Lista zadań nr 9

Lista zadań nr 9
Matematyka dyskretna, semestr letni roku akad. 2013/14, grupa 9
8 maja 2014
Zadanie 0.
Uporządkuj funkcje tak, aby każda była o (małe) od następnej.
√
n
log n
√
, (log n)
n
√ √n
, n , (log n)log n
Zadanie 1. Dla każdego z poniższych ciągów znajdź najmniejsze k takie, że
jest on O(nk ).
p
3
an = (n2 + 1)(2n4 + 3n − 8)
bn = n2 − 5n − 2
cn =
2n81,2 + 3n45,1
4n23,3 + 5n11,3
dn = 5log n
Zadanie 2. Które spośród symboli o, O, ∼, Θ, Ω są a) zwrotne, b) symetryczne, c) przechodnie?
Zadanie 3.
Pokaż, że e1/n = 1 +
1
n
+ O( n12 ).
Zadanie 4. Oceń złożoność czasową pisemnego dodawania i mnożenia liczb
długości n.
Zadanie 5. Oceń złożoność czasową poniższego algorytmu sortującego n liczb:
wybierz najmniejszą, postaw na pierwszym miejscu; wybierz najmniejszą z pozostałych i postaw na drugim miejscu; najmniejszą z pozostałych postaw na
trzecim miejscu — itd. aż do wyczerpania liczb.
Zadanie 6. Podaj przykład funkcji f, g takich, że nie zachodzi żadna z trzech
relacji f (n) = o(g(n)), g(n) = o(f (n)), f (n) = Θ(g(n)), chociaż obie funkcje
monotonicznie rozbiegają do nieskończoności.
Zadanie 7. Jaki warunek konieczny i wystarczający muszą spełniać liczby
p, q, r, x, y, z, żeby prawdą było np (log n)q (log log n)r = o(nx (log n)y (log log n)z )?