s0 = 100 (np. gdy początkowa długość
Data utworzenia:
2009-11-10
strona 8/8
taśmy gumowej wynosiła 1 m, a robaczek pokonywał w ciągu jednej minuty odcinek o długości 1 cm)
robaczek osiągnie cel swojej wędrówki, gdy n wyniesie mniej więcej
e100  e99 ,423  1 , 51043
Linię mety robaczek przekroczyłby po upływie około 287 tysięcy kwintylionów wieków (kwintylion = 1030) od rozpoczęcia swojego pełznięcia, czyli kilkadziesiąt rzędów wielkości więcej niż szacowany wiek wszechświata (około 14 miliardów lat = 140 milionów wieków). Gumowa taśma rozciągnęłaby
się na więcej niż 1027 lat świetlnych, czyli więcej niż szacowane rozmiary wszechświata (około 100
miliardów lat świetlnych). Tak paradoksalnie duże wyniki dobrze ilustrują to, jak wolno liczby harmoniczne dążą do nieskończoności. Problem „robaczka na gumowej taśmie” pokazuje, że tym razem
założony cel wędrówki zostanie osiągnięty nie dzięki zbieżności, ale właśnie dzięki rozbieżności szeregu liczbowego. Przeciwnie niż w przypadku wyścigu Achillesa z żółwiem, gdzie kolejne etapy wyścigu
odpowiadały kolejnym wyrazom zbieżnego szeregu liczbowego.
Przedstawiona tutaj historia ilustruje, że zrozumienie najbardziej podstawowych elementów tej układanki, jaką jest świat fizyczny, to długotrwały proces. Od momentu, gdy Zenon z Elei zastanawiał się
nad naturą ruchu, musiało upłynąć przeszło 2000 lat, zanim Izaak Newton podał trzy genialne prawa
reasumujące wielopokoleniowe zmagania się z tym zagadnieniem. Tyleż mniej więcej lat musiało również upłynąć, zanim zaczęto rozróżniać szeregi zbieżne i rozbieżne (Mikołaj z Oresme, XIV wiek) oraz
podano kryteria ich zbieżności (Colin Maclaurin, Joseph Louis de Lagrange, Augustin Luis Cauchy,
XVIII–XIX wiek). Pokazuje ona również, że problemy fizyczne są nierozerwalnie związane z problemami
matematycznymi. Matematyczne zagadnienie zbieżności szeregów i całek jest kluczowym elementem
współczesnej fizyki teoretycznej. Najbardziej znanym i budzącym wiele kontrowersji przykładem jest
teoria oddziaływań cząstek elementarnych (tzw. Model Standardowy), w której pojawiają się szeregi,
których elementami są całki rozbieżne. Zdumiewające i fascynujące jest jednak to, że proponowane
przez fizyków procedury regularyzacji (uzbieżniania) tych całek dają wyniki z dużą precyzją zgodne
z wynikami eksperymentalnymi. Na dogłębne zrozumienie, dlaczego te procedury działają, potrzeba
jeszcze czasu. Być może Ty, Drogi Czytelniku, pomożesz rozwikłać tę tajemnicę.
Literatura
[1] Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O., Matematyka konkretna, PWN, Warszawa 2006.
[2] „Magazyn Miłośników Matematyki” 2008, nr 3 (24), Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytetu Wrocławskiego.
[3] Reale G., Historia filozofii starożytnej, t. 1, Redakcja Wydawnicza KUL, Lublin 1994.
Data utworzenia:
2009-11-10